Aufgaben:Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass - Versionsgeschichte

Guenter am 9. September 2021 um 16:41 Uhr

2021-09-09T16:41:27Z

Guenter am 23. Oktober 2019 um 08:25 Uhr

2019-10-23T08:25:25Z

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2019-10-23T08:05:32Z

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2018-11-06T08:08:35Z

Guenter am 6. November 2018 um 08:08 Uhr

2018-11-06T08:08:00Z

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2018-11-06T07:54:14Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-02-15T16:45:00Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf = 10 \ \rm kHz$:
+'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit&nbsp; $Δf = 10 \ \rm kHz$:
 :$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
-Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:
+*Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor&nbsp; $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:
 :$$y_1(t) =  10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
 :$$  \Rightarrow  \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm &micro; s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm
 si} \left( {\pi}/{2} \right)  \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
 [[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts |frame| Diracpuls und Rechteckfilter]]
-'''(2)'''&nbsp; Das Spektrum $X_2(f)$ des Diracpulses beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit dem Gewicht $5 \ \rm V$.
+'''(2)'''&nbsp; Das Spektrum&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; beinhaltet diskrete Linien im Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht&nbsp; $5 \ \rm V$.
-Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f = 0$  mit dem Gewicht $5 \ \rm V$ und je einer bei $±5  \ \rm kHz$ mit dem Gewicht $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
+*Das Spektrum&nbsp; $Y_2(f)$&nbsp; besteht somit aus einer Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp;  mit dem Gewicht&nbsp; $5 \ \rm V$&nbsp; und je einer bei&nbsp; $±5  \ \rm kHz$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
 :$$ y_2(t)  = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit $T_{\rm A} = 199 \  \rm &micro; s $ ist $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen $H(f_{\rm A}) = 0$  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f = 0$ mit dem Gewicht $5.025 \ \rm V$ und man erhält den konstanten Verlauf
+'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $T_{\rm A} = 199 \  \rm &micro; s $&nbsp; ist&nbsp; $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen&nbsp; $H(f_{\rm A}) = 0$&nbsp;  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $5.025 \ \rm V$&nbsp; und man erhält den konstanten Verlauf
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
-Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$).
+*Wird&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert &nbsp;$($proportional zu&nbsp; $1/T_{\rm A})$.
-Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \  \rm &micro; s $  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:
+*Dagegen ist mit&nbsp; $T_{\rm A} = 201 \  \rm &micro; s $&nbsp;  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters&nbsp; $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:
 :$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
-Daraus folgt für das Zeitsignal:
+*Daraus folgt für das Zeitsignal:
 :$$y_2(t )   =   4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} +  9.95\hspace{0.1cm}{\rm
 V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t )  \hspace{0.2cm} \Rightarrow
   \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
-*Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $ gilt.
+*Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange&nbsp; $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $&nbsp; gilt.
-*Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden.
+*Allerdings ergeben sich je nach&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; unterschiedliche Amplituden. &nbsp; Für&nbsp; $T_{\rm A} ≥ 400  \  {\rm &micro;  s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.
-[[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impuls– und Sprungantwort| rechts|frame]]
-'''(4)'''&nbsp; Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:
+[[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impulsantwort und Sprungantwort| rechts|frame]]
 :$$y_3(t = 0)  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot  \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm  d}\tau  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\big].$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
-'''(5)'''&nbsp; Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:
 :$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: &micro; s}.$$
-Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
+*Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
 :$$y_3(t = t_{\rm max})  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot
     {\rm Si} ( \pi  )\big]=  10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 +
 .5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
-Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein.
+*Zu späteren Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; schwingt&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; langsam auf seinen Endwert&nbsp; $10 \ \rm V$ ein.
 [[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]]
-'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5  \ \rm kHz$ stets Null.
+'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $X_4(f)$&nbsp; ist wie&nbsp; $H(f)$&nbsp; rechteckförmig und für&nbsp; $|f| > 2.5  \ \rm kHz$&nbsp; stets Null.
-*Das bedeutet, dass $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und somit auch $y_4(t) = x_4(t)$.
+*Das bedeutet, dass&nbsp; $Y_4(f ) = X_4(f)$&nbsp; gilt und somit auch&nbsp; $y_4(t) = x_4(t)$.
 *Damit ist &nbsp;$y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.
-Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite $10 \ \rm kHz$ wird jedoch nun ausschließlich durch $H(f)$ bestimmt:
+'''(7)'''&nbsp; Mit&nbsp; $T = 50 \ \rm &micro; s$&nbsp; hat&nbsp; $X_4(f)$&nbsp; die Breite&nbsp; $20 \ \rm kHz$&nbsp; und die Höhe&nbsp; $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.
 :$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm
 Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t )$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}
-[[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|frame|Tabelle mit Werten der si–Funktion und der Si–Funktion]]
+[[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|frame|Tabelle mit Werten der&nbsp; $\rm si$–Funktion und der&nbsp; $\rm Si$–Funktion]]
 Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt,
-*der alle Frequenzen $f < 5 \ \rm kHz$ unverfälscht durchlässt  &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f) = 1$,
+*der alle Frequenzen&nbsp; $f < 5 \ \rm kHz$&nbsp; unverfälscht durchlässt  &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f) = 1$,
-*und alle Spektralanteile über $5 \ \rm kHz$ vollständig unterdrückt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $H(f) = 0$.
+*und alle Spektralanteile über&nbsp; $5 \ \rm kHz$&nbsp; vollständig unterdrückt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $H(f) = 0$.
-Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$ ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich $1/2$.
+Exakt bei der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich&nbsp; $1/2$.
 An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:
 *ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen &bdquo;Dirac&rdquo; angenähert werden kann:
 :$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
-*ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand $T_{\rm A}$:
+*ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand&nbsp; $T_{\rm A}$:
 :$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
-:wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet:
+:wobei das zugehörige Spektrum mit&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; lautet:
 :$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
-*eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$:
+*eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0  \\  5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t  < 0,}  \\{ t  = 0,}  \\
 { t  > 0,}  \\ \end{array}$$
-*ein si–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$:
+*ein&nbsp; $\rm si$–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer&nbsp; $T$:
 :$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
-*In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:
+*In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion''&nbsp; ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion''&nbsp; ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:
 :$${\rm Si}(\pi  x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi  \xi  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$
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 <quiz display=simple>
-{Welches Ausgangssignal $y_1(t)$ ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = 50 \  \rm &micro; s$?
+{Welches Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls&nbsp; $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 50 \  \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $y_1(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
@@ Zeile 46: / Zeile 49: @@
-{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls $x_2(t)$ anliegt und $T_{\rm A} = 200 \  &micro;  \rm s$ gilt. <br>Welcher Signalwert tritt bei $t = 0$ auf?
+{Wie lautet das Ausgangssignal&nbsp; $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; anliegt und&nbsp; $T_{\rm A} = 200 \  &micro;  \rm s$&nbsp; gilt. Welcher Signalwert tritt bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_2(t = 0)    \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
-{Welche Werte $y_2(t = 0)$ ergeben sich mit $T_{\rm A} = 199 \  \rm &micro; s$ bzw. $T_{\rm A} = 201 \ \rm &micro; s$?
+{Welche Werte&nbsp; $y_2(t = 0)$&nbsp; ergeben sich mit&nbsp; $T_{\rm A} = 199 \  \rm &micro; s$&nbsp; bzw.&nbsp; $T_{\rm A} = 201 \ \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $T_{\rm A} =  199 \  {\rm &micro; s} \text{:}\hspace{0.4cm}  y_2(t = 0)    \ = \ $ { 5.025 3% } &nbsp;$\rm V$
@@ Zeile 57: / Zeile 60: @@
-{Geben Sie das Ausgangssignal $y_3(t)$ für die Sprungfunktion $x_3(t)$ mit Endwert $10 \ \rm V$ an. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$  auf?
+{Geben Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; für die Sprungfunktion&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mit Endwert&nbsp; $10 \ \rm V$&nbsp; an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp;  auf?
 |type="{}"}
 $y_3(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\rm V$
-{Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ ist $y_3(t)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert?
+{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_{\rm max}$&nbsp; ist&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; maximal? Wie groß ist der Maximalwert?
 |type="{}"}
 $t_{\rm max} \ = \ $ { 100 3% } &nbsp;$\rm &micro; s$
@@ Zeile 68: / Zeile 71: @@
-{Wie lautet das Ausgangssignal $y_4(t)$, wenn am Eingang das si–förmige Signal $x_4(t)$ mit $T = 200 \ \rm &micro; s$ anliegt? <br>Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?
+{Wie lautet das Ausgangssignal&nbsp; $y_4(t)$, wenn am Eingang das&nbsp; ${\rm si}$–förmige Signal&nbsp; $x_4(t)$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm si}(πx)$ $T = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; anliegt? Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_4(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
-{Welcher Signalwert $y_4(t = 0)$ ergibt sich für $T = 50 \  \rm &micro; s$?
+{Welcher Signalwert&nbsp; $y_4(t = 0)$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $T = 50 \  \rm &micro; s$?
 |type="{}"}
 $y_4(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\rm V$

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
 *In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:
 :$${\rm Si}(\pi  x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi  \xi  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$

@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
 Dagegen ist mit $T_{\rm A} = 201 \  \rm &micro; s $  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:
-:$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\right].$$
+:$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
 Daraus folgt für das Zeitsignal:
 :$$y_2(t )   =   4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} +  9.95\hspace{0.1cm}{\rm
 V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t )  \hspace{0.2cm} \Rightarrow
   \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
-Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, solange $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $ gilt. Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A} ≥ 400  \  {\rm &micro;  s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.
+*Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $ gilt.
 [[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impuls– und Sprungantwort| rechts|frame]]
 '''(4)'''&nbsp; Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:
-:$$y_3(t = 0)  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot  \int_{ - \infty }^{ t } {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm  d}\tau  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\right].$$
+:$$y_3(t = 0)  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot  \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm  d}\tau  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\big].$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
-'''(5)'''&nbsp; Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss $t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: &micro; s}$ gelten.
+'''(5)'''&nbsp; Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann maximal ist, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:
 Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
-:$$y_3(t = t_{\rm max})  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot
+:$$y_3(t = t_{\rm max})  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot
-    {\rm Si} ( \pi  )\right]=  10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ 0.5 +
+    {\rm Si} ( \pi  )\big]=  10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 +
-.5895 \right] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
+.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
 Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert $10 \ \rm V$ ein.
 [[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]]
-'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5  \ \rm kHz$ stets $0$. Das bedeutet, dass in diesem Fall $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und entsprechend auch $y_4(t) = x_4(t)$. Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.
+'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| > 2.5  \ \rm kHz$ stets Null.
-'''(7)'''&nbsp; Mit $T = 50 \ \rm &micro; s$ ist die Breite von $X_4(f)$ gleich $20 \ \rm kHz$ und die Höhe $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$. Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite $10 \ \rm kHz$ wird jedoch nun ausschließlich durch $H(f)$ bestimmt:
+'''(7)'''&nbsp; Mit $T = 50 \ \rm &micro; s$ hat $X_4(f)$ die Breite $20 \ \rm kHz$ und die Höhe $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.
 :$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm
 Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t )$$
-:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }$$
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.$$
 {{ML-Fuß}}

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(kein Unterschied)