Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: Systemanalyse - Versionsgeschichte

Guenter am 9. September 2021 um 16:43 Uhr

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2019-10-24T15:16:39Z

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2019-10-24T15:12:57Z

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Guenter am 6. November 2018 um 10:40 Uhr

2018-11-06T10:40:34Z

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2018-05-29T12:02:40Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 *Die erste Aussage ist zutreffend: &nbsp; Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden.
 *Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen.
-*Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als $4 \ \rm V$ ist.
+*Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass&nbsp; $|x(t)|$&nbsp; nicht größer als&nbsp; $4 \ \rm V$&nbsp; ist.
-*Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend: &nbsp;  Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht.
+*Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend: &nbsp;  Die Bandbreite von&nbsp; $H_3(f)$&nbsp; hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht.
 '''(2)'''&nbsp; Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:
 :$$X(f)  =  W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2} =  {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.$$
-*Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $Δf_x$&nbsp; die äquivalente Bandbreite von&nbsp; $X(f)$.
-*Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Spektralfläche  und gleichzeitig der Maximalwert des Signals.
+*Der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist gleich der Spektralfläche  und gleichzeitig der Maximalwert des Signals:
 *Dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:
 :$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$
@@ Zeile 83: / Zeile 84: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$.
+'''(3)'''&nbsp; Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung&nbsp; $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$.
 *Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:
 :$$\underline{K \ = \ 2}.$$

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 [[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|frame|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie]]
-Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang &nbsp;$w(t)$&nbsp; und Ausgang &nbsp;$z(t)$&nbsp; besteht aus drei Komponenten:
+Ein Gesamtsystem&nbsp; $G$&nbsp; mit Eingang &nbsp;$w(t)$&nbsp; und Ausgang &nbsp;$z(t)$&nbsp; besteht aus drei Komponenten:
 *Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort
 :$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta
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 :$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} +{8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t)  \\  {-8\,\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\  \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge +{4\,\rm V}},  \\
 {{-4\,\rm V} < x(t) < +{4\,\rm V}},  \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}.  \\ \end{array}$$
-:&rArr; &nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ der Nichtlinearität wird um den Faktor $2$ verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich $±8 \ \rm V$ begrenzt.
+:&rArr; &nbsp; Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; der Nichtlinearität wird um den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; verstärkt und – falls nötig – auf den Bereich&nbsp; $±8 \ \rm V$&nbsp; begrenzt.
 *Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:
 :$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$
-Das Eingangssignal &nbsp;$w(t)$&nbsp; des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V$ und variabler Breite $T$:
+Das Eingangssignal &nbsp;$w(t)$&nbsp; des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude&nbsp; $5 \ \rm V$&nbsp; und variabler (äquivalenter) Dauer&nbsp; $T$:
 :$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/T)^2}.$$
-Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang
+Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $T$&nbsp; dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang
 :$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$
 vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite steht hierbei für „Gesamtsystem”.
@@ Zeile 36: / Zeile 39: @@
 {Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit das Gesamtsystem durch einen einzigen Frequenzgang beschreibbar ist?
 |type="[]"}
-+ Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $w(t)$ und $z(t)$.
++ Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen&nbsp; $w(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$.
-- $H_3(f)$ muss schmalbandiger sein als $H_1(f)$.
+- $H_3(f)$&nbsp; muss schmalbandiger sein als&nbsp; $H_1(f)$.
-+ Das Signal $x(t)$ darf betragsmäßig nicht größer sein als $4 \ \rm V$.
++ Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; darf betragsmäßig nicht größer sein als&nbsp; $4 \ \rm V$.
-{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer $T$, damit die unter '''(1)''' genannten Bedingungen erfüllbar sind.
+{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $T$, damit die unter&nbsp; '''(1)'''&nbsp; genannten Bedingungen erfüllbar sind.
 |type="{}"}
 $T_{\rm max} \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm  ms$
-{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an.
+{Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs&nbsp; $H_{\rm G}(f)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $K \ = \ $ { 2 3% }

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Antworten1 und 3</u>:
-*Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden.
+*Die erste Aussage ist zutreffend: &nbsp; Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden.
 *Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen.
 *Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als $4 \ \rm V$ ist.
-*Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht.
+*Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend: &nbsp;  Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht.
 '''(2)'''&nbsp; Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:
 :$$X(f)  =  W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2} =  {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.$$
-Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Spektralfläche  und gleichzeitig der Maximalwert des Signals. Dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:
+*Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$.
 :$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$
-Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:
+*Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:
 :$$\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm}  \Rightarrow  \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}$$
@@ Zeile 73: / Zeile 75: @@
 \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.$$
-Die Kontrollrechnung ergibt:
+*Die Kontrollrechnung ergibt:
 :$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot  {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung: &nbsp; $\underline{K \ = \ 2}$.
+'''(3)'''&nbsp; Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$.
-Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:
+*Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:
 :$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm
   kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow  \; \;  \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 [[Datei:P_ID865__LZI_Z_1_7.png|right|frame|System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie]]
-Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:
+Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang &nbsp;$w(t)$&nbsp; und Ausgang &nbsp;$z(t)$&nbsp; besteht aus drei Komponenten:
 *Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort
-:$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi(t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta
+:$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta
   t_1= {0.3\,\rm ms}.$$
 *Danach folgt eine Nichtlinearität mit der Kennlinie
-:$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} {8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t)  \\  {-8\,\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\  \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge {4\,\rm V}},  \\
+:$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} +{8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t)  \\  {-8\,\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\  \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge +{4\,\rm V}},  \\
-{{-4\,\rm V} < x(t) < {4\,\rm V}},  \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}.  \\ \end{array}$$
+{{-4\,\rm V} < x(t) < +{4\,\rm V}},  \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}.  \\ \end{array}$$
-:&rArr;&nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ der Nichtlinearität wird um den Faktor $2$ verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich $±8 \ \rm V$ begrenzt.
+:&rArr; &nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ der Nichtlinearität wird um den Faktor $2$ verstärkt und – falls nötig – auf den Amplitudenbereich $±8 \ \rm V$ begrenzt.
 *Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:
-:$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$
+:$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$
-Das Eingangssignal $w(t)$ des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V$ und variabler Breite $T$:
+Das Eingangssignal &nbsp;$w(t)$&nbsp; des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V$ und variabler Breite $T$:
-:$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$
+:$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/T)^2}.$$
 Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang
-:$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$
+:$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$
 vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite steht hierbei für „Gesamtsystem”.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]].
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-{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer $T$, damit die unter (1) genannten Bedingungen erfüllbar sind.
+{Berechnen Sie den Maximalwert für die äquivalente Impulsdauer $T$, damit die unter '''(1)''' genannten Bedingungen erfüllbar sind.
 |type="{}"}
 $T_{\rm max} \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm  ms$

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 Das Eingangssignal $w(t)$ des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V = const. $ und variabler Breite $T$:
 $$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi(t/T)^2}.$$
-Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzband
+Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang
 $$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$
 vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite bezieht sich jeweils auf „Gesamtsystem”.
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 {Geben Sie die Parameter des Gesamtfrequenzgangs $H_{\rm G}(f)$ an.
 |type="{}"}
-$K \=$ { 2 3% }
+$K \ =$ { 2 3% }
 $\Delta f_{\rm G} =$ { 2 3% } $\ \rm  kHz$
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:'''a)''' Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als 4 V ist.
+'''(1)'''&nbsp; Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden. Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen. Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als $4 \ \rm V$ ist.
-:Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die $\ \rm \underline{Antworten \ 1 \ und \ 3}$.
+Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend. Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht. Richtig sind also die <u>Antworten1 und 3</u>.
-:'''b)''' Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:
+'''(2)'''&nbsp; Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:
 $$\begin{align*}X(f) & =  W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2}\\ & =  {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.\end{align*}$$
-:Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t =$ 0 – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als 4 V:
+:Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$. Der Signalwert bei $t = 0$ – gleichzeitig der Maximalwert des Signals – ist gleich der Spektralfläche; dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:
 $$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$
-:Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:
+Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:
 $$\begin{align*}\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} & \Rightarrow  \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}\\
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.\end{align*}$$
-:Die Kontrollrechnung ergibt:
+Die Kontrollrechnung ergibt:
-$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = \frac{1}{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$
+$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}\\$$
 $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot  {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$
-:'''c)''' Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:
+'''(3)'''&nbsp; Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$. Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung: &nbsp; $\underline{K \ = \ 2}$.
-$$\underline{K \ = \ 2}$$
-:Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:
+Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:
 $$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm
-  kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms}$$
+  kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow  \; \;  \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$
 {{ML-Fuß}}