Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Zwei Optimalsysteme - Versionsgeschichte

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	:$$E_{\rm B} =\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm B} =\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(4)'''  folgt daraus:		*Mit den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(4)'''  folgt daraus:
	:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\~~rmHz~~}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.6Z:_Two_Optimal_Systems]]

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2026-02-24T13:38:33Z

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	*Dagegen besitzt das System  $\rm B$,  das mit der gleichen Bitrate wie das System  $\rm A$  arbeiten soll,  ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:		*Dagegen besitzt das System  $\rm B$,  das mit der gleichen Bitrate wie das System  $\rm A$  arbeiten soll,  ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
	:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\		:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\|f\| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\\|f\| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\\end{array}$$
	0 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
	\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	\|f\| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\
	\|f\| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\
	\end{array}$$


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	'''(2)'''  Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System  $\rm A$ ergibt sich zu		'''(2)'''  Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System  $\rm A$ ergibt sich zu
	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
	\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =
	s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Die  <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:		'''(3)'''  Die  <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
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	'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:		'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
	\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2
	\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(4)'''  folgt daraus:		*Mit den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(4)'''  folgt daraus:
	:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm		:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rmHz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$
	Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}}
	\hspace{0.05cm}.$$

	'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:

Guenter am 4. Mai 2022 um 11:20 Uhr

2022-05-04T11:20:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Mai 2022, 13:20 Uhr
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	\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =		\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =
	s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$		s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Die  <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:		'''(3)'''  Die  <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
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	'''(4)'''  Beim System  $\rm B$  stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.		'''(4)'''  Beim System  $\rm B$  stimmt  $G_{d}(f)$  mit  $G_{s}(f)$  nahezu überein.
	*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:		*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied,  der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
	*Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.		*Während  $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$  gilt,  ist  $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

	*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$.		*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor  $r = 0$.
	*Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm µ s$ sein soll:		*Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung,  dass die Symboldauer ebenfalls  $T = 0.5\ \rm µ s$  sein soll:
	:$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:		'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =
	\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2		\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2
	\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$		\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' folgt daraus:		*Mit den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(4)'''  folgt daraus:
	:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm		:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
	Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}		Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

			'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	'''(6)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		*Das System  $\rm A$  stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.
	*Das System ~~'''~~A~~'''~~ stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.		*Dagegen wäre das System  $\rm B$  aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet.
	*Dagegen wäre das System ~~'''~~B~~'''~~ aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 4. Mai 2022 um 11:13 Uhr

2022-05-04T11:13:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Mai 2022, 13:13 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.		'''(1)'''  Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.
	*Der NRZ–Sendegrundimpuls von System ~~'''~~A~~'''~~ hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm µ s$.		*Der NRZ–Sendegrundimpuls von System  $\rm A$  hat die Symboldauer  $T = 0.5\ \rm µ s$.
	*Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.		*Daraus ergibt sich für die Bitrate  $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.


	'''(2)'''  Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System ~~'''~~A~~'''~~ ergibt sich zu		'''(2)'''  Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System  $\rm A$ ergibt sich zu
	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =
	\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =		\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =
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	'''(3)'''  Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:		'''(3)'''  Die  <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
	*In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.		*In beiden Fällen muss  $h_{\rm E}(t)$  formgleich mit  $g_{s}(t)$  und  $H_{\rm E}(f)$  formgleich mit  $G_{s}(f)$  sein.
	*Somit ergibt sich beim System ~~'''~~A~~'''~~ eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.		*Somit ergibt sich beim System  $\rm A$  eine rechteckförmige Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
	*Beim System ~~'''~~B~~'''~~ ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.		*Beim System  $\rm B$ ist  $H_{\rm E}(f)$  wie  $G_{s}(f)$  rechteckförmig und damit die Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  eine si–Funktion.
	*Aussage 3 ist falsch:   Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System  $\rm A$  anbieten, nicht jedoch für System  $\rm B$.		*Aussage 3 ist falsch:   Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System  $\rm A$  anbieten,  nicht jedoch für System  $\rm B$.


	'''(4)'''  Beim System ~~'''~~B~~'''~~ stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.		'''(4)'''  Beim System  $\rm B$  stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
	*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:		*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
	*Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.		*Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

Guenter am 4. Mai 2022 um 09:48 Uhr

2022-05-04T09:48:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Mai 2022, 11:48 Uhr
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	[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png\|right\|frame\|Optimalsysteme im ~~<br>~~Zeit- und Frequenzbereich]]		[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png\|right\|frame\|Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich]]
	Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme  $\rm A$  und  $\rm B$ , die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte  $N_{0}$  das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:		Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme  $\rm A$  und  $\rm B$,  die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte  $N_{0}$  das gleiche Fehlerverhalten aufweisen.  In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*Das System  $\rm A$  verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude  $s_{0} = 1 \ \rm V$  und der Dauer  $T = 0.5\ \rm µ s$.		*Das System  $\rm A$  verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude  $s_{0} = 1 \ \rm V$  und der Dauer  $T = 0.5\ \rm µ s$.
	*Dagegen besitzt das System  $\rm B$ , das mit der gleichen Bitrate wie das System  $\rm A$  arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
			*Dagegen besitzt das System  $\rm B$,  das mit der gleichen Bitrate wie das System  $\rm A$  arbeiten soll,  ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
	:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\		:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\
	0 \\ \end{array} \right.\quad		0 \\ \end{array} \right.\quad
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			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|"Optimierung der Basisbandübertragungssysteme"]].
	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].

	*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$  die Einheit  $\rm V^{2}/Hz$  aufweist.		*Beachten Sie bitte,  dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist,  so dass die mittlere Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$  die Einheit  $\rm V^{2}/Hz$  aufweist.


Zeile 51:		Zeile 50:
	$f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$		$f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$

	{Wie groß ist die konstante Höhe  $G_{0}$  des Spektrums von  $\rm B$  zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System  $\rm A$?		{Wie groß ist die konstante Höhe  $G_{0}$  des Spektrums von  $\rm B$  zu wählen,  damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System  $\rm A$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$		$G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$

	{~~Wäre eines~~ der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?		{Welches der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+System  $\rm A$,		+System  $\rm A$,
Zeile 80:		Zeile 79:
	*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.		*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
	*Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.		*Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
	*Aussage 3 ist falsch:   Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System ~~'''~~A~~'''~~ anbieten, nicht jedoch für System ~~'''~~B~~'''~~.		*Aussage 3 ist falsch:   Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System  $\rm A$  anbieten, nicht jedoch für System  $\rm B$.

Guenter am 4. Februar 2019 um 17:00 Uhr

2019-02-04T17:00:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2019, 19:00 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate. Der NRZ–Sendegrundimpuls von System '''A''' hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm ~~\mu~~ s$. Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.		'''(1)'''  Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate.
			*Der NRZ–Sendegrundimpuls von System '''A''' hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm µ s$.
			*Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.


	'''(2)'''  Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System '''A''' ergibt sich zu		'''(2)'''  Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System '''A''' ergibt sich zu
Zeile 71:		Zeile 74:
	\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =		\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =
	s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$		s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:		'''(3)'''  Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
	*In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.		*In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
	Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.		*Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$.
	*~~Die letzte~~ Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine ~~rechteckförmige~~ Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.		*Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
			*Aussage 3 ist falsch:   Ein Integrator besitzt eine rechteckige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.


	'''(4)'''  Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.		'''(4)'''  Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein.
			*Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt:
			*Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

	Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm ~~\mu~~ s$ sein soll:		*Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$.
			*Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm µ s$ sein soll:
	:$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:		'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =
	\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2		\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f = G_0^2
	\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$		\cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$
	Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) folgt daraus:		*Mit den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(4)''' folgt daraus:
	:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm		:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
	Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}		Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}

Guenter am 4. Februar 2019 um 16:52 Uhr

2019-02-04T16:52:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2019, 18:52 Uhr
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	[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png\|right\|frame\|Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich]]		[[Datei:P_ID1293__Dig_Z_1_6.png\|right\|frame\|Optimalsysteme im <br>Zeit- und Frequenzbereich]]
	Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme ~~'''~~A~~'''~~ und ~~'''~~B~~'''~~, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte $N_{0}$ das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:		Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme  $\rm A$  und  $\rm B$ , die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte  $N_{0}$  das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*Das System ~~'''~~A~~'''~~ verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude $s_{0} = 1 \ \rm V$ und der Dauer $T = 0.5\ \mu s$.		*Das System  $\rm A$  verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude  $s_{0} = 1 \ \rm V$  und der Dauer  $T = 0.5\ \rm µ s$.
	*Dagegen besitzt das System ~~'''~~B~~'''~~, das mit der gleichen Bitrate wie das System A arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:		*Dagegen besitzt das System  $\rm B$ , das mit der gleichen Bitrate wie das System  $\rm A$  arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:
	:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\		:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\
	0 \\ \end{array} \right.\quad		0 \\ \end{array} \right.\quad
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	\|f\| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\		\|f\| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\
	\end{array}$$		\end{array}$$






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].

	*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.		*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit  $(E_{\rm B})$  die Einheit  $\rm V^{2}/Hz$  aufweist.


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	$R \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm Mbit/s$		$R \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm Mbit/s$

	{Berechnen Sie die Energie pro Bit für das System ~~'''~~A~~'''~~.		{Berechnen Sie die Energie pro Bit für das System  $\rm A$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_{\rm B} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^{2}/Hz$		$E_{\rm B} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^{2}/Hz$

	{Welche Aussagen gelten für die Empfangsfilter der Systeme ~~'''~~A~~'''~~ und ~~'''~~B~~'''~~?		{Welche Aussagen gelten für die Empfangsfilter der Systeme  $\rm A$  und  $\rm B$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+Bei System ~~'''~~A~~'''~~ hat $H_{\rm E}(f)$ einen si–förmigen Verlauf.		+Bei System  $\rm A$  hat  $H_{\rm E}(f)$  einen si–förmigen Verlauf.
	+Bei System ~~'''~~B~~'''~~ ist $H_{\rm E}(f)$ ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.		+Bei System  $\rm B$  ist  $H_{\rm E}(f)$  ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
	-$H_{\rm E}(f)$ lässt sich bei System ~~'''~~B~~'''~~ durch einen Integrator realisieren.		-$H_{\rm E}(f)$  lässt sich bei System  $\rm B$  durch einen Integrator realisieren.

	{Für welche Grenzfrequenz $f_{0}$ weist das System ~~'''~~B~~'''~~ die Symboldauer $T$ auf?		{Für welche Grenzfrequenz  $f_{0}$  weist das System  $\rm B$  die Symboldauer  $T$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$		$f_{0} \ = \ ${ 1 3% } $\ \rm MHz$

	{Wie groß ist die konstante Höhe $G_{0}$ des Spektrums von ~~'''~~B~~'''~~ zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System ~~'''~~A~~'''~~?		{Wie groß ist die konstante Höhe  $G_{0}$  des Spektrums von  $\rm B$  zu wählen, damit sich die gleiche Energie pro Bit ergibt wie bei System  $\rm A$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$		$G_{0} \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$
Zeile 53:		Zeile 57:
	{Wäre eines der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?		{Wäre eines der beiden Systeme auch bei Spitzenwertbegrenzung geeignet?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+System ~~'''~~A~~'''~~,		+System  $\rm A$,
	- System ~~'''~~B~~'''~~.		- System  $\rm B$.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:40Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.		*Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.

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2018-01-04T06:20:28Z

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	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =
	\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =		\int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t =
	s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$		s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>. In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein. Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.		'''(3)'''  Die <u>beiden ersten Aussagen treffen zu</u>:
			*In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
			Somit ergibt sich beim System '''A''' eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. Beim System '''B''' ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
			*Die letzte Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckförmige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.

	~~Die letzte Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckförmige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System '''A''' anbieten, nicht jedoch für System '''B'''.~~

	'''(4)'''  Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{d}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.		'''(4)'''  Beim System '''B''' stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

	Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm \mu s$ sein soll:		Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm \mu s$ sein soll:
	:$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:		'''(5)'''  Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:
	:$$E_{\rm B} =		:$$E_{\rm B} =
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	:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm		:$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm
	Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}		Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V/Hz}}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(6)'''  Das System '''A''' stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar. Dagegen wäre das System '''B''' aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet~~. Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 1</u>~~.		'''(6)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
			*Das System '''A''' stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.
			*Dagegen wäre das System '''B''' aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}