Aufgaben:Aufgabe 1.5: Cosinus-Quadrat-Spektrum - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.3 Eigenschaften von Nyquistsystemen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.3 Eigenschaften von Nyquistsystemen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.5:_Cosine-Square_Spectrum]]

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2026-02-25T13:19:27Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

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Zeile 8:		Zeile 8:
	:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$		:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$
	Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$,  wobei  $T$  noch zu bestimmen ist.  Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:		Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$,  wobei  $T$  noch zu bestimmen ist.  Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
	:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \~~cdott~~/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$		:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$
	In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:		In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
	*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums,  das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.		*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums,  das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.
Zeile 90:		Zeile 90:
	*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt  $t = T/2$  ein:		*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt  $t = T/2$  ein:

	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})\cdot \frac{{\rm d}/{\rm d}t \left [ \cos(\pi \~~cdott~~/T)\right]}{{\rm d}/{\rm d}t\left [ 1 - (2 \cdot t/T)^2\right]}}\bigg \|_{t = T/2} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot \frac{- \pi/T \cdot\sin(\pi \cdot t/T)}{-2 \cdot (2\cdot t/T) \cdot (2/T)}} \bigg \|_{t = T/2} = \frac {2}{\pi}\cdot\frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})\cdot \frac{{\rm d}/{\rm d}t \left [ \cos(\pi \cdot t/T)\right]}{{\rm d}/{\rm d}t\left [ 1 - (2 \cdot t/T)^2\right]}}\bigg \|_{t = T/2} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot \frac{- \pi/T \cdot\sin(\pi \cdot t/T)}{-2 \cdot (2\cdot t/T) \cdot (2/T)}} \bigg \|_{t = T/2} = \frac {2}{\pi}\cdot\frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$

	*Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:		*Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:

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2026-02-24T13:38:29Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$		:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$
	Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$,  wobei  $T$  noch zu bestimmen ist.  Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:		Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$,  wobei  $T$  noch zu bestimmen ist.  Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
	:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \~~cdot~~		:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdott/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$
	t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$
	In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:		In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
	*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums,  das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.		*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums,  das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.
Zeile 15:		Zeile 14:
	* Für  $\| f \| < f_{1}$  ist  $G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$,  während das Spektrum für  $\| f \| > f_{2}$  keine Anteile besitzt.		* Für  $\| f \| < f_{1}$  ist  $G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$,  während das Spektrum für  $\| f \| > f_{2}$  keine Anteile besitzt.
	*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:		*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:
	:$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 }{2 }\hspace{0.05cm}.$$
	{2 }\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Flankensteilheit wird durch den so genannten Rolloff–Faktor charakterisiert:		*Die Flankensteilheit wird durch den so genannten Rolloff–Faktor charakterisiert:
	:$$r = \frac{f_2 -f_1 }		:$$r = \frac{f_2 -f_1 }{f_2 +f_1 }\hspace{0.2cm}(0 \le r \le 1) \hspace{0.05cm}.$$
	{f_2 +f_1 }\hspace{0.2cm}(0 \le r \le 1) \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 68:		Zeile 65:

	'''(2)'''  Aus den angegebenen Gleichungen erhält man:		'''(2)'''  Aus den angegebenen Gleichungen erhält man:
	:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
	{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:		'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:
Zeile 79:		Zeile 75:
	*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da  $g(t = T/2) \neq 0$  ist.		*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da  $g(t = T/2) \neq 0$  ist.
	*Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:		*Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
	:$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -		:$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -\frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}={\rm const.}$$
	\frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=
	{\rm const.}$$
	*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt,  wie man nach längerer Rechnung zeigen kann.  Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich  $\| f · T \| \leq 1$  und setzen vereinfachend  $g_{0} \cdot T = 1$:		*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt,  wie man nach längerer Rechnung zeigen kann.  Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich  $\| f · T \| \leq 1$  und setzen vereinfachend  $g_{0} \cdot T = 1$:
	:$$G_{\rm Per}(f) = \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}		:$$G_{\rm Per}(f) = \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}- f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} - f)\cdot T \right ]}+\frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}+ f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} + f)\cdot T \right ]}\hspace{0.05cm}.$$
	- f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} - f)
	\cdot T \right ]}+\frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}
	+ f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} + f)
	\cdot T \right ]}\hspace{0.05cm}.$$
	*Weiter gilt:		*Weiter gilt:
	:$$\frac {\cos^2 (x)}{\cos(2x)} = {1}/{2} \cdot \frac		:$$\frac {\cos^2 (x)}{\cos(2x)} = {1}/{2} \cdot \frac{1+\cos(2x)}{\cos(2x)}= {1}/{2} \cdot \left [1+ \frac{1}{\cos(2x)}\right ]$$
	{1+\cos(2x)}{\cos(2x)}= {1}/{2} \cdot \left [1+ \frac		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = {1}/{2}\cdot \left [1+ \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
	{1}{\cos(2x)}\right ]$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = {1}/{2}
	\cdot \left [1+ \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
	- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
	+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
	* Wegen  $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos		* Wegen  $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
	\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm		\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm
	\pi f T \right)\text{:}$		\pi f T \right)\text{:}$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = 2 - \frac {1}{\sin		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = 2 - \frac {1}{\sin(\pi f T)} + \frac {1}{\sin (\pi f T)} = 2 = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$
	(\pi f T)} + \frac {1}{\sin (\pi f T)} = 2 = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 106:		Zeile 90:
	*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt  $t = T/2$  ein:		*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt  $t = T/2$  ein:

	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})\cdot \frac{{\rm d}/{\rm d}t \left [ \cos(\pi \cdott/T)\right]}{{\rm d}/{\rm d}t\left [ 1 - (2 \cdot t/T)^2\right]}}\bigg \|_{t = T/2} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot \frac{- \pi/T \cdot\sin(\pi \cdot t/T)}{-2 \cdot (2\cdot t/T) \cdot (2/T)}} \bigg \|_{t = T/2} = \frac {2}{\pi}\cdot\frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot \frac{{\rm d}/{\rm d}t \left [ \cos(\pi \~~cdot~~
	t/T)\right]}{{\rm d}/{\rm d}t\left [ 1 - (2 \cdot t/T)^2\right]}}
	\bigg \|_{t = T/2} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot \frac{- \pi/T \cdot
	\sin(\pi \cdot t/T)}{-2 \cdot (2\cdot t/T) \cdot (2/T)}} \bigg \|_{t = T/2} = \frac {2}{\pi}\cdot
	\frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$

	*Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:		*Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:
	:$$\frac{g( t )}{g_0} = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot		:$$\frac{g( t )}{g_0} = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot\frac {\pi}{4} \cdot \big [ {\rm si}(\pi \cdot (t/T + 1/2)) +{\rm si}(\pi \cdot (t/T - 1/2))\big] \hspace{0.05cm}.$$
	\frac {\pi}{4} \cdot \big [ {\rm si}(\pi \cdot (t/T + 1/2)) +
	{\rm si}(\pi \cdot (t/T - 1/2))\big] \hspace{0.05cm}.$$
	*Der zweite Klammerausdruck kann wie folgt umgeformt werden:		*Der zweite Klammerausdruck kann wie folgt umgeformt werden:
	:$$\frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}		:$$\frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}\bigg ] = \ \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi\cdot t/T + \pi/2)}{\pi \cdot t/T + \pi/2} + \frac {{\rm sin}(\pi\cdot t/T - \pi/2)}{\pi \cdot t/T - \pi/2}\right] = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi\cdot t/T )\cdot \left [ \frac {1}{2 \cdot t/T + 1} - \frac {1}{ 2\cdot t/T - 1}\right] $$
	\bigg ] = \ \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}\bigg ] = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi\cdot t/T )\cdot \frac{1- 2 \cdot t/T + 1+ 2 \cdot t/T}{(1+ 2\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2\cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot t/T + \pi/2)}{\pi \cdot t/T + \pi/2} + \frac {{\rm sin}(\pi
	\cdot t/T - \pi/2)}{\pi \cdot t/T - \pi/2}\right] = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi
	\cdot t/T )\cdot \left [ \frac {1}{2 \cdot t/T + 1} - \frac {1}{ 2
	\cdot t/T - 1}\right] $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
	\bigg ] = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi
	\cdot t/T )\cdot \frac{1- 2 \cdot t/T + 1+ 2 \cdot t/T}{(1+ 2
	\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2
	\cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt,  dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind.  Für den Zeitpunkt  $t = T/2$  gilt somit weiterhin:		*Daraus folgt,  dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind.  Für den Zeitpunkt  $t = T/2$  gilt somit weiterhin:
	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = {\rm si}( \frac{\pi}{2}) \cdot \frac		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = {\rm si}( \frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac{2}{\pi}\cdot \frac {\pi}{4} = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$
	{\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac
	{2}{\pi}\cdot \frac {\pi}{4} = 0.5 \hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 2. Mai 2022 um 12:23 Uhr

2022-05-02T12:23:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Mai 2022, 14:23 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden:   ~~$f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$.~~ Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt $f_{1} \underline {= 0}$.		'''(1)'''  Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden:  Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist,  gilt $f_{1} \underline {= 0}$.



Zeile 71:		Zeile 70:
	:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }
	{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$		{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:		'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:
	:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$

			'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 1 und 3</u>:
	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:		*Die erste Aussage ist richtig:   Die Funktion  $si(π · t/T)$  führt zu Nulldurchgängen bei  $\nu T\ (\nu \neq 0)$.
	*Die erste Aussage ist richtig:   Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.		*Auch die letzte Aussage trifft zu:  Wegen $g(t) = 0$  für  $t =\pm 1.5T,  \pm 2.5T,  \pm 3.5T, ...$  wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
	*Auch die letzte Aussage trifft zu:  Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.		*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da  $g(t = T/2) \neq 0$  ist.
	*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da $g(t = T/2) \neq 0$ ist.

	*Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:		*Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
	:$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -		:$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -
	\frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=		\frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=
	{\rm const.}$$		{\rm const.}$$
	*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt, wie man nach längerer Rechnung zeigen kann. Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich $\| f · T \| \leq 1$ und setzen vereinfachend $g_{0} \cdot T = 1$:		*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt,  wie man nach längerer Rechnung zeigen kann.  Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich  $\| f · T \| \leq 1$  und setzen vereinfachend  $g_{0} \cdot T = 1$:
	:$$G_{\rm Per}(f) = \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}		:$$G_{\rm Per}(f) = \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}
	- f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} - f)		- f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} - f)
Zeile 100:		Zeile 96:
	- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}		- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
	+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$		+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
	* Wegen $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos		* Wegen  $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
	\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm		\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm
	\pi f T \right)\text{:}$		\pi f T \right)\text{:}$
Zeile 107:		Zeile 103:


	'''(5)'''  Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann.		'''(5)'''  Für  $t = T/2$  liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert  ("0 geteilt durch 0"),  der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann.
	*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:		*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt  $t = T/2$  ein:

	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})
Zeile 133:		Zeile 129:
	\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2		\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2
	\cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$		\cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt, dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Für den Zeitpunkt $t = T/2$ gilt somit weiterhin:		*Daraus folgt,  dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind.  Für den Zeitpunkt  $t = T/2$  gilt somit weiterhin:
	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = {\rm si}( \frac{\pi}{2}) \cdot \frac		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = {\rm si}( \frac{\pi}{2}) \cdot \frac
	{\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac		{\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac

Guenter am 2. Mai 2022 um 12:17 Uhr

2022-05-02T12:17:22Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 17:02 Uhr

2019-01-30T17:02:47Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 16:54 Uhr

2019-01-30T16:54:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 18:54 Uhr
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	[[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png\|right\|frame\|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]		[[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png\|right\|frame\|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]
	Betrachtet wird das Spektrum $G(f)$ mit $\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:		Betrachtet wird das Spektrum  $G(f)$  mit  $\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
	:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$		:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$
	Dementsprechend hat der zugehörige Impuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T$, wobei $T$ noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von $G(f)$ erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:		Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$, wobei  $T$  noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
	:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot		:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
	t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$		t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$
	In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:		In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
	*Die Spektralfunktion $G(f)$ ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq}$ ist.		*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.
	*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ vollständig gekennzeichnet. Für $\| f \| < f_{1}$ ist $G(f) = g_{0} \cdot T = const.$, während das Spektrum für $\| f \| > f_{2}$ keine Anteile besitzt.		*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen  $f_{1}$  und  $f_{2}$  vollständig gekennzeichnet.
			* Für  $\| f \| < f_{1}$  ist  $G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$, während das Spektrum für  $\| f \| > f_{2}$  keine Anteile besitzt.
	*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:		*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:
	:$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 }
Zeile 21:		Zeile 22:


	''~~Hinweise~~:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].

			''Hinweis:''
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].


Zeile 40:		Zeile 44:
	$r \ = \ $ { 1 3% }		$r \ = \ $ { 1 3% }

	{In welchem zeitlichen Abstand $T$ besitzt $g(t)$ Nulldurchgänge?		{In welchem zeitlichen Abstand  $T$  besitzt  $g(t)$  Nulldurchgänge?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm ~~\mu~~ s$		$T \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm µ s$

	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+$g(t)$ erfüllt das erste Nyquistkriterium wegen des $\rm si$–Terms.		+ $g(t)$  erfüllt das erste Nyquistkriterium wegen des  $\rm si$–Terms.
	- $g(t)$ besitzt weitere Nulldurchgänge bei $\pm 0.5T, \pm 1.5T, \pm 2.5 T, \text{...}$		- $g(t)$  besitzt weitere Nulldurchgänge bei  $\pm 0.5T,  \pm 1.5T,  \pm 2.5 T, \text{...}$
	+ Das $\cos^{2}$–Spektrum erfüllt auch das zweite Nyquistkriterium.		+ Das  $\cos^{2}$–Spektrum erfüllt auch das zweite Nyquistkriterium.


	{Welchen (normierten) Wert besitzt der Impuls zum Zeitpunkt $t = T/2$?		{Welchen (normierten) Wert besitzt der Impuls zum Zeitpunkt  $t = T/2$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$g(t = T/2)/g_{0} \ = \ $ { 0.5 3% }		$g(t = T/2)/g_{0} \ = \ $ { 0.5 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:38Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-04T06:19:56Z

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Guenter am 6. November 2017 um 07:20 Uhr

2017-11-06T07:20:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. November 2017, 09:20 Uhr
Zeile 62:		Zeile 62:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden: $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt: $f_{1} \underline {= 0}$.		'''(1)'''  Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden: $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt: $f_{1} \underline {= 0}$.


	'''(2)'''  Aus den angegebenen Gleichungen erhält man:		'''(2)'''  Aus den angegebenen Gleichungen erhält man:
	:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }
	{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},$$		{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
	~~:$$~~r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:		'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:
	:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(4)'''  Die erste Aussage ist richtig: Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$. Auch die letzte Aussage trifft zu: Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt. Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da $g(t = T/2) \neq 0$ ist. ~~Richtig sind also nur die <u>Aussagen 1 und 3</u>.~~		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
			*Die erste Aussage ist richtig: Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.
			*Auch die letzte Aussage trifft zu: Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
			*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da $g(t = T/2) \neq 0$ ist.


	Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:		Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
Zeile 91:		Zeile 95:
	- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}		- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
	+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$		+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos		:$$\text{Wegen }\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
	\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm		\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm
	\pi f T \right)$$		\pi f T \right)\text{:}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = 2 - \frac {1}{\sin		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = 2 - \frac {1}{\sin
	(\pi f T)} + \frac {1}{\sin (\pi f T)} = 2 = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$		(\pi f T)} + \frac {1}{\sin (\pi f T)} = 2 = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(5)'''  Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der ~~allerdings~~ mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann. Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:		'''(5)'''  Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann. Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:

	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})
Zeile 114:		Zeile 118:
	\bigg ] = \ \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi		\bigg ] = \ \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi
	\cdot t/T + \pi/2)}{\pi \cdot t/T + \pi/2} + \frac {{\rm sin}(\pi		\cdot t/T + \pi/2)}{\pi \cdot t/T + \pi/2} + \frac {{\rm sin}(\pi
	\cdot t/T - \pi/2)}{\pi \cdot t/T - \pi/2}\right] =		\cdot t/T - \pi/2)}{\pi \cdot t/T - \pi/2}\right] = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi
	\\ = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi
	\cdot t/T )\cdot \left [ \frac {1}{2 \cdot t/T + 1} - \frac {1}{ 2		\cdot t/T )\cdot \left [ \frac {1}{2 \cdot t/T + 1} - \frac {1}{ 2
	\cdot t/T - 1}\right] = \\		\cdot t/T - 1}\right] $$
	\\ = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
			\bigg ] = \ \frac {1}{2} \cdot {\rm cos}(\pi
	\cdot t/T )\cdot \frac{1- 2 \cdot t/T + 1+ 2 \cdot t/T}{(1+ 2		\cdot t/T )\cdot \frac{1- 2 \cdot t/T + 1+ 2 \cdot t/T}{(1+ 2
	\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2		\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2

← Nächstältere Version		Version vom 2. Mai 2022, 14:17 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:

	[[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png\|right\|frame\|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]		[[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png\|right\|frame\|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]
	Betrachtet wird das Spektrum  $G(f)$  mit  $\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:		Betrachtet wird das Spektrum  $G(f)$  mit  $\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze.  Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
	:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$		:$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) = {\rm const.}$$
	Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$, wobei  $T$  noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:		Dementsprechend hat der zugehörige Impuls  $g(t)$  Nulldurchgänge bei Vielfachen von  $T$,  wobei  $T$  noch zu bestimmen ist.  Durch Fourierrücktransformation von  $G(f)$  erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
	:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot		:$$g( t )= g_0 \cdot \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
	t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$		t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$
	In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:		In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
	*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.		*Die Spektralfunktion  $G(f)$  ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums,  das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq}$  ist.
	*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen  $f_{1}$  und  $f_{2}$  vollständig gekennzeichnet.		*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen  $f_{1}$  und  $f_{2}$  vollständig gekennzeichnet.
	* Für  $\| f \| < f_{1}$  ist  $G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$, während das Spektrum für  $\| f \| > f_{2}$  keine Anteile besitzt.		* Für  $\| f \| < f_{1}$  ist  $G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$,  während das Spektrum für  $\| f \| > f_{2}$  keine Anteile besitzt.
	*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:		*Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:
	:$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq}= \frac{f_1 +f_2 }
Zeile 25:		Zeile 25:


	''Hinweis:''		Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen\|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 19:02 Uhr
Zeile 65:		Zeile 65:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden: $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt: $f_{1} \underline {= 0}$.		'''(1)'''  Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden:   $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt $f_{1} \underline {= 0}$.



Zeile 71:		Zeile 72:
	:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }		:$$f_{\rm Nyq} = \ \frac{f_1 +f_2 }
	{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$		{2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:		'''(3)'''  Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:
	:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm ~~\mu~~ s}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
	*Die erste Aussage ist richtig: Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.		*Die erste Aussage ist richtig:   Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.
	*Auch die letzte Aussage trifft zu: Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.		*Auch die letzte Aussage trifft zu:  Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
	*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da $g(t = T/2) \neq 0$ ist.		*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da $g(t = T/2) \neq 0$ ist.

			*Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
	Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
	:$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -		:$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -
	\frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=		\frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=
	{\rm const.}$$		{\rm const.}$$
	Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt, wie man nach längerer Rechnung zeigen kann. Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich $\| f · T \| \leq 1$ und setzen vereinfachend $g_{0} \cdot T = 1$:		*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt, wie man nach längerer Rechnung zeigen kann. Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich $\| f · T \| \leq 1$ und setzen vereinfachend $g_{0} \cdot T = 1$:
	:$$G_{\rm Per}(f) = \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}		:$$G_{\rm Per}(f) = \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot ( f_{\rm Nyq}
	- f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} - f)		- f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} - f)
Zeile 91:		Zeile 93:
	+ f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} + f)		+ f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq} + f)
	\cdot T \right ]}\hspace{0.05cm}.$$		\cdot T \right ]}\hspace{0.05cm}.$$
	Weiter gilt:		*Weiter gilt:
	:$$\frac {\cos^2 (x)}{\cos(2x)} = {1}/{2} \cdot \frac		:$$\frac {\cos^2 (x)}{\cos(2x)} = {1}/{2} \cdot \frac
	{1+\cos(2x)}{\cos(2x)}= {1}/{2} \cdot \left [1+ \frac		{1+\cos(2x)}{\cos(2x)}= {1}/{2} \cdot \left [1+ \frac
Zeile 99:		Zeile 101:
	- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}		- f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
	+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$		+ f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
	:$~~$\text{Wegen }~~\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos		* Wegen $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
	\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm		\left ( {\pi}/{2} \pm \pi f T \right) = \sin \left ( \pm
	\pi f T \right)\text{:}$$		\pi f T \right)\text{:}$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = 2 - \frac {1}{\sin		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) = 2 - \frac {1}{\sin
	(\pi f T)} + \frac {1}{\sin (\pi f T)} = 2 = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$		(\pi f T)} + \frac {1}{\sin (\pi f T)} = 2 = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(5)'''  Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann. Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:
			'''(5)'''  Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann.
			*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:

	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})
Zeile 114:		Zeile 118:
	\frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$		\frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$

	Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:		*Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:
	:$$\frac{g( t )}{g_0} = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot		:$$\frac{g( t )}{g_0} = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot
	\frac {\pi}{4} \cdot \big [ {\rm si}(\pi \cdot (t/T + 1/2)) +		\frac {\pi}{4} \cdot \big [ {\rm si}(\pi \cdot (t/T + 1/2)) +
	{\rm si}(\pi \cdot (t/T - 1/2))\big] \hspace{0.05cm}.$$		{\rm si}(\pi \cdot (t/T - 1/2))\big] \hspace{0.05cm}.$$
	Der zweite Klammerausdruck kann wie folgt umgeformt werden:		*Der zweite Klammerausdruck kann wie folgt umgeformt werden:
	:$$\frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}		:$$\frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
	\bigg ] = \ \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi		\bigg ] = \ \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi
Zeile 130:		Zeile 134:
	\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2		\cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2
	\cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$		\cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus folgt, dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Für den Zeitpunkt $t = T/2$ gilt somit weiterhin:		*Daraus folgt, dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Für den Zeitpunkt $t = T/2$ gilt somit weiterhin:
	:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = {\rm si}( \frac{\pi}{2}) \cdot \frac		:$$\frac{g( t = T/2)}{g_0} = {\rm si}( \frac{\pi}{2}) \cdot \frac
	{\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac		{\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac