Aufgaben:Aufgabe 1.6: AKF und LDS bei Rice–Fading - Versionsgeschichte

Guenter am 17. Februar 2022 um 13:51 Uhr

2022-02-17T13:51:07Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 14:59 Uhr

2020-05-12T14:59:32Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 14:48 Uhr

2020-05-12T14:48:33Z

Guenter am 6. April 2019 um 13:49 Uhr

2019-04-06T13:49:39Z

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2019-04-06T13:42:45Z

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2018-06-19T06:09:34Z

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2018-05-29T12:02:39Z

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2017-12-04T11:00:16Z

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Guenter am 13. November 2017 um 07:54 Uhr

2017-11-13T07:54:37Z

Guenter am 13. November 2017 um 07:49 Uhr

2017-11-13T07:49:57Z

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 + LDS&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$.
-{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big]$ für verschiedene Werte von&nbsp; $|z_0|^2$.&nbsp; Es gelte&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
+{Berechnen Sie den quadratischen Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big]$ für verschiedene Werte von&nbsp; $|z_0|^2$.&nbsp; Es gelte&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
 |type="{}"}
 $|z_0|^2 = 0\text{:} \hspace{0.52cm} {\rm E}\big[|z(t)|^2\big] \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm $
@@ Zeile 123: / Zeile 123: @@
-'''(3)''' Der quadratische Mittelwert könnte zum Beispiel aus der Betrags&ndash;WDF berechnet werden:
+'''(3)''' Der quadratische Erwartungswert, also das&nbsp; "Moment zweiter Ordnung",&nbsp; könnte zum Beispiel aus der Betrags&ndash;WDF berechnet werden:
-:$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = {\rm E}\left [ a^2 \right ] = \int_{0}^{\infty}a^2 \cdot f_a(a)\hspace{0.15cm}{\rm d}a
+:$$m_2 = {\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = {\rm E}\left [ a^2 \right ] = \int_{0}^{\infty}a^2 \cdot f_a(a)\hspace{0.15cm}{\rm d}a
     \hspace{0.05cm}.$$
-*Gleichzeitig ist der quadratische Mittelwert &ndash; also die Leistung &ndash; auch durch die AKF bestimmt:
+*Gleichzeitig ist das Moment&nbsp; $m_2$&nbsp; &ndash; also die Leistung &ndash; auch durch die AKF bestimmt:
 :$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = \varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \cdot \varphi_u ({\rm \Delta}t = 0) + |z_0|^2 = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2
     \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)''' Das <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> ergibt sich aus dem <i>Rice&ndash;Fading</i> mit $|z_0|^2 \ \underline {= \ 0}$.
+'''(1)''' Das <i>Rayleigh&ndash;Fading</i> ergibt sich aus dem <i>Rice&ndash;Fading</i> mit&nbsp; $|z_0|^2 \ \underline {= \ 0}$.
@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 Es ist offensichtlich, dass
-* $f_x(x)$ von $x_0$ abhängt,
+* $f_x(x)$&nbsp; von&nbsp; $x_0$&nbsp; abhängt,
-* $f_y(y)$ von $y_0$ abhängt,
+* $f_y(y)$&nbsp; von&nbsp; $y_0$&nbsp; abhängt,
-* $f_{\rm \phi}(\phi)$ vom Verhältnis $y_0/x_0$ abhängt.
+* $f_{\rm \phi}(\phi)$&nbsp; vom Verhältnis&nbsp; $y_0/x_0$&nbsp; abhängt.
-Die angegebene Gleichung für die WDF $f_a(a)$ zeigt, dass der Betrag $a$ nur von $|z_0|$ abhängt.
+Die angegebene Gleichung für die WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; zeigt, dass der Betrag&nbsp; $a$&nbsp; nur von&nbsp; $|z_0|$&nbsp; abhängt.
-Für die AKF gilt mit $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$:
+*Für die AKF gilt mit&nbsp; $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$:
 :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right] =  {\rm E}\left [ \left ( x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \right )\cdot (x(t + {\rm \Delta}t) - {\rm j} \cdot (y(t+ {\rm \Delta}t)\right ]
   \hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen Real&ndash; und Imaginärteil kann man die Gleichung wie folgt vereinfachen:
+*Aufgrund der statistischen Unabhängigkeit zwischen Real&ndash; und Imaginärteil kann man die Gleichung wie folgt vereinfachen:
 :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  {\rm E}\left [ x(t) \cdot x(t + {\rm \Delta}t)\right ] +
   {\rm E}\left [ y(t) \cdot y(t + {\rm \Delta}t)\right ] \hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Anteil ergibt mit $x(t) = u(t) + x_0$ und $t' = t + \Delta t$:
+*Der erste Anteil ergibt mit&nbsp; $x(t) = u(t) + x_0$&nbsp; und&nbsp; $t' = t + \Delta t$:
 :$${\rm E}\left [ x(t) \cdot x(t')\right ] = {\rm E}\left [ u(t) \cdot u(t')\right ] + x_0 \cdot {\rm E}\left [ u(t) \right ]
    + x_0 \cdot {\rm E}\left [ u(t') \right ] + x_0^2\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
     \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist berücksichtigt, dass die Gaußsche Zufallsgröße $u(t)$ mittelwertfrei ist und die Varianz $\sigma^2$ besitzt.
+*Hierbei ist berücksichtigt, dass die Gaußsche Zufallsgröße&nbsp; $u(t)$&nbsp; mittelwertfrei ist und die Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; besitzt.
-In gleicher Weise erhält man mit $y(t) = \upsilon (t) + y_0$:
+*In gleicher Weise erhält man mit&nbsp; $y(t) = \upsilon (t) + y_0$:
 :$${\rm E}\left [ y(t) \cdot y(t + {\rm \Delta}t)\right ] = \ ... \ = \varphi_v ({\rm \Delta}t) + y_0^2 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t) = \varphi_u ({\rm \Delta}t) + \varphi_v ({\rm \Delta}t)  + x_0^2 + y_0^2
@@ Zeile 119: / Zeile 119: @@
     \hspace{0.05cm}.$$
-Wenn aber die AKF $\varphi_z(\Delta t)$ nur von $|z_0^2|$ abhängt, dann gilt dies auch für die Fouriertransformierte &bdquo;LDS&rdquo;.
+*Wenn aber die AKF &nbsp; $\varphi_z(\Delta t)$ &nbsp; nur von&nbsp; $|z_0^2|$ abhängt, dann gilt dies auch für die Fouriertransformierte &bdquo;LDS&rdquo;.
@@ Zeile 126: / Zeile 127: @@
     \hspace{0.05cm}.$$
-Gleichzeitig ist der quadratische Mittelwert &ndash; also die Leistung &ndash; auch durch die AKF bestimmt:
+*Gleichzeitig ist der quadratische Mittelwert &ndash; also die Leistung &ndash; auch durch die AKF bestimmt:
 :$${\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = \varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \cdot \varphi_u ({\rm \Delta}t = 0) + |z_0|^2 = 2 \cdot \sigma^2 + |z_0|^2
     \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $\sigma = 1$ erhält man somit folgende numerische Ergebnisse:
+*Mit&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; erhält man somit folgende numerische Ergebnisse:
 :$$ \ \ |z_0|^2 = 0\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 0 \hspace{0.15cm} \underline{ = 2}   \hspace{0.05cm},$$
 :$$ \ \ |z_0|^2 = 2\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 2 \hspace{0.15cm} \underline{ = 4}   \hspace{0.05cm},$$
-:$$|z_0|^2 = 10\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 10 \hspace{0.15cm} \underline{ = 12}   \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\ \ |z_0|^2 = 10\text{:} \ \hspace{0.3cm}{\rm E}\left [ |z(t)|^2 \right ] = 2 + 10 \hspace{0.15cm} \underline{ = 12}   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, wie bereits in der Musterlösung zu '''(2)''' hergeleitet.
+'''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, wie bereits in der Musterlösung zu&nbsp; '''(2)'''&nbsp; hergeleitet wurde.
 Richtig wären auch die folgenden Aussagen:
@@ Zeile 145: / Zeile 146: @@
 '''(5)''' <u>Alle Lösungsvorschläge treffen zu</u>.
-* Das &bdquo;schwarze&rdquo; LDS ist ein [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]] und damit auch kontinuierlich, das heißt, innerhalb eines Intervalls sind alle Frequenzen vorhanden.
+* Das &bdquo;schwarze&rdquo; LDS ist ein&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]]&nbsp; und damit auch kontinuierlich, das heißt, innerhalb eines Intervalls sind alle Frequenzen vorhanden.
-* In der Autokorrelationsfunktion (AKF) des blauen bzw. des grünen Kanals tritt zusätzlich die Konstante $|z_0|^2$ auf.
+* In der Autokorrelationsfunktion (AKF) des blauen bzw. des grünen Kanals tritt zusätzlich die Konstante&nbsp; $|z_0|^2$&nbsp; auf.
-* Im Leistungsdichtespektrum (LDS) gibt es wegen dieser Konstanten in der AKF jeweils Diracfunktionen bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$ mit dem Gewicht $|z_0|^2$.
+* Im Leistungsdichtespektrum (LDS) gibt es wegen dieser Konstanten in der AKF jeweils Diracfunktionen bei der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $|z_0|^2$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID2132__Mob_A_1_6.png|right|frame|Rice-WDF für verschiedene Werte von&nbsp; $z_0^2$]]
-Man spricht dann von&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; neben der rein stochastischen Komponente&nbsp; $x(t) +{\rm  j} \cdot y(t)$&nbsp; zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form&nbsp; $x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$&nbsp; aufweist.
+Man spricht von&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; neben der rein stochastischen Komponente&nbsp; $x(t) +{\rm  j} \cdot y(t)$&nbsp; zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form&nbsp; $x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$&nbsp; besitzt.
 Die Gleichungen des Rice&ndash;Fadings lassen sich in aller Kürze wie folgt zusammenfassen:
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Dabei gilt:
-* Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$&nbsp; beschrieben. Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist
+* Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$&nbsp; beschrieben.&nbsp; Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist
 :$$|z_0| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\hspace{0.05cm}.$$
-* $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; und miteinander nicht korreliert. Sie berücksichtigen Streu&ndash;, Brechungs&ndash; und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
+* $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; und miteinander nicht korreliert.&nbsp; Sie berücksichtigen Streu&ndash;, Brechungs&ndash; und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
-* Der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; besitzt eine Rice&ndash;WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist. Die WDF&ndash;Gleichung lautet für&nbsp; $a &#8805; 0$:
+* Der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; besitzt eine Rice&ndash;WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist.&nbsp; Die WDF&ndash;Gleichung lautet für&nbsp; $a &#8805; 0$:
 :$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (u)  =
   \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Rice&ndash;WDF für&nbsp; $|z_0|^2 = 0,\ 2, \ 4, \ 10$&nbsp; und &nbsp;$20$. Für alle Kurven gilt&nbsp; $\sigma = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma^2 = 1$.
+Die Grafik zeigt die Rice&ndash;WDF für&nbsp; $|z_0|^2 = 0,\ 2, \ 4, \ 10$&nbsp; und &nbsp;$20$.&nbsp; Für alle Kurven gilt&nbsp; $\sigma = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma^2 = 1$.
-In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die AKF des komplexen Faktors&nbsp; $z(t)$,
+In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$&nbsp; des komplexen Faktors&nbsp; $z(t)$,
 :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]
   \hspace{0.05cm},$$
-sowie das dazugehörige Leistungsdichtespektrum
+sowie das dazugehörige Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$
 :$${\it \Phi}_z (f_{\rm D})
   \hspace{0.3cm}  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 51: / Zeile 54: @@
 $|z_0|^2 \ = \ $ { 0. } $\ \rm $
-{Es gelte&nbsp; $|z_0|^2 \ne 0$. Welche der folgenden Größen hängen nur von&nbsp; $|z_0|^2 = x_0^2$ + $y_0^2$&nbsp; ab, nicht aber von dessen Komponenten&nbsp; $x_0^2$&nbsp; und&nbsp; $y_0^2$&nbsp; allein?
+{Es gelte&nbsp; $|z_0|^2 \ne 0$.&nbsp; Welche der folgenden Größen hängen nur von&nbsp; $|z_0|^2 = x_0^2$ + $y_0^2$ &nbsp; ab, nicht aber von dessen Komponenten&nbsp; $x_0^2$&nbsp; und&nbsp; $y_0^2$&nbsp; allein?
 |type="[]"}
 - WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; des Realteils,
@@ Zeile 60: / Zeile 63: @@
 + LDS&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$.
-{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big]$ für verschiedene Werte von&nbsp; $|z_0|^2$. Es gelte&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
+{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big]$ für verschiedene Werte von&nbsp; $|z_0|^2$.&nbsp; Es gelte&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
 |type="{}"}
 $|z_0|^2 = 0\text{:} \hspace{0.52cm} {\rm E}\big[|z(t)|^2\big] \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm $
@@ Zeile 66: / Zeile 69: @@
 $|z_0|^2 = 10\text{:} \hspace{0.3cm} {\rm E}\big[|z(t)|^2\big] \ = \ $ { 12 3% } $\ \rm $
-{Wie unterscheiden sich die Autokorrelationsfunktionen (kurz: &nbsp; AKF) des schwarzen, des blauen und des grünen Kanals?
+{Wie unterscheiden sich die Autokorrelationsfunktionen&nbsp; (kurz: &nbsp; AKF)&nbsp; des schwarzen, des blauen und des grünen Kanals?
 |type="[]"}
 + Die &bdquo;blaue&rdquo; AKF liegt um den Wert &nbsp;$4$&nbsp; über der &bdquo;schwarzen&rdquo;.
@@ Zeile 72: / Zeile 75: @@
 - Die &bdquo;grüne&rdquo; AKF ist um den Faktor &nbsp;$2.5$&nbsp; breiter als die &bdquo;blaue&rdquo;.
-{Wie unterscheiden sich die Leistungsdichtespektren (kurz: &nbsp; LDS) von schwarzem, blauem und grünem Mobilfunkkanal?
+{Wie unterscheiden sich die Leistungsdichtespektren&nbsp; (kurz: &nbsp; LDS)&nbsp; von schwarzem, blauem und grünem Mobilfunkkanal?
 |type="[]"}
 + Das &bdquo;schwarze&rdquo; LDS ist rein kontinuierlich (kein Dirac).

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
-'''(2)''' Es ist offensichtlich, dass
+'''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 5 und 6</u>:
 * $f_x(x)$ von $x_0$ abhängt,
 * $f_y(y)$ von $y_0$ abhängt,
@@ Zeile 92: / Zeile 94: @@
 Die angegebene Gleichung für die WDF $f_a(a)$ zeigt, dass der Betrag $a$ nur von $|z_0|$ abhängt.
-Für die AKF gilt mit $z(t) = x(t) + j \cdot y(t)$:
+Für die AKF gilt mit $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$:
 :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right] =  {\rm E}\left [ \left ( x(t) + {\rm j} \cdot y(t) \right )\cdot (x(t + {\rm \Delta}t) - {\rm j} \cdot (y(t+ {\rm \Delta}t)\right ]
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 114: / Zeile 116: @@
     \hspace{0.05cm}.$$
-Wenn aber die AKF $\varphi_z(\Delta t)$ nur von $|z_0^2|$ abhängt, dann gilt dies auch für die Fouriertransformierte &bdquo;LDS&rdquo;. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 3, 5 und 6</u>.
+Wenn aber die AKF $\varphi_z(\Delta t)$ nur von $|z_0^2|$ abhängt, dann gilt dies auch für die Fouriertransformierte &bdquo;LDS&rdquo;.
@@ Zeile 131: / Zeile 133: @@
-'''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, wie bereits in der Musterlösung zu (2) hergeleitet. Richtig wären die folgenden Aussagen:
+'''(4)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>, wie bereits in der Musterlösung zu '''(2)''' hergeleitet.
 * Die &bdquo;blaue&rdquo; AKF liegt um 4 über der &bdquo;schwarzen&rdquo;.
 * Die &bdquo;grüne&rdquo; AKF liegt um 6 über der &bdquo;blauen&rdquo;.
@@ Zeile 139: / Zeile 144: @@
 * Das &bdquo;schwarze&rdquo; LDS ist ein [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]] und damit auch kontinuierlich, das heißt, innerhalb eines Intervalls sind alle Frequenzen vorhanden.
 * In der Autokorrelationsfunktion (AKF) des blauen bzw. des grünen Kanals tritt zusätzlich die Konstante $|z_0|^2$ auf.
-* Im Leistungsdichtespektrum (LDS) ergeben sich wegen dieser Konstanten in der AKF jeweils Diracfunktionen bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$ mit dem Gewicht $|z_0|^2$.
+* Im Leistungsdichtespektrum (LDS) gibt es wegen dieser Konstanten in der AKF jeweils Diracfunktionen bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$ mit dem Gewicht $|z_0|^2$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Mobile Kommunikation/Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente}}
-[[Datei:P_ID2132__Mob_A_1_6.png|right|frame|Rice-WDF für verschiedene Werte von $z_0^2$]]
+[[Datei:P_ID2132__Mob_A_1_6.png|right|frame|Rice-WDF für verschiedene Werte von&nbsp; $z_0^2$]]
-Man spricht dann von <i>Rice&ndash;Fading</i>, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor $z(t)$ neben der rein stochastischen Komponente $x(t) +{\rm  j} \cdot y(t)$ zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form $x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$ aufweist.
+Man spricht dann von&nbsp; <i>Rice&ndash;Fading</i>, wenn der den Mobilfunkkanal beschreibende komplexe Faktor&nbsp; $z(t)$&nbsp; neben der rein stochastischen Komponente&nbsp; $x(t) +{\rm  j} \cdot y(t)$&nbsp; zusätzlich einen deterministischen Anteil der Form&nbsp; $x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$&nbsp; aufweist.
 Die Gleichungen des Rice&ndash;Fadings lassen sich in aller Kürze wie folgt zusammenfassen:
@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 Dabei gilt:
-* Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante $z_0 = x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$ beschrieben. Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist
+* Der direkte Pfad wird durch die komplexe Konstante&nbsp; $z_0 = x_0 + {\rm  j} \cdot y_0$&nbsp; beschrieben. Der Betrag dieser zeitinvarianten Komponente ist
 :$$|z_0| = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}\hspace{0.05cm}.$$
-* $u(t)$ und $v(t)$ sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz $\sigma^2$ und miteinander nicht korreliert. Sie berücksichtigen Streu&ndash;, Brechungs&ndash; und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
+* $u(t)$&nbsp; und&nbsp; $v(t)$&nbsp; sind Musterfunktionen mittelwertfreier Gaußscher Zufallsprozesse, beide mit Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; und miteinander nicht korreliert. Sie berücksichtigen Streu&ndash;, Brechungs&ndash; und Beugungseffekte auf einer Vielzahl von indirekten Pfaden.
-* Der Betrag $a(t) = |z(t)|$ besitzt eine Rice&ndash;WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist. Die WDF&ndash;Gleichung lautet für $a &#8805; 0$:
+* Der Betrag&nbsp; $a(t) = |z(t)|$&nbsp; besitzt eine Rice&ndash;WDF, eine Eigenschaft, die für die Namensgebung dieses speziellen Mobilfunkkanals verantwortlich ist. Die WDF&ndash;Gleichung lautet für&nbsp; $a &#8805; 0$:
 :$$f_a(a) = \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm exp} [ -\frac{a^2 + |z_0|^2}{2\sigma^2}] \cdot {\rm I}_0 \left [ \frac{a \cdot |z_0|}{\sigma^2} \right ]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm I }_0 (u)  =
   \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ (u/2)^{2k}}{k! \cdot \Gamma (k+1)}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Grafik zeigt die Rice&ndash;WDF für $|z_0|^2 = 0, 2, 4, 10$ und $20$. Für alle Kurven gilt $\sigma = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma^2 = 1$.
+Die Grafik zeigt die Rice&ndash;WDF für&nbsp; $|z_0|^2 = 0,\ 2, \ 4, \ 10$&nbsp; und &nbsp;$20$. Für alle Kurven gilt&nbsp; $\sigma = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $\sigma^2 = 1$.
-In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die AKF des komplexen Faktors $z(t)$,
+In dieser Aufgabe betrachten wir aber nicht die WDF des Betrags, sondern die AKF des komplexen Faktors&nbsp; $z(t)$,
-:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  {\rm E}\left [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\right ]
+:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  {\rm E}\big [ z(t) \cdot z^{\star}(t + {\rm \Delta}t)\big ]
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
   \hspace{0.3cm}  \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \hspace{0.3cm} \varphi_z ({\rm \Delta}t)
   \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente|Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente|Nichtfrequenzselektives Fading mit Direktkomponente]].
-* Bezug genommen wird auch auf die Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion (AKF)]] und [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum (LDS)]] im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
+* Bezug genommen wird auch auf die Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion (AKF)]]&nbsp; und&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Leistungsdichtespektrum_(LDS)|Leistungsdichtespektrum (LDS)]]&nbsp; im Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;.
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 <quiz display=simple>
-{Welcher $|z_0|^2$&ndash;Wert beschreibt das Rayleigh&ndash;Fading?
+{Welcher&nbsp; $|z_0|^2$&ndash;Wert beschreibt das Rayleigh&ndash;Fading?
 |type="{}"}
 $|z_0|^2 \ = \ $ { 0. } $\ \rm $
-{Es gelte $|z_0|^2 \ne 0$. Welche der folgenden Größen hängen nur von $|z_0|^2$ = $x_0^2$ + $y_0^2$ ab, aber nicht von dessen Komponenten $x_0^2$ und $y_0^2$ allein?
+{Es gelte&nbsp; $|z_0|^2 \ne 0$. Welche der folgenden Größen hängen nur von&nbsp; $|z_0|^2 = x_0^2$ + $y_0^2$&nbsp; ab, nicht aber von dessen Komponenten&nbsp; $x_0^2$&nbsp; und&nbsp; $y_0^2$&nbsp; allein?
 |type="[]"}
-- WDF $f_x(x)$ des Realteils,
+- WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; des Realteils,
-- WDF $f_y(y)$ des Imaginärteils,
+- WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; des Imaginärteils,
-+ WDF $f_a(a)$ des Betrags,
++ WDF&nbsp; $f_a(a)$&nbsp; des Betrags,
-- WDF $f_{\rm \phi}(\phi)$ der Phase,
+- WDF&nbsp; $f_{\rm \phi}(\phi)$&nbsp; der Phase,
-+ AKF $\varphi_z(\Delta t)$ der komplexen Größe $z(t)$,
++ AKF&nbsp; $\varphi_z(\Delta t)$&nbsp; der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$,
-+ LDS ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ der komplexen Größe $z(t)$.
++ LDS&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; der komplexen Größe&nbsp; $z(t)$.
-{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert ${\rm E}[|z(t)|^2]$ für verschiedene Werte von $|z_0|^2$. Es gelte $\sigma^2 = 1$.
+{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[|z(t)|^2\big]$ für verschiedene Werte von&nbsp; $|z_0|^2$. Es gelte&nbsp; $\sigma^2 = 1$.
 |type="{}"}
-$|z_0|^2 = 0\text{:} \hspace{0.52cm} {\rm E}[|z(t)|^2] \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm $
+$|z_0|^2 = 0\text{:} \hspace{0.52cm} {\rm E}\big[|z(t)|^2\big] \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm $
-$|z_0|^2 = 2\text{:} \hspace{0.52cm} {\rm E}[|z(t)|^2] \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm $
+$|z_0|^2 = 2\text{:} \hspace{0.52cm} {\rm E}\big[|z(t)|^2\big] \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm $
-$|z_0|^2 = 10\text{:} \hspace{0.3cm} {\rm E}[|z(t)|^2] \ = \ $ { 12 3% } $\ \rm $
+$|z_0|^2 = 10\text{:} \hspace{0.3cm} {\rm E}\big[|z(t)|^2\big] \ = \ $ { 12 3% } $\ \rm $
-{Wie unterscheiden sich die Autokorrelationsfunktionen (kurz: AKF) des schwarzen, des blauen und des grünen Kanals?
+{Wie unterscheiden sich die Autokorrelationsfunktionen (kurz: &nbsp; AKF) des schwarzen, des blauen und des grünen Kanals?
 |type="[]"}
-+ Die &bdquo;blaue&rdquo; AKF liegt um den Wert 4 über der &bdquo;schwarzen&rdquo;.
++ Die &bdquo;blaue&rdquo; AKF liegt um den Wert &nbsp;$4$&nbsp; über der &bdquo;schwarzen&rdquo;.
-- Die &bdquo;blaue&rdquo; AKF liegt um  den Wert  2 unterhalb der &bdquo;schwarzen&rdquo;.
+- Die &bdquo;blaue&rdquo; AKF liegt um  den Wert  &nbsp;$2$&nbsp; unterhalb der &bdquo;schwarzen&rdquo;.
-- Die &bdquo;grüne&rdquo; AKF ist um den Faktor 2.5 breiter als die &bdquo;blaue&rdquo;.
+- Die &bdquo;grüne&rdquo; AKF ist um den Faktor &nbsp;$2.5$&nbsp; breiter als die &bdquo;blaue&rdquo;.
-{Wie unterscheiden sich die Leistungsdichtespektren (kurz: LDS) von schwarzem, blauem und grünem Mobilfunkkanal?
+{Wie unterscheiden sich die Leistungsdichtespektren (kurz: &nbsp; LDS) von schwarzem, blauem und grünem Mobilfunkkanal?
 |type="[]"}
 + Das &bdquo;schwarze&rdquo; LDS ist rein kontinuierlich (kein Dirac).

← Nächstältere Version	Version vom 19. Juni 2018, 06:09 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 4. Dezember 2017, 11:00 Uhr
(kein Unterschied)