Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:35:00Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:35 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	:$$E_{\rm B} = \\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f =A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm B} = \\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f =A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$  ergibt sich daraus weiter:		*Mit  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$  ergibt sich daraus weiter:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\~~rmV~~^2/Hz}}}\right)={\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm V^2/Hz}}}\right)={\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 95:		Zeile 95:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.4 Optimierung der Basisbandsysteme^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.6:_Root_Nyquist_System]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:32Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:

	eines binären und bipolaren Übertragungssystems,  die zueinander formgleich sind:		eines binären und bipolaren Übertragungssystems,  die zueinander formgleich sind:
	:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\		:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}, \\\end{array}$$
	\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad		:$$H_{\rm E }(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\\end{array}$$
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array}
	\begin{array}{*{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}, \\
	\end{array}$$
	:$$H_{\rm E }(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\
	\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ \\ \\ \end{array}
	\begin{array}{*{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\
	\end{array}$$
	In der gesamten Aufgabe gelte   $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$  und  $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.		In der gesamten Aufgabe gelte   $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$  und  $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.

Zeile 71:		Zeile 63:
	*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen  $f_{1} = 0$  und  $f_{2} = 1\ \rm MHz$.		*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen  $f_{1} = 0$  und  $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
	* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz  (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):		* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz  (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
	:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 }{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
	{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
	*Der Rolloff–Faktor beträgt		*Der Rolloff–Faktor beträgt
	:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 94:		Zeile 85:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:		*Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:
	:$$E_{\rm B} = \		:$$E_{\rm B} = \\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f =A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
	\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f =
	A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
	= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$  ergibt sich daraus weiter:		*Mit  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$  ergibt sich daraus weiter:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rmV^2/Hz}}}\right)={\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$
	V^2/Hz}}}\right)=
	{\rm Q} \left( \sqrt{25}\right)= {\rm Q} (5) \hspace{0.1cm}\underline {= 0.287 \cdot 10^{-6}}\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 4. Mai 2022 um 08:59 Uhr

2022-05-04T08:59:46Z

Guenter am 4. Mai 2022 um 08:56 Uhr

2022-05-04T08:56:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Mai 2022, 10:56 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:


	[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png\|right\|frame\|Sender & Empfänger~~: Cosinus-Spektrum~~]]		[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png\|right\|frame\|Cosinus-Spektrum  (Sender & Empfänger)]]
	Die nebenstehende Grafik zeigt		Die nebenstehende Grafik zeigt
	*das Spektrum  $G_{s}(f)$  des Sendegrundimpulses,		*das Spektrum  $G_{s}(f)$  des Sendegrundimpulses,
Zeile 10:		Zeile 10:


	eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:		eines binären und bipolaren Übertragungssystems,  die zueinander formgleich sind:
	:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\		:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\
	\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad		\\ 0 \\ \end{array} \right.\quad
Zeile 21:		Zeile 21:
	\begin{array}{*{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\		\begin{array}{*{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	In der gesamten Aufgabe gelte  $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$  und  $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.		In der gesamten Aufgabe gelte   $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$  und  $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.

	*Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate  $R = 1/T$  richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls  $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$  das erste Nyquistkriterium.		*Unter der Voraussetzung,  dass die Bitrate  $R = 1/T$  richtig gewählt wird,  erfüllt der Detektionsgrundimpuls  $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$  das erste Nyquistkriterium.
	*Bei der dazugehörigen Spektralfunktion  $G_{d}(f)$  erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum.		*Bei der dazugehörigen Spektralfunktion  $G_{d}(f)$  erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum.
	*Der Rolloff–Faktor  $r$  ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.		*Der Rolloff–Faktor  $r$  ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.
Zeile 30:		Zeile 30:


			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|"Optimierung der Basisbandübertragungssysteme"]].

			*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive HTML5/JS Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].


	~~''Hinweise:''~~
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].

	*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:		*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
	:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$		:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$
Zeile 43:		Zeile 42:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie das Nyquistspektrum  $G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?		{Berechnen Sie das Nyquistspektrum  $G_{d}(f)$.  Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$		$f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$
Zeile 58:		Zeile 57:
	+Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  ist an den Sendegrundimpuls  $G_{s}(f)$  angepasst.		+Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  ist an den Sendegrundimpuls  $G_{s}(f)$  angepasst.

	{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$  $($bezogen auf  $1 Ω)$  gilt?		{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich,  wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$  $($bezogen auf  $1 Ω)$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$		$p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:00Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].

	*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:		*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
	:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$		:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$

Guenter am 4. Februar 2019 um 16:43 Uhr

2019-02-04T16:43:38Z

Guenter am 4. Februar 2019 um 16:39 Uhr

2019-02-04T16:39:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2019, 18:39 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:


	[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png\|right\|frame\|Cosinus-Spektrum]]		[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png\|right\|frame\|Sender & Empfänger: Cosinus-Spektrum]]
	Die nebenstehende Grafik zeigt		Die nebenstehende Grafik zeigt
	*das Spektrum $G_{s}(f)$ des Sendegrundimpulses,		*das Spektrum  $G_{s}(f)$  des Sendegrundimpulses,
	*den Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ des Empfangsfilters		*den Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  des Empfangsfilters


	eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:		eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:
	:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\		:$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right) \\
Zeile 19:		Zeile 21:
	\begin{array}{*{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\		\begin{array}{*{20}c}\|f\| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	In der gesamten Aufgabe gelte $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$ und $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.		In der gesamten Aufgabe gelte  $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$  und  $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.

			*Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate  $R = 1/T$  richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls  $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$  das erste Nyquistkriterium.
			*Bei der dazugehörigen Spektralfunktion  $G_{d}(f)$  erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum.
			*Der Rolloff–Faktor  $r$  ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.




	Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate $R = 1/T$ richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$ das erste Nyquistkriterium. Bei der dazugehörigen Spektralfunktion $G_{d}(f)$ erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum. Der Rolloff–Faktor $r$ ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.


	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].

	*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das ~~Interaktionsmodul~~ [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:		*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
	:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$		:$$C_{\rm S} = \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}= {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$
Zeile 35:		Zeile 43:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie das Nyquistspektrum $G_{d}(f)$. Wie groß sind Nyquistfrequenz und Rolloff–Faktor?		{Berechnen Sie das Nyquistspektrum  $G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$		$f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$
Zeile 47:		Zeile 55:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+Das Gesamtsystem erfüllt die Nyquistbedingung.		+Das Gesamtsystem erfüllt die Nyquistbedingung.
	-Der Crestfaktor ist $C_{\rm S} = 1$.		-Der Crestfaktor ist  $C_{\rm S} = 1$.
	+Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ ist an den Sendegrundimpuls $G_{s}(f)$ angepasst.		+Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  ist an den Sendegrundimpuls  $G_{s}(f)$  angepasst.

	{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$ (bezogen auf $1 Ω$) gilt?		{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$  $($bezogen auf  $1 Ω)$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$		$p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme\|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].		*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
	*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:		*Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.6 Wurzel-Nyquist-System nach Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System

2018-01-04T06:20:13Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.6 Wurzel-Nyquist-System nach Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 08:20 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 6. November 2017 um 07:36 Uhr

2017-11-06T07:36:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2017, 09:36 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	Der Rolloff–Faktor beträgt		Der Rolloff–Faktor beträgt
	:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
	Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein cos$^{2}$–Spektrum.		Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.


	'''(2)'''  Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.		'''(2)'''  Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.

	'''(3)'''  Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung~~, weil die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> zutreffen~~. Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.
			'''(3)'''  Die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> sind zutreffend:
			*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
			*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.


	'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:		'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:
Zeile 80:		Zeile 85:
	A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f		A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
	= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$		= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
	Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich weiter:		Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm
	V^2/Hz}}}\right)=		V^2/Hz}}}\right)=

← Nächstältere Version		Version vom 4. Mai 2022, 10:59 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $\|f\| \leq f_{2}$:		'''(1)'''  Mit den Funktionen  $G_{s}(f)$  und  $H_{\rm E}(f)$  gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für  $\|f\| \leq f_{2}$:
	:$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$		:$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$
	*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$.		*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen  $f_{1} = 0$  und  $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
	* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):		* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz  (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
	:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 }
	{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$		{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
	*Der Rolloff–Faktor beträgt		*Der Rolloff–Faktor beträgt
	:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
	*Das bedeutet:   $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.		*Das bedeutet:   $G_{d}(f)$  beschreibt ein  $\cos^{2}$–Spektrum.



	'''(2)'''  Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.		'''(2)'''  Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer  $T$  lautet:  $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.
	*Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$.		*Daraus folgt für die Bitrate  $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$.
	*Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.		*Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.



	'''(3)'''  Die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> sind zutreffend:		'''(3)'''  Die  <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u>  sind zutreffend:
	*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.		*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
	*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.		*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung.  Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde  $C_{\rm S} > 1$ gelten.


Zeile 98:		Zeile 98:
	A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f		A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
	= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$		= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
	*Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:		*Mit  $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$  ergibt sich daraus weiter:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm
	V^2/Hz}}}\right)=		V^2/Hz}}}\right)=

← Nächstältere Version		Version vom 4. Februar 2019, 18:43 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	'''(1)'''  Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $\|f\| \leq f_{2}$:		'''(1)'''  Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $\|f\| \leq f_{2}$:
	:$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$		:$$G_d(f) = G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$
	Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):		*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
			* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
	:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \frac{f_1 +f_2 }
	{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$		{2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
	Der Rolloff–Faktor beträgt		*Der Rolloff–Faktor beträgt
	:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
	Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.		*Das bedeutet:   $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.


	'''(2)'''  Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.
			'''(2)'''  Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.
			*Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$.
			*Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.



Zeile 84:		Zeile 89:
	*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.		*Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
	*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.		*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.



	'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:		'''(4)'''  Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:		*Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:
	:$$E_{\rm B} = \		:$$E_{\rm B} = \
	\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f =		\int_{-\infty}^{+\infty}\|G_s(f)\|^2 \,{\rm d} f =
	A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f		A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
	= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$		= \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
	Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:		*Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm
	V^2/Hz}}}\right)=		V^2/Hz}}}\right)=