Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Mai 2022 um 08:59 Uhr

2022-05-04T08:59:46Z

Guenter am 4. Mai 2022 um 08:56 Uhr

2022-05-04T08:56:12Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:00Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 4. Februar 2019 um 16:43 Uhr

2019-02-04T16:43:38Z

Guenter am 4. Februar 2019 um 16:39 Uhr

2019-02-04T16:39:27Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.6 Wurzel-Nyquist-System nach Aufgaben:Aufgabe 1.6: Wurzel-Nyquist-System

2018-01-04T06:20:13Z

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Guenter am 6. November 2017 um 07:36 Uhr

2017-11-06T07:36:54Z

Guenter am 6. November 2017 um 07:27 Uhr

2017-11-06T07:27:38Z

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-11-05T22:20:45Z

Musterlösung

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$:
+'''(1)'''&nbsp; Mit den Funktionen&nbsp; $G_{s}(f)$&nbsp; und&nbsp; $H_{\rm E}(f)$&nbsp; gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für&nbsp; $|f| \leq f_{2}$:
 :$$G_d(f)  =   G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$
-*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
+*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen&nbsp; $f_{1} = 0$&nbsp; und&nbsp; $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
-* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
+* Daraus folgt für die Nyquistfrequenz&nbsp; (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
 :$$f_{\rm Nyq} =  \frac{f_1 +f_2 }
 {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
 *Der Rolloff–Faktor beträgt
 :$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
-*Das bedeutet: &nbsp; $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.
+*Das bedeutet: &nbsp; $G_{d}(f)$&nbsp; beschreibt ein&nbsp; $\cos^{2}$–Spektrum.
-'''(2)'''&nbsp; Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.
+'''(2)'''&nbsp; Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer&nbsp; $T$&nbsp; lautet:&nbsp; $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$.
-*Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$.
+*Daraus folgt für die Bitrate&nbsp; $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$.
 *Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.
-'''(3)'''&nbsp; Die <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u> sind zutreffend:
+'''(3)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>erste und die dritte Lösungsalternative</u>&nbsp; sind zutreffend:
 *Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
-*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.
+*Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung.&nbsp; Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde&nbsp; $C_{\rm S} > 1$ gelten.
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   A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
    = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
+*Mit&nbsp; $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$&nbsp; ergibt sich daraus weiter:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm
   V^2/Hz}}}\right)=

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-[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png|right|frame|Sender & Empfänger: Cosinus-Spektrum]]
+[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png|right|frame|Cosinus-Spektrum&nbsp; (Sender & Empfänger)]]
 Die nebenstehende Grafik zeigt
 *das Spektrum &nbsp;$G_{s}(f)$&nbsp; des Sendegrundimpulses,
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-eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:
+eines binären und bipolaren Übertragungssystems,&nbsp; die zueinander formgleich sind:
 :$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right)  \\
   \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\  {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\
 \end{array}$$
-In der gesamten Aufgabe gelte &nbsp;$A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 1 \ \rm MHz$.
+In der gesamten Aufgabe gelte&nbsp; &nbsp;$A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 1 \ \rm MHz$.
-*Unter der Voraussetzung, dass die Bitrate &nbsp;$R = 1/T$&nbsp; richtig gewählt wird, erfüllt der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$&nbsp; das erste Nyquistkriterium.
+*Unter der Voraussetzung,&nbsp; dass die Bitrate &nbsp;$R = 1/T$&nbsp; richtig gewählt wird,&nbsp; erfüllt der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$&nbsp; das erste Nyquistkriterium.
 *Bei der dazugehörigen Spektralfunktion &nbsp;$G_{d}(f)$&nbsp; erfolgt dabei der Flankenabfall cosinusförmig ähnlich einem Cosinus–Rolloff–Spektrum.
 *Der Rolloff–Faktor &nbsp;$r$&nbsp; ist in dieser Aufgabe zu ermitteln.
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 *Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
 :$$C_{\rm S} =  \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}=  {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Nyquistspektrum &nbsp;$G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?
+{Berechnen Sie das Nyquistspektrum &nbsp;$G_{d}(f)$.&nbsp; Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?
 |type="{}"}
 $f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$
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 +Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist an den Sendegrundimpuls &nbsp;$G_{s}(f)$&nbsp; angepasst.
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens &nbsp;$N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$&nbsp; $($bezogen auf &nbsp;$1 Ω)$&nbsp; gilt?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich,&nbsp; wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens &nbsp;$N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$&nbsp; $($bezogen auf &nbsp;$1 Ω)$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
-*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
 *Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
 :$$C_{\rm S} =  \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}=  {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$

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 '''(1)'''&nbsp; Mit den Funktionen $G_{s}(f)$ und $H_{\rm E}(f)$ gilt für das Spektrum des Detektionsgrundimpulses für $|f| \leq f_{2}$:
 :$$G_d(f)  =   G_s(f) \cdot H_{\rm E}(f) = A \cdot \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right).$$
-Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz (Symmetriepunkt bezüglich des Flankenabfalls):
+*Nach der allgemeinen Definition des Cosinus–Rolloff–Spektrums ergeben sich die Eckfrequenzen $f_{1} = 0$ und $f_{2} = 1\ \rm MHz$.
 :$$f_{\rm Nyq} =  \frac{f_1 +f_2 }
 {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-Der Rolloff–Faktor beträgt
+*Der Rolloff–Faktor beträgt
 :$$r = \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 } \hspace{0.1cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.
+*Das bedeutet: &nbsp; $G_{d}(f)$ beschreibt ein $\cos^{2}$–Spektrum.
 '''(2)'''&nbsp; Der Zusammenhang zwischen Nyquistfrequenz und Symboldauer $T$ lautet $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$. Daraus folgt für die Bitrate $R = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}\ \underline{= 1 \ \rm Mbit/s}$. Beachten Sie die unterschiedlichen Einheiten für Frequenz und Bitrate.
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 *Es handelt es sich um ein optimales Binärsystem unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
 *Der Crestfaktor ist bei Leistungsbegrenzung nicht von Bedeutung. Bei den hier gegebenen Voraussetzungen würde $C_{\rm S} > 1$ gelten.
 '''(4)'''&nbsp; Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit eines optimalen Systems kann wie folgt berechnet werden:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:
+*Im vorliegenden Beispiel erhält man für die mittlere Energie pro Bit:
 :$$E_{\rm B}  = \
   \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f  =
   A^2 \cdot \int_{-1/T}^{+1/T} H_{\rm Nyq}(f) \,{\rm d} f
    = \ \frac {A^2}{T} = \frac {(10^{-6}\,{\rm V/Hz})^2}{10^{-6}\,{\rm s}} = 10^{-6}\,{\rm V^2s}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
+*Mit $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8} \ \rm V^{2}/Hz$ ergibt sich daraus weiter:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \sqrt{\frac{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2s}}{8 \cdot 10^{-8}\,{\rm
   V^2/Hz}}}\right)=

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-[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png|right|frame|Cosinus-Spektrum]]
+[[Datei:P_ID1292__Dig_A_1_6.png|right|frame|Sender & Empfänger: Cosinus-Spektrum]]
 Die nebenstehende Grafik zeigt
-*das Spektrum $G_{s}(f)$ des Sendegrundimpulses,
+*das Spektrum &nbsp;$G_{s}(f)$&nbsp; des Sendegrundimpulses,
-*den Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ des Empfangsfilters
+*den Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; des Empfangsfilters
 eines binären und bipolaren Übertragungssystems, die zueinander formgleich sind:
 :$$G_s(f)  =   \left\{ \begin{array}{c} A \cdot \cos \left( \frac {\pi \cdot f}{2 \cdot f_2} \right)  \\
@@ Zeile 19: / Zeile 21: @@
 \begin{array}{*{20}c}|f| \le f_2 \hspace{0.05cm}, \\ \\  {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \\
 \end{array}$$
-In der gesamten Aufgabe gelte $A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$ und $f_{2} = 1 \ \rm MHz$.
+In der gesamten Aufgabe gelte &nbsp;$A = 10^{–6} \ \rm V/Hz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 1 \ \rm MHz$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
-*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+*Zahlenwerte der Q–Funktion liefert zum Beispiel das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
 *Der Crestfaktor ist der Qotient aus Maximalwert und Effektivwert des Sendesignals und damit ein Maß für die sendeseitigen Impulsinterferenzen:
 :$$C_{\rm S} =  \frac{s_0}{\sqrt{E_{\rm B}/T}} = \frac{{\rm Max}[s(t)]}{\sqrt{{\rm E}[s^2(t)]}}=  {s_0}/{s_{\rm eff}}.$$
@@ Zeile 35: / Zeile 43: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie das Nyquistspektrum $G_{d}(f)$. Wie groß sind Nyquistfrequenz und Rolloff–Faktor?
+{Berechnen Sie das Nyquistspektrum &nbsp;$G_{d}(f)$. Wie groß sind die Nyquistfrequenz und der Rolloff–Faktor?
 |type="{}"}
 $f_{\rm Nyq} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm MHz$
@@ Zeile 47: / Zeile 55: @@
 |type="[]"}
 +Das Gesamtsystem erfüllt die Nyquistbedingung.
--Der Crestfaktor ist $C_{\rm S} = 1$.
+-Der Crestfaktor ist &nbsp;$C_{\rm S} = 1$.
-+Das Empfangsfilter $H_{\rm E}(f)$ ist an den Sendegrundimpuls $G_{s}(f)$ angepasst.
++Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; ist an den Sendegrundimpuls &nbsp;$G_{s}(f)$&nbsp; angepasst.
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens $N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$ (bezogen auf $1 Ω$) gilt?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn für die Leistungsdichte des AWGN–Rauschens &nbsp;$N_{0} = 8 \cdot 10^{–8}\ \rm V^{2}/Hz$&nbsp; $($bezogen auf &nbsp;$1 Ω)$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ = \ ${ 0.287 3% } $\ \cdot 10^{-6}$