Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: Ausfallwahrscheinlichkeiten - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Dezember 2021 um 12:34 Uhr

2021-12-01T12:34:22Z

Guenter am 1. Dezember 2021 um 12:33 Uhr

2021-12-01T12:33:16Z

Guenter am 1. Dezember 2021 um 12:29 Uhr

2021-12-01T12:29:28Z

Guenter am 9. November 2019 um 16:41 Uhr

2019-11-09T16:41:00Z

Guenter am 9. November 2019 um 16:36 Uhr

2019-11-09T16:36:24Z

Guenter am 1. August 2018 um 13:47 Uhr

2018-08-01T13:47:41Z

Guenter am 1. August 2018 um 13:37 Uhr

2018-08-01T13:37:29Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:27:54Z

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Guenter am 5. März 2017 um 15:32 Uhr

2017-03-05T15:32:30Z

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-'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt&nbsp; $\underline{n = 5}$.
+'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt&nbsp; $\underline{n = 5}$.&nbsp; Bei gr&ouml;&szlig;erem&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
 :$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:
+'''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen,&nbsp; gilt mengentheoretisch:
-:$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$
+:$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.15cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.15cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.15cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.15cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.15cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.15cm}aus). $$
-*Da die Teilgeräte&nbsp; $T_1$&nbsp;  und&nbsp; $T_2$&nbsp; zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; aus. Daraus folgt:
+*Da die Teilgeräte&nbsp; $T_1$&nbsp;  und&nbsp; $T_2$&nbsp; zudem baugleich sind,&nbsp; fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; aus.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
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 :$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
 -p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt&nbsp; $\underline{n = 5}$.
+Bei gr&ouml;&szlig;erem&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
 :$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 {{ML-Fuß}}

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-Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen&nbsp; $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$&nbsp; aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
+Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen&nbsp; $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$&nbsp; aufgebaut,&nbsp; wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
-*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; ausfallen.
+*Gehen Sie davon aus,&nbsp; dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; ausfallen.
-*Das Teil&nbsp; $T_1$&nbsp; funktioniert nur dann, wenn alle&nbsp; $n$&nbsp; Bauteile funktionsfähig sind.
+*Das Teil&nbsp; $T_1$&nbsp; funktioniert nur dann,&nbsp; wenn alle&nbsp; $n$&nbsp; Bauteile funktionsfähig sind.
-Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät&nbsp; $G$&nbsp; kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
+Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert.&nbsp; Das Gerät&nbsp; $G$&nbsp; kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
 :$$ G = T_1 \cup T_2.$$
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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 $p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
-{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile&nbsp; $p_{\rm A} = 0.4\%$.&nbsp; Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn&nbsp; $p_{\rm T} ≤ 2\%$&nbsp; gelten soll?
+{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile&nbsp; $p_{\rm A} = 0.4\%$.&nbsp; Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten,&nbsp; wenn&nbsp; $p_{\rm T} ≤ 2\%$&nbsp; gelten soll?
 |type="{}"}
 $n \ = \ $  { 5 3% }

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 '''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:
 :$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$
-Da die Teilgeräte $T_1$  und $T_2$ zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ aus. Daraus folgt:
+*Da die Teilgeräte&nbsp; $T_1$&nbsp;  und&nbsp; $T_2$&nbsp; zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; aus. Daraus folgt:
 :$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
@@ Zeile 64: / Zeile 65: @@
 '''(3)'''&nbsp; Mit $p_{\rm A} = 0.01$ erh&auml;lt man $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$ Allgemein gilt die N&auml;herung: $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.
-'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt $\underline{n = 5}$. Bei gr&ouml;&szlig;erem $p_{\rm A}$ m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
+'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt&nbsp; $\underline{n = 5}$.
 :$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 {{ML-Fuß}}

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-Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B_1, B_2, … , B_n$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
+Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen&nbsp; $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$&nbsp; aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
-*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_{\rm A}$ ausfallen.
+*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; ausfallen.
-*Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind.
+*Das Teil&nbsp; $T_1$&nbsp; funktioniert nur dann, wenn alle&nbsp; $n$&nbsp; Bauteile funktionsfähig sind.
-Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät $G$ kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
+Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät&nbsp; $G$&nbsp; kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
-$$ G = T_1 \cup T_2.$$
+:$$ G = T_1 \cup T_2.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp;
-:[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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 <quiz display=simple>
-{Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_{\rm G}$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als $0.04\%$. <br>Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_{\rm T}$ der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
+{Die Ausfallwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm G}$&nbsp; des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als&nbsp; $0.04\%$. <br>Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
 |type="{}"}
 $p_\text{T, max} \ = \ $ { 2 3% } $ \ \%$
-{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. <br>Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
+{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei&nbsp; $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$.&nbsp; Jedes Teilgerät bestehe aus&nbsp; $n = 3$&nbsp; Bauteilen. <br>Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
 |type="{}"}
 $p_{\rm T} \ = \ $ { 27.1 3% } $ \ \%$
-{Welcher Wert ergibt sich für $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$? In welcher Form kann man $p_{\rm T}$ für kleine Werte von $p_{\rm A}$ annähern?
+{Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$?&nbsp; In welcher Form kann man&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; für kleine Werte von&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; annähern?
 |type="{}"}
 $p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
-{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_{\rm A} = 0.4\%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_{\rm T} ≤ 2\%$ gelten soll?
+{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile&nbsp; $p_{\rm A} = 0.4\%$.&nbsp; Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn&nbsp; $p_{\rm T} ≤ 2\%$&nbsp; gelten soll?
 |type="{}"}
 $n \ = \ $  { 5 3% }

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit}}
-[[Datei:P_ID87__Sto_Z_1_5.png|right|Funktionsschaltbild des Gerätes]]
+[[Datei:P_ID87__Sto_Z_1_5.png|right|frame|Geräte&ndash;Funktionsschaltbild]]
 Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B_1, B_2, … , B_n$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
-*Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind.
+*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_{\rm A}$ ausfallen.
-*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_{\rm A}$ ausfallen.
+*Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind.
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 $$ G = T_1 \cup T_2.$$
-Das heißt: Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.
+Das heißt: &nbsp; Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.
@@ Zeile 19: / Zeile 22: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
-:[[Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]
+:[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
@@ Zeile 26: / Zeile 29: @@
 <quiz display=simple>
-{Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_{\rm G}$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als 0.04%. Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_{\rm T}$ der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
+{Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_{\rm G}$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als $0.04\%$. <br>Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_{\rm T}$ der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
 |type="{}"}
-$p_\text{T, max} \ = $ { 2 3% } $ \ \%$
+$p_\text{T, max} \ = \ $ { 2 3% } $ \ \%$
-{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $p_{\rm A} = 0.1$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
+{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $p_{\rm A} = 0.1$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. <br>Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
 |type="{}"}
-$\text{exakt:   }p_{\rm T} \ = $ { 27.1 3% } $ \ \%$
+$\text{exakt:}\ \ \ p_{\rm T} \ = \ $ { 27.1 3% } $ \ \%$
 {Welcher Wert ergibt sich für $p_{\rm A} = 0.01$? In welcher Form kann man $p_{\rm T}$ für kleine Werte von $p_{\rm A}$ annähern?
 |type="{}"}
-$\text{Näherung:  }p_{\rm T} \ = $ { 2.97 3% } $ \ \%$
+$\text{Näherung:}\ \ \ p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
 {Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_{\rm A} = 0.4\%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_{\rm T} ≤ 2\%$ gelten soll?
 |type="{}"}
-$n \ = $  { 5 3% }
+$n \ = \ $  { 5 3% }

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