Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ergodische Wahrscheinlichkeiten - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Dezember 2021 um 14:21 Uhr

2021-12-02T14:21:49Z

Guenter am 2. Dezember 2021 um 14:18 Uhr

2021-12-02T14:18:12Z

Guenter am 12. November 2019 um 12:55 Uhr

2019-11-12T12:55:48Z

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Guenter am 1. August 2018 um 15:23 Uhr

2018-08-01T15:23:47Z

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2018-08-01T15:14:09Z

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:28:23Z

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Guenter am 23. Februar 2017 um 15:43 Uhr

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Guenter am 23. Februar 2017 um 15:15 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$&nbsp; und&nbsp; $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
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 :$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
 *Damit ergibt sich&nbsp; ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
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 :$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
 = {5}/{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
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 *Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt&nbsp; ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
 *Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert&nbsp; $5/9$.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
-[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binäre Markovkette mit&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$]]
+[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Markovkette mit&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$]]
 Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
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 ${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
-{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist?
+{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auftritt,&nbsp; wenn zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
-{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist, wenn aktuell&nbsp; $B$&nbsp; auftritt?
+{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit,&nbsp; dass zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist,&nbsp; wenn aktuell&nbsp; $B$&nbsp; auftritt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
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 $q\ = \ $ { 0. }
-{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; gilt?
+{Wie muss man die Parameter wählen,&nbsp; damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $p \ = \ $ { 0.667 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
+'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$&nbsp; und&nbsp; $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
 '''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
-Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
+*Damit ergibt sich&nbsp; ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
-'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
+'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt&nbsp; $\nu-1$&nbsp; ist keine Aussage getroffen.&nbsp;
 :$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
-= \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
+= {5}/{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
@@ Zeile 80: / Zeile 85: @@
 = {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
 ''Begründung:''
-*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt '''(3)''' berechnet.
+*Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$&nbsp; wurde bereits im Unterpunkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
-*Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
+*Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt&nbsp; ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
-*Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.
+*Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert&nbsp; $5/9$.
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
-Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.
+*Aus&nbsp; $ {\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; folgt somit&nbsp; $\underline{q =0}$.
 '''(6)'''&nbsp; Im Fall der statistischen Unabh&auml;ngigkeit muss beispielsweise gelten:
 :$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
-Daraus folgt &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp;  und dementsprechend &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
+*Daraus folgt &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp;  und dementsprechend &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
-[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binäre Markovkette]]
+[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binäre Markovkette mit&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$]]
-Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
+Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
-Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird vorausgesetzt:
+Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wird vorausgesetzt:
-*Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
+*Nach dem Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; folgen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?
+{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p$&nbsp; und&nbsp; $q$?
 |type="{}"}
 $p \ = \ $  { 0.5 3% }
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 ${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
-{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?
+{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
-{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?
+{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; aufgetreten ist, wenn aktuell&nbsp; $B$&nbsp; auftritt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
-{Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?
+{Es gelte nun&nbsp; $p = 1/2$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $q$?
 |type="{}"}
 $q\ = \ $ { 0. }
-{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?
+{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich&nbsp; ${\rm Pr}(A) = 2/3$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $p \ = \ $ { 0.667 3% }

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt $p = 1 - p$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =1/2}$, und $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =1/3}$.
+'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt &nbsp; $p = 1 - p$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =0.333}$.
 '''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
 Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
 '''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
-:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)  p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
+:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +   q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
 = \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Nach dem Satz von Bayes gilt:
 :$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } =  \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }
 = {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
-Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt (3) berechnet. Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$. Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.
+''Begründung:''
 '''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe (2) gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
 :$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
 Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.
 '''(6)'''&nbsp; Im Fall der statistischen Unabh&auml;ngigkeit muss beispielsweise gelten:
 :$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
-Daraus folgt $p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend $q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
+Daraus folgt &nbsp;$p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$&nbsp;  und dementsprechend &nbsp;$q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
 :[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]

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	*Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.		*Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.
		+

	Ab Teilaufgabe (5) sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.		Ab Teilaufgabe (5) sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.