Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Zwei Optimalsysteme - Versionsgeschichte

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   \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t  =
   s_0^2 \cdot T =  {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
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-'''(4)'''&nbsp; Beim System&nbsp; $\rm B$&nbsp; stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
+'''(4)'''&nbsp; Beim System&nbsp; $\rm B$&nbsp; stimmt&nbsp; $G_{d}(f)$&nbsp; mit&nbsp; $G_{s}(f)$&nbsp; nahezu überein.
-*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
+*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied,&nbsp; der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
-*Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
+*Während&nbsp; $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$&nbsp; gilt,&nbsp; ist&nbsp; $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
-*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$.
+*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor&nbsp; $r = 0$.
-*Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm &micro; s$ sein soll:
+*Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung,&nbsp; dass die Symboldauer ebenfalls&nbsp; $T = 0.5\ \rm &micro; s$&nbsp; sein soll:
 :$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-−
 '''(5)'''&nbsp; Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
 :$$E_{\rm B} =
   \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f  = G_0^2
   \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' folgt daraus:
+*Mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; folgt daraus:
 :$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
   Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}
@@ Zeile 101: / Zeile 99: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
+'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+*Das System&nbsp; $\rm A$&nbsp; stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.
-*Das System '''A''' stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.
+*Dagegen wäre das System&nbsp; $\rm B$&nbsp; aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet.
 {{ML-Fuß}}

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.
-*Der NRZ–Sendegrundimpuls von System '''A''' hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm &micro; s$.
+*Der NRZ–Sendegrundimpuls von System&nbsp; $\rm A$&nbsp; hat die Symboldauer&nbsp; $T = 0.5\ \rm &micro; s$.
-*Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
+*Daraus ergibt sich für die Bitrate&nbsp; $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
-'''(2)'''&nbsp; Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System '''A''' ergibt sich zu
+'''(2)'''&nbsp; Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System&nbsp; $\rm A$&nbsp;ergibt sich zu
 :$$E_{\rm B} =
   \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t  =
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
-'''(3)'''&nbsp; Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
-*In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
+*In beiden Fällen muss&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $g_{s}(t)$&nbsp; und&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; formgleich mit&nbsp; $G_{s}(f)$&nbsp; sein.
-*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
+*Somit ergibt sich beim System&nbsp; $\rm A$&nbsp; eine rechteckförmige Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
-*Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
+*Beim System&nbsp; $\rm B$&nbsp;ist&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; wie&nbsp; $G_{s}(f)$&nbsp; rechteckförmig und damit die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm E}(t)$&nbsp; eine si–Funktion.
-*Aussage 3 ist falsch: &nbsp;  Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System&nbsp; $\rm A$&nbsp; anbieten, nicht jedoch für System&nbsp; $\rm B$.
+*Aussage 3 ist falsch: &nbsp;  Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System&nbsp; $\rm A$&nbsp; anbieten,&nbsp; nicht jedoch für System&nbsp; $\rm B$.
-'''(4)'''&nbsp; Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
+'''(4)'''&nbsp; Beim System&nbsp; $\rm B$&nbsp; stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
 *Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
 *Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
-[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimalsysteme im <br>Zeit- und Frequenzbereich]]
+[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich]]
-Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$&nbsp;, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_{0}$&nbsp; das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
+Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$,&nbsp; die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_{0}$&nbsp; das gleiche Fehlerverhalten aufweisen.&nbsp; In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
 *Das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls &nbsp;$g_{s}(t)$&nbsp; gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude &nbsp;$s_{0} = 1 \ \rm V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$T = 0.5\ \rm &micro; s$.
-*Dagegen besitzt das System &nbsp;$\rm B$&nbsp;, das mit der gleichen Bitrate wie das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
 :$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} G_0   \\
 \\  \end{array} \right.\quad
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|"Optimierung der Basisbandübertragungssysteme"]].
-*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$&nbsp; aufweist.
+*Beachten Sie bitte,&nbsp; dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist,&nbsp; so dass die mittlere Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$&nbsp; aufweist.
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 $f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$
-{Wie groß ist die konstante Höhe &nbsp;$G_{0}$&nbsp; des Spektrums von &nbsp;$\rm B$&nbsp; zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System &nbsp;$\rm A$?
+{Wie groß ist die konstante Höhe &nbsp;$G_{0}$&nbsp; des Spektrums von &nbsp;$\rm B$&nbsp; zu wählen,&nbsp; damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System &nbsp;$\rm A$?
 |type="{}"}
 $G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$
-{Wäre eines der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?
+{Welches der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?
 |type="[]"}
 +System &nbsp;$\rm A$,
@@ Zeile 80: / Zeile 79: @@
 *Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
 *Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
-*Aussage 3 ist falsch: &nbsp;  Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.
+*Aussage 3 ist falsch: &nbsp;  Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System&nbsp; $\rm A$&nbsp; anbieten, nicht jedoch für System&nbsp; $\rm B$.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate. Der NRZ–Sendegrundimpuls von System '''A''' hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm \mu s$. Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.
+'''(1)'''&nbsp; Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.
 '''(2)'''&nbsp; Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System '''A''' ergibt sich zu
@@ Zeile 71: / Zeile 74: @@
   \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t  =
   s_0^2 \cdot T =  {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
 *In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
-*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. *Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
+*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
-*Die letzte Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckförmige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.
+*Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
-'''(4)'''&nbsp; Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.
+'''(4)'''&nbsp; Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
-Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm \mu s$ sein soll:
+*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$.
 :$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-−
 '''(5)'''&nbsp; Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
 :$$E_{\rm B} =
   \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f  = G_0^2
   \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
-Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) folgt daraus:
+*Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' folgt daraus:
 :$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
   Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}

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-[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich]]
+[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png|right|frame|Optimalsysteme im <br>Zeit- und Frequenzbereich]]
-Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme '''A''' und '''B''', die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte $N_{0}$ das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
+Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$&nbsp;, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_{0}$&nbsp; das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-*Das System '''A''' verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude $s_{0} = 1 \ \rm V$ und der Dauer $T = 0.5\ \mu s$.
+*Das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls &nbsp;$g_{s}(t)$&nbsp; gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude &nbsp;$s_{0} = 1 \ \rm V$&nbsp; und der Dauer &nbsp;$T = 0.5\ \rm &micro; s$.
-*Dagegen besitzt das System '''B''', das mit der gleichen Bitrate wie das System A arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
+*Dagegen besitzt das System &nbsp;$\rm B$&nbsp;, das mit der gleichen Bitrate wie das System &nbsp;$\rm A$&nbsp; arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
 :$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} G_0   \\
 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
   |f| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\
 \end{array}$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
-*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.
+*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit &nbsp;$(E_{\rm B})$&nbsp; die Einheit &nbsp;$\rm V^{2}/Hz$&nbsp; aufweist.
@@ Zeile 33: / Zeile 37: @@
 $R \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm Mbit/s$
-{Berechnen Sie die Energie pro Bit für das System '''A'''.
+{Berechnen Sie die Energie pro Bit für das System &nbsp;$\rm A$.
 |type="{}"}
 $E_{\rm B} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^{2}/Hz$
-{Welche Aussagen gelten für die Empfangsfilter der Systeme '''A''' und '''B'''?
+{Welche Aussagen gelten für die Empfangsfilter der Systeme &nbsp;$\rm A$&nbsp; und &nbsp;$\rm B$?
 |type="[]"}
-+Bei System '''A''' hat $H_{\rm E}(f)$ einen si–förmigen Verlauf.
++Bei System &nbsp;$\rm A$&nbsp; hat &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; einen si–förmigen Verlauf.
-+Bei System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
++Bei System &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
--$H_{\rm E}(f)$ lässt sich bei System '''B''' durch einen Integrator realisieren.
+-$H_{\rm E}(f)$&nbsp; lässt sich bei System &nbsp;$\rm B$&nbsp; durch einen Integrator realisieren.
-{Für welche Grenzfrequenz $f_{0}$ weist das System '''B''' die Symboldauer $T$ auf?
+{Für welche Grenzfrequenz &nbsp;$f_{0}$&nbsp; weist das System &nbsp;$\rm B$&nbsp; die Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$
-{Wie groß ist die konstante Höhe $G_{0}$ des Spektrums von '''B''' zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System '''A'''?
+{Wie groß ist die konstante Höhe &nbsp;$G_{0}$&nbsp; des Spektrums von &nbsp;$\rm B$&nbsp; zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System &nbsp;$\rm A$?
 |type="{}"}
 $G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$
@@ Zeile 53: / Zeile 57: @@
 {Wäre eines der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?
 |type="[]"}
-+System '''A''',
++System &nbsp;$\rm A$,
-- System '''B'''.
+- System &nbsp;$\rm B$.