Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 9. September 2021 um 16:42 Uhr

2021-09-09T16:42:16Z

Guenter am 23. Oktober 2019 um 09:07 Uhr

2019-10-23T09:07:53Z

Guenter am 23. Oktober 2019 um 08:52 Uhr

2019-10-23T08:52:21Z

Guenter am 6. November 2018 um 08:51 Uhr

2018-11-06T08:51:14Z

Guenter am 6. November 2018 um 08:50 Uhr

2018-11-06T08:50:15Z

Guenter am 6. November 2018 um 08:41 Uhr

2018-11-06T08:41:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Februar 2018 um 14:55 Uhr

2018-02-16T14:55:24Z

Guenter am 16. Februar 2018 um 14:45 Uhr

2018-02-16T14:45:23Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckige Impulsantwort nach Aufgaben:Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort

2018-02-16T14:36:42Z

Guenter verschob die Seite Aufgabe 1.6: Rechteckige Impulsantwort nach Aufgabe 1.6: Rechteckförmige Impulsantwort

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2021, 16:42 Uhr
Zeile 118:		Zeile 118:


−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 ~~Einige systemtheoretische~~ Tiefpassfunktionen^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Bedingung $H(f = 0) = 1$ bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich $1$ ist. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Die Bedingung&nbsp; $H(f = 0) = 1$&nbsp; bedeutet, dass die Fläche der Impulsantwort gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist. &nbsp; Daraus folgt:
 :$$k = {1}/{\Delta t} \hspace{0.15cm}\underline{= 500\hspace{0.1cm}{ 1/{\rm s}}} .$$
 '''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und  4</u>:
-*Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich als das Faltungsprodukt von $x(t)$ und $h(t)$.
+*Das Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergibt sich als das Faltungsprodukt von&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$.
-*Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei $t = 0$:
+*Die Faltung zweier gleich breiter Rechtecke ergibt ein Dreieck mit dem Maximum bei&nbsp; $t = 0$:
 :$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {k \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau =
 \hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot  \int_{ - 1\,{\rm ms} }^{ 1\,{\rm ms} } {\frac{1}{2\,{\rm ms}} \hspace{0.1cm}}{\rm d}\tau= 1\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
 [[Datei: P_ID859__LZI_A_1_6_c.png | Trapezimpuls| rechts|frame]]
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze.
+*Die Faltung zweier unterschiedlich breiter Rechtecke führt zum trapezförmigen Ausgangssignal gemäß der Skizze.
 *Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von &nbsp;$-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; bis &nbsp;$+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf und beträgt
 :$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot  \frac{1}{2\,{\rm
@@ Zeile 96: / Zeile 98: @@
 [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und  4</u>:
-*Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: &nbsp; $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt.
+*Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: &nbsp; $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$&nbsp; Beide Anteile sind in der Skizze dargestellt.
-*Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind  dargestellt:
+*Durch Integration über&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; und Multiplikation mit&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; kommt man zum gesuchten Signal&nbsp; $z(t)$. <br>In der unteren Skizze sind  dargestellt:
-:*das Integral über &nbsp;$δ(t)$&nbsp; blau,
+:#das Integral über &nbsp;$δ(t)$&nbsp; blau,
-:*die Funktion &nbsp;$-σ(t)$&nbsp; rot, und
+:#die Funktion &nbsp;$-σ(t)$&nbsp; rot,&nbsp; und
-:*das gesamte Signal &nbsp;$z(t)$&nbsp; grün.
+:#das gesamte Signal &nbsp;$z(t)$&nbsp; grün.
-*$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: &nbsp; Der Signalwert bei $t = 0$  liegt genau in der Mitte zwischen dem links&ndash; und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0.
+*$z(t)$&nbsp; ist eine ungerade Funktion in&nbsp; $t$&nbsp; mit einer Sprungstelle bei&nbsp; $t = 0$: &nbsp; Der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp;  liegt genau in der Mitte zwischen dem links&ndash; und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit Null.
-*Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
+*Für&nbsp; $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; gilt ebenfalls&nbsp; $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
 <br clear=all>
 [[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]]
-'''(5)'''&nbsp; Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t = 0$  auf $1$ springt und bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert Null abklingt. Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm  ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
+'''(5)'''&nbsp; Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm HP}(t)$&nbsp; und die Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$.
-*Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.
+*Das Signal&nbsp; $z(t)$&nbsp; ist formgleich mit der Sprungantwort&nbsp; $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; zu multiplizieren.
-*Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ ergibt sich zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5}$.
+*Der gesuchte Signalwert zur Zeit&nbsp; $t_1 = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; ergibt sich also zu&nbsp; $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5 \: {\rm V}}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID858__LZI_A_1_6.png|right|frame|Rechteckförmige Impulsantwort, akausal und kausal]]
 Wir betrachten im Folgenden die in der Grafik gezeigte Konstellation:
-*Der Frequenzgang $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$ im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
+*Der Frequenzgang&nbsp; $H(f) = H_1(f) · H_2(f)$&nbsp; im unteren Zweig ist durch die Impulsantworten seiner beiden Teilkomponenten festgelegt.
-*Hierbei ist $h_1(t)$ im Bereich von $-1\ \rm ms$ bis $+1\ \rm ms$ konstant gleich $k$ und außerhalb Null.
+*Hierbei ist&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-1\ \rm ms$&nbsp; bis&nbsp; $+1\ \rm ms$&nbsp; konstant gleich&nbsp; $k$&nbsp; und außerhalb Null.
 *An den Bereichsgrenzen gilt jeweils der halbe Wert.
-*Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit $Δt = 2 \ \rm ms$.
+*Die im Bild eingezeichnete Zeitvariable ist somit&nbsp; $Δt = 2 \ \rm ms$.
-Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion $H_2(f)$ lautet:
+Die Impulsantwort der zweiten Systemfunktion&nbsp; $H_2(f)$&nbsp; lautet:
 :$$h_2(t) =  \delta(t - \tau).$$
-Der Frequenzgang zwischen den Signalen $x(t)$ und $z(t)$ hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:
+Der Frequenzgang zwischen den Signalen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $z(t)$&nbsp; hat Hochpass–Charakter und lautet allgemein:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - H_1(f) \cdot {\rm e}^{-{\rm j\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi}f \tau}.$$
-*Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(4)''' gelte $τ = 0$ &nbsp;&rArr;&nbsp; $H(f) = H_1(f)$.
+*Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; gelte&nbsp; $τ = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $H(f) = H_1(f)$.
-*Mit $τ = 0$ kann hierfür aber auch geschrieben werden $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
+*Mit&nbsp; $τ = 0$&nbsp; kann hierfür aber auch geschrieben werden&nbsp; $(Δt = 2 \ \rm ms)$:
 :$$H_{\rm HP}(f) = 1 - {\rm si}( \pi \cdot {\rm \Delta}t \cdot f).$$
-Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für $τ ≠ 0$&nbsp; nicht anwendbar ist, wegen:
+*Ohne Auswirkung auf die Lösung der Aufgabe ist anzumerken, dass diese Gleichung für&nbsp; $τ ≠ 0$&nbsp; nicht anwendbar ist, wegen:
 :$$|H_{\rm HP}(f)|\hspace{0.09cm} \ne \hspace{0.09cm}1 - |H_1(f)| .$$
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Höhe $k$ der Impulsantwort $h_1(t)$ unter der Nebenbedingung $H_1(f = 0) = 1$.
+{Berechnen Sie die Höhe&nbsp; $k$&nbsp; der Impulsantwort&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; unter der Nebenbedingung&nbsp; $H_1(f = 0) = 1$.
 |type="{}"}
 $k \ =\ $ { 500 3% } $\ \rm 1/s$
-{Das Eingangssignal $x(t)$ sei ein um $t = 0$  symmetrisches Rechteck der Dauer &nbsp;$T = 2 \ \rm ms$&nbsp; und der Höhe &nbsp;$1 \, \rm V$. Es gelte $τ = 0$ . <br>Welche Aussagen sind zutreffend?
+{Das Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; sei ein um&nbsp; $t = 0$&nbsp;  symmetrisches Rechteck der Dauer &nbsp;$T = 2 \ \rm ms$&nbsp; und der Höhe &nbsp;$1 \, \rm V$. Es gelte&nbsp; $τ = 0$ . <br>Welche Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- $y(t)$ ist rechteckförmig.
+- $y(t)$&nbsp; ist rechteckförmig.
-+ $y(t)$ ist dreieckförmig.
++ $y(t)$&nbsp; ist dreieckförmig.
-- $y(t)$ ist trapezförmig.
+- $y(t)$&nbsp; ist trapezförmig.
-+ Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$.
++ Der Maximalwert von&nbsp; $y(t)$&nbsp; beträgt&nbsp; $ 1\hspace{0.05cm} \rm V$.
-{Welche Aussagen treffen zu, wenn $x(t)$ die Rechteckbreite &nbsp;$T = 2 \ \rm ms$&nbsp; besitzt?
+{Welche Aussagen treffen zu, wenn&nbsp; $x(t)$&nbsp; die Rechteckbreite &nbsp;$T = 1 \ \rm ms$&nbsp; besitzt?
 |type="[]"}
-- $y(t)$ ist rechteckförmig.
+- $y(t)$&nbsp; ist rechteckförmig.
-- $y(t)$ ist dreieckförmig.
+- $y(t)$&nbsp; ist dreieckförmig.
-+ $y(t)$ ist trapezförmig.
++ $y(t)$&nbsp; ist trapezförmig.
-- Der Maximalwert von $y(t)$ beträgt $1\hspace{0.05cm} \rm V$.
+- Der Maximalwert von&nbsp; $y(t)$&nbsp; beträgt&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \rm V$.
-{Es gelte weiter $τ =  0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal $z(t)$, wenn $x(t)$ zum Zeitpunkt $t = 0$ von Null auf $1\hspace{0.05cm} \rm V$ springt. <br>Welche Aussagen treffen zu?
+{Es gelte weiter&nbsp; $τ =  0$. Berechnen Sie das Ausgangssignal&nbsp; $z(t)$, wenn&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; von Null auf&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; springt. <br>Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
-- $z(t)$ ist eine gerade Funktion der Zeit.
+- $z(t)$&nbsp; ist eine gerade Funktion der Zeit.
-+ $z(t)$ weist bei $t = 0$ eine Sprungstelle auf.
++ $z(t)$&nbsp; weist bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; eine Sprungstelle auf.
-+ Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $z(t) = 0$.
++ Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist&nbsp; $z(t) = 0$.
-+ Für $t > 1 \ \rm ms$ ist $z(t) = 0$.
++ Für&nbsp; $t > 1 \ \rm ms$&nbsp; ist&nbsp; $z(t) = 0$.
-{Welchen Verlauf hat $z(t)$ als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal $x(t)$, wenn die Laufzeit &nbsp;$τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; ist? <br>Welcher Signalwert tritt bei &nbsp;$t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf?
+{Welchen Verlauf hat&nbsp; $z(t)$&nbsp; als Antwort auf das sprungförmige Eingangssignal&nbsp; $x(t)$, wenn die Laufzeit &nbsp;$τ =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; ist? <br>Welcher Signalwert tritt bei &nbsp;$t =1 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $z(t = 1 \rm \ ms) =\ $ { 0.5 3% } $\ \rm V$

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Spalttiefpass|Spalt&ndash;Tiefpass]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Spalt.E2.80.93Tiefpass|Spalt&ndash;Tiefpass]].

@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 *Die Faltung von zwei unterschiedlich breiten Rechtecken führt zu einem trapezförmigen Ausgangssignal entsprechend der Skizze.
-*Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von $-0.5 \ \rm ms$ bis $+0.5 \ \rm ms$ auf und beträgt
+*Der Maximalwert tritt im konstanten Bereich von &nbsp;$-0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; bis &nbsp;$+0.5 \hspace{0.05cm} \rm ms$&nbsp; auf und beträgt
 :$$y(t = 0 ) = 1\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot  \frac{1}{2\,{\rm
   ms}} \hspace{0.05cm}\cdot 1\,{\rm  ms} = 0.5\hspace{0.05cm}{\rm V}.$$
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 [[Datei: P_ID860__LZI_A_1_6_d.png | Akausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]]
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und  4</u>:
-*Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt.
+*Die Impulsantwort des Gesamtsystems lautet: &nbsp; $h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h(t).$ Diese beiden Anteile sind in der Skizze dargestellt.
-*Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \ \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind  dargestellt:
+*Durch Integration über $h_{\rm HP}(t)$ und Multiplikation mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ kommt man zum gesuchten Signal $z(t)$. In der unteren Skizze sind  dargestellt:
-:*das Integral über $δ(t)$ blau,
+:*das Integral über &nbsp;$δ(t)$&nbsp; blau,
-:*die Funktion $–σ(t)$ rot, und
+:*die Funktion &nbsp;$-σ(t)$&nbsp; rot, und
-:*das gesamte Signal $z(t)$ grün.
+:*das gesamte Signal &nbsp;$z(t)$&nbsp; grün.
-*$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: Der Signalwert bei $t = 0$  liegt genau in der Mitte zwischen dem links&ndash; und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0.
+*$z(t)$ ist eine ungerade Funktion in $t$ mit einer Sprungstelle bei $t = 0$: &nbsp; Der Signalwert bei $t = 0$  liegt genau in der Mitte zwischen dem links&ndash; und dem rechteckseitigem Grenzwert und ist somit 0.
-*Für $t > 1 \ \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
+*Für $t > 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$ gilt ebenfalls $z(t) = 0$, da das Gesamtsystem eine Hochpass-Charakteristik aufweist.
 <br clear=all>
 [[Datei: P_ID861__LZI_A_1_6_e.png | Kausale HP–Sprungantwort | rechts|frame]]
-'''(5)'''&nbsp; Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t = 0$  auf $1$ springt und bis zum Zeitpunkt $t = 2 \ \rm ms$ auf den Endwert Null abklingt. Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm  ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
+'''(5)'''&nbsp; Die untere Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ und die Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, die bei $t = 0$  auf $1$ springt und bis zum Zeitpunkt $t = 2 \hspace{0.05cm} \rm ms$ auf den Endwert Null abklingt. Zum Zeitpunkt $t = 1\ \rm  ms$ ergibt sich $σ_{\rm HP}(t) = 0.5$.
-Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \ \rm V$ zu multiplizieren. Der gesuchte Signalwert zur Zeit $t_1 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich zu $z(t_1) \; \rm \underline{ = \ 0.5}$.
+*Das Signal $z(t)$ ist formgleich mit der Sprungantwort $σ_{\rm HP}(t)$, ist jedoch noch mit $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ zu multiplizieren.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Spalttiefpass|Spalt&ndash;Tiefpass]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.