Aufgaben:Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Dezember 2021 um 14:10 Uhr

2021-12-02T14:10:48Z

Guenter am 2. Dezember 2021 um 14:05 Uhr

2021-12-02T14:05:23Z

Guenter am 12. November 2019 um 12:41 Uhr

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Guenter am 12. November 2019 um 12:27 Uhr

2019-11-12T12:27:46Z

Guenter am 1. August 2018 um 15:10 Uhr

2018-08-01T15:10:23Z

Guenter am 1. August 2018 um 14:58 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:28:09Z

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Guenter am 23. Februar 2017 um 15:06 Uhr

2017-02-23T15:06:21Z

Änderungen zeigen

Guenter am 23. Februar 2017 um 14:05 Uhr

2017-02-23T14:05:43Z

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-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Nach&nbsp; $A$&nbsp; folgt&nbsp; $B$&nbsp; sehr viel h&auml;ufiger als&nbsp; $A$, das heißt, es wird sicher&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; sein.
+*Nach&nbsp; $A$&nbsp; folgt&nbsp; $B$&nbsp; sehr viel h&auml;ufiger als&nbsp; $A$,&nbsp; das heißt,&nbsp; es wird sicher&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; sein.
 *Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; sind m&ouml;glich.&nbsp; Daraus folgt, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten ungleich Null sein werden.
 *Wegen&nbsp; ${\rm Pr}(B_\text{v=0})  \ne 0$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$&nbsp; kann nat&uuml;rlich auch die Folge&nbsp; &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$&rdquo;&nbsp; erzeugt werden, auch wenn diese bei den zwanzig hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
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 :$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
 :$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
-*Multipliziert man die erste Gleichung mit&nbsp; $6$&nbsp; und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
+*Multipliziert man die erste Gleichung mit&nbsp; $6$&nbsp; und subtrahiert davon die zweite,&nbsp; so ergibt sich:
 :$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow
 \hspace{0.15cm}  {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
-*Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man&nbsp; $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
+*Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein,&nbsp; so erhält man&nbsp; $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$.&nbsp; Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
 :$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$
+'''(4)'''&nbsp; Dieser Fall ist nur dann m&ouml;glich,&nbsp; wenn die Markovkette mit&nbsp; $B$&nbsp; beginnt und danach neunmal ein &Uuml;bergang von&nbsp; $B$&nbsp; nach&nbsp; $B$&nbsp; stattfindet:
 :$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID451__Sto_A_1_6.png|right|frame|$20$&nbsp; Realisierungen der betrachteten Markovkette]]
 Rechts sehen Sie&nbsp; $20$&nbsp; Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$:
-*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn&nbsp; $(ν = 0)$&nbsp; das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; überwiegt.
+*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung,&nbsp; dass zu Beginn&nbsp; $(ν = 0)$&nbsp; das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; überwiegt.
 *Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab&nbsp; $ν = 4$&nbsp; – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auf.
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$
-Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.
+Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden,&nbsp; um die Parameter&nbsp; (Übergangswahrscheinlichkeiten)&nbsp; der Markovkette&nbsp; (näherungsweise)&nbsp; zu ermitteln.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven SWF&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette erster Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν = 9$, wenn man nur die&nbsp; $20$&nbsp; dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
+{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν = 9$, <br>wenn man nur die&nbsp; $20$&nbsp; dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $  { 0.85 3% }
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 - Die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$&rdquo; ist nicht möglich.
-{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere&nbsp; ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
+{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette.&nbsp; Wie groß sind insbesondere&nbsp; ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $ { 0.1 3% }
 ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $ { 0.4 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils&nbsp; $B$&nbsp; sind?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils&nbsp; $B$&nbsp; sind?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge&nbsp; &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo;&nbsp; erzeugt wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge&nbsp; &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo;&nbsp; erzeugt wird?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $ { 8.64 3% } $\ \%$

@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 '''(1)'''&nbsp; Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:
-:$${\rm Pr}(A_\text{v=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_\text{v=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_\text{v=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.840}.$$
+:$${\rm Pr}(A_{\nu=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.40}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Nach $A$ folgt $B$ sehr viel h&auml;ufiger als $A$, das heißt, es wird sicher ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ sein.
+*Nach&nbsp; $A$&nbsp; folgt&nbsp; $B$&nbsp; sehr viel h&auml;ufiger als&nbsp; $A$, das heißt, es wird sicher&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; sein.
-*Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen $A$ und $B$ sind m&ouml;glich. Daraus folgt weiter, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten $\ne 0$ sein werden.
+*Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; sind m&ouml;glich.&nbsp; Daraus folgt, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten ungleich Null sein werden.
-*Wegen ${\rm Pr}(B_\text{v=0})  \ne 0$ und ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$ kann nat&uuml;rlich auch die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$&rdquo; erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
+*Wegen&nbsp; ${\rm Pr}(B_\text{v=0})  \ne 0$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$&nbsp; kann nat&uuml;rlich auch die Folge&nbsp; &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$&rdquo;&nbsp; erzeugt werden, auch wenn diese bei den zwanzig hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
-'''(3)'''&nbsp; Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit den Abk&uuml;rzungen ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_\text{v=0})$  und ${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A_\text{v=1})$:
 :$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
-Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
+*Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind&nbsp; ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$.&nbsp; Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
 :$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
-Mit den angegebenen Zahlenwerten erh&auml;lt man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
+*Mit den angegebenen Zahlenwerten erh&auml;lt man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
 :$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
 :$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
-Multipliziert man die erste Gleichung mit $6$ und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
+*Multipliziert man die erste Gleichung mit&nbsp; $6$&nbsp; und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
 :$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow
 \hspace{0.15cm}  {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
-Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
+*Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man&nbsp; $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
 :$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Dieser Fall ist nur dann m&ouml;glich, wenn die Markovkette mit $B$ beginnt und danach neunmal ein &Uuml;bergang von $B$ nach $B$ stattfindet:
 :$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
 '''(5)'''&nbsp; Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$ ausgegangen werden und man erh&auml;lt:
 :$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \% }.$$
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID451__Sto_A_1_6.png|right|frame|20 Realisierungen der betrachteten Markovkette]]
+[[Datei:P_ID451__Sto_A_1_6.png|right|frame|$20$&nbsp; Realisierungen der betrachteten Markovkette]]
-Rechts sehen Sie 20 Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$:
+Rechts sehen Sie&nbsp; $20$&nbsp; Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$:
-*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn ($ν = 0$) das Ereignis $A$ überwiegt.
+*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn&nbsp; $(ν = 0)$&nbsp; das Ereignis&nbsp; $A$&nbsp; überwiegt.
-*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab $ν = 4$ – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis $B$ auf.
+*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab&nbsp; $ν = 4$&nbsp; – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; auf.
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]&nbsp; überprüfen.
@@ Zeile 26: / Zeile 30: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten $ν = 0$, $ν = 1$ und $ν = 9$, wenn man nur die 20 dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
+{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν = 9$, wenn man nur die&nbsp; $20$&nbsp; dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $  { 0.85 3% }
@@ Zeile 34: / Zeile 38: @@
 {Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Nach $A$ ist $B$ wahrscheinlicher als $A$.
++ Nach&nbsp; $A$&nbsp; ist&nbsp; $B$&nbsp; wahrscheinlicher als&nbsp; $A$.
-+ Sowohl nach $A$ als auch nach $B$ kann wieder $A$ oder $B$ folgen.
++ Sowohl nach&nbsp; $A$&nbsp; als auch nach&nbsp; $B$&nbsp; kann wieder&nbsp; $A$&nbsp; oder&nbsp; $B$&nbsp; folgen.
 - Die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$&rdquo; ist nicht möglich.
-{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ und ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
+{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere&nbsp; ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $ { 0.1 3% }
 ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $ { 0.4 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils $B$ sind?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils&nbsp; $B$&nbsp; sind?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo; erzeugt wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge&nbsp; &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo;&nbsp; erzeugt wird?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $ { 8.64 3% } $\ \%$

@@ Zeile 58: / Zeile 58: @@
 '''(1)'''&nbsp; Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:
-:$${\rm Pr}(A_\text{v=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}$,  &nbsp; ${\rm Pr}(A_\text{v=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}$ &nbsp; ${\rm Pr}(A_\text{v=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.840}.$$
+:$${\rm Pr}(A_\text{v=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_\text{v=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_\text{v=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.840}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Nach $A$ folgt $B$ sehr viel h&auml;ufiger als $A$, das heißt, es wird sicher ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$ sein.
-*Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen $A$ und $B$ sind m&ouml;glich. Daraus folgt weiter, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten ungleich $0$ sein werden.
+*Alle vier &Uuml;berg&auml;nge zwischen den zwei Ereignissen $A$ und $B$ sind m&ouml;glich. Daraus folgt weiter, dass alle vier &Uuml;bergangswahrscheinlichkeiten $\ne 0$ sein werden.
-*Wegen ${\rm Pr}(B_\text{v=0})  \ne 0$ und ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$ kann nat&uuml;rlich auch die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}...$&rdquo; erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
+*Wegen ${\rm Pr}(B_\text{v=0})  \ne 0$ und ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$ kann nat&uuml;rlich auch die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$&rdquo; erzeugt werden, auch wenn diese bei den 20 hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.
-'''(3)'''&nbsp; Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit der Abk&uuml;rzung ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_\text{v=0})$ usw.:
+'''(3)'''&nbsp; Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit den Abk&uuml;rzungen ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_\text{v=0})$  und ${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A_\text{v=1})$:
 :$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
 Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$. Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 \hspace{0.15cm}  {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
 Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
-$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm}
+:$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Dieser Fall ist nur dann m&ouml;glich, wenn die Markovkette mit $B$ beginnt und danach neunmal ein &Uuml;bergang von $B$ nach $B$ stattfindet:
-:$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
+:$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$
 '''(5)'''&nbsp; Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$ ausgegangen werden und man erh&auml;lt:

@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
 :[[Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:28 Uhr
(kein Unterschied)

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-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge $A \ B \ B \ A$ erzeugt wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge &bdquo;$A - B -B - A$&rdquo; erzeugt wird?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A \ B \ B \ A)\ =$ { 0.0864 3% }
+${\rm Pr}(A - B -B - A)\ =$ { 8.64 3% } $\ \%$
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