Aufgaben:Aufgabe 1.5: Karten ziehen - Versionsgeschichte

Guenter am 30. November 2021 um 15:34 Uhr

2021-11-30T15:34:24Z

Guenter am 30. November 2021 um 15:30 Uhr

2021-11-30T15:30:09Z

Guenter am 9. November 2019 um 16:29 Uhr

2019-11-09T16:29:37Z

Guenter am 9. November 2019 um 16:21 Uhr

2019-11-09T16:21:34Z

Guenter am 1. August 2018 um 13:26 Uhr

2018-08-01T13:26:48Z

Guenter am 1. August 2018 um 13:11 Uhr

2018-08-01T13:11:21Z

Guenter am 1. August 2018 um 12:06 Uhr

2018-08-01T12:06:36Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:39Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.5 Karten ziehen nach Aufgaben:Aufgabe 1.5: Karten ziehen

2018-01-03T13:27:40Z

Guenter verschob die Seite 1.5 Karten ziehen nach Aufgabe 1.5: Karten ziehen

Guenter am 5. März 2017 um 15:31 Uhr

2017-03-05T15:31:48Z

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 *Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.&nbsp; Man erhält hierfür&nbsp; $k/m$&nbsp; (bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse im Stapel):
 :$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
-*Man erkennt: &nbsp;  $p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
+*Man erkennt: &nbsp;  $p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$,&nbsp; da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
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-'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
+'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken,&nbsp; da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
 :$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
 ::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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 *Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?
-*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
+*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht,&nbsp; ist es genau so wahrscheinlich,&nbsp; ob man dieses als erste,&nbsp; als zweite oder als dritte Karte zieht.
 *Damit erh&auml;lt man für die Summe&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
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-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; &bdquo;Es werden bei drei Karten genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System.&nbsp; Deshalb gilt:
 :$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis &bdquo;Drei Asse&rdquo;]]
-Aus einem Kartenspiel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
+Aus einem Kartenspiel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten, darunter vier Asse,&nbsp; werden nacheinander drei Karten gezogen.
-*Für die Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
+*Für die Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wird vorausgesetzt,&nbsp; dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird,&nbsp; danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
-*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab&nbsp; '''(2)'''&nbsp; davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
+*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab&nbsp; '''(2)'''&nbsp; davon ausgehen,&nbsp; dass die drei Karten auf einmal gezogen werden&nbsp; („Ziehen ohne Zurücklegen“).
-Im Folgenden bezeichnen wir mit&nbsp; $A_i$&nbsp; das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist&nbsp; $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
+Im Folgenden bezeichnen wir mit&nbsp; $A_i$&nbsp; das Ereignis,&nbsp; dass die zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; gezogene Karte ein Ass ist.&nbsp; Hier ist&nbsp; $i \in \{ 1, 2, 3 \}$.&nbsp; Das Komplementärereignis sagt dann aus,&nbsp; dass zum Zeitpunkt&nbsp; $i$&nbsp; irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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 <quiz display=simple>
-{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
+{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“.&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$,&nbsp; dass drei Asse gezogen werden?
 |type="{}"}
 $p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen,&nbsp; wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
 |type="{}"}
 $p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
-{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
+{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“.&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$,&nbsp; dass kein einziges Ass gezogen wird?
 |type="{}"}
 $p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$,&nbsp; dass genau ein Ass gezogen wird?
 |type="{}"}
 $p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind?&nbsp; <br>''Hinweis'':&nbsp; Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; ein vollständiges System beschreiben.
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_5$,&nbsp; dass zwei der gezogenen Karten Asse sind?&nbsp; <br>''Hinweis'':&nbsp; Berücksichtigen Sie,&nbsp; dass die vier Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; ein vollständiges System beschreiben.
 |type="{}"}
 $p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig; $(1/8)$:
+'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig;&nbsp; $(1/8)$:
 :$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Nun erh&auml;lt man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
 :$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
-Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar. Man erhält hierfür $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
+*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar.&nbsp; Man erhält hierfür&nbsp; $k/m$&nbsp; (bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse im Stapel):
 :$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
-Man erkennt: &nbsp;  $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
+*Man erkennt: &nbsp;  $p_2$&nbsp; ist kleiner als&nbsp; $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
-'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erh&auml;lt man hier:
+'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erh&auml;lt man hier:
 :$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
 :$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
-:$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
+::$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
-:$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
+::$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
-:$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =   Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
+::$${\rm Pr} (D_{\rm 3} \rm) =   Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap  \overline{\it A_{\rm 2}} \cap  A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
-Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?
+*Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?
 *Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
-Damit erh&auml;lt man für die Summe $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
+*Damit erh&auml;lt man für die Summe&nbsp; $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
-'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse $E_i :=$ &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit den Index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i :=$&nbsp; &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit Index&nbsp;  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und&nbsp; $E_3$&nbsp; ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
 :$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID77__Sto_A_1_5.gif|right|frame|Wunschergebnis &bdquo;Drei Asse&rdquo;]]
-Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
+Aus einem Kartenspiel mit&nbsp; $32$&nbsp; Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten gezogen.
-*Für die Teilaufgabe '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
+*Für die Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte diese in den Stapel zurückgelegt wird, danach der Kartenstapel neu gemischt und die nächste Karte gezogen wird.
-*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
+*Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilaufgaben ab&nbsp; '''(2)'''&nbsp; davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp;
-:[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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 <quiz display=simple>
-{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
+{Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?
 |type="{}"}
 $p_1 \ = \ $ { 0.002 3% }
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit $p_2$ werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt? Warum ist $p_2$ kleiner/gleich/größer als $p_1$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_2$&nbsp; werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?&nbsp; Warum ist&nbsp; $p_2$&nbsp; kleiner/gleich/größer als&nbsp; $p_1$?
 |type="{}"}
 $p_2 \ =  \ $ { 0.0008 3% }
-{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
+{Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_3$, dass kein einziges Ass gezogen wird?
 |type="{}"}
 $p_3 \ =  \ $ { 0.6605 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_4$, dass genau ein Ass gezogen wird?
 |type="{}"}
 $p_4 \ =  \ $ { 0.3048 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind? ''Hinweis'': Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$ ein vollständiges System beschreiben.
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_5$, dass zwei der gezogenen Karten Asse sind?&nbsp; <br>''Hinweis'':&nbsp; Berücksichtigen Sie, dass die vier Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp; $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$&nbsp; ein vollständiges System beschreiben.
 |type="{}"}
 $p_5 \ =  \ $ { 0.0339 3% }

@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig; (1/8):
+'''(1)'''&nbsp; Bei jeder Karte ist die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein Ass genau gleich gro&szlig; $(1/8)$:
-$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
+:$$p_{\rm 1} = {\rm Pr} (3 \hspace{0.1cm} {\rm Asse}) = {\rm Pr} (A_{\rm 1})\cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2})\cdot {\rm Pr}(A_{\rm 3}) = \rm ({1}/{8})^3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.002}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Nun erh&auml;lt man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
-$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} [A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )].$$
+:$$p_{\rm 2} = {\rm Pr} (A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} \cap A_{\rm 3} ) = {\rm Pr} (A_{\rm 1}) \cdot {\rm Pr} (A_{\rm 2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\rm 1} ) \cdot {\rm Pr} \big[A_{\rm 3} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}( A_{\rm 1}\cap A_{\rm 2} )\big].$$
-Die bedingten Wahrscheinlichkeiten k&ouml;nnen nach der klassischen Definition berechnet werden. Man erhält somit jeweils $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
+Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nach der klassischen Definition berechenbar. Man erhält hierfür $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
-$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
+:$$p_{\rm 2} ={4}/{32}\cdot {3}/{31}\cdot{2}/{30} \hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.0008}.$$
-Man erkennt: $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
+Man erkennt: &nbsp;  $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
-'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdr&uuml;cken, da die zugehörigen Ereignisse disjunkt sind:
+'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erh&auml;lt man hier:
-$$p_{\rm 4} = {\rm Pr} (D_{\rm 1} \cup D_{\rm 2} \cup D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.1cm}mit\hspace{-0.1cm}:$$
+:$$p_{\rm 3} =  {\rm Pr}(\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{A_{\rm 1}})\cdot  {\rm Pr} (\overline{A_{\rm 3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{A_{\rm 1}} \cap \overline{A_{\rm 2}} )) = {28}/{32}\cdot{27}/{31}\cdot {26}/{30}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.6605}.$$
 :$$ {\rm Pr} (D_{\rm 1}) =  {\rm Pr}( A_{\rm 1} \cap \overline{ A_{\rm 2}} \cap \overline{A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 :$${\rm Pr} (D_{\rm 2}) =  \rm Pr ( \overline{A_{\rm 1}} \cap A_{\rm 2} \cap \overline{A_{\rm 3}})  = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
@@ Zeile 72: / Zeile 75: @@
 Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich &ndash; warum sollte es auch anders sein?
-Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht. Damit erh&auml;lt man für die Summe $p_4 \; \underline{= 0.3048}$.
+*Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
 '''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse $E_i :=$ &bdquo;Es werden bei drei Karten genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit den Index  $i \in \{ 0, 1, 2, 3 \}$, so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollst&auml;ndiges System. Deshalb gilt:
-$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - p_2 -p_3 - p_4 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
+:$$p_{\rm 5} = {\rm Pr}(E_2) = 1 - {\rm Pr}(E_0) -{\rm Pr}(E_1) - {\rm Pr}(E_3) = 1 - p_3 -p_4 - p_2  \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.0339}.$$
 {{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 1. August 2018, 13:11 Uhr
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−	Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $t \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.	+	Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i \in \{ 1, 2, 3 \}$. Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ irgend eine andere Karte als ein Ass gezogen wird.

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
 :[[Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:27 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 5. März 2017, 15:31 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:


−	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.3 Statistische Abhängigkeit ~~und Unabhängigkeit~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.3 Statistische (Un-)Abhängigkeit^]]