Aufgaben:Aufgabe 1.7: Ternäre Markovkette - Versionsgeschichte

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Nabil: /* Musterlösung */

2016-08-31T11:41:32Z

Musterlösung

@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 :$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
 :$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
-Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
+*Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
 :$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4  \\ 0 & 1/4 & 3/4  \end{array} \right] .$$
-'''(2)'''&nbsp; Wegen ${\rm Pr}(B_0) = 1$ und $p_\text{BB}  = 0$ kann zum Zeitpunkt $\nu = 1$ das Ereignis $B$ nicht auftreten und das Ereignis $A$ ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis $C$:
 :$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.
 '''(3)'''&nbsp; F&uuml;r den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt $\nu = 2$ gilt:
 :$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4&  0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16  \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
-Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.
+*Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.
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 :$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
 :Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.333}$.
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das hei&szlig;t: &nbsp; die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix.&nbsp; Da die Summe jeder Spalte gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist&nbsp; $($das hei&szlig;t: &nbsp; die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1)$, ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.
-*Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
+*Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen.&nbsp; Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen&nbsp; (nur zu anderen Ereignissen)&nbsp; mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png|right|frame|Ternäre Markovkette]]
-Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$:
+Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen&nbsp; $A$,&nbsp; $B$&nbsp; und&nbsp; $C$:
 *Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.
-*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:
+*Ein Übergang von&nbsp; $A$&nbsp; nach&nbsp; $C$&nbsp; und umgekehrt ist somit nicht möglich:
 :$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$
-Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ sind wie folgt gegeben:
+Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt&nbsp; $\nu = 0$&nbsp; sind wie folgt gegeben:
 :$${\rm Pr}(A_0) = 0,$$
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 :$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.
+*Insbesondere wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung|Matrix-Vektordarstellung]]&nbsp; Bezug genommen.
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.
+{Geben Sie die Übergangsmatrix&nbsp; ${\mathbf{P}}$&nbsp; und die Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_\text{AA}$,&nbsp; $p_\text{BB}$&nbsp; und&nbsp; $p_\text{CC}$ an.
 |type="{}"}
 $p_\text{AA} \ = \ $ { 0.25 3% }
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 $p_\text{CC} \ = \ $ { 0.75 3% }
-{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$, insbesondere
+{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 1$, insbesondere
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_1) \ = \ $ { 0.75 3% }
-{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$, insbesondere
+{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 2$, insbesondere
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_2) \ =  \ ${ 0.1875 3% }
-{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
+{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen&nbsp; $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(A)$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.333 3% }

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 :$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4&  0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16  \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
 Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.
 '''(4)'''&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene M&ouml;glichkeiten angegeben werden.
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 :$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
 :Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.333}$.
-*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das hei&szlig;t: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das hei&szlig;t: &nbsp; die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.
 *Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.

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 }}
-[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png|right|Ternäre Markovkette]]
+[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png|right|frame|Ternäre Markovkette]]
-Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$
+Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$:
 *Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.
 *Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 :$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$
 ''Hinweise:''
@@ Zeile 29: / Zeile 33: @@
 {Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.
 |type="{}"}
-$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }
+$p_\text{AA} \ = \ $ { 0.25 3% }
-$p_\text{BB} \ = $ { 0. }
+$p_\text{BB} \ = \ $ { 0. }
-$p_\text{CC} \ = $ { 0.75 3% }
+$p_\text{CC} \ = \ $ { 0.75 3% }
-{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$.
+{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$, insbesondere
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A_1) \ = $ { 0.75 3% }
+${\rm Pr}(A_1) \ = \ $ { 0.75 3% }
-{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$.
+{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$, insbesondere
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A_2) \ = ${ 0.1875 3% }
+${\rm Pr}(A_2) \ =  \ ${ 0.1875 3% }
-{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
+{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A) \ =$ { 0.333 3% }
+${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.333 3% }

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
 *Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Allgemein bzw. in diesem Sonderfall muss gelten:
+'''(1)'''&nbsp; Allgemein bzw. in diesem Sonderfall muss gelten:
 :$$p_{\rm AA} = 1 - p_{\rm AB} - p_{\rm AC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm AA} = 1 - 0.75 -0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25},$$
 :$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
 :$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
-:Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
+Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
 :$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4  \\ 0 & 1/4 & 3/4  \end{array} \right] .$$
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Wegen Pr(<i>B</i><sub>0</sub>) = 1 und <i>p</i><sub>BB</sub> = 0 kann zum Zeitpunkt <i>&nu;</i> = 1 das Ereignis <i>B</i> nicht auftreten und das Ereignis <i>A</i> ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis <i>C</i>:
-:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 3/4}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 1/4.$$
-:Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.
+'''(2)'''&nbsp; Wegen ${\rm Pr}(B_0) = 1$ und $p_\text{BB}  = 0$ kann zum Zeitpunkt $\nu = 1$ das Ereignis $B$ nicht auftreten und das Ereignis $A$ ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis $C$:
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt <i>&nu;</i> = 2 gilt:
+:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
 :$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4&  0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16  \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
-:Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit <u>Pr(<i>A</i><sub>2</sub>) = 3/16 = 0.1875</u>.
+Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene M&ouml;glichkeiten angegeben werden. Zum einen das L&ouml;sen eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten:
 :$${\rm Pr}(A) = 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B),$$
 :$${\rm Pr}(B) = 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A)  \hspace{2.8cm} + \hspace{0.1cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C),$$
 :$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
-:Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man Pr(<i>B</i>) = Pr(<i>A</i>), aus der letzten Pr(<i>C</i>) = Pr(A). Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, folgt <u>Pr(<i>A</i>) = Pr(<i>B</i>) = Pr(<i>C</i>) = 1/3</u>.
+:Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.333}$.
-:Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich 1 ist (das hei&szlig;t: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls 1), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das hei&szlig;t: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.
-:Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
 {{ML-Fuß}}