Aufgaben:Aufgabe 1.5: SPC (5, 4) und BEC–Modell - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Mai 2019 um 12:28 Uhr

2019-05-07T12:28:36Z

Guenter am 7. Mai 2019 um 12:24 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-01T17:30:26Z

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 16:09 Uhr

2017-12-11T16:09:02Z

Guenter am 11. Dezember 2017 um 15:21 Uhr

2017-12-11T15:21:09Z

Wael: /* Musterlösung */

2017-11-30T19:33:00Z

Musterlösung

Wael: /* Fragebogen */

2017-11-30T19:14:58Z

Fragebogen

Wael: /* Musterlösung */

2017-11-30T19:12:59Z

Musterlösung

Wael: /* Musterlösung */

2017-11-30T19:00:47Z

Musterlösung

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. <br>Beispielsweise erhält man:
 :$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$
 :$$ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
 *Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$.
@@ Zeile 90: / Zeile 92: @@
   {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis
 :$$\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0).$$
 '''(4)'''&nbsp; Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
 :$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Das Ereignis $v = u$ tritt dann auf,
@@ Zeile 99: / Zeile 103: @@
 :$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda =  0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 91.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <$\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
 :$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Mögliche Codeworte des $\rm SPC \ (5, 4)$]]
+[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Codeworte des&nbsp; $\rm SPC \ (5, 4)$]]
 Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
-*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$ &nbsp; ⇒ SPC (5, 4) &nbsp; fügt zu den Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
+*Der&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit den Parametern&nbsp; $k = 4$&nbsp; und&nbsp; $n = 5$&nbsp; &nbsp; ⇒ &nbsp; $\rm SPC \ (5, 4)$&nbsp; fügt zu den Informationsbits&nbsp; $u_{1}$, ... ,&nbsp; $u_{4}$&nbsp; ein Prüfbit&nbsp; $p$&nbsp; hinzu, so dass in jedem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
 :$$x_1   \oplus   x_2  \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ u_1   \oplus   u_2  \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in \{0, \ 1\}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$ führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit $\rm E$.
+*Der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC) – mit binären Eingangswerten&nbsp; $x_{i} \in \{0, \ 1\}$&nbsp; und ternärem Ausgang&nbsp; $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$&nbsp; führt mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda = 0.1$&nbsp; zu einer Auslöschung (englisch: &nbsp; ''Erasure''), abgekürzt mit&nbsp; $\rm E$.
-*Weiterhin gilt ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
+*Weiterhin gilt&nbsp; ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 - \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
-:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ {\rm Pr} \big[(x_i = 0)\cap (y_i = 1)\big] = {\rm Pr} \big[(x_i = 1)\cap (y_i = 0)\big] = 0\hspace{0.05cm}.$$
+Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; ist durch die Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; übereinstimmen sollte.
 Es gelte die folgende Nomenklatur:
@@ Zeile 22: / Zeile 21: @@
 :$$ \underline{v} \ \in \  \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$
-Das Ergebnis $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
+Das Ergebnis&nbsp; $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$&nbsp; kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]].
-*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
+*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
-*Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
+*Die Prüfbits von&nbsp; $u_{0}$,&nbsp; $u_{4}$&nbsp; und&nbsp; $u_{13}$&nbsp; sollen in der Teilaufgabe '''(1)''' ermittelt werden.
@@ Zeile 38: / Zeile 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet für die folgenden Informationsworte $\underline{u}$ jeweils das Prüfbit $p$?
+{Wie lautet für die folgenden Informationsworte&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; jeweils das Prüfbit&nbsp; $p$?
 |type="{}"}
 $\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 44: / Zeile 46: @@
 $\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }
-{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
+{Es sei&nbsp; $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
 |type="()"}
 + $ \underline{u}_{0}$,
@@ Zeile 51: / Zeile 53: @@
-{Es sei $ \underline{y} = (0,  {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?
+{Es sei&nbsp; $ \underline{y} = (0,  {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?
 |type="()"}
 - $\underline{u}_{0}$,
@@ Zeile 57: / Zeile 59: @@
 - $\underline{u}_{13}$.
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt $\underline{y}$ mit dem Codewort $\underline{x}$ überein?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; überein?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren $\underline{u}$ und $\underline{v}$ überein?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; überein?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $ { 91.9 3% } $\ \%$

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 *Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
 *Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
-:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$
-'''(3)'''&nbsp; Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
+'''(4)'''&nbsp; Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
- {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>.
+:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}&rdquo;$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
+'''(6)'''&nbsp; Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <$\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
-:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Mögliche Codeworte des (5, 4) SPC]]
+[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Mögliche Codeworte des $\rm SPC \ (5, 4)$]]
 Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
-*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort <u>''x''</u> eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
+*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$ &nbsp; ⇒ SPC (5, 4) &nbsp; fügt zu den Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
 :$$x_1   \oplus   x_2  \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ u_1   \oplus   u_2  \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in {0, 1}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in$ {0, 1, E} führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit „E”. Weiterhin gilt Pr$(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
+*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in \{0, \ 1\}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$ führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit $\rm E$.
 :$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
-Das Ergebnis $\underline{\upsilon} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
+Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort $\underline{u}$ und dem Codewort $\underline{x}$ ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort $\underline{y}$ wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{v}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort $\underline{u}$ übereinstimmen sollte.
 ===Fragebogen===
@@ Zeile 28: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet für die folgenden Informationsworte <u>''u''</u> jeweils das Prüfbit ''p''?
+{Wie lautet für die folgenden Informationsworte $\underline{u}$ jeweils das Prüfbit $p$?
 |type="{}"}
-$\underline{u} = \underline{u_{0}}:    p$ = { 0 3% }
+$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }
-$\underline{u} = \underline{u_{4}}:    p$ = { 1 3% }
+$\underline{u} = \underline{u_{4}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 1 }
-$\underline{u} = \underline{u_{13}}:    p$ = { 1 3% }
+$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }
 {Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ $ \underline{u}_{0}$
++ $ \underline{u}_{0}$,
-- $ \underline{u}_{4}$
+- $ \underline{u}_{4}$,
-- $ \underline{u}_{13}$
+- $ \underline{u}_{13}$.
-{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt $\underline{y}$ mit dem Codewort $\underline{x}$ überein?
-|type="[]"}
+|type="{}"}
-- $\underline{u}_{0}$
+$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$
-+ $\underline{u}_{4}$
-- $\underline{u}_{13}$
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren $\underline{u}$ und $\underline{v}$ überein?
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt <u>''y''</u> mit dem Codewort <u>''x''</u> überein?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen erkannten Fehler?
 |type="{}"}
-$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x})$ = { 0.591 3% }
+$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}}) \ = \ $ { 8.1 3% } $\ \%$

@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
 :$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
-'''2.''' Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ <u>Antwort 1</u>.
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ <u>Antwort 1</u>.
-'''3.''' Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
+'''(3)'''&nbsp; Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
   {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>.
-'''4.''' Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}&rdquo;$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
+'''(4)'''&nbsp; Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}&rdquo;$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
 :$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$
-'''5.''' Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u&rdquo;$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
+'''(5)'''&nbsp; Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u&rdquo;$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
 :$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$
 :$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$
-'''6.'''   Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <u>''x''</u> per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
+'''(6)'''&nbsp; Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <u>''x''</u> per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
 :$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$