Aufgaben:Aufgabe 1.5: Cosinus-Quadrat-Spektrum - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Mai 2022 um 12:23 Uhr

2022-05-02T12:23:34Z

Guenter am 2. Mai 2022 um 12:17 Uhr

2022-05-02T12:17:22Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 17:02 Uhr

2019-01-30T17:02:47Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 16:54 Uhr

2019-01-30T16:54:31Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:38Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.5 Cosinus-Quadrat-Spektrum nach Aufgaben:Aufgabe 1.5: Cosinus-Quadrat-Spektrum

2018-01-04T06:19:56Z

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Guenter am 6. November 2017 um 07:20 Uhr

2017-11-06T07:20:47Z

Guenter am 6. November 2017 um 07:04 Uhr

2017-11-06T07:04:37Z

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-11-05T12:23:04Z

Musterlösung

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-11-05T12:21:28Z

Musterlösung

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden: &nbsp; $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt $f_{1} \underline {= 0}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden:&nbsp;  Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist,&nbsp; gilt $f_{1} \underline {= 0}$.
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 :$$f_{\rm Nyq}  = \  \frac{f_1 +f_2 }
 {2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:
 :$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 1 und 3</u>:
-'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
+*Die erste Aussage ist richtig: &nbsp; Die Funktion&nbsp; $si(π · t/T)$&nbsp; führt zu Nulldurchgängen bei&nbsp; $\nu T\  (\nu \neq 0)$.
-*Die erste Aussage ist richtig: &nbsp; Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.
+*Auch die letzte Aussage trifft zu: &nbsp;Wegen $g(t) = 0$&nbsp; für&nbsp; $t =\pm 1.5T,&nbsp; \pm 2.5T,&nbsp; \pm 3.5T, ...$&nbsp; wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
-*Auch die letzte Aussage trifft zu: &nbsp;Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
+*Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da&nbsp; $g(t = T/2) \neq 0$&nbsp; ist.
 *Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
 :$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -
 \frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=
 {\rm const.}$$
-*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt, wie man nach längerer Rechnung zeigen kann. Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich $| f · T | \leq 1$ und setzen vereinfachend $g_{0} \cdot  T = 1$:
+*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt,&nbsp; wie man nach längerer Rechnung zeigen kann.&nbsp; Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich&nbsp; $| f · T | \leq 1$&nbsp; und setzen vereinfachend&nbsp; $g_{0} \cdot  T = 1$:
 :$$G_{\rm Per}(f) =  \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot   ( f_{\rm Nyq}
 - f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot   ( f_{\rm Nyq} - f)
@@ Zeile 100: / Zeile 96: @@
 - f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
 + f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-* Wegen $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
+* Wegen&nbsp; $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
 \left (  {\pi}/{2} \pm \pi  f  T \right) =  \sin \left ( \pm
 \pi  f  T \right)\text{:}$
@@ Zeile 107: / Zeile 103: @@
-'''(5)'''&nbsp; Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann.
+'''(5)'''&nbsp; Für&nbsp; $t = T/2$&nbsp; liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert&nbsp; ("0 geteilt durch 0"),&nbsp; der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann.
-*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:
+*Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt&nbsp; $t = T/2$&nbsp; ein:
 :$$\frac{g( t = T/2)}{g_0}   = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})
@@ Zeile 133: / Zeile 129: @@
 \cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2
 \cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Daraus folgt, dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Für den Zeitpunkt $t = T/2$ gilt somit weiterhin:
+*Daraus folgt,&nbsp; dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind.&nbsp; Für den Zeitpunkt&nbsp; $t = T/2$&nbsp; gilt somit weiterhin:
 :$$\frac{g( t = T/2)}{g_0}  = {\rm si}(  \frac{\pi}{2}) \cdot \frac
 {\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac

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 [[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png|right|frame|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]
-Betrachtet wird das Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; mit &nbsp;$\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
+Betrachtet wird das Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; mit &nbsp;$\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze.&nbsp; Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
 :$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) =  {\rm const.}$$
-Dementsprechend hat der zugehörige Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; Nulldurchgänge bei Vielfachen von &nbsp;$T$, wobei &nbsp;$T$&nbsp; noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von &nbsp;$G(f)$&nbsp; erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
+Dementsprechend hat der zugehörige Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; Nulldurchgänge bei Vielfachen von &nbsp;$T$,&nbsp; wobei &nbsp;$T$&nbsp; noch zu bestimmen ist.&nbsp; Durch Fourierrücktransformation von &nbsp;$G(f)$&nbsp; erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
 :$$g( t )= g_0 \cdot   \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
-t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$
+t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.5cm} \text{mit}\hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x \hspace{0.05cm}.$$
 In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
-*Die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq}$&nbsp; ist.
+*Die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums,&nbsp; das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq}$&nbsp; ist.
 *Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen &nbsp;$f_{1}$&nbsp; und &nbsp;$f_{2}$&nbsp; vollständig gekennzeichnet.
-* Für &nbsp;$| f | < f_{1}$&nbsp; ist &nbsp;$G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$, während das Spektrum für &nbsp;$| f | > f_{2}$&nbsp; keine Anteile besitzt.
+* Für &nbsp;$| f | < f_{1}$&nbsp; ist &nbsp;$G(f) = g_{0} \cdot T = \rm const.$,&nbsp; während das Spektrum für &nbsp;$| f | > f_{2}$&nbsp; keine Anteile besitzt.
 *Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:
 :$$f_{\rm Nyq}=  \frac{f_1 +f_2 }
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-''Hinweis:''
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden: $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt: $f_{1} \underline {= 0}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die obere Eckfrequenz kann aus der Grafik abgelesen werden: &nbsp; $f_{2} \underline{= 2 \ \rm MHz}$. Da das Spektrum in keinem Bereich konstant ist, gilt $f_{1} \underline {= 0}$.
@@ Zeile 71: / Zeile 72: @@
 :$$f_{\rm Nyq}  = \  \frac{f_1 +f_2 }
 {2 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} r = \ \frac{f_2 -f_1 } {f_2 +f_1 }\hspace{0.1cm}\underline { = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Der Abstand äquidistanter Nulldurchgänge hängt direkt mit der Nyquistfrequenz zusammen:
-:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} T= \frac{1}{2f_{\rm Nyq}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5\,{\rm &micro; s}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
-*Die erste Aussage ist richtig: Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.
+*Die erste Aussage ist richtig: &nbsp; Die Funktion $si(π · t/T)$ führt zu Nulldurchgängen bei $\nu T (\nu \neq 0)$.
-*Auch die letzte Aussage trifft zu: Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
+*Auch die letzte Aussage trifft zu: &nbsp;Wegen $g(t) = 0$ für $t =\pm 1.5T, \pm 2.5T, \pm 3.5T, ...$ wird auch das zweite Nyquistkriterium erfüllt.
 *Falsch ist dagegen die mittlere Aussage, da $g(t = T/2) \neq 0$ ist.
+*Die Bedingung für das zweite Nyquistkriterium lautet im Frequenzbereich:
 :$$G_{\rm Per}(f) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} \frac {G \left ( f -
 \frac{k}{T} \right)}{\cos(\pi \cdot f \cdot T - k \cdot \pi)}=
 {\rm const.}$$
-Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt, wie man nach längerer Rechnung zeigen kann. Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich $| f · T | \leq 1$ und setzen vereinfachend $g_{0} \cdot  T = 1$:
+*Die Bedingung ist beim cos$^{2}$–Spektrum tatsächlich erfüllt, wie man nach längerer Rechnung zeigen kann. Wir beschränken uns hier auf den Frequenzbereich $| f · T | \leq 1$ und setzen vereinfachend $g_{0} \cdot  T = 1$:
 :$$G_{\rm Per}(f) =  \frac {\cos^2 \left [\pi/2 \cdot   ( f_{\rm Nyq}
 - f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot   ( f_{\rm Nyq} - f)
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 + f) \cdot T \right ]}{\cos \left [\pi \cdot   ( f_{\rm Nyq} + f)
 \cdot T \right ]}\hspace{0.05cm}.$$
-Weiter gilt:
+*Weiter gilt:
 :$$\frac {\cos^2 (x)}{\cos(2x)} = {1}/{2} \cdot \frac
 {1+\cos(2x)}{\cos(2x)}= {1}/{2} \cdot \left [1+ \frac
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 - f) \cdot T \right ]} +1- \frac {1}{\cos \left [\pi \cdot ( f_{\rm Nyq}
 + f) \cdot T \right ]}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
-:$$\text{Wegen }\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
+* Wegen $\cos \left [ \pi \cdot ( f_{\rm Nyq} \pm f) \cdot T \right] = \cos
 \left (  {\pi}/{2} \pm \pi  f  T \right) =  \sin \left ( \pm
-\pi  f  T \right)\text{:}$$
+\pi  f  T \right)\text{:}$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm Per}(f) =   2 - \frac {1}{\sin
 (\pi  f  T)} + \frac {1}{\sin (\pi  f  T)} = 2  = {\rm const}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann. Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:
 :$$\frac{g( t = T/2)}{g_0}   = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})
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 \frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
-Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:
+*Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:
 :$$\frac{g( t )}{g_0}  = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot
 \frac {\pi}{4} \cdot \big [ {\rm si}(\pi \cdot (t/T + 1/2)) +
 {\rm si}(\pi \cdot (t/T - 1/2))\big] \hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Klammerausdruck kann wie folgt umgeformt werden:
+*Der zweite Klammerausdruck kann wie folgt umgeformt werden:
 :$$\frac {\pi}{4} \cdot \bigg [ \hspace{0.1cm}... \hspace{0.1cm}
 \bigg ]   = \  \frac {\pi}{4} \cdot \left [ \frac {{\rm sin}(\pi
@@ Zeile 130: / Zeile 134: @@
 \cdot t/T)(1- 2 \cdot t/T)}= \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2
 \cdot t/T)^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt, dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Für den Zeitpunkt $t = T/2$ gilt somit weiterhin:
+*Daraus folgt, dass beide Ausdrücke tatsächlich gleich sind. Für den Zeitpunkt $t = T/2$ gilt somit weiterhin:
 :$$\frac{g( t = T/2)}{g_0}  = {\rm si}(  \frac{\pi}{2}) \cdot \frac
 {\pi}{4} \cdot \left [ {\rm si}(\pi ) + {\rm si}(0)\right]= \frac

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 [[Datei:P_ID1282__Dig_A_1_5.png|right|frame|Cosinus-Quadrat-Nyquistspektrum]]
-Betrachtet wird das Spektrum $G(f)$ mit $\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
+Betrachtet wird das Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; mit &nbsp;$\cos^{2}$–förmigem Verlauf entsprechend der Skizze. Dieses erfüllt das erste Nyquistkriterium:
 :$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} G(f -{k}/{T} ) =  {\rm const.}$$
-Dementsprechend hat der zugehörige Impuls $g(t)$ Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T$, wobei $T$ noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von $G(f)$ erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
+Dementsprechend hat der zugehörige Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; Nulldurchgänge bei Vielfachen von &nbsp;$T$, wobei &nbsp;$T$&nbsp; noch zu bestimmen ist. Durch Fourierrücktransformation von &nbsp;$G(f)$&nbsp; erhält man die Gleichung für den Zeitverlauf:
 :$$g( t )= g_0 \cdot   \frac{\cos(\pi \cdot t/T)}{1 - (2 \cdot
 t/T)^2}\cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T})\hspace{0.05cm}.$$
 In den Fragen zu dieser Aufgabe werden auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
-*Die Spektralfunktion $G(f)$ ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq}$ ist.
+*Die Spektralfunktion &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist ein Sonderfall des Cosinus–Rolloff–Spektrums, das punktsymmetrisch um die Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq}$&nbsp; ist.
-*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ vollständig gekennzeichnet. Für $| f | < f_{1}$ ist $G(f) = g_{0} \cdot T = const.$, während das Spektrum für $| f | > f_{2}$ keine Anteile besitzt.
+*Das Cosinus–Rolloff–Spektrum ist durch die Eckfrequenzen &nbsp;$f_{1}$&nbsp; und &nbsp;$f_{2}$&nbsp; vollständig gekennzeichnet.
 *Der Zusammenhang zwischen der Nyquistfrequenz und den Eckfrequenzen lautet:
 :$$f_{\rm Nyq}=  \frac{f_1 +f_2 }
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-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
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 $r \ = \ $ { 1 3% }
-{In welchem zeitlichen Abstand $T$ besitzt $g(t)$ Nulldurchgänge?
+{In welchem zeitlichen Abstand &nbsp;$T$&nbsp; besitzt &nbsp;$g(t)$&nbsp; Nulldurchgänge?
 |type="{}"}
-$T \ = \ $  { 0.5 3% } $\ \rm \mu s$
+$T \ = \ $  { 0.5 3% } $\ \rm &micro; s$
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+$g(t)$ erfüllt das erste Nyquistkriterium wegen des $\rm si$–Terms.
++ $g(t)$&nbsp; erfüllt das erste Nyquistkriterium wegen des &nbsp;$\rm si$–Terms.
-- $g(t)$ besitzt weitere Nulldurchgänge bei $\pm 0.5T, \pm 1.5T, \pm 2.5 T, \text{...}$
+- $g(t)$&nbsp; besitzt weitere Nulldurchgänge bei &nbsp;$\pm 0.5T, &nbsp;\pm 1.5T, &nbsp;\pm 2.5 T, \text{...}$
-+ Das $\cos^{2}$–Spektrum erfüllt auch das zweite Nyquistkriterium.
++ Das &nbsp;$\cos^{2}$–Spektrum erfüllt auch das zweite Nyquistkriterium.
-{Welchen (normierten) Wert besitzt der Impuls zum Zeitpunkt $t = T/2$?
+{Welchen (normierten) Wert besitzt der Impuls zum Zeitpunkt &nbsp;$t = T/2$?
 |type="{}"}
 $g(t = T/2)/g_{0} \ = \ $ { 0.5 3% }

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 '''(5)'''&nbsp; Für $t = T/2$ liefert die angegebene Gleichung einen unbestimmten Wert (0 geteilt durch 0), der allerdings mit der Regel von l'Hospital ermittelt werden kann. Dazu bildet man die Ableitungen von Zähler und Nenner und setzt in das Ergebnis den gewünschten Zeitpunkt $t = T/2$ ein:
 :$$\frac{g( t = T/2)}{g_0}   = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T})
 \cdot \frac{{\rm d}/{\rm d}t \left [ \cos(\pi \cdot
 t/T)\right]}{{\rm d}/{\rm d}t\left [ 1 - (2 \cdot t/T)^2\right]}}
-\bigg |_{t = T/2} =
+\bigg |_{t = T/2}  = \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot \frac{- \pi/T \cdot
-= \ {{\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot \frac{- \pi/T \cdot
+  \sin(\pi \cdot t/T)}{-2 \cdot (2\cdot t/T) \cdot (2/T)}} \bigg |_{t = T/2} = \frac {2}{\pi}\cdot
 \frac {\pi}{4}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
 Ein zweiter Lösungsweg führt zu der Darstellung:
 :$$\frac{g( t )}{g_0}  = {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{T}) \cdot