Aufgaben:Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit - Versionsgeschichte

Javier am 13. September 2021 um 09:28 Uhr

2021-09-13T09:28:59Z

Guenter am 9. September 2021 um 16:43 Uhr

2021-09-09T16:43:52Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:30 Uhr

2019-10-24T15:30:32Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:23 Uhr

2019-10-24T15:23:45Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:23 Uhr

2019-10-24T15:23:15Z

Guenter am 6. November 2018 um 11:53 Uhr

2018-11-06T11:53:30Z

Guenter am 6. November 2018 um 11:46 Uhr

2018-11-06T11:46:49Z

Guenter am 6. November 2018 um 11:07 Uhr

2018-11-06T11:07:01Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:40Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Februar 2018 um 16:24 Uhr

2018-02-16T16:24:37Z

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/~~Systembeschreibung im Frequenzbereich~~}}	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}

	[[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png\|right\|frame\|Trapez–Tiefpass (rot) und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (grün)]]		[[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png\|right\|frame\|Trapez–Tiefpass (rot) und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (grün)]]

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−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 ~~Einige systemtheoretische~~ Tiefpassfunktionen^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über &nbsp;$H(f)$&nbsp; gleich &nbsp;$f_1 + f_2$. Wegen &nbsp;$H(f = 0 = 1)$&nbsp; stimmt somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; $\Delta f = f_1 + f_2.$
+*Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über &nbsp;$H(f)$&nbsp; gleich &nbsp;$f_1 + f_2$.
 '''(2)'''&nbsp;  Setzt man die unter '''(1)''' gefundene Beziehung in die Definitionsgleichung des Rolloff&ndash;Faktors ein, so erhält man
 :$${f_2 - f_1}  = r \cdot \Delta f =  {2\,\rm
   kHz}, \hspace{0.5cm} {f_2 + f_1}   = {10\,\rm
   kHz}.$$
-Durch Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen ergeben sich die so genannten &bdquo;Eckfrequenzen&rdquo; zu $f_1 \underline{= 4 \ \rm kHz}$ und $f_2 \underline{= 6 \ \rm kHz}$.
+*Durch Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen ergeben sich die so genannten &bdquo;Eckfrequenzen&rdquo; zu
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 *Da diese exakt mit den Nullstellen der ersten &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion zusammenfallen, gibt es keine zusätzlichen Nullstellen.
 *Der Sonderfall &nbsp;$r = 0$&nbsp; entspricht dem idealen rechteckförmigen Tiefpass mit $\rm si$&ndash;förmiger Impulsantwort. Diese klingt extrem langsam ab.
-*Die &nbsp;$\rm si^2$&ndash;förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses (Sonderfall für &nbsp;$r = 1$) fällt asymptotisch mit &nbsp;$1/t^2$, also schneller als mit &nbsp;$r = 0.2$.
+*Die &nbsp;$\rm si^2$&ndash;förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses&nbsp; $($Sonderfall für &nbsp;$r = 1)$&nbsp; fällt asymptotisch mit &nbsp;$1/t^2$, also schneller als mit &nbsp;$r = 0.2$.
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 *Die weiteren Nullstellen bei &nbsp;$7.5, 12.5,\text{...} $&nbsp; bleiben dagegen bestehen.
 *Auch hier führt &nbsp;$r = 0$&nbsp; zum Rechtecktiefpass und damit zur &nbsp;$\rm si$&ndash;förmigen Impulsantwort.
-*Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Tiefpasses (Sonderfall für &nbsp;$r = 1$) extrem schnell ab.
+*Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Tiefpasses&nbsp; $($Sonderfall für &nbsp;$r = 1)$&nbsp; extrem schnell ab.
-*Dieser wird in der [[Aufgaben:1.8Z_Cosinus-Quadrat-Tiefpass|Aufgabe 1.8Z]] eingehend untersucht.
+*Dieser wird in der&nbsp; [[Aufgaben:1.8Z_Cosinus-Quadrat-Tiefpass|Aufgabe 1.8Z]]&nbsp; eingehend untersucht.

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Trapez&ndash;Tiefpass]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Trapez&ndash;Tiefpass]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.

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 [[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png|right|frame|Trapez–Tiefpass (rot) und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (grün)]]
-Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit werden miteinander verglichen. Für Frequenzen &nbsp;$|f| ≤ f_1$&nbsp; gilt in beiden Fällen &nbsp;$H(f) = 1$. Dagegen werden alle Frequenzen &nbsp;$|f| ≥ f_2$&nbsp; vollständig unterdrückt.
+Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit werden miteinander verglichen. Für Frequenzen &nbsp;$|f| ≤ f_1$&nbsp; gilt in beiden Fällen &nbsp;$H(f) = 1$.&nbsp; Dagegen werden alle Frequenzen &nbsp;$|f| ≥ f_2$&nbsp; vollständig unterdrückt.
 Im Bereich &nbsp;$f_1 ≤ |f| ≤ f_2$&nbsp; sind die Frequenzgänge durch folgende Gleichungen festgelegt:
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 \frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta
 t  )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Trapez&ndash;Tiefpass]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite &nbsp;$Δf$? Es gilt
+{Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite &nbsp;$Δf$?&nbsp; Es gilt
 |type="[]"}
 - $Δf = f_2 - f_1$,
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 {Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapez&ndash;Tiefpasses zutreffend, wenn &nbsp;$r = 0.2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="[]"}
-+ $h(t)$&nbsp; besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
++ $h(t)$&nbsp; besitzt Nullstellen bei&nbsp; $±\hspace{0.03cm}n · Δt \ (n = 1, 2, \text{...})$.
 - $h(t)$&nbsp; besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
 - Mit &nbsp;$r = 0$&nbsp; würde &nbsp;$h(t)$&nbsp; schneller abklingen.
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 {Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn &nbsp;$r = 0.2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="[]"}
-+ $h(t)$&nbsp; besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
++ $h(t)$&nbsp; besitzt Nullstellen bei&nbsp; $±\hspace{0.03cm}n · Δt \ (n = 1, 2, \text{...})$.
 + $h(t)$&nbsp; besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
 - Mit &nbsp;$r = 0$&nbsp; würde &nbsp;$h(t)$&nbsp; schneller abklingen.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über $H(f)$ gleich $f_1 + f_2$. Wegen $H(f = 0 = 1)$ stimmt somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; $\Delta f = f_1 + f_2.$
+*Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über &nbsp;$H(f)$&nbsp; gleich &nbsp;$f_1 + f_2$. Wegen &nbsp;$H(f = 0 = 1)$&nbsp; stimmt somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; $\Delta f = f_1 + f_2.$
-'''(2)'''&nbsp;  Setzt man die unter (1) gefundene Beziehung in die Definitionsgleichung des Rolloff&ndash;Faktors ein, so erhält man
+'''(2)'''&nbsp;  Setzt man die unter '''(1)''' gefundene Beziehung in die Definitionsgleichung des Rolloff&ndash;Faktors ein, so erhält man
 :$${f_2 - f_1}  = r \cdot \Delta f =  {2\,\rm
   kHz}, \hspace{0.5cm} {f_2 + f_1}   = {10\,\rm
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 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>:
-*Die erste $\rm si$&ndash;Funktion von $h_{\rm TTP}(t)$ führt zu Nullstellen im Abstand $\Delta t$ (siehe auch Gleichung auf der Angabenseite).
+*Die erste &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion von &nbsp;$h_{\rm TTP}(t)$&nbsp; führt zu Nullstellen im Abstand &nbsp;$\Delta t$&nbsp; (siehe auch Gleichung auf der Angabenseite).
-*Die zweite $\rm si$&ndash;Funktion bewirkt Nullstellen bei Vielfachen von $5 &middot; \Delta t$.
+*Die zweite &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion bewirkt Nullstellen bei Vielfachen von &nbsp;$5 &middot; \Delta t$.
-*Da diese exakt mit den Nullstellen der ersten$\rm si$&ndash;Funktion zusammenfallen, gibt es keine zusätzlichen Nullstellen.
+*Da diese exakt mit den Nullstellen der ersten &nbsp;$\rm si$&ndash;Funktion zusammenfallen, gibt es keine zusätzlichen Nullstellen.
-*Der Sonderfall $r = 0$ entspricht dem idealen rechteckförmigen Tiefpass mit $\rm si$&ndash;förmiger Impulsantwort. Diese klingt extrem langsam ab.
+*Der Sonderfall &nbsp;$r = 0$&nbsp; entspricht dem idealen rechteckförmigen Tiefpass mit $\rm si$&ndash;förmiger Impulsantwort. Diese klingt extrem langsam ab.
-*Die $\rm si^2$&ndash;förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses (Sonderfall für $r = 1$) fällt asymptotisch mit $1/t^2$, also schneller als mit $r = 0.2$.
+*Die &nbsp;$\rm si^2$&ndash;förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses (Sonderfall für &nbsp;$r = 1$) fällt asymptotisch mit &nbsp;$1/t^2$, also schneller als mit &nbsp;$r = 0.2$.
 '''(4)'''&nbsp;  Richtig sind hier die <u>Vorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Die Impulsantwort $h_{\rm CRTP}(t)$ des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses weist aufgrund der si&ndash;Funktion ebenfalls Nullstellen im Abstand $\Delta t$ auf.
+*Die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm CRTP}(t)$&nbsp; des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses hat aufgrund der si&ndash;Funktion ebenfalls Nullstellen im Abstand &nbsp;$\Delta t$.
 *Die Cosinusfunktion hat Nullstellen zu folgenden Zeitpunkten:
 :$${\cos(\pi \cdot r \cdot {t}/{ \Delta t}  )}  =  0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow  \hspace{0.3cm}r \cdot {t}/{ \Delta t} = \pm
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 :$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {t}/{ \Delta t} = \pm
 .5, \pm 7.5, \pm 12.5, \text{...}. $$
-*Die Nullstelle des Zählers bei $t / \Delta t = 2.5$ wird allerdings durch den ebenfalls verschwindenden Nenner zunichte gemacht.
+*Die Nullstelle des Zählers bei &nbsp;$t / \Delta t = 2.5$&nbsp; wird allerdings durch den ebenfalls verschwindenden Nenner zunichte gemacht.
-*Die weiteren Nullstellen bei $7.5, 12.5,\text{...} $ bleiben dagegen bestehen.
+*Die weiteren Nullstellen bei &nbsp;$7.5, 12.5,\text{...} $&nbsp; bleiben dagegen bestehen.
-*Auch hier führt $r = 0$ zum Rechtecktiefpass und damit zur $\rm si$&ndash;förmigen Impulsantwort.
+*Auch hier führt &nbsp;$r = 0$&nbsp; zum Rechtecktiefpass und damit zur &nbsp;$\rm si$&ndash;förmigen Impulsantwort.
-*Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Tiefpasses (Sonderfall für $r = 1$) extrem schnell ab.
+*Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus&ndash;Quadrat&ndash;Tiefpasses (Sonderfall für &nbsp;$r = 1$) extrem schnell ab.
 *Dieser wird in der [[Aufgaben:1.8Z_Cosinus-Quadrat-Tiefpass|Aufgabe 1.8Z]] eingehend untersucht.

@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite $Δf$? Es gilt
+{Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite &nbsp;$Δf$? Es gilt
 |type="[]"}
 - $Δf = f_2 - f_1$,
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
-{Bestimmen Sie die Tiefpass-Parameter $f_1$ und $f_2$ für $Δf = 10 \ \rm kHz$ und $r = 0.2$.
+{Bestimmen Sie die Tiefpass-Parameter &nbsp;$f_1$&nbsp; und &nbsp;$f_2$&nbsp; für &nbsp;$Δf = 10 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$r = 0.2$.
 |type="{}"}
 $f_1 \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm kHz$
@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
-{Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapez&ndash;Tiefpasses zutreffend, wenn $r = 0.2$ vorausgesetzt wird?
+{Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapez&ndash;Tiefpasses zutreffend, wenn &nbsp;$r = 0.2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="[]"}
-+ $h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
++ $h(t)$&nbsp; besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
-- $h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
+- $h(t)$&nbsp; besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
-- Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
+- Mit &nbsp;$r = 0$&nbsp; würde &nbsp;$h(t)$&nbsp; schneller abklingen.
-+ Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
++ Mit &nbsp;$r = 1$&nbsp; würde &nbsp;$h(t)$&nbsp; schneller abklingen.
-{Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn $r = 0.2$ vorausgesetzt wird?
+{Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn &nbsp;$r = 0.2$&nbsp; vorausgesetzt wird?
 |type="[]"}
-+ $h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
++ $h(t)$&nbsp; besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, \text{...})$.
-+ $h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
++ $h(t)$&nbsp; besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
-- Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
+- Mit &nbsp;$r = 0$&nbsp; würde &nbsp;$h(t)$&nbsp; schneller abklingen.
-+ Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
++ Mit &nbsp;$r = 1$&nbsp; würde &nbsp;$h(t)$&nbsp; schneller abklingen.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
-[[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png|right|frame|Trapez–Tiefpass und Cosinus–Rolloff–Tiefpass]]
+[[Datei:P_ID867__LZI_A_1_8.png|right|frame|Trapez–Tiefpass (rot) und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (grün)]]
-Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) = 1$. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.
+Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit werden miteinander verglichen. Für Frequenzen &nbsp;$|f| ≤ f_1$&nbsp; gilt in beiden Fällen &nbsp;$H(f) = 1$. Dagegen werden alle Frequenzen &nbsp;$|f| ≥ f_2$&nbsp; vollständig unterdrückt.
-Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch folgende Gleichungen festgelegt:
+Im Bereich &nbsp;$f_1 ≤ |f| ≤ f_2$&nbsp; sind die Frequenzgänge durch folgende Gleichungen festgelegt:
 *Trapeztiefpass (TTP):
 :$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$
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 Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe
-*die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$, sowie
+*die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite &nbsp;$Δf$, sowie
 *der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich):
 :$$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$
-In der gesamten Aufgabe gelte $Δf = 10 \ \rm kHz$ und $r = 0.2$. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf = 0.1 \ \rm ms$:
+In der gesamten Aufgabe gelte &nbsp;$Δf = 10 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$r = 0.2$.
 :$$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot
 \frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$
@@ Zeile 27: / Zeile 29: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Trapez&ndash;Tiefpass]] sowie [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Cosinus-Rolloff-Tiefpass|Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
+::[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Trapez.E2.80.93Tiefpass|Trapez&ndash;Tiefpass]] sowie