Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: si-förmige Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 9. September 2021 um 16:41 Uhr

2021-09-09T16:41:52Z

Guenter am 23. Oktober 2019 um 08:38 Uhr

2019-10-23T08:38:35Z

Guenter am 23. Oktober 2019 um 08:30 Uhr

2019-10-23T08:30:44Z

Guenter am 6. November 2018 um 08:22 Uhr

2018-11-06T08:22:11Z

Guenter am 6. November 2018 um 08:12 Uhr

2018-11-06T08:12:56Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Februar 2018 um 14:36 Uhr

2018-02-16T14:36:04Z

Guenter am 16. Februar 2018 um 14:26 Uhr

2018-02-16T14:26:12Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.5Z si-förmige Impulsantwort nach Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: si-förmige Impulsantwort

2018-01-03T13:12:30Z

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Guenter am 27. Januar 2017 um 16:43 Uhr

2017-01-27T16:43:35Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Ein Vergleich mit den Gleichungen auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Idealer_Tiefpass_.E2.80.93_K.C3.BCpfm.C3.BCller.E2.80.93Tiefpass|Idealer Tiefpass]], oder auch die Anwendung der [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]] zeigt, dass $H(f)$ ein idealer Tiefpass ist:
+'''(1)'''&nbsp; Ein Vergleich mit den Gleichungen auf der Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Idealer_Tiefpass_.E2.80.93_K.C3.BCpfm.C3.BCller.E2.80.93Tiefpass|Idealer Tiefpass]], oder die Anwendung der&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]]&nbsp; zeigt, dass&nbsp; $H(f)$&nbsp; ein idealer Tiefpass ist:
 :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.25cm}K  \\  K/2 \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}
 \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
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 {\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.}  \\
 \end{array}$$
-*Die äquidistanten Nulldurchgänge der Impulsantwort treten im Abstand $Δt = 1 \ \rm ms$ auf.
+*Die äquidistanten Nulldurchgänge der Impulsantwort treten im Abstand&nbsp; $Δt = 1 \ \rm ms$&nbsp; auf.
-*Daraus folgt die äquivalente Bandbreite $Δf \rm \underline{ = 1 \ \rm kHz}$.
+*Daraus folgt die äquivalente Bandbreite&nbsp; $Δf \rm \underline{ = 1 \ \rm kHz}$.&nbsp;
-*Wäre $K = 1$, so müsste $h(0) = Δf = 1000 \cdot \rm 1/s$ gelten.
+*Wäre&nbsp; $K = 1$, so müsste&nbsp; $h(0) = Δf = 1000 \cdot \rm 1/s$&nbsp; gelten.
-*Wegen der Angabe $h(0) = 500 \cdot{\rm 1/s} = Δf/2$ ist somit der Gleichsignalübertragungsfaktor $K = H(f = 0) \; \rm \underline{= 0.5}$.
+*Wegen der Angabe&nbsp; $h(0) = 500 \cdot{\rm 1/s} = Δf/2$&nbsp; ist somit der Gleichsignalübertragungsfaktor&nbsp; $K = H(f = 0) \; \rm \underline{= 0.5}$.
-'''(2)'''&nbsp; Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen. Für das Ausgangsspektrum gilt: &nbsp; $Y(f) =  X(f)\cdot H(f) .$
+'''(2)'''&nbsp; Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen.
-*$X(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit Gewicht $A_x/2 =2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
+*Für das Ausgangsspektrum gilt: &nbsp; $Y(f) =  X(f)\cdot H(f) .$
-*Bei $f = f_0 = 1 \ {\rm kHz} > Δf/2$ ist aber $H(f) = 0$, so dass $Y(f) = 0$ und damit auch $y(t) = 0$ ist  &nbsp;  ⇒  &nbsp;  $\underline{y(t = 0) = 0}$.
+*$X(f)$&nbsp; besteht aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $± f_0$, jeweils mit Gewicht&nbsp; $A_x/2 =2 \hspace{0.08cm}\rm V$.
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 :$$y(t) = x (t) * h (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h ( \tau  )}  \cdot
   x ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ erhält man unter Berücksichtigung der Symmetrie der Cosinusfunktion:
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; erhält man unter Berücksichtigung der Symmetrie der Cosinusfunktion:
 :$$y(t = 0 ) = \frac{A_x \cdot \Delta f}{2} \cdot \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\rm si} ( \pi \cdot \Delta f \cdot \tau  )  \cdot
   {\rm cos}(2\pi \cdot  f_0
 \cdot \tau ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-*Mit der Substitution $u = π · Δf · τ$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit der Substitution&nbsp; $u = π · Δf · τ$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$y(t = 0 ) = \frac{A_x }{\pi} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u}   \hspace{0.15cm}{\rm d}u .$$
-Hierbei ist die Konstante $a = 2f_0/Δf = 2$. Mit diesem Wert liefert das angegebene Integral den Wert 0: &nbsp; $y(t = 0 ) = {A_y } = 0.$
+*Hierbei ist die Konstante&nbsp; $a = 2f_0/Δf = 2$. Mit diesem Wert liefert das angegebene Integral den Wert Null: &nbsp; $y(t = 0 ) = {A_y } = 0.$
 '''(3)'''&nbsp; Der Frequenzgang hat bei $f = f_0 = 100 \ \rm Hz$ nach den Berechnungen zur Teilaufgabe '''(1)''' den Wert $K = 0.5$. Deshalb ergibt sich
 :$$A_y = A_x/2 = 2\ \rm  V.$$
 *Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Faltung nach obiger Gleichung.
-*Für $a = 2f_0/Δf = 0.2$ ist das Integral gleich $π/2$ und man erhält
+*Für&nbsp; $a = 2f_0/Δf = 0.2$&nbsp; ist das Integral gleich&nbsp; $π/2$&nbsp; und man erhält
 :$$y(t = 0 ) = {A_y } = \frac{A_x}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{A_x}{2} \hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm V}}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Genau bei $f = 0.5   \ \rm kHz$ liegt der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle:
+'''(4)'''&nbsp; Genau bei&nbsp; $f = 0.5   \ \rm kHz$&nbsp; liegt der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle:
 :$$H(f = f_0) = K/2.$$
-*Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie in der Teilaufgabe '''(3)'''  berechnet, nämlich $A_y \;  \underline{= 1  \, \rm V}$.
+*Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp;  berechnet, nämlich&nbsp; $A_y \;  \underline{= 1  \, \rm V}$.
 *Zum gleichen Ergebnis kommt man mit &nbsp;$a = 2f_0/Δf = 1$&nbsp; über die Faltung.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}
-[[Datei:P_ID857__LZI_Z_1_5.png|right|frame|si–förmige Impulsantwort]]
+[[Datei:P_ID857__LZI_Z_1_5.png|right|frame|$\rm si$–förmige Impulsantwort]]
 Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (und akausalen) Systems wurde wie folgt ermittelt (siehe Grafik):
 :$$h(t) = 500\hspace{0.1cm}{ {\rm s}}^{-1}\cdot{\rm si}\big[\pi
 \cdot {t}/({ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}})\big] .$$
-Berechnet werden sollen die Ausgangssignale $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz $f_0$ angelegt werden:
+Berechnet werden sollen die Ausgangssignale&nbsp; $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; angelegt werden:
 :$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot  f_0
 \cdot t ) .$$
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des LZI-Systems. <br>Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; des LZI-Systems. Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?
 |type="{}"}
 $\Delta f \ =\ $ { 1 3% } $\ \rm kHz$
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-{Welchen Signalwert besitzt das  Ausgangssignal $y(t)$ zur Zeit $t = 0$ bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz $\underline{f_0 = 1\ \rm  kHz}$?
+{Welchen Signalwert besitzt das  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; bei cosinusförmigem Eingang mit der Frequenz&nbsp; $\underline{f_0 = 1\ \rm  kHz}$?
 |type="{}"}
 $y(t = 0) \  = \ $ { 0. } $\ \rm V$
-{Welchen Signalwert besitzt das  Ausgangssignal $y(t)$ zur Zeit $t = 0$ bei cosinusförmigem Eingang mit  der Frequenz $\underline{f_0 = 0.1\ \rm  kHz}$?
+{Welchen Signalwert besitzt das  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; bei cosinusförmigem Eingang mit  der Frequenz&nbsp; $\underline{f_0 = 0.1\ \rm  kHz}$?
 |type="{}"}
 $y(t = 0) \  =\ $ { 2 3% } $\ \rm V$
-{Welchen Signalwert besitzt das  Ausgangssignal $y(t)$ zur Zeit $t = 0$ bei cosinusförmigem Eingang mit  der Frequenz $\underline{f_0 = 0.5\ \rm  kHz}$?
+{Welchen Signalwert besitzt das  Ausgangssignal&nbsp; $y(t)$&nbsp; zur Zeit&nbsp; $t = 0$&nbsp; bei cosinusförmigem Eingang mit  der Frequenz&nbsp; $\underline{f_0 = 0.5\ \rm  kHz}$?
 |type="{}"}
 $y(t = 0) \  = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$

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 '''(2)'''&nbsp; Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen. Für das Ausgangsspektrum gilt: $Y(f) =  X(f)\cdot H(f) .$
-*$X(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_0$, jeweils mit Gewicht $A_x/2 =2 \rm V$.
+'''(2)'''&nbsp; Diese Aufgabe lässt sich am einfachsten im Spektralbereich lösen. Für das Ausgangsspektrum gilt: &nbsp; $Y(f) =  X(f)\cdot H(f) .$
 *Bei $f = f_0 = 1 \ {\rm kHz} > Δf/2$ ist aber $H(f) = 0$, so dass $Y(f) = 0$ und damit auch $y(t) = 0$ ist  &nbsp;  ⇒  &nbsp;  $\underline{y(t = 0) = 0}$.
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   {\rm cos}(2\pi \cdot  f_0
 \cdot \tau ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$
-*Mit der Substitution $u = π · Δf · τ$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit der Substitution $u = π · Δf · τ$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$y(t = 0 ) = \frac{A_x }{\pi} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u}   \hspace{0.15cm}{\rm d}u .$$
 Hierbei ist die Konstante $a = 2f_0/Δf = 2$. Mit diesem Wert liefert das angegebene Integral den Wert 0: &nbsp; $y(t = 0 ) = {A_y } = 0.$
-'''(3)'''&nbsp; Der Frequenzgang bei $f = f_0 = 100 \ \rm Hz$ ist nach den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gleich $K = 0.5$. Deshalb ergibt sich
+'''(3)'''&nbsp; Der Frequenzgang hat bei $f = f_0 = 100 \ \rm Hz$ nach den Berechnungen zur Teilaufgabe '''(1)''' den Wert $K = 0.5$. Deshalb ergibt sich
 :$$A_y = A_x/2 = 2\ \rm  V.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Faltung nach obiger Gleichung. Für $a = 2f_0/Δf = 0.2$ ist das Integral gleich $π/2$ und man erhält
+*Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Faltung nach obiger Gleichung.
 :$$y(t = 0 ) = {A_y } = \frac{A_x}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{A_x}{2} \hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm V}}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Genau bei $f = 0.5   \ \rm kHz$liegt der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle:
+'''(4)'''&nbsp; Genau bei $f = 0.5   \ \rm kHz$ liegt der Übergang vom Durchlass– zum Sperrbereich und es gilt für diese singuläre Stelle:
 :$$H(f = f_0) = K/2.$$
-Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie in der Teilaufgabe (3)  berechnet, nämlich $A_y \;  \underline{= 1  \ \rm V}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man mit $a = 2f_0/Δf = 1$ über die Faltung.
+*Somit ist die Amplitude des Ausgangssignals nur halb so groß wie in der Teilaufgabe '''(3)'''  berechnet, nämlich $A_y \;  \underline{= 1  \, \rm V}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID857__LZI_Z_1_5.png|right|frame|si–förmige Impulsantwort]]
 Die Impulsantwort eines linearen zeitinvarianten (und akausalen) Systems wurde wie folgt ermittelt (siehe Grafik):
-:$$h(t) = 500\hspace{0.1cm}{ {\rm s}}^{-1}\cdot{\rm si}[\pi
+:$$h(t) = 500\hspace{0.1cm}{ {\rm s}}^{-1}\cdot{\rm si}\big[\pi
-\cdot {t}/({ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}})] .$$
+\cdot {t}/({ 1\hspace{0.1cm}{\rm ms}})\big] .$$
 Berechnet werden sollen die Ausgangssignale $y(t)$, wenn am Eingang verschiedene Cosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz $f_0$ angelegt werden:
 :$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot  f_0
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*Die Lösung kann entweder im Zeitbereich oder auch im Frequenzbereich gefunden werden. In der Musterlösung werden jeweils beide Lösungswege angegeben.
+*Die Lösung kann im Zeitbereich oder im Frequenzbereich gefunden werden. In der Musterlösung finden Sie beide Lösungswege.
-*Gegeben ist dazu das folgende bestimmte Integral:
+*Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
 :$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{\sin(u) \cdot \cos(a \cdot u)}{u}   \hspace{0.15cm}{\rm
   d}u = \left\{ \begin{array}{c} \pi/2 \\  \pi/4 \\ 0 \\  \end{array} \right.\quad \quad
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des LZI-Systems. Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$ des LZI-Systems. <br>Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und der Gleichsignalübertragungsfaktor?
 |type="{}"}
 $\Delta f \ =\ $ { 1 3% } $\ \rm kHz$

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 \\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ |a|  < 1,}  \\{ |a|  = 1,}  \\
 { |a|  > 1.}  \\ \end{array}$$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.