Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Interpretation der Übertragungsfunktion - Versionsgeschichte

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Guenter am 23. Oktober 2019 um 09:23 Uhr

2019-10-23T09:23:01Z

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2018-11-06T09:36:09Z

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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-'''(2)'''&nbsp; Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt = 0.5 \ \rm ms$. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert:
+'''(2)'''&nbsp; Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist&nbsp; $Δt = 0.5 \ \rm ms$. &nbsp; Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert:
 :$$Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 \ kHz}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge  1 und 3</u>:
-*Da $y_i(t)$ cosinusförmig ist, ist die Amplitude $A_i = y_i(t = 0)$. Das Ausgangssignal wird hier über die Faltung berechnet:
+*Da&nbsp; $y_i(t)$&nbsp; cosinusförmig ist, ist die Amplitude&nbsp; $A_i = y_i(t = 0)$. Das Ausgangssignal wird hier über die Faltung berechnet:
 :$$A_i = y_i (t=0) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x_i ( \tau  )}  \cdot h ( {0 - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-*Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:
+*Berücksichtigt man die Symmetrie und die zeitliche Begrenzung von&nbsp; $h(t)$, so kommt man zum Ergebnis:
 :$$A_i = \frac{A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ - \Delta t /2 }^{ + \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi   f_i  \tau )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge  2, 3 und 5</u>:
 *Beim Gleichsignal &nbsp;$x_0(t) = A_x$&nbsp; ist &nbsp;$f_i = 0$&nbsp; zu setzen und man erhält &nbsp;$A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \hspace{0.05cm} V}$.
-*Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen &nbsp;$f_2 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_4 = 4 \ \rm kHz$&nbsp; jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \hspace{0.05cm} 0}$ und $A_4 \hspace{0.05cm} \rm \underline{ = \ 0}$.
+*Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen &nbsp;$f_2 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_4 = 4 \ \rm kHz$&nbsp; jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: &nbsp; $A_2 \ \rm \underline{ = \hspace{0.05cm} 0}$&nbsp; und&nbsp; $A_4 \hspace{0.05cm} \rm \underline{ = \ 0}$.
 *Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:
 :$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$
 '''(5)'''&nbsp; Das Ergebnis der Teilaufgabe  '''(3)''' lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:
 :$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{  \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi   f_1  \tau )\hspace{0.1cm}{\rm
   d}\tau =  \frac{2A_x}{2\pi   f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi   f_1  \frac{\Delta t}{2}
   )= A_x \cdot {\rm si}(\pi   f_1  \Delta t ).$$
-*Mit $f_1 · Δt = 0.5$ lautet somit das Ergebnis:
+*Mit&nbsp; $f_1 · Δt = 0.5$&nbsp; lautet somit das Ergebnis:
 :$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$
-*Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt = 1.5$:
+*Entsprechend erhält man mit&nbsp; $f_3 · Δt = 1.5$:
 :$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}({3\pi}/{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -{A_1}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$
-*Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung :$$A_i = A_x · H(f = f_i).$$
+*Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung:
-*Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist.
+*Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über&nbsp; $x_1(t)$&nbsp; im markierten Bereich positiv und das Integral über&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; negativ ist.
 *Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).

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 [[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|frame|Impulsantwort und Eingangssignale]]
-Die Aufgabe soll den Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form
+Die Aufgabe soll den Einfluss eines Tiefpasses&nbsp; $H(f)$&nbsp; auf cosinusförmige Signale der Form
 :$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi   f_i  t )$$
-veranschaulichen. In der Grafik sehen Sie die Signale &nbsp;$x_i(t)$, wobei der Index &nbsp;$i$&nbsp; die Frequenz in &nbsp;$\rm kHz$&nbsp; angibt. So beschreibt &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; ein &nbsp;$2 \hspace{0.05cm} \rm  kHz$–Signal.
+veranschaulichen. In der Grafik sehen Sie die Signale &nbsp;$x_i(t)$, wobei der Index &nbsp;$i$&nbsp; die Frequenz in &nbsp;$\rm kHz$&nbsp; angibt. So beschreibt &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; ein &nbsp;$2 \hspace{0.09cm} \rm  kHz$–Signal.
-Die Signalamplitude beträgt jeweils &nbsp;$A_x = 1 \hspace{0.05cm} \rm  V$. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =0$ zu interpretieren.
+Die Signalamplitude beträgt jeweils &nbsp;$A_x = 1 \hspace{0.05cm} \rm  V$. Das Gleichsignal&nbsp; $x_0(t)$&nbsp; ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz&nbsp; $f_0 =0$ zu interpretieren.
-Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Dessen Frequenzgang lautet:
+Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; des Tiefpasses. Dessen Frequenzgang lautet:
 :$$H(f) = {\rm si}(\pi {f}/{ {\rm \Delta}f}) .$$
 Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass &nbsp;$H(f)$&nbsp; reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:
 :$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi   f_i  t ) .$$
-Gesucht werden die Signalamplituden &nbsp;$A_i$&nbsp; am Ausgang für verschiedene Frequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll.
+*Gesucht werden die Signalamplituden &nbsp;$A_i$&nbsp; am Ausgang für verschiedene Frequenzen&nbsp; $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll.
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-{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von $H(f)$ an.
+{Geben Sie die äquivalente Bandbreite von&nbsp; $H(f)$&nbsp; an.
 |type="{}"}
 $\Delta f  \ =\ $ { 2 3% } $\ \rm kHz$
-{Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. <br>Welche der folgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?
+{Berechnen Sie allgemein die Amplitude&nbsp; $A_i$&nbsp; in Abhängigkeit von&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$. Welche der folgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?
 |type="[]"}
 + Beim Cosinussignal gilt &nbsp;$A_i = y_i(t = 0)$.
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-{Welche der folgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu? Es gilt weiterhin $A_i = y_i(t = 0)$.
+{Welche der folgenden Ergebnisse treffen für&nbsp; $A_0, A_2$&nbsp; und&nbsp; $A_4$&nbsp; zu? &nbsp; Es gilt weiterhin&nbsp; $A_i = y_i(t = 0)$.
 |type="[]"}
 - $A_0 = 0$.
@@ Zeile 63: / Zeile 66: @@
-{Berechnen Sie die Amplituden $A_1$ und $A_3$ für ein $1 \ \rm kHz$&ndash; bzw. $3 \ \rm kHz$&ndash;Signal. <br>Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktionen.
+{Berechnen Sie die Amplituden&nbsp; $A_1$&nbsp; und&nbsp; $A_3$&nbsp; für ein&nbsp; $1 \ \rm kHz$&ndash; bzw.&nbsp; $3 \ \rm kHz$&ndash;Signal. <br>Interpretieren Sie die Ergebnisse anhand der Spektralfunktionen.
 |type="{}"}
 $A_1 \ = \ $ { 0.637 5%  } $\ \rm V$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Es handelt sich um einen <u>Spalttiefpass</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: &nbsp; Es handelt sich um einen <u>Spalttiefpass</u>.
-'''(2)'''&nbsp; Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt = 0.5 \ \rm ms$. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert $Δf = 1/Δt \ \rm \underline{= \ 2 \ kHz}$.
+'''(2)'''&nbsp; Die (äquivalente) Zeitdauer der Impulsantwort ist $Δt = 0.5 \ \rm ms$. Die äquivalente Bandbreite ist gleich dem Kehrwert:
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge  2, 3 und 5</u>:
-*Beim Gleichsignal $x_0(t) = A_x$ ist $f_i = 0$ zu setzen und man erhält $A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \ V}$.
+*Beim Gleichsignal &nbsp;$x_0(t) = A_x$&nbsp; ist &nbsp;$f_i = 0$&nbsp; zu setzen und man erhält &nbsp;$A_0 = A_x \ \rm \underline{ = \ 1 \hspace{0.05cm} V}$.
-*Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen $f_2 = 2 \ \rm kHz$ und $f_4 = 4 \ \rm kHz$ jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \ 0}$ und $A_4 \ \rm \underline{ = \ 0}$.
+*Dagegen verschwindet bei den Cosinusfrequenzen &nbsp;$f_2 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_4 = 4 \ \rm kHz$&nbsp; jeweils das Integral, da dann genau über eine bzw. zwei Periodendauern zu integrieren ist: $A_2 \ \rm \underline{ = \hspace{0.05cm} 0}$ und $A_4 \hspace{0.05cm} \rm \underline{ = \ 0}$.
 *Im Frequenzbereich entsprechen die hier behandelten Fälle:
 :$$H(f=0) = 1, \hspace{0.3cm}H(f=\Delta f) = 0, \hspace{0.3cm}H(f=2\Delta f) = 0.$$
-'''(5)'''&nbsp; Das Ergebnis der Teilaufgabe  (3) lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:
+'''(5)'''&nbsp; Das Ergebnis der Teilaufgabe  '''(3)''' lautet unter Berücksichtigung der Symmetrie für $f_i = f_1$:
 :$$A_1= \frac{2A_x}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ 0 }^{  \Delta t /2 } {\rm cos}(2\pi   f_1  \tau )\hspace{0.1cm}{\rm
   d}\tau =  \frac{2A_x}{2\pi   f_1 \cdot \Delta t} \cdot {\rm sin}(2\pi   f_1  \frac{\Delta t}{2}
   )= A_x \cdot {\rm si}(\pi   f_1  \Delta t ).$$
-Mit $f_1 · Δt = 0.5$ lautet somit das Ergebnis:
+*Mit $f_1 · Δt = 0.5$ lautet somit das Ergebnis:
 :$$A_1 = A_x \cdot {\rm si}(\frac{\pi}{2} ) = \frac{2A_x}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.637\,{\rm V}}.$$
-Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt = 1.5$:
+*Entsprechend erhält man mit $f_3 · Δt = 1.5$:
 :$$A_3 = A_x \cdot {\rm si}({3\pi}/{2} ) = -\frac{2A_x}{3\pi} = -{A_1}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.212\,{\rm V}}.$$
-Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung $A_i = A_x · H(f = f_i)$.
+*Genau zu den gleichen Ergebnissen – aber deutlich schneller – kommt man durch die Anwendung der Gleichung :$$A_i = A_x · H(f = f_i).$$
-Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist. Es ist allerdings anzumerken, dass man im Allgemeinen als Amplitude meist den Betrag bezeichnet (siehe Hinweis auf der Angabenseite).
+*Bereits aus den Grafiken auf der Angabenseite erkennt man, dass das Integral über $x_1(t)$ im markierten Bereich positiv und das Integral über $x_3(t)$ negativ ist.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID862__LZI_Z_1_6.png|right|frame|Impulsantwort und Eingangssignale]]
-Mit dieser Aufgabe soll der Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form
+Die Aufgabe soll den Einfluss eines Tiefpasses $H(f)$ auf cosinusförmige Signale der Form
 :$$x_i(t) = A_x \cdot {\rm cos}(2\pi   f_i  t )$$
-veranschaulicht werden. In der Grafik sehen Sie die Signale $x_i(t)$, wobei der Index $i$ die Frequenz in $\rm kHz$ angibt. So beschreibt $x_2(t)$ ein $2 \ \rm  kHz$–Signal.
+veranschaulichen. In der Grafik sehen Sie die Signale &nbsp;$x_i(t)$, wobei der Index &nbsp;$i$&nbsp; die Frequenz in &nbsp;$\rm kHz$&nbsp; angibt. So beschreibt &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; ein &nbsp;$2 \hspace{0.05cm} \rm  kHz$–Signal.
-Die Signalamplitude beträgt jeweils $A_x = 1 \ \rm  V$. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =0$ zu interpretieren.
+Die Signalamplitude beträgt jeweils &nbsp;$A_x = 1 \hspace{0.05cm} \rm  V$. Das Gleichsignal $x_0(t)$ ist als Grenzfall eines Cosinussignals mit der Frequenz $f_0 =0$ zu interpretieren.
-Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Der dazugehörige Frequenzgang lautet:
+Die obere Skizze zeigt die rechteckige Impulsantwort $h(t)$ des Tiefpasses. Dessen Frequenzgang lautet:
 :$$H(f) = {\rm si}(\pi {f}/{ {\rm \Delta}f}) .$$
-Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass $H(f)$ reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:
+Aufgrund der Linearität und der Tatsache, dass &nbsp;$H(f)$&nbsp; reell und gerade ist, sind die Ausgangssignale ebenfalls cosinusförmig:
 :$$y_i(t) = A_i \cdot {\rm cos}(2\pi   f_i  t ) .$$
-Gesucht werden die Signalamplituden $A_i$ am Ausgang für die verschiedenen Eingangsfrequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll.
+Gesucht werden die Signalamplituden &nbsp;$A_i$&nbsp; am Ausgang für verschiedene Frequenzen $f_i$, wobei die Lösung ausschließlich im Zeitbereich gefunden werden soll.
 Dieser etwas umständliche Lösungsweg soll dazu dienen, den grundsätzlichen Zusammenhang zwischen Zeit– und Frequenzbereich deutlich zu machen.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
 *Entgegen der sonst üblichen Definition der Amplitude können die &bdquo;$A_i$&rdquo; durchaus negativ sein. Dies entspricht dann der Funktion „Minus-Cosinus”.
@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 {Welcher Tiefpass liegt hier vor?
 |type="[]"}
-- Idealer Tiefpass.
+- Idealer Tiefpass,
-+ Spalttiefpass.
++ Spalttiefpass,
 - Gaußtiefpass.
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 {Berechnen Sie allgemein die Amplitude $A_i$ in Abhängigkeit von $x_i(t)$ und $h(t)$. <br>Welche der folgenden Punkte sind bei der Berechnung zu berücksichtigen?
 |type="[]"}
-+ Beim Cosinussignal gilt $A_i = y_i(t = 0)$.
++ Beim Cosinussignal gilt &nbsp;$A_i = y_i(t = 0)$.
-- Es gilt $y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.
+- Es gilt &nbsp;$y_i(t) = x_i(t) · h(t)$.
-+ Es gilt $y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.
++ Es gilt &nbsp;$y_i(t) = x_i(t) ∗ h(t)$.
-{Welche der folgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu? es gilt weiterhin $A_i = y_i(t = 0)$.
+{Welche der folgenden Ergebnisse treffen für $A_0, A_2$ und $A_4$ zu? Es gilt weiterhin $A_i = y_i(t = 0)$.
 |type="[]"}
 - $A_0 = 0$.