Aufgaben:Aufgabe 1.5: Nachbildung des Jakes–Spektrums - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Mai 2020 um 13:12 Uhr

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Jakes&ndash;Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:
+'''(1)'''&nbsp; Das Jakes&ndash;Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum&nbsp; ${\it \Phi}_z(f)$:
 :$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} =
   \frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
+*Das Eingangssignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; besitzt ein weißes (konstantes) LDS&nbsp; ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
 *Für das LDS am Ausgang gilt dann:
 :$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot | H_{\rm DF}(f_{\rm D}|^2
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>.
-*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.
+*Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; die gleiche Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; wie das Rauschsignal&nbsp; $n(t)$.
 '''(4)'''&nbsp; <u>Richtig ist NEIN</u>:
-*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
+*Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben&nbsp; (2)&nbsp; und&nbsp; (3)&nbsp; beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
 *Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.
-*Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
+*Diese ist frei wählbar.&nbsp; Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
-*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.
+*In diesem Fall hat dann die Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm DF}(t)$&nbsp; die geringst mögliche Ausdehnung.
 [[Datei:P_ID2125__Mob_A_1_5d.png|right|frame|Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF]]
-* Das Jakes&ndash;Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
+* Das Jakes&ndash;Leistungsdichtespektrum&nbsp; (linke Grafik)&nbsp; lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei&nbsp; $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$&nbsp; nur sehr ungenau nachbilden.
 * Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
-*Für kleine $\Delta t$&ndash;Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).
+*Für kleine&nbsp; $\Delta t$&ndash;Werte ist die Approximation aber sehr gut&nbsp; (rechte Grafik).
 {{ML-Fuß}}

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 Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
 *Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Für den Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
-*Am Eingang des im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$&nbsp; an.
+*Am Eingang des im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$&nbsp; an.
 *Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
 :$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$

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 Bei einem Mobilfunksystem macht sich der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts|Dopplereffekt]]&nbsp; auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; bemerkbar.
-Es ergibt sich das so genannte&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; hat nur Anteile innerhalb des Bereichs&nbsp; $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
+Es ergibt sich das so genannte&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$&nbsp; in der Grafik dargestellt ist.&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; hat nur Anteile innerhalb des Bereichs&nbsp; $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:
 :$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
   \hspace{0.05cm}.$$
-Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; durch die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]].
+Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum&nbsp; $\rm (LDS)$&nbsp; ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\rm (AKF)$.&nbsp; Diese ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; durch die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]].
-Mit der <i>Besselfunktion</i> erster Art und nullter Ordnung &nbsp;$({\rm J}_0)$&nbsp; erhält man:
+Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung &nbsp;$({\rm J}_0)$&nbsp; erhält man:
 :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$
-Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger &ndash; bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.
+Um den Dopplereffekt &ndash; und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger &ndash; bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.
 Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
-*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils&nbsp; $x(t)$. Für den Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
+*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils&nbsp; $x(t)$.&nbsp; Für den Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
 *Am Eingang des im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$&nbsp; an.
 *Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
 :$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$
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 {Welche Dimensionierung ist richtig, wobei &nbsp;$K$&nbsp; eine geeignet gewählte Konstante ist?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
 + Es gilt&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$
 {Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; bestimmen?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $K$&nbsp; kann beliebig gewählt werden.
 - Das Integral über&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|$&nbsp; muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
 + Das Integral über&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2$&nbsp; muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
-{Ist&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; durch die beiden Bedingungen  gemäß '''(2)''' und '''(3)''' eindeutig festgelegt?
+{Ist&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; durch die beiden Bedingungen  gemäß&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; eindeutig festgelegt?
 |type="()"}
 - Ja.

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   \frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
@@ Zeile 71: / Zeile 72: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.
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 *In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.
 Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:
 * Das Jakes&ndash;Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
-* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt. Für kleine $\Delta t$&ndash;Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).
+* Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
 {{ML-Fuß}}

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 <quiz display=simple>
-{Welchen Wert hat das Jakes&ndash;Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 0$?
+{Welchen Wert hat das Jakes&ndash;Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D} = 0$?
 |type="{}"}
 ${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ { 1.59 } $\ \cdot  10^{\rm &ndash;3} \ 1/{\rm Hz}$
-{Welche Dimensionierung ist richtig? $K$ ist eine beliebige Konstante.
+{Welche Dimensionierung ist richtig, wobei &nbsp;$K$&nbsp; eine geeignet gewählte Konstante ist?
 |type="[]"}
-- Es gilt $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
+- Es gilt&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
-+ Es gilt $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$
++ Es gilt&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$
-{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante $K$ bestimmen?
+{Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; bestimmen?
 |type="[]"}
-- $K$ kann beliebig gewählt werden.
+- $K$&nbsp; kann beliebig gewählt werden.
-- Das Integral über $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|$ muss $1$ ergeben.
+- Das Integral über&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|$&nbsp; muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
-+ Das Integral über $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2$ muss $1$ ergeben.
++ Das Integral über&nbsp; $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2$&nbsp; muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben.
-{Ist $H_{\rm DF}(f)$ durch die beiden Bedingungen (2) und (3) eindeutig festgelegt?
+{Ist&nbsp; $H_{\rm DF}(f)$&nbsp; durch die beiden Bedingungen  gemäß '''(2)''' und '''(3)''' eindeutig festgelegt?
 |type="()"}
 - Ja.

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 [[Datei:P_ID2124__Mob_A_1_5.png|right|frame|Betrachtetes Jakes–Spektrum]]
-Bei einem Mobilfunksystem macht sich der [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts|Dopplereffekt]] auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ bemerkbar. Es ergibt sich das so genannte [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes&ndash;Spektrum]], das für die maximale Dopplerfrequenz $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$ in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$ hat nur Anteile innerhalb des Bereichs $&plusmn; f_{\rm D, \ max}$ wobei gilt:
+Bei einem Mobilfunksystem macht sich der&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#Ph.C3.A4nomenologische_Beschreibung_des_Dopplereffekts|Dopplereffekt]]&nbsp; auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz&nbsp; $f_{\rm D}$&nbsp; bemerkbar.
 :$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}  \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } }
   \hspace{0.05cm}.$$
-Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion. Diese ergibt sich aus ${\it \Phi}_z(f_{\rm D}$ durch die [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]].
+Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus&nbsp; ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$&nbsp; durch die&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-r%C3%BCcktransformation#Das_zweite_Fourierintegral|Fourierrücktransformation]].
-Mit der <i>Besselfunktion</i> erster Art und nullter Ordnung (${\rm J}_0$) erhält man:
+Mit der <i>Besselfunktion</i> erster Art und nullter Ordnung &nbsp;$({\rm J}_0)$&nbsp; erhält man:
 :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) =  2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$
-Um den Dopplereffekt &ndash; und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger &ndash; bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]] zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang $H_{\rm DF}(f_D)$.
+Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger &ndash; bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Modellierung_von_nichtfrequenzselektivem_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.
 Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.
-*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils $x(t)$. Für den Imaginärteil $y(t)$ ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
+*Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils&nbsp; $x(t)$. Für den Imaginärteil&nbsp; $y(t)$&nbsp; ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
-*Am Eingang des im [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]] linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen $n(t)$ mit der Varianz $\sigma^2 = 0.5$ an. Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu
+*Am Eingang des im&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Frequenzselektives_Fading_vs._nichtfrequenzselektives_Fading|Rayleigh&ndash;Kanalmodell]]&nbsp; linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen&nbsp; $n(t)$&nbsp; mit der Varianz&nbsp; $\sigma^2 = 0.5$&nbsp; an.
 :$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh&ndash;Prozesses]].
+* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet&nbsp;  [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses|Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh&ndash;Prozesses]].
-* Das digitale Filter wird im Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; ausführlich behandelt.
+* Das digitale Filter wird im Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]]&nbsp; des Buches &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo; ausführlich behandelt.

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(kein Unterschied)