Aufgaben:Aufgabe 1.5: SPC (5, 4) und BEC–Modell - Versionsgeschichte

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	^]]		^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.5:_SPC_(5,_4)_and_BEC_Model]]

Guenter am 7. Mai 2019 um 12:28 Uhr

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Guenter am 7. Mai 2019 um 12:24 Uhr

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png\|right\|frame\|~~Mögliche~~ Codeworte des $\rm SPC \ (5, 4)$]]		[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png\|right\|frame\|Codeworte des  $\rm SPC \ (5, 4)$]]

	Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:		Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:

	*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code]] mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$   ⇒ SPC (5, 4)   fügt zu den Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:		*Der  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code]] mit den Parametern  $k = 4$  und  $n = 5$    ⇒   $\rm SPC \ (5, 4)$  fügt zu den Informationsbits  $u_{1}$, ... ,  $u_{4}$  ein Prüfbit  $p$  hinzu, so dass in jedem Codewort  $\underline{x}$  eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
	:$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$		:$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
	:$$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$		:$$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$

	*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC\|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in \{0, \ 1\}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$ führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit $\rm E$.		*Der  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC\|Binary Erasure Channel]]  (BEC) – mit binären Eingangswerten  $x_{i} \in \{0, \ 1\}$  und ternärem Ausgang  $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$  führt mit Wahrscheinlichkeit  $\lambda = 0.1$  zu einer Auslöschung (englisch:   ''Erasure''), abgekürzt mit  $\rm E$.
	*Weiterhin gilt ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:		*Weiterhin gilt  ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 - \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
	:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$ {\rm Pr} \big[(x_i = 0)\cap (y_i = 1)\big] = {\rm Pr} \big[(x_i = 1)\cap (y_i = 0)\big] = 0\hspace{0.05cm}.$$

			Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort  $\underline{u}$  und dem Codewort  $\underline{x}$  ist durch die Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort  $\underline{y}$  wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor  $\underline{v}$  der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort  $\underline{u}$  übereinstimmen sollte.
	Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort $\underline{u}$ und dem Codewort $\underline{x}$ ist durch die ~~obige~~ Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort $\underline{y}$ wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{v}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort $\underline{u}$ übereinstimmen sollte.

	Es gelte die folgende Nomenklatur:		Es gelte die folgende Nomenklatur:
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	:$$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$

	Das Ergebnis $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.		Das Ergebnis  $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$  kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
	*Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.		*Die Prüfbits von  $u_{0}$,  $u_{4}$  und  $u_{13}$  sollen in der Teilaufgabe '''(1)''' ermittelt werden.


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie lautet für die folgenden Informationsworte $\underline{u}$ jeweils das Prüfbit $p$?		{Wie lautet für die folgenden Informationsworte  $\underline{u}$  jeweils das Prüfbit  $p$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }		$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }
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	$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }		$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }

	{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?		{Es sei  $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ $ \underline{u}_{0}$,		+ $ \underline{u}_{0}$,
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	{Es sei $ \underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?		{Es sei  $ \underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- $\underline{u}_{0}$,		- $\underline{u}_{0}$,
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	- $\underline{u}_{13}$.		- $\underline{u}_{13}$.

	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt $\underline{y}$ mit dem Codewort $\underline{x}$ überein?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt  $\underline{y}$  mit dem Codewort  $\underline{x}$  überein?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$		$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$

	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren $\underline{u}$ und $\underline{v}$ überein?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren  $\underline{u}$  und  $\underline{v}$  überein?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $ { 91.9 3% } $\ \%$		$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $ { 91.9 3% } $\ \%$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
	*Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.		*Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 16:09 Uhr

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''(1)'''  Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:		'''(1)'''  Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
	:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.~~3cm~~} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$
			:$$ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$
			:$$\underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$

			'''(2)'''  Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
			*Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$.

	~~'''(2)'''  Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ <u>Antwort 1</u>.~~

			'''(3)'''  Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
			*Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
			{\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis
			:$$\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0).$$

	'''(3)'''  ~~Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für~~ $\underline{y} = (0,		'''(4)'''  Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
	{\rm E}~~, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $~~\underline{x} = \underline{x}~~_{4}~~ = (0, 1, 0, 0~~, 1) ⇒~~ \underline{u}_{4} ~~= (0, 1, 0, 0)~~$ ~~⇒ <u>Antwort 2</u>.~~		:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$

			'''(5)'''  Das Ereignis $v = u$ tritt dann auf,
			*wenn alle Codebits richtig übertragen werden   ⇒   ${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x})$,
			*aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
			:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 91.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	~~'''(4)'''  Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}”$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:~~		'''(6)'''  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <$\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
	~~:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$~~		:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u”$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
	~~:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$~~
	~~:$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$~~


	'''(6)'''  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <~~u>''~~x~~''</u>~~ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
	:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.~~081~~} \hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 11. Dezember 2017 um 15:21 Uhr

2017-12-11T15:21:09Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png\|right\|frame\|Mögliche Codeworte des (5, 4) ~~SPC~~]]		[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png\|right\|frame\|Mögliche Codeworte des $\rm SPC \ (5, 4)$]]

	Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:		Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:

	*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code]] mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort ~~<u>''~~x~~''</u>~~ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:		*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code]] mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$   ⇒ SPC (5, 4)   fügt zu den Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
	:$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$		:$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
	:$$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$		:$$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$

	*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC\|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in {0, 1}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in$ {0, 1, E} führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit ~~„E”~~. Weiterhin gilt Pr$(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:		*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC\|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in \{0, \ 1\}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$ führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit $\rm E$.
			*Weiterhin gilt ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
	:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$		:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$

	Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort <u>''u''</u> und dem Codewort <u>''x''</u> ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort <u>''y''</u> wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{\upsilon}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort <u>''u''</u> übereinstimmen sollte. Es gelte die folgende Nomenklatur:
	~~:$$\underline{u} \ \in \ \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} ... \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$~~
	~~:$$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}... \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{E}\} \hspace{0.05cm}.$$~~

	Das Ergebnis $\underline{~~\upsilon~~} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.		Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort $\underline{u}$ und dem Codewort $\underline{x}$ ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort $\underline{y}$ wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{v}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort $\underline{u}$ übereinstimmen sollte.

			Es gelte die folgende Nomenklatur:
			:$$\underline{u} \ \in \ \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} \text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
			:$$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$

			Das Ergebnis $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.



			''Hinweise:''
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]].
			*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
			*Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
			*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

	~~''Hinweis'':~~

	Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]] und [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]] des vorliegenden Buches. Die Prüfbits von $u_{0}, u_{4} {\rm und} \ u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.

	===Fragebogen===		===Fragebogen===
Zeile 28:		Zeile 38:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie lautet für die folgenden Informationsworte <u~~>''u''</u>~~ jeweils das Prüfbit ''p''?		{Wie lautet für die folgenden Informationsworte $\underline{u}$ jeweils das Prüfbit $p$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\underline{u} = \underline{u_{0}}: p$ = { 0 3% }		$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }
	$\underline{u} = \underline{u_{4}}: p$ = { 1 3% }		$\underline{u} = \underline{u_{4}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 1 }
	$\underline{u} = \underline{u_{13}}: p$ = { 1 3% }		$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }

	{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?		{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ $ \underline{u}_{0}$		+ $ \underline{u}_{0}$,
	- $ \underline{u}_{4}$		- $ \underline{u}_{4}$,
	- $ \underline{u}_{13}$		- $ \underline{u}_{13}$.


			{Es sei $ \underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?
			\|type="()"}
			- $\underline{u}_{0}$,
			+ $\underline{u}_{4}$,
			- $\underline{u}_{13}$.

	{~~Es sei~~ $ \underline{y} ~~= (0, 0, 0, 0,~~ {~~\rm E~~})$~~. Welches Informationswort wurde gesendet~~?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt $\underline{y}$ mit dem Codewort $\underline{x}$ überein?
	\|type="[]"}		\|type="{}"}
	- $\underline{u}_{0}$		$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$
	+ $\underline{u}_{4}$
	- $\underline{u}_{13}$		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren $\underline{u}$ und $\underline{v}$ überein?
			\|type="{}"}
			$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $ { 91.9 3% } $\ \%$

	{~~Mit welcher~~ Wahrscheinlichkeit ~~stimmt <u>''y''</u> mit dem Codewort <u>''x''</u> überein~~?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen erkannten Fehler?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Pr} (\underline{~~y} =~~ \~~underline{x~~})$ = { ~~0.591 3% }~~		$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}}) \ = \ $ { 8.1 3% } $\ \%$
	$\ {~~\rm Pr} (~~\underline{\~~upsilon}~~ = \~~underline{u})~~$ = { 0.~~919~~ 3% }
	$\ {\~~rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}})~~$ ~~= { 0.081 3% }~~

Wael: /* Musterlösung */

2017-11-30T19:33:00Z

Musterlösung

Wael: /* Fragebogen */

2017-11-30T19:14:58Z

Fragebogen

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2017, 21:14 Uhr
Zeile 34:		Zeile 34:
	$\underline{u} = \underline{u_{13}}: p$ = { 1 3% }		$\underline{u} = \underline{u_{13}}: p$ = { 1 3% }

	{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, E)$. Welches Informationswort wurde gesendet?		{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $ \underline{u}_{0}$		+ $ \underline{u}_{0}$
Zeile 41:		Zeile 41:


	{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, E)$. Welches Informationswort wurde gesendet?		{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $\underline{u}_{0}$		- $\underline{u}_{0}$
Zeile 55:		Zeile 55:

	</quiz>		</quiz>


	===Musterlösung===		===Musterlösung===

Wael: /* Musterlösung */

2017-11-30T19:12:59Z

Musterlösung

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2017, 21:12 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:


	'''4.'''		'''4.''' Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}”$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
	'''5.'''		:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$
	'''6.'''
	'''7.~~'''~~
			'''5.''' Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u”$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
			:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$
			:$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$


			'''6.''' Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <u>''x''</u> per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
			:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 7. Mai 2019, 14:28 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''(1)'''  Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:		'''(1)'''  Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. <br>Beispielsweise erhält man:
	:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$		:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$		:$$ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$
	:$$\underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:		'''(2)'''  Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
	*Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$.		*Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$.



Zeile 90:		Zeile 92:
	{\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis		{\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis
	:$$\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0).$$		:$$\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0).$$


	'''(4)'''  Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:		'''(4)'''  Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
	:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Das Ereignis $v = u$ tritt dann auf,		'''(5)'''  Das Ereignis $v = u$ tritt dann auf,
Zeile 99:		Zeile 103:
	:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 91.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 91.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	'''(6)'''  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <$\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
			'''(6)'''  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes $\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
	:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2017, 21:33 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''1.''' Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:		'''(1)'''  Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
	:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$


	'''2.''' Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ <u>Antwort 1</u>.		'''(2)'''  Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ <u>Antwort 1</u>.


	'''3.''' Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,		'''(3)'''  Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
	{\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>.		{\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>.


	'''4.''' Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}”$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:		'''(4)'''  Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}”$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
	:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$


	'''5.''' Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u”$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:		'''(5)'''  Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u”$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
	:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$		:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$
	:$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$


	'''6.''' Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <u>''x''</u> per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:		'''(6)'''  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <u>''x''</u> per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
	:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$