Aufgaben:Aufgabe 1.7Z: BARBARA-Generator - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Dezember 2021 um 16:28 Uhr

2021-12-02T16:28:07Z

Guenter am 2. Dezember 2021 um 16:23 Uhr

2021-12-02T16:23:22Z

Guenter am 12. November 2019 um 13:30 Uhr

2019-11-12T13:30:55Z

Guenter am 12. November 2019 um 13:22 Uhr

2019-11-12T13:22:08Z

Guenter am 1. August 2018 um 15:54 Uhr

2018-08-01T15:54:20Z

Guenter am 1. August 2018 um 15:49 Uhr

2018-08-01T15:49:46Z

Guenter am 1. August 2018 um 15:38 Uhr

2018-08-01T15:38:07Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:40Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:28:49Z

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Guenter am 23. Februar 2017 um 16:59 Uhr

2017-02-23T16:59:22Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer&nbsp; $1$&nbsp; sein. Deshalb gilt&nbsp; $q = 1 - p$.
+*Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer&nbsp; $1$&nbsp; sein.&nbsp; Deshalb gilt&nbsp; $q = 1 - p$.
 *Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
 :$${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$
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-'''(2)'''&nbsp; Wenn man zum Startzeitpunkt&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; im Zustand&nbsp; $B$&nbsp; ist, ist für den Zeitpunkt&nbsp; $\nu=1$&nbsp; wegen&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand&nbsp; $B$&nbsp; nicht möglich.
+'''(2)'''&nbsp; Wenn man zum Startzeitpunkt&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; im Zustand&nbsp; $B$&nbsp; ist,&nbsp; ist für den Zeitpunkt&nbsp; $\nu=1$&nbsp; wegen&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$&nbsp; der Zustand&nbsp; $B$&nbsp; nicht möglich.
 *Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$:
 :$$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$
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 '''(3)'''&nbsp; Durch Mittelung &uuml;ber die bedingten Wahrscheinlichkeiten erh&auml;lt man:
-:$${\rm Pr}(BARBARA) = p_{\rm A}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$
+:$${\rm Pr}(\rm BARBARA) = p_{\rm A}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$
 Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
-:$${\rm Pr}(BARBARA) =  {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^6  \right)
+:$${\rm Pr}(\rm BARBARA) =  {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^6  \right)
   = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q)
 = \hspace{-0.15cm} \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 }{3}
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-'''(4)'''&nbsp; Die im Punkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Wahrscheinlichkeit lautet&nbsp; $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei&nbsp; $q= 1-p$&nbsp; berücksichtigt ist.
+'''(4)'''&nbsp; Die im Punkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Wahrscheinlichkeit lautet&nbsp; $p^5 \cdot (1-p)/3$,&nbsp; wobei&nbsp; $q= 1-p$&nbsp; berücksichtigt ist.
 *Durch Nullsetzen des Differentials erh&auml;lt man die Bestimmungsgleichung:
 :$$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm}  p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$
 *Damit ergibt sich ein gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; etwa um den Faktor&nbsp; $90$&nbsp; gr&ouml;&szlig;erer Wert:
-:$${\rm Pr}(BARBARA)   \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
+:$${\rm Pr}(\rm BARBARA)   \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
-[[Datei:P_ID454__Sto_Z_1_7.png|right|frame|$BARBARA$-Generator]]
+[[Datei:P_ID454__Sto_Z_1_7.png|right|frame|$\rm BARBARA$-Generator]]
 Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann.
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-''Hinweis:''
+Hinweis:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
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 - Es gilt hier:&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 1/2, \; {\rm Pr}(B) = 1/3, \; {\rm Pr}(R) = 1/6$.
-{Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$,&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm C}$, dass zu den Zeiten zwischen&nbsp; $ν+1$&nbsp; und&nbsp; $ν+7$&nbsp;  die Sequenz&nbsp; $BARBARA$&nbsp; ausgegeben wird, <br>wenn man sich zum Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp; im Zustand&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; bzw.&nbsp; $R$&nbsp; befindet?&nbsp; Es gelte&nbsp; $p = 1/4$.
+{Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$,&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm C}$,&nbsp; dass zu den Zeiten zwischen&nbsp; $ν+1$&nbsp; und&nbsp; $ν+7$&nbsp;  die Sequenz&nbsp; $BARBARA$&nbsp; ausgegeben wird, <br>wenn man sich zum Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp; im Zustand&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; bzw.&nbsp; $R$&nbsp; befindet?&nbsp; Es gelte&nbsp; $p = 1/4$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm A} \ = \ $  { 0.549 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
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 $p_{\rm C} \ = \ $ { 0.183 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz&nbsp; $BARBARA$&nbsp; ausgibt?<br>  Es gelte weiter&nbsp; $p = 1/4.$
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz&nbsp; "$\rm BARBARA$"&nbsp; ausgibt?<br>  Es gelte weiter&nbsp; $p = 1/4.$
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
+${\rm Pr}(\rm BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
-{Wie ist der Parameter&nbsp; $p_{\rm opt}$&nbsp; zu wählen, damit&nbsp; ${\rm Pr}(BARBARA)$&nbsp; möglichst groß wird?  <br>Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für&nbsp; $BARBARA$?
+{Wie ist der Parameter&nbsp; $p_{\rm opt}$&nbsp; zu wählen, damit&nbsp; ${\rm Pr}(\rm BARBARA)$&nbsp; möglichst groß wird?  <br>Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für&nbsp; "$\rm BARBARA$"?
 |type="{}"}
 $p_{\rm opt} \ = \ $  { 0.8333 3% }
-$p = p_{\rm opt}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $ { 22 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
+$p = p_{\rm opt}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(\rm BARBARA)\ = \ $ { 22 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
 </quiz>

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer $1$ sein. Deshalb gilt $q = 1 - p$.
+*Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer&nbsp; $1$&nbsp; sein. Deshalb gilt&nbsp; $q = 1 - p$.
 *Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
 :$${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$
-'''(2)'''&nbsp; Wenn man zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ im Zustand $B$ ist, ist für den Zeitpunkt $\nu=1$ wegen ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand $B$ nicht möglich. <br>Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$:
 :$$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$
-F&uuml;r die Berechnung von $p_{\rm A}$ ist zu beachten: &nbsp; Ausgehend von $A$ geht man im Markovdiagramm zun&auml;chst zu $B$ (mit der Wahrscheinlichkeit $q$), dann f&uuml;nfmal im Uhrzeigersinn (jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p$) und schlie&szlig;lich noch von $R$ nach $A$ (mit der Wahrscheinlichkeit  $q$). Das bedeutet:
+*F&uuml;r die Berechnung von&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; ist zu beachten: &nbsp; Ausgehend von&nbsp; $A$&nbsp; geht man im Markovdiagramm zun&auml;chst zu&nbsp; $B$&nbsp; $($mit der Wahrscheinlichkeit $q)$, dann f&uuml;nfmal im Uhrzeigersinn&nbsp; $($jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p)$&nbsp; und schlie&szlig;lich noch von&nbsp; $R$&nbsp; nach&nbsp; $A$&nbsp; $($mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp;  $q)$.&nbsp; Das bedeutet:
 :$$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.549 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
-In &auml;hnlicher Weise erh&auml;lt man:
+*In &auml;hnlicher Weise erh&auml;lt man:
 :$$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.183 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Die im Punkt '''(3)''' berechnete Wahrscheinlichkeit lautet $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei $q= 1-p$ berücksichtigt ist.
+'''(4)'''&nbsp; Die im Punkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnete Wahrscheinlichkeit lautet&nbsp; $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei&nbsp; $q= 1-p$&nbsp; berücksichtigt ist.
-Durch Nullsetzen des Differentials erh&auml;lt man die Bestimmungsgleichung:
+*Durch Nullsetzen des Differentials erh&auml;lt man die Bestimmungsgleichung:
 :$$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm}  p_{\rm opt} = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$
-Damit ergibt sich ein gegen&uuml;berder Teilaufgabe '''(3)''' etwa um den Faktor $90$ gr&ouml;&szlig;erer Wert:
+*Damit ergibt sich ein gegen&uuml;ber der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; etwa um den Faktor&nbsp; $90$&nbsp; gr&ouml;&szlig;erer Wert:
 :$${\rm Pr}(BARBARA)   \hspace{0.15cm}\underline { \approx 22  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
-[[Datei:P_ID454__Sto_Z_1_7.png|right|frame|BARBARA-Generator]]
+[[Datei:P_ID454__Sto_Z_1_7.png|right|frame|$BARBARA$-Generator]]
-Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen $A$, $B$ und $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann.
+Betrachtet wird hier ein ternärer Zufallsgenerator mit den Symbolen&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $R$, der durch eine homogene und stationäre Markovkette erster Ordnung beschrieben werden kann.
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
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 {Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Die Werte von $p > 0$ und $q < 1$ sind weitgehend frei wählbar.
+- Die Werte von&nbsp; $p > 0$&nbsp; und&nbsp; $q < 1$&nbsp; sind weitgehend frei wählbar.
 + Für die Übergangswahrscheinlichkeiten muss gelten: &nbsp; $p + q = 1$.
 + Alle Symbole haben gleiche ergodische Wahrscheinlichkeiten.
-- Es gilt hier: ${\rm Pr}(A) = 1/2, \; {\rm Pr}(B) = 1/3, \; {\rm Pr}(R) = 1/6$.
+- Es gilt hier:&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 1/2, \; {\rm Pr}(B) = 1/3, \; {\rm Pr}(R) = 1/6$.
-{Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, $p_{\rm B}$ und $p_{\rm C}$, dass im Zeitbereich zwischen $ν+1$ und $ν+7$  die Sequenz $\rm BARBARA$ ausgegeben wird, wenn man sich zum Zeitpunkt $ν$ im Zustand $A$, $B$ bzw. $R$ befindet? Es gelte $p = 1/4$.
+{Wie groß sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$,&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm C}$, dass zu den Zeiten zwischen&nbsp; $ν+1$&nbsp; und&nbsp; $ν+7$&nbsp;  die Sequenz&nbsp; $BARBARA$&nbsp; ausgegeben wird, <br>wenn man sich zum Zeitpunkt&nbsp; $ν$&nbsp; im Zustand&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; bzw.&nbsp; $R$&nbsp; befindet?&nbsp; Es gelte&nbsp; $p = 1/4$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm A} \ = \ $  { 0.549 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
@@ Zeile 30: / Zeile 34: @@
 $p_{\rm C} \ = \ $ { 0.183 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz $BARBARA$ ausgibt?<br>  Es gelte weiter $p = 1/4.$
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz&nbsp; $BARBARA$&nbsp; ausgibt?<br>  Es gelte weiter&nbsp; $p = 1/4.$
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
-{Es gelte weiter $p = 1/4.$ Wie ist der Parameter $p_{\rm opt}$ zu wählen, damit ${\rm Pr}(BARBARA)$ möglichst groß wird?  <br>Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für $BARBARA$?
+{Wie ist der Parameter&nbsp; $p_{\rm opt}$&nbsp; zu wählen, damit&nbsp; ${\rm Pr}(BARBARA)$&nbsp; möglichst groß wird?  <br>Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für&nbsp; $BARBARA$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm opt} \ = \ $  { 0.8333 3% }

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 {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit insgesamt, dass der Generator zu sieben aufeinanderfolgenden Zeitpunkten die Sequenz $BARBARA$ ausgibt?<br>  Es gelte weiter $p = 1/4.$
 |type="{}"}
-$p = 1/4\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
+${\rm Pr}(BARBARA)\ = \ $ { 0.244 3% } $\ \cdot 10^{-3}$
-{Wie ist der Parameter $p_{\rm opt}$ zu wählen, damit ${\rm Pr}(BARBARA)$ möglichst groß wird? Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für $\rm BARBARA$?
+{Es gelte weiter $p = 1/4.$ Wie ist der Parameter $p_{\rm opt}$ zu wählen, damit ${\rm Pr}(BARBARA)$ möglichst groß wird?  <br>Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich damit für $BARBARA$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm opt} \ = \ $  { 0.8333 3% }

@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Summe aller abgehenden Pfeile muss immer 1 sein. Deshalb gilt <i>q</i> = 1 - <i>p</i>. Aufgrund der Symmetrie des Markovdiagramms sind die ergodischen Wahrscheinlichkeiten alle gleich:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
 :$${\rm Pr}(A) ={\rm Pr}(B) ={\rm Pr}(R) = 1/3.$$
-:F&uuml;r die Berechnung von <i>p</i><sub>A</sub> ist zu beachten: Ausgehend von <i>A</i> geht man im Markovdiagramm zun&auml;chst zu <i>B</i> (mit der Wahrscheinlichkeit <i>q</i>), dann f&uuml;nfmal im Uhrzeigersinn (jeweils mit der Wahrscheinlichkeit <i>p</i>) und schlie&szlig;lich noch von <i>R</i> nach <i>A</i> (mit der Wahrscheinlichkeit <i>q</i>). Das bedeutet:0</u>.
-:$$p_{\rm A} = q^2 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 = 3^2 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 5.49 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-4}}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Wenn man zum Zeitpunkt $\nu$ im Zustand $B$ ist, ist für den Zeitpunkt $\nu+1$ wegen ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0$ der Zustand $B$ nicht möglich. Man scheitert hier bereits beim Anfangsbuchstaben $B$:
-:In &auml;hnlicher Weise erh&auml;lt man:
+:$$p_{\rm B} \; \underline{ =0}.$$
-:$$p_{\rm R} = q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^6 = 3 / 4^7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.83 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-4}}.$$
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Durch Mittelung &uuml;ber die bedingten Wahrscheinlichkeiten erh&auml;lt man:
+F&uuml;r die Berechnung von $p_{\rm A}$ ist zu beachten: Ausgehend von $A$ geht man im Markovdiagramm zun&auml;chst zu $B$ (mit der Wahrscheinlichkeit $q$), dann f&uuml;nfmal im Uhrzeigersinn (jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p$) und schlie&szlig;lich noch von $R$ nach $A$ (mit der Wahrscheinlichkeit  $q$). Das bedeutet:
 :$${\rm Pr}(BARBARA) = p_{\rm A}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm B}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}p_{\rm R}  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(R).$$
-:Dies f&uuml;hrt zu dem Ergebnis:
+Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
-:$${\rm Pr}(BARBARA) \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac {1}{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^6  \right)
+:$${\rm Pr}(BARBARA) =  {1}/{3} \cdot \left( q^2 \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}0  \hspace{0.1cm} +\hspace{0.1cm}q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^6  \right)
-  = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q) = \\
+  = \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 }{3} \cdot (p+q)
 = \hspace{-0.15cm} \frac{q \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} p^5 }{3}
-  \hspace{0.15cm}\underline { \approx 2.44  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-4}}.$$
+  \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.244  \hspace{0.05cm}\cdot  \hspace{0.05cm} 10^{-3}}.$$
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Die im Punkt c) berechnete Wahrscheinlichkeit lautet <i>p</i><sup>5</sup> &middot; (1 - <i>p</i>)/3, wobei <i>q</i> = 1 &ndash; <i>p</i> berücksichtigt ist. Durch Nullsetzen des Differentials erh&auml;lt man die Bestimmungsgleichung:
-:$$5 \cdot p^4 - 6 \cdot p^5 = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm}  p = 5/6 \hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.833}.$$
-:Damit ergibt sich ein gegen&uuml;ber c) etwa um den Faktor 90 gr&ouml;&szlig;erer Wert: &nbsp;Pr(<i>BARBARA</i>) <u>&asymp; 0.022</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Die im Punkt (3) berechnete Wahrscheinlichkeit lautet $p^5 \cdot (1-p)/3$, wobei $q= 1-p$ berücksichtigt ist. Durch Nullsetzen des Differentials erh&auml;lt man die Bestimmungsgleichung:
 {{ML-Fuß}}