Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ergodische Wahrscheinlichkeiten - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.4 Markovketten		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.4 Markovketten
	^]]		^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.6Z:_Ergodic_Probabilities]]

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Fix 2 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

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Zeile 70:		Zeile 70:
	'''(3)'''  Über den Zeitpunkt  $\nu-1$  ist keine Aussage getroffen.		'''(3)'''  Über den Zeitpunkt  $\nu-1$  ist keine Aussage getroffen.
	*Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$  oder  $B$  aufgetreten sein. Deshalb gilt:		*Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$  oder  $B$  aufgetreten sein. Deshalb gilt:
	:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)		:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) = {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
	= {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$


	'''(4)'''  Nach dem Satz von Bayes gilt:		'''(4)'''  Nach dem Satz von Bayes gilt:
	:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }		:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
	= {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
	''Begründung:''		''Begründung:''
	*Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$  wurde bereits im Unterpunkt  '''(3)'''  berechnet.		*Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$  wurde bereits im Unterpunkt  '''(3)'''  berechnet.

Guenter am 2. Dezember 2021 um 14:21 Uhr

2021-12-02T14:21:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Dezember 2021, 16:21 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$  und  $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.		'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$  und  $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.



Zeile 66:		Zeile 65:
	:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$		:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
	*Damit ergibt sich  ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.		*Damit ergibt sich  ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.



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	:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)		:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)
	= {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$		= {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$



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	*Aufgrund der Stationarität gilt  ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$  und  ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.		*Aufgrund der Stationarität gilt  ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$  und  ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
	*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert  $5/9$.		*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert  $5/9$.

Guenter am 2. Dezember 2021 um 14:18 Uhr

2021-12-02T14:18:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Dezember 2021, 16:18 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}

	[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png\|right\|frame\|~~Binäre~~ Markovkette mit  $A$  und  $B$]]		[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png\|right\|frame\|Markovkette mit  $A$  und  $B$]]
	Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:		Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

Zeile 17:		Zeile 17:


			Hinweise:



	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].

Zeile 41:		Zeile 37:
	${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }		${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }

	{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis  $B$  auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?		{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit,  dass das Ereignis  $B$  auftritt,  wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }		${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }

	{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist, wenn aktuell  $B$  auftritt?		{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit,  dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist,  wenn aktuell  $B$  auftritt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }		${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
Zeile 53:		Zeile 49:
	$q\ = \ $ { 0. }		$q\ = \ $ { 0. }

	{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?		{Wie muss man die Parameter wählen,  damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p \ = \ $ { 0.667 3% }		$p \ = \ $ { 0.667 3% }

Guenter am 12. November 2019 um 12:55 Uhr

2019-11-12T12:55:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2019, 14:55 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.		'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$  und  $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.


	'''(2)'''  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
			'''(2)'''  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von  $A$  gilt:
	:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$		:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
	Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.		*Damit ergibt sich  ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.




	'''(3)'''  Über den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:		'''(3)'''  Über den Zeitpunkt  $\nu-1$  ist keine Aussage getroffen.
			*Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$  oder  $B$  aufgetreten sein. Deshalb gilt:
	:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)		:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)
	= ~~\frac~~{5}{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$		= {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$



Zeile 80:		Zeile 85:
	= {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$		= {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
	''Begründung:''		''Begründung:''
	*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt '''(3)''' berechnet.		*Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$  wurde bereits im Unterpunkt  '''(3)'''  berechnet.
	*Aufgrund der Stationarität gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.		*Aufgrund der Stationarität gilt  ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$  und  ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
	*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.		*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert  $5/9$.


	'''(5)'''  Entsprechend der Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
			'''(5)'''  Entsprechend der Teilaufgabe  '''(2)'''  gilt mit  ${p =1/2}$  für die Wahrscheinlichkeit von  $A$  allgemein:
	:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$		:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
	Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.		*Aus  $ {\rm Pr}(A) = 2/3$  folgt somit  $\underline{q =0}$.



	'''(6)'''  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:		'''(6)'''  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:
	:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$		:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
	Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend  $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.		*Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend  $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 12. November 2019 um 12:47 Uhr

2019-11-12T12:47:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. November 2019, 14:47 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}

	[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png\|right\|frame\|Binäre Markovkette]]		[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png\|right\|frame\|Binäre Markovkette mit  $A$  und  $B$]]
	Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:		Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

	Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird vorausgesetzt:		Für die Teilaufgaben  '''(1)'''  bis  '''(4)'''  wird vorausgesetzt:

	*Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.		*Nach dem Ereignis  $A$  folgen  $A$  und  $B$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

			*Nach  $B$  ist das Ereignis  $A$  doppelt so wahrscheinlich wie  $B$.


			Ab Teilaufgabe  '''(5)'''  sind  $p$  und  $q$  als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  und  ${\rm Pr}(B) = 1/3$  fest vorgegeben sind.

	*Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.


	~~Ab Teilaufgabe '''(5)''' sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.~~


Zeile 19:		Zeile 22:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].

	*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Markovketten\|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]] überprüfen.		*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Markovketten\|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]  überprüfen.


Zeile 28:		Zeile 31:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?		{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten  $p$  und  $q$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p \ = \ $ { 0.5 3% }		$p \ = \ $ { 0.5 3% }
Zeile 38:		Zeile 41:
	${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }		${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }

	{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?		{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis  $B$  auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }		${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }

	{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?		{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist, wenn aktuell  $B$  auftritt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }		${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }

	{Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?		{Es gelte nun  $p = 1/2$  und  ${\rm Pr}(A) = 2/3$.  Welcher Wert ergibt sich für  $q$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$q\ = \ $ { 0. }		$q\ = \ $ { 0. }

	{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?		{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p \ = \ $ { 0.667 3% }		$p \ = \ $ { 0.667 3% }

Guenter am 1. August 2018 um 15:23 Uhr

2018-08-01T15:23:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. August 2018, 17:23 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt $p = 1 - p$,   ⇒   $\underline{p =~~1/2~~}$, und $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =~~1/3~~}$.		'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.


	'''(2)'''  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:		'''(2)'''  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
	:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$		:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
	Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.		Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.


	'''(3)'''  Über den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:		'''(3)'''  Über den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
	:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)		:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p)
	= \frac{5}{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$		= \frac{5}{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$


	'''(4)'''  Nach dem Satz von Bayes gilt:		'''(4)'''  Nach dem Satz von Bayes gilt:
	:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }		:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }
	= {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$		= {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
	Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt (3) berechnet. Aufgrund der Stationarität gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$. Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.		''Begründung:''
			*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt '''(3)''' berechnet.
			*Aufgrund der Stationarität gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
			*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.

	'''(5)'''  Entsprechend der Teilaufgabe (2) gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
			'''(5)'''  Entsprechend der Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
	:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$		:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
	Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.		Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.


	'''(6)'''  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:		'''(6)'''  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:
	:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$		:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
	Daraus folgt $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$ und dementsprechend $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.		Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend  $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 1. August 2018 um 15:14 Uhr

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	{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}

	[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png\|right\|Binäre Markovkette]]		[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png\|right\|frame\|Binäre Markovkette]]
	Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:		Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

	Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird vorausgesetzt:		Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' wird vorausgesetzt:

	*Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.		*Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
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	Ab Teilaufgabe (5) sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.		Ab Teilaufgabe '''(5)''' sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].

	*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem ~~nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:~~		*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Markovketten\|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]] überprüfen.
	:[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]


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	{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?		{Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p \ = $ { 0.5 3% }		$p \ = \ $ { 0.5 3% }
	$q \ = $ { 0.333 3% }		$q \ = \ $ { 0.333 3% }

	{Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.		{Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A) \ = $ { 0.571 3% }		${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.571 3% }
	${\rm Pr}(B) \ = $ { 0.429 3% }		${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }

	{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?		{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = $ { 0.417 3% }		${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }

	{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?		{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = $ { 0.556 3% }		${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }

	{Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?		{Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$q\ = $ { 0. }		$q\ = \ $ { 0. }

	{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?		{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p \ = $ { 0.667 3% }		$p \ = \ $ { 0.667 3% }
	$q \ = $ { 0.333 3% }		$q \ = \ $ { 0.333 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten\|Markovketten]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:		*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
	:[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]		:[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]

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2018-01-03T13:28:23Z

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(kein Unterschied)