Aufgaben:Aufgabe 1.7: Ternäre Markovkette - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:35:05Z

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.4 Markovketten		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.4 Markovketten
	^]]		^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.7:_Ternary_Markov_Chain]]

Guenter am 12. November 2019 um 13:12 Uhr

2019-11-12T13:12:41Z

Guenter am 12. November 2019 um 13:04 Uhr

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	[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png\|right\|frame\|Ternäre Markovkette]]		[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png\|right\|frame\|Ternäre Markovkette]]
	Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$:		Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen  $A$,  $B$  und  $C$:
	*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.		*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.
	*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:		*Ein Übergang von  $A$  nach  $C$  und umgekehrt ist somit nicht möglich:

	:$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$		:$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$

	Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ sind wie folgt gegeben:		Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt  $\nu = 0$  sind wie folgt gegeben:

	:$${\rm Pr}(A_0) = 0,$$		:$${\rm Pr}(A_0) = 0,$$
Zeile 17:		Zeile 17:

	:$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$		:$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$




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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].
	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung\|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung\|Matrix-Vektordarstellung]]  Bezug genommen.


Zeile 31:		Zeile 33:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.		{Geben Sie die Übergangsmatrix  ${\mathbf{P}}$  und die Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_\text{AA}$,  $p_\text{BB}$  und  $p_\text{CC}$ an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{AA} \ = \ $ { 0.25 3% }		$p_\text{AA} \ = \ $ { 0.25 3% }
Zeile 37:		Zeile 39:
	$p_\text{CC} \ = \ $ { 0.75 3% }		$p_\text{CC} \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$, insbesondere		{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $\nu = 1$, insbesondere
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_1) \ = \ $ { 0.75 3% }		${\rm Pr}(A_1) \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$, insbesondere		{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $\nu = 2$, insbesondere
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_2) \ = \ ${ 0.1875 3% }		${\rm Pr}(A_2) \ = \ ${ 0.1875 3% }

	{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?		{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen  $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(A)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.333 3% }		${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.333 3% }

Guenter am 1. August 2018 um 15:33 Uhr

2018-08-01T15:33:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. August 2018, 17:33 Uhr
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	:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$		:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
	Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1875}$.		Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1875}$.


	'''(4)'''  Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene Möglichkeiten angegeben werden.		'''(4)'''  Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene Möglichkeiten angegeben werden.
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	:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$		:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
	:Aus der ersten Gleichung erhält man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.333}$.		:Aus der ersten Gleichung erhält man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.333}$.
	*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das heißt: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.		*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das heißt:   die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.

	*Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.		*Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.

Guenter am 1. August 2018 um 15:27 Uhr

2018-08-01T15:27:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. August 2018, 17:27 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png\|right\|Ternäre Markovkette]]		[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png\|right\|frame\|Ternäre Markovkette]]
	Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$		Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$:
	*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.		*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.
	*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:		*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:
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	:$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$		:$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
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	{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.		{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }		$p_\text{AA} \ = \ $ { 0.25 3% }
	$p_\text{BB} \ = $ { 0. }		$p_\text{BB} \ = \ $ { 0. }
	$p_\text{CC} \ = $ { 0.75 3% }		$p_\text{CC} \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$.		{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$, insbesondere
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_1) \ = $ { 0.75 3% }		${\rm Pr}(A_1) \ = \ $ { 0.75 3% }

	{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$.		{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$, insbesondere
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_2) \ = ${ 0.1875 3% }		${\rm Pr}(A_2) \ = \ ${ 0.1875 3% }

	{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?		{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A) \ =$ { 0.333 3% }		${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.333 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:40Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].
	*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung\|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.		*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung\|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-03T13:28:36Z

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(kein Unterschied)

Guenter am 23. Februar 2017 um 16:13 Uhr

2017-02-23T16:13:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2017, 18:13 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	~~:<b>~~1~~.</b> ~~ Allgemein bzw. in diesem Sonderfall muss gelten:		'''(1)'''  Allgemein bzw. in diesem Sonderfall muss gelten:
	:$$p_{\rm AA} = 1 - p_{\rm AB} - p_{\rm AC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm AA} = 1 - 0.75 -0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25},$$		:$$p_{\rm AA} = 1 - p_{\rm AB} - p_{\rm AC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm AA} = 1 - 0.75 -0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25},$$
	:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$		:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
	:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$		:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
	:Damit lautet die Übergangsmatrix:		Damit lautet die Übergangsmatrix:
	:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1/4 & 3/4 \end{array} \right] .$$		:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1/4 & 3/4 \end{array} \right] .$$
	~~:<b>~~2~~.</b> ~~ Wegen Pr(~~<i>B</i><sub>0</sub>~~) = 1 und ~~<i>p</i><sub>~~BB~~</sub>~~ = 0 kann zum Zeitpunkt ~~<i>&~~nu~~;</i>~~ = 1 das Ereignis ~~<i>~~B~~</i>~~ nicht auftreten und das Ereignis ~~<i>~~A~~</i>~~ ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis ~~<i>~~C~~</i>~~:
	:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = ~~3/4~~}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = ~~1/4~~.$$
	:Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.		'''(2)'''  Wegen ${\rm Pr}(B_0) = 1$ und $p_\text{BB} = 0$ kann zum Zeitpunkt $\nu = 1$ das Ereignis $B$ nicht auftreten und das Ereignis $A$ ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis $C$:
	~~:<b>~~3~~.</b> ~~ Für den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt ~~<i>&~~nu~~;</i>~~ = 2 gilt:		:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
			Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.


			'''(3)'''  Für den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt $\nu = 2$ gilt:
	:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$		:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
	:Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ~~<u>~~Pr(~~<i>A</i><sub>2</sub>~~) = 3/16 = 0.1875~~</u>~~.		Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1875}$.
	~~:<b>~~4~~.</b> ~~ Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene Möglichkeiten angegeben werden. Zum einen das Lösen eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten:
			'''(4)'''  Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene Möglichkeiten angegeben werden.
			*Zum einen das Lösen eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten:
	:$${\rm Pr}(A) = 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B),$$		:$${\rm Pr}(A) = 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B),$$
	:$${\rm Pr}(B) = 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{2.8cm} + \hspace{0.1cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C),$$		:$${\rm Pr}(B) = 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{2.8cm} + \hspace{0.1cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C),$$
	:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$		:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
	:Aus der ersten Gleichung erhält man Pr(~~<i>~~B~~</i>~~) = Pr(~~<i>~~A~~</i>~~), aus der letzten Pr(~~<i>~~C~~</i>~~) = Pr(A). Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist, folgt ~~<u>~~Pr(~~<i>~~A~~</i>~~) = Pr(~~<i>~~B~~</i>~~) = Pr(~~<i>~~C~~</i>~~) = 1/3~~</u>~~.		:Aus der ersten Gleichung erhält man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.333}$.
	:Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich 1 ist (das heißt: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls 1), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.		*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das heißt: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.
	:Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
			*Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 23. Februar 2017 um 15:58 Uhr

2017-02-23T15:58:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2017, 17:58 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }		$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }
	$p_\text{BB} \ = $ { 0 3% }		$p_\text{BB} \ = $ { 0. }
	$p_\text{CC} \ = $ { 0.75 3% }		$p_\text{CC} \ = $ { 0.75 3% }

Guenter am 23. Februar 2017 um 15:56 Uhr

2017-02-23T15:56:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Februar 2017, 17:56 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png\|right\|]]		[[Datei:P_ID453__Sto_A_1_7.png\|right\|Ternäre Markovkette]]
	Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A, B, C$. Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen. Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:		Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$
			*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.
			*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:

	$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0 $ .		:$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$

	Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $ν = 0$ sind wie folgt gegeben:		Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ sind wie folgt gegeben:

	$Pr(A_0) = 0,$		:$${\rm Pr}(A_0) = 0,$$

	$Pr(B_0) = 1,$		:$${\rm Pr}(B_0) = 1,$$

	$Pr(C_0) = 0.$		:$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$

			''Hinweise:''
	'''~~Hinweis~~'~~'':~~ Die Aufgabe ~~bezieht sich~~ auf ~~den Abschnitt~~ Matrix-Vektordarstellung ~~im Kapitel 1~~.4		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].
			*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung\|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.
			*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.


	===Fragebogen===		===Fragebogen===

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie die Übergangsmatrix P und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.		{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_\text{AA}$ = { 0.25 3% }		$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }
	$P_\text{BB}$ = { 0 3% }		$p_\text{BB} \ = $ { 0 3% }
	$P_\text{CC}$ = { 0.75 3% }		$p_\text{CC} \ = $ { 0.75 3% }

	{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν = 1$.		{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$Pr(A_1)$ = { 0.75 3% }		${\rm Pr}(A_1) \ = $ { 0.75 3% }

	{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $ν = 2$.		{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$Pr(A_2)$ = { 0.1875 3% }		${\rm Pr}(A_2) \ = ${ 0.1875 3% }

	{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere $Pr(A)$?		{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$Pr(A)$ = { 0.333 3% }		${\rm Pr}(A) \ =$ { 0.333 3% }

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	:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$		:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
	:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$		:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
	Damit lautet die Übergangsmatrix:		*Damit lautet die Übergangsmatrix:
	:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1/4 & 3/4 \end{array} \right] .$$		:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1/4 & 3/4 \end{array} \right] .$$


	'''(2)'''  Wegen ${\rm Pr}(B_0) = 1$ und $p_\text{BB} = 0$ kann zum Zeitpunkt $\nu = 1$ das Ereignis $B$ nicht auftreten und ~~das Ereignis~~ $A$ ist sehr viel wahrscheinlicher als ~~das Ereignis~~ $C$:
			'''(2)'''  Wegen  ${\rm Pr}(B_0) = 1$  und  $p_\text{BB} = 0$  kann zum Zeitpunkt  $\nu = 1$  das Ereignis  $B$  nicht auftreten und  $A$  ist sehr viel wahrscheinlicher als  $C$:
	:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$		:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
	Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.		*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.


	'''(3)'''  Für den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt $\nu = 2$ gilt:
			'''(3)'''  Für den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt  $\nu = 2$  gilt:
	:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$		:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
	Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1875}$.		*Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1875}$.



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	:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$		:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
	:Aus der ersten Gleichung erhält man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.333}$.		:Aus der ersten Gleichung erhält man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.333}$.
	*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das heißt:   die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.		*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix.  Da die Summe jeder Spalte gleich  $1$  ist  $($das heißt:   die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1)$, ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.

	*Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.		*Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können.  Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen  (nur zu anderen Ereignissen)  mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
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