Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: Symmetrische Markovquelle - Versionsgeschichte

Guenter am 21. Juni 2021 um 08:25 Uhr

2021-06-21T08:25:03Z

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2020-01-17T15:11:37Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:55:10Z

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2017-05-02T14:47:06Z

Guenter am 1. Mai 2017 um 16:11 Uhr

2017-05-01T16:11:26Z

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 }}
-[[Datei:Inf_Z_1_5_vers2.png|right|frame|Binäres Markovdiagramm]]
+[[Datei:Inf_Z_1_5_vers2.png|right|frame|Binäre symmetrische Markovquelle]]
-In der&nbsp; [[Aufgaben:1.5_Binäre_Markovquelle|Aufgabe 1.5]]&nbsp; wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von&nbsp; $\rm A$&nbsp; nach&nbsp; $\rm B$&nbsp; und von&nbsp; $\rm B$&nbsp; nach&nbsp; $\rm A$&nbsp; unterschiedlich waren.
+In der&nbsp; [[Aufgaben:1.5_Binäre_Markovquelle|Aufgabe 1.5]]&nbsp; wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von&nbsp; $\rm A$&nbsp; nach&nbsp; $\rm B$&nbsp; und von&nbsp; $\rm B$&nbsp; nach&nbsp; $\rm A$&nbsp; unterschiedlich waren.&nbsp; In dieser Aufgabe soll nun gelten:
 :$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = q \hspace{0.8cm} ( 0 \le q \le 1)
   \hspace{0.05cm}.$$

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 :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot p_{\rm A} + p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot p_{\rm B}
   = (1-q) \cdot p_{\rm A} + q \cdot p_{\rm B}$$
-:$$q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Zur Berechnung der Entropie $H$ benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten:
 :$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  p_{\rm A} \cdot  p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
   p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  p_{\rm A} \cdot  p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot q = p_{\rm BA}\hspace{0.05cm}.$$
-Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie&ndash;Gleichung ein, so erhält man
+*Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie&ndash;Gleichung ein, so erhält man
 :$$H  = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(1-q) \cdot
 {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot q \cdot
 {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} =  q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} = H_{\rm bin}(q) \hspace{0.05cm}.$$
-Der gesuchte Zahlenwert ist $H = H_{\rm bin} (0.25) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.811 \, \rm bit/Symbol}$.
+*Der gesuchte Zahlenwert ist&nbsp; $H = H_{\rm bin} (0.25) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.811 \, \rm bit/Symbol}$.
 '''(3)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist $H_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \rm bit/Symbol}$. Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter:
 :$$H_2 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  {1}/{2} \cdot \big[ H_1 +  H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm},$$
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 '''(4)'''&nbsp; Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für $q\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$.
-*Damit beträgt die maximale Entropie $H =  1 \, \rm bit/Symbol$.
+'''(4)'''&nbsp; Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für&nbsp; $q\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$.
-*Man erkennt aus der Beziehung $H = H_1$ und aus dem vorne abgebildeten Übergangsdiagramm, dass $q = 0.5$ statistisch unabhängige Symbole zur Folge hat:
+*Damit beträgt die maximale Entropie&nbsp; $H =  1 \, \rm bit/Symbol$.
 :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Die Symbolfolge ergibt sich entweder zu &nbsp;$\rm AAAAAA$ ... &nbsp;oder zu &nbsp;$\rm BBBBBB$ ... , je nachdem, welches Symbol als Startwert vorgegeben wurde.
-*Die Entropie einer solchen Quelle ist $H = H_{\rm bin}(0) = 0$.
+*Die Entropie einer solchen Quelle ist stets &nbsp;$H = H_{\rm bin}(0) = 0$.
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Nun kann weder $\rm A$ direkt auf $\rm A$ noch $\rm B$ direkt auf $\rm B$ folgen.
+*Nun kann weder&nbsp; $\rm A$&nbsp; direkt auf&nbsp; $\rm A$&nbsp; noch&nbsp; $\rm B$&nbsp; direkt auf&nbsp; $\rm B$&nbsp; folgen.
 *Es ergibt sich stets eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge &nbsp;$\rm ABABAB$ ... &nbsp;oder&nbsp; $\rm BABABA$... .
-*Diese Quelle hat in beiden Fällen die Entropie $H = H_{\rm bin}(1) = 0$.
+*Diese Quelle hat in beiden Fällen ebenfalls  die Entropie&nbsp; $H = H_{\rm bin}(1) = 0$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:Inf_Z_1_5_vers2.png|right|frame|Binäres Markovdiagramm]]
-In der [[Aufgaben:1.5_Binäre_Markovquelle|Aufgabe 1.5]] wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von $\rm A$ nach $\rm B$ und von $\rm B$ nach $\rm A$ unterschiedlich waren. In dieser Aufgabe soll nun gelten:
+In der&nbsp; [[Aufgaben:1.5_Binäre_Markovquelle|Aufgabe 1.5]]&nbsp; wurde eine binäre Markovquelle behandelt, bei der die Übergangswahrscheinlichkeiten von&nbsp; $\rm A$&nbsp; nach&nbsp; $\rm B$&nbsp; und von&nbsp; $\rm B$&nbsp; nach&nbsp; $\rm A$&nbsp; unterschiedlich waren.
 :$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = q \hspace{0.8cm} ( 0 \le q \le 1)
   \hspace{0.05cm}.$$
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 * <b>Entropie:</b>
 :$$H = p_{\rm AA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}   \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  p_{\rm BA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}} + p_{\rm BB}  \cdot  {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}}
-  \hspace{0.05cm},$$
+  \hspace{0.05cm}.$$
 * <b>Erste Entropienäherung</b>:
 :$$H_{\rm 1}  =  p_{\rm A} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm A}} + p_{\rm B} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{\rm B}}
-  \hspace{0.05cm},$$
+  \hspace{0.05cm}.$$
 * <b><i>k</i>&ndash;te Entropienäherung</b> $(k = 2, 3, \ \text{...})$:
 :$$H_k =  {1}/{k} \cdot \big [ H_{\rm 1} + (k-1) \cdot H \big]
   \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}H  =  \lim_{k \rightarrow \infty } H_k  \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Bin.C3.A4rquellen_mit_Markoveigenschaften|Binärquellen mit Markoveigenschaften]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Bin.C3.A4rquellen_mit_Markoveigenschaften|Binärquellen mit Markoveigenschaften]].
 *Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit &bdquo;bit/Symbol&rdquo; hinzuzufügen.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Symbolwahrscheinlichkeiten für die Übergangswahrscheinlichkeit $q = 1/4$.
+{Berechnen Sie die Symbolwahrscheinlichkeiten für die Übergangswahrscheinlichkeit&nbsp; $q = 1/4$.
 |type="{}"}
 $p_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 1% }
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-{Berechnen Sie die Quellenentropie $H$ für $q = 1/4$.
+{Berechnen Sie die Quellenentropie&nbsp; $H$&nbsp; für&nbsp; $q = 1/4$.
 |type="{}"}
 $H \ =$ { 0.811 3% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Welche Entropienäherungen erhält man für $q = 1/4$?
+{Welche Entropienäherungen erhält man für&nbsp; $q = 1/4$?
 |type="{}"}
 $H_1 \ = \ $ { 1 1% } $\ \rm bit/Symbol$
@@ Zeile 54: / Zeile 59: @@
-{Bestimmen Sie $q$ derart, dass $H$ maximal wird. Interpretation.
+{Bestimmen Sie&nbsp; $q$&nbsp; derart, dass&nbsp; $H$&nbsp; maximal wird. Interpretation.
 |type="{}"}
 $q \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Welche Symbolfolgen sind mit $q = 0$ möglich?
+{Welche Symbolfolgen sind mit&nbsp; $q = 0$&nbsp; möglich?
 |type="[]"}
 + $\rm AAAAAA$ ...
@@ Zeile 66: / Zeile 71: @@
-{Welche Symbolfolgen sind mit $q = 1$ möglich?
+{Welche Symbolfolgen sind mit&nbsp; $q = 1$&nbsp; möglich?
 |type="[]"}
 - $\rm AAAAAA$ ...

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 :$$q \cdot p_{\rm A} = q \cdot p_{\rm B} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm A} = p_{\rm B}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.5}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Zur Berechnung der Entropie $H$ benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten:
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 '''(3)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist $H_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \rm bit/Symbol}$. Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter:
-:$$H_2 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  {1}/{2} \cdot [ H_1 +  H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}}
+:$$H_2 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  {1}/{2} \cdot \big[ H_1 +  H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$ H_3 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {1}/{3} \cdot [ H_1 + 2   H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.874 \,{\rm bit/Symbol}}
+:$$ H_3 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {1}/{3} \cdot \big[ H_1 + 2   H \big] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.874 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für $q\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$.  Damit beträgt die maximale Entropie $H =  1 \, \rm bit/Symbol$. Man erkennt aus der Beziehung $H = H_1$ und aus dem vorne abgebildeten Übergangsdiagramm, dass $q = 0.5$ statistisch unabhängige Symbole zur Folge hat:
+'''(4)'''&nbsp; Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für $q\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$.
 :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5
@@ Zeile 108: / Zeile 111: @@
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Die Symbolfolge ergibt sich entweder zu $\rm AAAAAA$ ... oder zu $\rm BBBBBB$ ... , je nachdem, welches Symbol als Startwert vorgegeben wurde.
+*Die Symbolfolge ergibt sich entweder zu &nbsp;$\rm AAAAAA$ ... &nbsp;oder zu &nbsp;$\rm BBBBBB$ ... , je nachdem, welches Symbol als Startwert vorgegeben wurde.
 *Die Entropie einer solchen Quelle ist $H = H_{\rm bin}(0) = 0$.
@@ Zeile 114: / Zeile 117: @@
 '''(6)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
 *Nun kann weder $\rm A$ direkt auf $\rm A$ noch $\rm B$ direkt auf $\rm B$ folgen.
-*Es ergibt sich stets eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge $\rm ABABAB$ ... oder $\rm BABABA$... .
+*Es ergibt sich stets eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge &nbsp;$\rm ABABAB$ ... &nbsp;oder&nbsp; $\rm BABABA$... .
 *Diese Quelle hat in beiden Fällen die Entropie $H = H_{\rm bin}(1) = 0$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 {Berechnen Sie die Quellenentropie $H$ für $q = 1/4$.
 |type="{}"}
-$H \ =$ { 0.5 3% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H \ =$ { 0.811 3% } $\ \rm bit/Symbol$

@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 {Bestimmen Sie $q$ derart, dass <i>H</i> maximal wird. Interpretation.
 |type="{}"}
-$H \rightarrow Maximum\text{:}\ \ q \ =$ { 0.5 3% }
+$H \rightarrow \text{Maximum:}\ \ q \ =$ { 0.5 3% }
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Bei einer stationären binären Markovquelle erster Ordnung gilt:
+'''(1)'''&nbsp; Bei einer stationären binären Markovquelle erster Ordnung gilt:
 :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \cdot p_{\rm A} + p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} \cdot p_{\rm B}
   = (1-q) \cdot p_{\rm A} + q \cdot p_{\rm B}$$
@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Zur Berechnung von <i>H</i> benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten:
+'''(2)'''&nbsp; Zur Berechnung der Entropie $H$ benötigt man alle vier Verbundwahrscheinlichkeiten:
-:$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  p_{\rm A} \cdot  p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\\
+:$$p_{\rm AA} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  p_{\rm A} \cdot  p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot(1-q) = p_{\rm BB}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}
   p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  p_{\rm A} \cdot  p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/2 \cdot q = p_{\rm BA}\hspace{0.05cm}.$$
-:Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie&ndash;Gleichung ein, so erhält man
+Setzt man diese Werte in die gegebene Entropie&ndash;Gleichung ein, so erhält man
-:$$H  \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(1-q) \cdot
+:$$H  = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot(1-q) \cdot
 {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot q \cdot
-{\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} = \\
+{\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} =  q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} = H_{\rm bin}(q) \hspace{0.05cm}.$$
- \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}   q \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} \frac{1}{1-q} = H_{\rm bin}(q) \hspace{0.05cm}.$$
+Der gesuchte Zahlenwert ist $H = H_{\rm bin} (0.25) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.811 \, \rm bit/Symbol}$.
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist <i>H</i><sub>1</sub> <u>= 1 bit/Symbol</u>. Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter:
-:$$H_2 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  \frac{1}{2} \cdot [ H_1 +  H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}}
+'''(3)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Binärsymbolen ist $H_1 \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \rm bit/Symbol}$. Mit der für Markovquellen gültigen Gleichung gilt weiter:
-  \hspace{0.05cm},\\
+:$$H_2 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  {1}/{2} \cdot [ H_1 +  H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.906 \,{\rm bit/Symbol}}
- H_3 \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm}  \frac{1}{3} \cdot [ H_1 + 2   H] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.874 \,{\rm bit/Symbol}}
+  \hspace{0.05cm},$$
   \hspace{0.05cm}.$$
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Das Maximum der binären Entropiefunktion ergibt sich für <i>q</i> <u>= 0.5</u>. Damit beträgt die maximale Entropie <i>H</i> = 1 bit/Symbol. Man erkennt aus der Beziehung <i>H</i> = <i>H</i><sub>1</sub> und aus dem vorne abgebildeten Übergangsdiagramm, dass <i>q</i> = 0.5 statistisch unabhängige Symbole zur Folge hat:
 :$$p_{\rm A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B} = 0.5
   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm B} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}B}= 0.5
   \hspace{0.05cm}.$$
-:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Nun kann weder <b>A</b> direkt auf <b>A</b> noch <b>B</b> direkt auf <b>B</b> folgen. Es ergibt sich eine alternierende Folge, je nach Startwert die Folge <b>ABABAB</b>... oder <b>BABABA</b>... &#8658;&nbsp;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Diese Quelle hat in beiden Fällen ebenfalls die Entropie <i>H</i> = 0 = <i>H</i><sub>bin</sub>(1).
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 {{ML-Fuß}}