Aufgaben:Aufgabe 1.7: WDF des Rice–Fadings - Versionsgeschichte

Javier am 7. Juli 2021 um 08:23 Uhr

2021-07-07T08:23:02Z

Javier am 7. Juli 2021 um 08:19 Uhr

2021-07-07T08:19:21Z

Javier am 7. Juli 2021 um 08:19 Uhr

2021-07-07T08:19:01Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:12Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 13. Mai 2020 um 13:05 Uhr

2020-05-13T13:05:48Z

Guenter am 13. Mai 2020 um 12:48 Uhr

2020-05-13T12:48:09Z

Guenter am 7. April 2019 um 09:36 Uhr

2019-04-07T09:36:09Z

Guenter am 7. April 2019 um 09:25 Uhr

2019-04-07T09:25:42Z

Guenter am 7. April 2019 um 09:24 Uhr

2019-04-07T09:24:48Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:18:33Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie einige WDF&ndash;Werte für&nbsp; $|z_0| = 0$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 1$:
+{Berechnen Sie einige WDF&ndash;Werte für&nbsp; $|z_0| = 2$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 1$:
 |type="{}"}
 $f_a(a = 1) \ = \ ${ 0.187 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $|z_0| = 2$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 2$&nbsp; lässt sich die Rice&ndash;WDF wie folgt darstellen
+'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $|z_0| = 2$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; lässt sich die Rice&ndash;WDF wie folgt darstellen
 :$$f_a(a) = a \cdot {\rm e}^{  -({a^2 + 4})/{2}} \cdot {\rm I}_0 (2a)\hspace{0.05cm}.$$

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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie einige WDF&ndash;Werte für&nbsp; $|z_0| = 0$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 2$:
+{Berechnen Sie einige WDF&ndash;Werte für&nbsp; $|z_0| = 0$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 1$:
 |type="{}"}
 $f_a(a = 1) \ = \ ${ 0.187 3% }

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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente| Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
-* Für die numerischen Lösungen zu den letzten Teilaufgaben empfehlen wir das Applets&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Für die numerischen Lösungen zu den letzten Teilaufgaben empfehlen wir das Applets&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit $|z_0| = 2$ und $\sigma = 2$ lässt sich die Rice&ndash;WDF wie folgt darstellen
+'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; $|z_0| = 2$&nbsp; und&nbsp; $\sigma = 2$&nbsp; lässt sich die Rice&ndash;WDF wie folgt darstellen
-:$$f_a(a) = a \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + 4}{2}] \cdot {\rm I}_0 (2a)\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_a(a) = a \cdot {\rm e}^{  -({a^2 + 4})/{2}} \cdot {\rm I}_0 (2a)\hspace{0.05cm}.$$
 *Daraus ergeben sich die gesuchten Werte:
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 '''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_a(a = 1) = 0.187$ erhält man mit der Dreiecksnäherung:
 :$${\rm Pr}(a \le 1) =   {1}/{2} \cdot 0.187 \cdot 1\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 9.4\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieses Ergebnis wird etwas zu groß sein, da die blaue Kurve unterhalb der Verbindungslinie von $(0, 0)$ nach $(1, 0.187)$ liegt &nbsp; &rArr; &nbsp; konvexer Kurvenverlauf.
+*Dieses Ergebnis wird etwas zu groß sein, da die blaue Kurve unterhalb der Verbindungslinie von&nbsp; $(0, 0)$&nbsp; nach&nbsp; $(1, 0.187)$&nbsp; liegt &nbsp; &rArr; &nbsp; konvexer Kurvenverlauf.
-'''(3)'''&nbsp; Für die rote Kurve kann der WDF&ndash;Wert $f_a(a = 1) \approx 0.35$ aus der [[Aufgaben:1.7_WDF_des_Rice%E2%80%93Fadings|Grafik]] auf der Angabenseite abgelesen werden. Daraus folgt:
+'''(3)'''&nbsp; Für die rote Kurve kann der WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_a(a = 1) \approx 0.35$&nbsp; aus der&nbsp; [[Aufgaben:1.7_WDF_des_Rice%E2%80%93Fadings|Grafik]]&nbsp; auf der Angabenseite abgelesen werden.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\rm Pr}(a \le 1) =   \frac{1}{2} \cdot 0.35 \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 17.5\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Wahrscheinlichkeitswert wird etwas zu klein sein, da die rote Kurve im Bereich zwischen $0$ und $1$ konkav verläuft.
+*Dieser Wahrscheinlichkeitswert wird etwas zu klein sein, da die rote Kurve im Bereich zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; konkav verläuft.
-'''(4)'''&nbsp; Die Gaußnäherung besagt, dass man die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $|z_0| = \sqrt{10} = 3.16$ und Streuung $\sigma = 1$ annähern kann, wenn der Quotient $|z_0|/\sigma$ hinreichend groß ist. Dann gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Die Gaußnäherung besagt, dass man die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0| = \sqrt{10} = 3.16$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; annähern kann, wenn der Quotient&nbsp; $|z_0|/\sigma$&nbsp; hinreichend groß ist.&nbsp; Dann gilt:
 :$${\rm Pr}(a \le 1) \approx {\rm Pr}(g \le -2.16) = {\rm Q}(2.16)  \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 1.5\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei bezeichnet $g$ eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert $0$ und der Streuung $\sigma = 1$.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $g$&nbsp; eine gaußverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert Null und der Streuung&nbsp; $\sigma = 1$.
-*Der Zahlenwert wurde mit dem angegebenen interaktiven [[Applets:QFunction|Applet]] ermittelt.
+*Der Zahlenwert wurde mit dem angegebenen interaktiven&nbsp; [[Applets:QFunction|Applet]]&nbsp; ermittelt.
 <i>Anmerkung:</i> &nbsp; Die Gaußnäherung ist hier sicher mit einem gewissen Fehler verbunden:
-*Aus der Grafik erkennt man, dass der Mittelwert der grünen Kurve nicht bei $a = 3.16$ liegt, sondern eher bei $3.31$.
+*Aus der Grafik erkennt man, dass der Mittelwert der grünen Kurve nicht bei&nbsp; $a = 3.16$&nbsp; liegt, sondern eher bei&nbsp; $3.31$.
-*Dann ist die Leistung der Gaußnäherung $(3.31^2 + 1^2 = 12)$ genau so groß wie die der Riceverteilung:
+*Dann ist die Leistung der Gaußnäherung&nbsp; $(3.31^2 + 1^2 = 12)$&nbsp; genau so groß wie die der Riceverteilung:
 :$$|z_0|^2 + 2 \sigma^2= 10 + 2 =12\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Nach gleichem Rechenweg ersetzt man hier die Rice&ndash;WDF durch eine Gauß&ndash;WDF mit Mittelwert $\sqrt{20} \approx 4.47$ und Streuung $\sigma = 1$ und man erhält
 :$${\rm Pr}(a \le 1) \approx {\rm Pr}(g \le -3.37) = {\rm Q}(3.37)  { \approx 0.04\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
-*Geht man von der leistungsgleichen Gaußverteilung aus (siehe Anmerkung zur letzten Teilaufgabe), so ergibt sich der Mittelwert zu $m_g = \sqrt{21}\approx 4.58$, und die Wahrscheinlichkeit wäre dann
+*Geht man von der leistungsgleichen Gaußverteilung aus&nbsp; (siehe Anmerkung zur letzten Teilaufgabe), so ergibt sich der Mittelwert zu&nbsp; $m_g = \sqrt{21}\approx 4.58$, und die Wahrscheinlichkeit wäre dann
 :$${\rm Pr}(a \le 1) \approx  {\rm Q}(3.58)  \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.02\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2133__Mob_A_1_7.png|right|frame| Rice-Fading für verschiedene Werte von&nbsp; $|z_0|^2$]]
-Wie aus der Grafik zu ersehen, betrachten wir das gleiche Szenario wie in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.6:_AKF_und_LDS_bei_Rice–Fading| Aufgabe 1.6]]:
+Wie bereits aus der Grafik zu ersehen ist, betrachten wir das gleiche Szenario wie in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.6:_AKF_und_LDS_bei_Rice–Fading| Aufgabe 1.6]]:
-* <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$&nbsp; der Gaußprozesse und dem Parameter&nbsp; $|z_0|$&nbsp; für den Direktpfad.
+* Rice&ndash;Fading mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 1$&nbsp; der Gaußprozesse und dem Parameter&nbsp; $|z_0|$&nbsp; für den Direktpfad.
 * Hinsichtlich Direktpfad interessieren wir uns für die Parameterwerte&nbsp; $|z_0|^2 = 0, \ 2, \  4, \ 10, \ 20$&nbsp; (siehe Grafik).
 * Die WDF des Betrags&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; lautet:
-:$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_a(a) ={a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{  -{(a^2+ |z_0|^2) }/({2\sigma^2})}\cdot {\rm I}_0 \left [ {a \cdot |z_0|}/{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
 * Die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung liefert beispielsweise folgende Werte:
 :$${\rm I }_0 (2)  = 2.28\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (4)  = 11.30\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (3)  = 67.23
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 :$${\rm E}\left [ a^2 \right ] = {\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2
     \hspace{0.05cm}.$$
-* Mit&nbsp; $z_0 = 0$&nbsp; wird aus dem <i>Rice&ndash;Fading</i>&nbsp; das kritischere <i>Rayleigh&ndash;Fading</i>. In diesem Fall gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $a$&nbsp; im gelb hintergelegten Bereich zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; liegt:
+* Mit&nbsp; $z_0 = 0$&nbsp; wird aus dem Rice&ndash;Fading das kritischere Rayleigh&ndash;Fading.&nbsp; In diesem Fall gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $a$&nbsp; im gelb hintergelegten Bereich zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; liegt:
 :$$ {\rm Pr}(a \le 1) =   1 - {\rm e}^{-0.5/\sigma^2}  \approx 0.4
   \hspace{0.05cm}.$$
 In dieser Aufgabe soll die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$&nbsp; für &nbsp;$|z_0| &ne; 0$&nbsp; angenähert werden. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich:
-* die <i>Dreiecksnäherung</i>:
+* die <u>Dreiecksnäherung</u>:
 :$${\rm Pr}(a \le 1) =   {1}/{2} \cdot f_a(a=1)
   \hspace{0.05cm}.$$
-* die <i>Gaußnäherung</i>: &nbsp; Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$, so kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.
+* die <u>Gaußnäherung</u>:  <br> &nbsp; &nbsp; Ist&nbsp; $|z_0| \gg \sigma$, so kann die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert&nbsp; $|z_0|$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; angenähert werden.
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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente| Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
-* Für die numerischen Lösungen zu den letzten Teilaufgaben empfehlen wir das InteraktionsmodulApplets&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Für die numerischen Lösungen zu den letzten Teilaufgaben empfehlen wir das Applets&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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 $f_a(a = 3) \ = \ ${ 0.303 3% }
-{Es sei&nbsp; $|z_0| = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_0|^2 = 4$&nbsp; ('''blaue Kurve'''). Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$? Verwenden Sie die&nbsp; '''Dreiecksnäherung'''.
+{Es sei&nbsp; $|z_0| = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_0|^2 = 4$&nbsp; ('''blaue Kurve''').&nbsp; Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$?&nbsp; Verwenden Sie die&nbsp; '''Dreiecksnäherung'''.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a &#8804; 1)\ = \ ${ 9.4 3% } $\ \%$
-{Es sei&nbsp; $|z_0|^2 = 2$&nbsp; ('''rote Kurve'''). Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$? Verwenden Sie die &nbsp;'''Dreiecksnäherung'''.
+{Es sei&nbsp; $|z_0|^2 = 2$&nbsp; ('''rote Kurve''').&nbsp; Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$?&nbsp; Verwenden Sie die &nbsp;'''Dreiecksnäherung'''.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a &#8804; 1) \ = \ ${ 17.5 3% } $\ \%$
-{Es sei&nbsp; $|z_0|^2 = 10$&nbsp; ('''grüne Kurve'''). Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$? Verwenden Sie die&nbsp; '''Gaußnäherung'''.
+{Es sei&nbsp; $|z_0|^2 = 10$&nbsp; ('''grüne Kurve''').&nbsp; Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$?&nbsp; Verwenden Sie die&nbsp; '''Gaußnäherung'''.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a &#8804; 1) \ = \ ${ 1.5 3% } $\ \%$
-{Es sei&nbsp; $|z_0|^2 = 20$&nbsp; ('''violette Kurve'''). Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$? Verwenden Sie die &nbsp;'''Gaußnäherung'''.
+{Es sei&nbsp; $|z_0|^2 = 20$&nbsp; ('''violette Kurve''').&nbsp; Wie groß ist&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8804; 1)$?&nbsp; Verwenden Sie die &nbsp;'''Gaußnäherung'''.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(a &#8804; 1) \ = \ ${ 0.02 3% } $\ \%$

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente| Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
 * Für die numerischen Lösungen zu den letzten Teilaufgaben empfehlen wir das Interaktionsmodul: [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.