Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass - Versionsgeschichte

Guenter am 9. September 2021 um 16:43 Uhr

2021-09-09T16:43:04Z

Guenter am 24. Oktober 2019 um 15:00 Uhr

2019-10-24T15:00:19Z

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2019-10-24T14:53:24Z

Guenter am 6. November 2018 um 10:32 Uhr

2018-11-06T10:32:55Z

Guenter am 6. November 2018 um 10:26 Uhr

2018-11-06T10:26:16Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:40Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Februar 2018 um 15:36 Uhr

2018-02-16T15:36:18Z

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2018-01-03T13:13:20Z

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2017-01-30T10:02:16Z

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−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 ~~Einige systemtheoretische~~ Tiefpassfunktionen^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich &nbsp;$h(t = τ) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die äquivalente Bandbreite&nbsp; $Δf$&nbsp; ist gleich &nbsp;$h(t = τ) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$.
 *Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer &nbsp;$Δt = 125 \ \rm ns$.
-*Auch die Phasenlaufzeit $τ \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
+*Auch die Phasenlaufzeit&nbsp; $τ \hspace{0.15cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$&nbsp; kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
 '''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude
 :$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$
-*Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um \hspace{0.05cm}$3π$:
+*Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um &nbsp;$3π$:
 :$$ y(t) =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0  t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0  t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0  t ).$$
 *Der gesuchte Wert ist somit &nbsp;$y(t = 0) \hspace{0.05cm} \rm  \underline{= \ –0.171 \ V}$.
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 *Mit &nbsp;$h(t = τ) = Δf$ erhält man so:
 :$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$
 '''(4)'''&nbsp; Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:
-:$$\sigma_{\rm GTP}(t) =  \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t  } {{\rm e}^{-\pi \left({t'}/{\Delta t}\right)^2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$
+:$$\sigma_{\rm GTP}(t) =  \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t  } {{\rm e}^{-\pi \left({t\hspace{0.05cm}'}/{\Delta t}\right)^2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$
-Nach der Substitution $u =  t' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$ ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral $ϕ(x)$:
+*Nach der Substitution&nbsp; $u =  t\hspace{0.05cm}' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$&nbsp; ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral&nbsp; $ϕ(x)$:
 :$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t  } { {\rm e}^{-u^2/2} }  \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),\hspace{1cm}
 {\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot
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 :$$\sigma(t = {250\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = 0)  =\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}.$$
-*Entsprechend erhält man für $t = τ = 300 \ \rm ns$:
+*Entsprechend erhält man für&nbsp; $t = τ = 300 \ \rm ns$:
 :$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns})  = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$

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-können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.
+können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; entnommen werden.
-*Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t < 0$ nicht vollkommen verschwindet.
+*Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der (kausalen) Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; auch für&nbsp; $t < 0$&nbsp; nicht vollkommen verschwindet.
-*In der Teilaufgabe '''(3)''' wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
 :$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<
   \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$
 In Worten: &nbsp; Der maximale relative Fehler &nbsp;$ε_{\rm max}$&nbsp; ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert &nbsp;$h(t = τ)$&nbsp; der Impulsantwort.
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-{Es gelte &nbsp;$x(t) = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$? <br>Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit &nbsp;$t = 0$?
+{Es gelte &nbsp;$x(t) = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$.&nbsp; Wie lautet das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$? &nbsp;Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $y(t = 0) \ = \ $ { -0.175--0.165  } $\ \rm V$
-{Eigentlich sollte bei Kausalität &nbsp;$h(t < 0) = 0$&nbsp; gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; des betrachteten Modells? <br>Definition von &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite.
+{Eigentlich sollte bei Kausalität &nbsp;$h(t < 0) = 0$&nbsp; gelten.&nbsp; Wie groß ist der maximale relative Fehler &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; des betrachteten Modells? <br>Definition von &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite.
 |type="{}"}
 $\varepsilon_{\rm max} \ = \ $ { 3.49 5%  } $\ \cdot 10^{-6}$
-{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort &nbsp;$σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 250 \hspace{0.05cm} \rm ns$ &nbsp;und&nbsp; $t = 300 \hspace{0.05cm} \rm ns$?
+{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort &nbsp;$σ(t)$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $t = 250 \hspace{0.05cm} \rm ns$ &nbsp;und&nbsp; $t = 300 \hspace{0.05cm} \rm ns$?
 |type="{}"}
 $σ(t = 250\hspace{0.05cm}  \rm ns)\ = \ $ { 0.5 5%  }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich &nbsp;$h(t = τ) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$.
-*Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 125 \ \rm ns$.
+*Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer &nbsp;$Δt = 125 \ \rm ns$.
-*Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
+*Auch die Phasenlaufzeit $τ \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
 '''(2)'''&nbsp; Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude
 :$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$
-Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:
+*Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um \hspace{0.05cm}$3π$:
 :$$ y(t) =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0  t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) =  A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0  t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi   f_0  t ).$$
-Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm  \underline{= \ –0.171 \ V}$.
+*Der gesuchte Wert ist somit &nbsp;$y(t = 0) \hspace{0.05cm} \rm  \underline{= \ –0.171 \ V}$.
 '''(3)'''&nbsp; Die Impulsantwort lautet:
 :$$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$
-Da $h(t)$ im Bereich $t < 0$ stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei $t = 0$ auf:
+*Da &nbsp;$h(t)$&nbsp; im Bereich &nbsp;$t < 0$&nbsp; stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei &nbsp;$t = 0$&nbsp; auf:
 :$$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi}  .$$
-Mit $h(t = τ) = Δf$ erhält man so:
+*Mit &nbsp;$h(t = τ) = Δf$ erhält man so:
 :$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$
-'''(4)'''&nbsp; Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit $τ$ des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:
+'''(4)'''&nbsp; Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:
 :$$\sigma_{\rm GTP}(t) =  \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t  } {{\rm e}^{-\pi \left({t'}/{\Delta t}\right)^2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$
 Nach der Substitution $u =  t' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$ ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral $ϕ(x)$:
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 {\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot
   \int_{ -\infty }^{ x  } {{\rm e}^{-u^2/2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
-Unter Berücksichtigung der Laufzeit $τ$ erhält man somit für die gesamte Sprungantwort:
+*Unter Berücksichtigung der Laufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; erhält man somit für die gesamte Sprungantwort:
 :$$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau)  = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$
-Der Wert bei $t = τ = 250 \ \rm ns$ ist
+*Der Wert bei &nbsp;$t = τ = 250 \ \rm ns$&nbsp; ist
 :$$\sigma(t = {250\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = 0)  =\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}.$$
-Entsprechend erhält man für $t = τ = 300 \ \rm ns$:
+*Entsprechend erhält man für $t = τ = 300 \ \rm ns$:
 :$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns})  = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$

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 [[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|frame|Impulsantwort eines nahezu kausalen Gaußtiefpasses]]
-Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:
+Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit &nbsp;$τ$&nbsp; berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:
-:$$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm
+:$$H(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm
-  j}2\pi f \tau}.$$
+  j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \tau}.$$
 Die beiden Systemparameter,
-*die äquivalente Impulsdauer $Δt = 1/Δf$ und
+*die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt = 1/Δf$&nbsp; und
-*die Verzögerungszeit $τ$
+*die Verzögerungszeit &nbsp;$τ$,
 können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.
-Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t < 0$ nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe (3) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
+*Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t < 0$ nicht vollkommen verschwindet.
 :$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}<
   \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$
-In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.
+In Worten: &nbsp; Der maximale relative Fehler &nbsp;$ε_{\rm max}$&nbsp; ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert &nbsp;$h(t = τ)$&nbsp; der Impulsantwort.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-[[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png |right|frame|Einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktion]]
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]].
 *Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:
 :$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot
   \int_{ -\infty }^{ x  } {{\rm e}^{-u^2/2}}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite $\Delta f $ und die Laufzeit $\tau $?
+{Wie groß sind die äquivalente Bandbreite &nbsp;$\Delta f $&nbsp; und die Laufzeit &nbsp;$\tau $?
 |type="{}"}
 $\Delta f \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm MHz$
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-{Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t = 0$?
+{Es gelte &nbsp;$x(t) = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$? <br>Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $y(t = 0) \ = \ $ { -0.175--0.165  } $\ \rm V$
-{Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) = 0$ gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler $\varepsilon_{\rm max}$ des betrachteten Modells? <br>Definition von $\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite.
+{Eigentlich sollte bei Kausalität &nbsp;$h(t < 0) = 0$&nbsp; gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$&nbsp; des betrachteten Modells? <br>Definition von &nbsp;$\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite.
 |type="{}"}
 $\varepsilon_{\rm max} \ = \ $ { 3.49 5%  } $\ \cdot 10^{-6}$
-{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 250 \ \rm ns$ und $t = 300 \ \rm ns$?
+{Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort &nbsp;$σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 250 \hspace{0.05cm} \rm ns$ &nbsp;und&nbsp; $t = 300 \hspace{0.05cm} \rm ns$?
 |type="{}"}
-$σ(t = 250\  \rm ns)\ = \ $ { 0.5 5%  }
+$σ(t = 250\hspace{0.05cm}  \rm ns)\ = \ $ { 0.5 5%  }
-$σ(t = 300\  \rm ns) \ = \ $ { 0.841 5%  }
+$σ(t = 300\hspace{0.05cm}  \rm ns) \ = \ $ { 0.841 5%  }
 </quiz>