Aufgaben:Aufgabe 1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums - Versionsgeschichte

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:30Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:

	Es ergibt sich das so genannte  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading\|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist.  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:		Es ergibt sich das so genannte  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading\|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist.  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
	:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }		:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$.  Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]].		Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$.  Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]].
Zeile 64:		Zeile 63:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum  ${\it \Phi}_z(f)$:		'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum  ${\it \Phi}_z(f)$:
	:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =		:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} = \frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
	\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 73:		Zeile 70:
	*Das Eingangssignal  $n(t)$  besitzt ein weißes (konstantes) LDS  ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.		*Das Eingangssignal  $n(t)$  besitzt ein weißes (konstantes) LDS  ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
	*Für das LDS am Ausgang gilt dann:		*Für das LDS am Ausgang gilt dann:
	:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot \| H_{\rm DF}(f_{\rm D}\|^2		:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot \| H_{\rm DF}(f_{\rm D}\|^2\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 12. Mai 2020 um 13:12 Uhr

2020-05-12T13:12:41Z

Guenter am 12. Mai 2020 um 13:06 Uhr

2020-05-12T13:06:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2020, 15:06 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.		Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
	*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$.  Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.		*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$.  Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
	*Am Eingang des im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#~~Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading~~\|Rayleigh–Kanalmodell]]  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.		*Am Eingang des im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.
	*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu		*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
	:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 12. Mai 2020 um 13:03 Uhr

2020-05-12T13:03:33Z

Guenter am 29. März 2019 um 14:54 Uhr

2019-03-29T14:54:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2019, 16:54 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}		\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
Zeile 71:		Zeile 72:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.
			'''(3)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
			*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.



Zeile 80:		Zeile 84:
	*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.		*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.

	~~[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png\|center\|frame\|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]~~

	Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:		Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:
			[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png\|right\|frame\|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]


	* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.		* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
	* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt. Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).		* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
			*Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. März 2019 um 14:48 Uhr

2019-03-29T14:48:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2019, 16:48 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welchen Wert hat das Jakes–Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$?		{Welchen Wert hat das Jakes–Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $\ \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$		${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $\ \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$

	{Welche Dimensionierung ist richtig? $K$ ~~ist~~ eine ~~beliebige~~ Konstante.		{Welche Dimensionierung ist richtig, wobei  $K$  eine geeignet gewählte Konstante ist?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.		- Es gilt  $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
	+ Es gilt $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$		+ Es gilt  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$

	{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante $K$ bestimmen?		{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante  $K$  bestimmen?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $K$ kann beliebig gewählt werden.		- $K$  kann beliebig gewählt werden.
	- Das Integral über $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|$ muss $1$ ergeben.		- Das Integral über  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|$  muss  $1$  ergeben.
	+ Das Integral über $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2$ muss $1$ ergeben.		+ Das Integral über  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2$  muss  $1$  ergeben.

	{Ist $H_{\rm DF}(f)$ durch die beiden Bedingungen (2) und (3) eindeutig festgelegt?		{Ist  $H_{\rm DF}(f)$  durch die beiden Bedingungen gemäß '''(2)''' und '''(3)''' eindeutig festgelegt?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Ja.		- Ja.

Guenter am 29. März 2019 um 14:42 Uhr

2019-03-29T14:42:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses\|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses\|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses]].
	* Das digitale Filter wird im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter\|Digitale Filter]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.		* Das digitale Filter wird im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter\|Digitale Filter]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums nach Aufgaben:Aufgabe 1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums

2017-12-04T10:59:10Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.5 Nachbildung des Jakes–Spektrums nach Aufgaben:Aufgabe 1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2017, 12:59 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 13. November 2017 um 07:26 Uhr

2017-11-13T07:26:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. November 2017, 09:26 Uhr
Zeile 32:		Zeile 32:
	{Welchen Wert hat das Jakes–Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$?		{Welchen Wert hat das Jakes–Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $ß \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$		${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $\ \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$

	{Welche Dimensionierung ist richtig? $K$ ist eine beliebige Konstante.		{Welche Dimensionierung ist richtig? $K$ ist eine beliebige Konstante.
Zeile 54:		Zeile 54:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:		'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:
	:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) ~~\hspace{-0.1cm} \~~ = ~~\ \hspace{-0.1cm}~~ {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}=$$		:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =
	~~:$$ \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}~~ \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =
	\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}		\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

			'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$. Für das LDS am Ausgang gilt dann:		*Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
			*Für das LDS am Ausgang gilt dann:
	:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot \| H_{\rm DF}(f_{\rm D}\|^2		:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot \| H_{\rm DF}(f_{\rm D}\|^2
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

			'''(3)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.
	'''(3)'''  Richtig ist der <u>~~letzte~~ Lösungsvorschlag</u>. Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.


	'''(4)'''  <u>Richtig ist NEIN</u>. Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion. Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift. Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt. In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.		'''(4)'''  <u>Richtig ist NEIN</u>:
			*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
			*Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.
			*Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
			*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.

	[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png\|center\|frame\|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]		[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png\|center\|frame\|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]

	Die Grafik zeigt das Ergebnis ~~einer solchen~~ Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über 100.000 Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:		Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:
	* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.		* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
	* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt. Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).		* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt. Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2020, 15:12 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:		'''(1)'''  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum  ${\it \Phi}_z(f)$:
	:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =		:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =
	\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}		\frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.		*Das Eingangssignal  $n(t)$  besitzt ein weißes (konstantes) LDS  ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
	*Für das LDS am Ausgang gilt dann:		*Für das LDS am Ausgang gilt dann:
	:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot \| H_{\rm DF}(f_{\rm D}\|^2		:$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot \| H_{\rm DF}(f_{\rm D}\|^2
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$



	'''(3)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.		'''(3)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
	*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.		*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal  $x(t)$  die gleiche Varianz  $\sigma^2$  wie das Rauschsignal  $n(t)$.




	'''(4)'''  <u>Richtig ist NEIN</u>:		'''(4)'''  <u>Richtig ist NEIN</u>:
	*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.		*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben  (2)  und  (3)  beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
	*Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.		*Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.
	*Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.		*Diese ist frei wählbar.  Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
	*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.		*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort  $h_{\rm DF}(t)$  die geringst mögliche Ausdehnung.


	~~Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:~~
	[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png\|right\|frame\|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]		[[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png\|right\|frame\|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]

			Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation.  Die roten Kurven wurden simulativ über  $100\hspace{0.05cm}000$  Abtastwerte ermittelt.

			Man erkennt:

	* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.		* Das Jakes–Leistungsdichtespektrum  (linke Grafik)  lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei  $± f_{\rm D, \ max}$  nur sehr ungenau nachbilden.
	* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.		* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
	*Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).		*Für kleine  $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut  (rechte Grafik).
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 12. Mai 2020, 15:03 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Bei einem Mobilfunksystem macht sich der  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts\|Dopplereffekt]]  auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  bemerkbar.		Bei einem Mobilfunksystem macht sich der  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts\|Dopplereffekt]]  auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  bemerkbar.

	Es ergibt sich das so genannte  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading\|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:		Es ergibt sich das so genannte  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading\|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist.  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
	:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }		:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]].		Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum  $\rm (LDS)$  ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$.  Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]].

	Mit der ~~<i>~~Besselfunktion~~</i>~~ erster Art und nullter Ordnung  $({\rm J}_0)$  erhält man:		Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung  $({\rm J}_0)$  erhält man:
	:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

	Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang  $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.		Um den Dopplereffekt – und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang  $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.

	Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.		Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
	*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$. Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.		*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$.  Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
	*Am Eingang des im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.		*Am Eingang des im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.
	*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu		*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
	:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$





Zeile 42:		Zeile 45:

	{Welche Dimensionierung ist richtig, wobei  $K$  eine geeignet gewählte Konstante ist?		{Welche Dimensionierung ist richtig, wobei  $K$  eine geeignet gewählte Konstante ist?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Es gilt  $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.		- Es gilt  $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
	+ Es gilt  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$		+ Es gilt  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$

	{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante  $K$  bestimmen?		{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante  $K$  bestimmen?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $K$  kann beliebig gewählt werden.		- $K$  kann beliebig gewählt werden.
	- Das Integral über  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|$  muss  $1$  ergeben.		- Das Integral über  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|$  muss  $1$  ergeben.
	+ Das Integral über  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2$  muss  $1$  ergeben.		+ Das Integral über  $\|H_{\rm DF}(f_{\rm D})\|^2$  muss  $1$  ergeben.

	{Ist  $H_{\rm DF}(f)$  durch die beiden Bedingungen gemäß '''(2)''' und '''(3)''' eindeutig festgelegt?		{Ist  $H_{\rm DF}(f)$  durch die beiden Bedingungen gemäß  '''(2)'''  und  '''(3)'''  eindeutig festgelegt?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Ja.		- Ja.

← Nächstältere Version		Version vom 29. März 2019, 16:42 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png\|right\|frame\|Betrachtetes Jakes–Spektrum]]		[[Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png\|right\|frame\|Betrachtetes Jakes–Spektrum]]
	Bei einem Mobilfunksystem macht sich der [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts\|Dopplereffekt]] auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ bemerkbar. Es ergibt sich das so genannte [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading\|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$ in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ hat nur Anteile innerhalb des Bereichs $± f_{\rm D, \ max}$ wobei gilt:		Bei einem Mobilfunksystem macht sich der  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts\|Dopplereffekt]]  auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  bemerkbar.

			Es ergibt sich das so genannte  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading\|Jakes–Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
	:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }		:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion. Diese ergibt sich aus ${\it \Phi}_z(f_{\rm D}$ durch die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]].		Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral\|Fourierrücktransformation]].

	Mit der <i>Besselfunktion</i> erster Art und nullter Ordnung (${\rm J}_0$) erhält man:		Mit der <i>Besselfunktion</i> erster Art und nullter Ordnung  $({\rm J}_0)$  erhält man:
	:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

	Um den Dopplereffekt ~~–~~ und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]] zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(~~f_D~~)$.		Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang  $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.

	Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.		Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
	*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils $x(t)$. Für den Imaginärteil $y(t)$ ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.		*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$. Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
	*Am Eingang des im [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]] linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen $n(t)$ mit der Varianz $\sigma^2 = 0.5$ an. Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu		*Am Eingang des im  [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading\|Rayleigh–Kanalmodell]]  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.
			*Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
	:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet ~~von~~ [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses\|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses]].		* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses\|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses]].
	* Das digitale Filter wird im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter\|Digitale Filter]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.		* Das digitale Filter wird im Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter\|Digitale Filter]]  des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.