Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Komplexes Nyquistspektrum - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Mai 2022 um 16:30 Uhr

2022-05-01T16:30:56Z

Guenter am 1. Mai 2022 um 16:18 Uhr

2022-05-01T16:18:39Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 16:47 Uhr

2019-01-30T16:47:46Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 16:33 Uhr

2019-01-30T16:33:05Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:38Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:19:39Z

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Guenter am 5. November 2017 um 17:38 Uhr

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2017-11-05T17:26:23Z

Guenter am 5. November 2017 um 17:20 Uhr

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Mohamed: /* Musterlösung */

2017-11-05T11:29:07Z

Musterlösung

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an. Es gilt:
+'''(1)'''&nbsp; Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an.&nbsp; Es gilt:
 :$$f_{\rm Nyq}=  \frac{f_1 +f_2 }
 {2 }= \frac{3\, {\rm kHz} + 7\, {\rm kHz}} {2 } \hspace{0.1cm}\underline { = 5\, {\rm kHz}}
 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ festgelegt:
+'''(2)'''&nbsp; Der Rolloff–Faktor ist ebenfalls durch die beiden Eckfrequenzen&nbsp; $f_{1}$&nbsp; und&nbsp; $f_{2}$&nbsp; festgelegt:
 :$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 {f_2 +f_1 } = \frac{7\, {\rm kHz} - 3\, {\rm kHz}} {7\, {\rm kHz}
 + 3\, {\rm kHz} }\hspace{0.1cm}\underline { = 0.4 }\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei $t = 0$ und es gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Bei einem Impuls mit reellem Tiefpass–Spektrum liegt das Maximum stets bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und es gilt:
 :$$g_0 = g(t=0) =  \int_{-\infty}^{+\infty}G(f) \,{\rm d} f
   = A \cdot 2  f_{\rm Nyq} = 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 5 \cdot10^{3} \,{\rm
   Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm &micro; s$ auf. Daraus erhält man direkt:
+'''(4)'''&nbsp; Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand&nbsp; $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm &micro; s$&nbsp; auf.&nbsp; Daraus erhält man direkt:
 :$$g(t= 100\,{\rm &micro; s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
 :$$g(t= 200\,{\rm &micro; s}) = \  \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:
+Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit&nbsp; $r = 0.4$:
 :$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Verantwortlich dafür, dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird, ist der erste Term.
+Verantwortlich dafür,&nbsp; dass die erste Nyquistbedingung erfüllt wird,&nbsp; ist der erste Term.
-'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der unter '''(4)''' angegebenen Gleichung gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der unter&nbsp; '''(4)'''&nbsp; angegebenen Gleichung gilt:
 :$$g(t= 250\,{\rm &micro; s})= g_0 \cdot {\rm si}  ( {2.5 \cdot \pi
 })\cdot {\rm si}  ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
-Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$
+Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster&nbsp; $\nu T$
-'''(6)'''&nbsp; Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht.
+'''(6)'''&nbsp; Für die folgende Herleitung gelte&nbsp; $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$&nbsp; wobei&nbsp; $g_{\rm R}(t)$&nbsp; auf den Realteil und&nbsp; $g_{\rm I}(t)$&nbsp; auf den Imaginärteil von&nbsp; $G(f)$&nbsp; zurückgeht.
-*Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt '''(4)''' berechnet:
+*Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt&nbsp; '''(4)'''&nbsp; berechnet:
 :$$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-*Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \, \rm kHz$ gelten:
+*Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit&nbsp; $1/T = 10 \, \rm kHz$&nbsp; gelten:
 :$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f -
 {k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
 *Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist.
-*Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
+*Mit den gegebenen Eckfrequenzen&nbsp; $f_{1} = 3 \, \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_{2} = 7 \ \rm kHz$&nbsp; liegen die beiden Dreiecke um&nbsp; $\pm 5\, \rm kHz$,&nbsp; so dass obige Gleichung erfüllt ist.
 *Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \, \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$.
 *In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.
-Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
+Richtig sind somit die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
-'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis &nbsp;$g_{\rm R}(2.5T) = 0$&nbsp; aus  '''(3)''' folgt &nbsp;$g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$, wobei &nbsp;$g_{\rm I}(t)$&nbsp; die Fourierrücktransformierte von  ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
+'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis &nbsp;$g_{\rm R}(2.5T) = 0$&nbsp; aus&nbsp;  '''(3)'''&nbsp; folgt &nbsp;$g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$,&nbsp; wobei &nbsp;$g_{\rm I}(t)$&nbsp; die Fourierrücktransformierte von&nbsp;  ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$&nbsp; ist.&nbsp; Es gilt:
 :$${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f)  = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f) \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t)  = 2 \cdot {\rm sin}  ( 2
   \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot  d(t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \, \rm &micro; s$.
+*Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von&nbsp; $T = 100 \, \rm &micro; s$.
 *$D(f)$ ist eine Dreieckfunktion um $f = 0$ mit $D(f = 0) = B$ und der einseitigen Breite $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \, \rm kHz$.
 *Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
 :$$g_{\rm I}(t )  = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2
   \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-*Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm &micro; s$  (grünes Quadrat):
+*Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm &micro; s$&nbsp;  (grünes Quadrat):
 :$$g(t = 2.5 T)  = g_{\rm I}(t = 2.5 T)  = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2.5
-  \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2}) = \  \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm
+  \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2})= \  \frac{8}{\pi^2} \cdot B \cdot f_0 = \  \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm
   Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm
   V}} \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID1283__Dig_Z_1_4g.png|right|frame|Unsymmetrischer Nyquistimpuls]]
+[[Datei:P_ID1283__Dig_Z_1_4g.png|right|frame|Unsymmetrischer Nyquistimpuls&nbsp; $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) $]]
 Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):
 *Es ergibt sich nun ein unsymmetrischer Funktionsverlauf $g(t)$, der blau dargestellt ist.

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID1279__Dig_Z_1_4.png|right|frame|Komplexes Nyquistspektrum]]
-Betrachtet wird ein Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; mit Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
+Betrachtet wird ein Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; mit Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; gemäß der Skizze.&nbsp; Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Der Realteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen &nbsp;$f_{1} = 3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich &nbsp;$|f| < f_{1}$&nbsp; gilt:
+*Der Realteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen &nbsp;$f_{1} = 3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 7 \, \rm kHz$.&nbsp; Im Bereich &nbsp;$|f| < f_{1}$&nbsp; gilt:
 :$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$
-*Der Imaginärteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; wird für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(5)''' stets zu &nbsp;${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$&nbsp; angenommen. <br>In diesem Fall ist &nbsp;$g(t)$&nbsp; sicher ein Nyquistimpuls.
+*Der Imaginärteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; wird für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(5)'''&nbsp; stets zu &nbsp;${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$&nbsp; angenommen.&nbsp; In diesem Fall ist &nbsp;$g(t)$&nbsp; sicher ein Nyquistimpuls.
-*Ab der Teilaufgabe '''(6)''' hat der Imaginärteil &nbsp;${\rm Im}[G(f)]$&nbsp; im Bereich &nbsp;$f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$&nbsp; einen Dreiecksverlauf mit den Werten &nbsp;$\pm B$&nbsp; bei den Dreieckspitzen.
+*Ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; hat der Imaginärteil &nbsp;${\rm Im}[G(f)]$&nbsp; im Bereich &nbsp;$f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$&nbsp; einen Dreiecksverlauf mit den Werten &nbsp;$\pm B$&nbsp; bei den Dreieckspitzen.
-Zu prüfen ist, ob der Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
+Zu prüfen ist,&nbsp; ob der Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
 :$$g(\nu
 T)  =   \left\{ \begin{array}{c} g_0  \\
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 Im Verlauf dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
-*Die Nyquistfrequenz gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
+*Die&nbsp; '''Nyquistfrequenz'''&nbsp; gibt den Symmetriepunkt des Flankenabfalls an:
 :$$f_{\rm Nyq}= \frac{1}{2T}= \frac{f_1 +f_2 }
 {2 }\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Rolloff–Faktor ist ein Maß für die Flankensteilheit:
+*Der&nbsp; '''Rolloff–Faktor'''&nbsp; ist ein Maß für die Flankensteilheit:
 :$$r = \frac{f_2 -f_1 }
 {f_2 +f_1 } \hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|"Eigenschaften von Nyquistsystemen"]].
 *Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte &nbsp;$g(t)$&nbsp; eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$:
 :$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot
-t}/{T}\right).$$
+t}/{T}\right)\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} {\rm si} (x) = \sin(x)/x\hspace{0.05cm}.$$
 *Ein dreieckförmiges Tiefpass&ndash;Spektrum &nbsp;$G(f)$, das auf &nbsp;$| f | < f_{0}$&nbsp; begrenzt ist und bei dem &nbsp;$G(f = 0) = B$&nbsp; gilt, führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
-:$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$
+*Ein dreieckförmiges Tiefpass&ndash;Spektrum &nbsp;$G(f)$,&nbsp; das auf &nbsp;$| f | < f_{0}$&nbsp; begrenzt ist und bei dem &nbsp;$G(f = 0) = B$&nbsp; gilt,&nbsp; führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
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 <quiz display=simple>
-{Für die ersten Teilfragen gelte &nbsp;$B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
+{Für die ersten Teilfragen gelte &nbsp;$B = 0$.&nbsp; Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
 |type="{}"}
 $f_{\rm Nyq} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$
@@ Zeile 59: / Zeile 60: @@
 $g_{0} \ =  \ ${ 1 3% } $\ \rm V$
-{Es gelte weiter &nbsp;$B=0$. Berechnen Sie &nbsp;$g(t)$&nbsp; für die Zeitpunkte &nbsp;$t = 100\, &micro; \rm s$&nbsp; und &nbsp;$t = 200\, &micro; \rm s$.
+{Es gelte weiter &nbsp;$B=0$.&nbsp; Berechnen Sie &nbsp;$g(t)$&nbsp; für die Zeitpunkte &nbsp;$t = 100\, &micro; \rm s$&nbsp; und &nbsp;$t = 200\, &micro; \rm s$.
 |type="{}"}
 $g(t = 100\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
@@ Zeile 68: / Zeile 69: @@
 $g(t = 250\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
-{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$B \neq 0$&nbsp; zu? $G(f)$&nbsp; ist dann komplexwertig.
+{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$B \neq 0$&nbsp; zu?&nbsp; $G(f)$&nbsp; ist dann komplexwertig.
 |type="[]"}
-+Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$7 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
++Die Nyquistbedingung wird erfüllt,&nbsp; wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$7 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
-- Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
+- Die Nyquistbedingung wird erfüllt,&nbsp; wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
-+ Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$4.5 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5.5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
++ Die Nyquistbedingung wird erfüllt,&nbsp; wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$4.5 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5.5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.

@@ Zeile 100: / Zeile 100: @@
   Hz}\hspace{0.1cm}\underline { = 1\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm \mu s$ auf. Daraus erhält man direkt:
+'''(4)'''&nbsp; Beim Nyquistimpuls treten die äquidistanten Nulldurchgänge im Abstand $T = 1/(2f_{\rm Nyq}) = 100 \, \rm &micro; s$ auf. Daraus erhält man direkt:
-:$$g(t= 100\,{\rm \mu s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
+:$$g(t= 100\,{\rm &micro; s}) = \ \hspace{0.1cm}\underline { g(T) = 0,}$$
-:$$g(t= 200\,{\rm \mu s}) = \  \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0}
+:$$g(t= 200\,{\rm &micro; s}) = \  \hspace{0.1cm}\underline {g(2T) = 0}
   \hspace{0.05cm}.$$
 Dieses Ergebnis folgt auch aus der angegebenen Gleichung mit $r = 0.4$:
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
-'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der unter (4) angegebenen Gleichung gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der unter '''(4)''' angegebenen Gleichung gilt:
-:$$g(t= 250\,{\rm \mu s})= g_0 \cdot {\rm si}  ( {2.5 \cdot \pi
+:$$g(t= 250\,{\rm &micro; s})= g_0 \cdot {\rm si}  ( {2.5 \cdot \pi
 })\cdot {\rm si}  ( \pi )\hspace{0.1cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
 Diese Nullstelle ist auf den zweiten Term zurückzuführen und liegt nicht im Nyquist–Zeitraster $\nu T$
-'''(6)'''&nbsp; Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht. Der erste Anteil ist dabei genau wie unter Punkt (4) berechnet:
+'''(6)'''&nbsp; Für die folgende Herleitung gelte $g(t)= g_{\rm R}(t) +  g_{\rm I}(t) \hspace{0.05cm},$ wobei $g_{\rm R}(t)$ auf den Realteil und $g_{\rm I}(t)$ auf den Imaginärteil von $G(f)$ zurückgeht.
 :$$g_{\rm R} ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot 0.4 \cdot
 t}/{T}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \, \rm kHz$ gelten:
+*Zur Erfüllung des ersten Nyquistkriteriums muss für den Imaginärteil mit $1/T = 10 \, \rm kHz$ gelten:
 :$$\sum_{k = -\infty}^{+\infty} {\rm Im}\left[G \left ( f -
 {k}/{T} \right)\right]= 0 \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist. Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
+*Mit den gegebenen Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \ \rm kHz$ liegen die beiden Dreiecke um $\pm 5\, \rm kHz$, so dass obige Gleichung erfüllt ist.
-*Dagegen liegen die Dreieckspitzen mit $f_{1} = 3\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5 \, \rm kHz$ bei $\pm 4 \ \rm kHz$. In diesem Fall löschen sich die Dreieckfunktionen durch die periodische Fortsetzung nicht aus und die Nyquistbedingung ist nicht erfüllt.
+*Gleiches gilt für $f_{1} = 4.5\, \rm kHz$ und $f_{2} = 5.5 \, \rm kHz$.
 Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
-'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis $g_{\rm R}(2.5T) = 0$ aus  (3) folgt $g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$, wobei $g_{\rm I}(t)$ die Fourierrücktransformierte von  ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
+'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis &nbsp;$g_{\rm R}(2.5T) = 0$&nbsp; aus  '''(3)''' folgt &nbsp;$g(2.5T) = g_{\rm I}(2.5T)$, wobei &nbsp;$g_{\rm I}(t)$&nbsp; die Fourierrücktransformierte von  ${\rm j}\cdot \ G_{\rm I}(f)$ ist. Es gilt:
 :$${\rm j} \cdot G_{\rm I}(f)  = {\rm j} \cdot\left[ \delta(f + f_{\rm Nyq}) - \delta(f - f_{\rm Nyq})\right] \star D(f) \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_{\rm I}(t)  = 2 \cdot {\rm sin}  ( 2
   \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t )\cdot  d(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \, \rm \mu s$. $D(f)$ ist eine Dreieckfunktion um $f = 0$ mit $D(f = 0) = B$ und der einseitigen Breite $f_{0}= f_{2} – f_{\rm Nyq} = f_{\rm Nyq} – f_{1} = 2 \, \rm kHz$. Für die dazugehörige Zeitfunktion kann somit entsprechend der Angabe geschrieben werden:
+*Die Sinusfunktion erzwingt die erforderlichen Nulldurchgänge bei Vielfachen von $T = 100 \, \rm &micro; s$.
 :$$g_{\rm I}(t )  = 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2
   \pi\cdot f_{\rm Nyq} \cdot t)\cdot {\rm si}^2(\pi\cdot f_{\rm 0} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm \mu s$  (grünes Quadrat):
+*Insbesondere gilt für den Zeitpunkt $t = 250 \, \rm &micro; s$  (grünes Quadrat):
 :$$g(t = 2.5 T)  = g_{\rm I}(t = 2.5 T)  = \ 2 \cdot B \cdot f_0 \cdot{\rm sin}  ( 2.5
   \pi )\cdot {\rm si}^2(\frac{\pi}{2}) = \  \frac{8}{\pi^2} \cdot 10^{-4 }\,\frac{\rm V}{\rm Hz}\cdot 2 \cdot 10^{3} \,{\rm
   Hz}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.162\,{\rm
   V}} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID1283__Dig_Z_1_4g.png|right|frame|Unsymmetrischer Nyquistimpuls]]
 Die Grafik zeigt die Veränderung der Zeitfunktion aufgrund des Imaginärteils (grüner Zeitverlauf):

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID1279__Dig_Z_1_4.png|right|frame|Komplexes Nyquistspektrum]]
-Betrachtet wird ein Impuls $g(t)$ mit Spektrum $G(f)$ gemäß Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
+Betrachtet wird ein Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; mit Spektrum &nbsp;$G(f)$&nbsp; gemäß der Skizze. Man erkennt aus dieser Darstellung:
-*Der Realteil von $G(f)$ verläuft trapezförmig mit den beiden Eckfrequenzen $f_{1} = 3 \, \rm kHz$ und $f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich $|f| < f_{1}$ gilt ${\rm Re}[G(f)] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz$.
+*Der Realteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; ist trapezförmig mit den Eckfrequenzen &nbsp;$f_{1} = 3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$f_{2} = 7 \, \rm kHz$. Im Bereich &nbsp;$|f| < f_{1}$&nbsp; gilt:
-*Der Imaginärteil von $G(f)$ wird für die Teilaufgaben (1) bis (5) stets zu ${\rm Im}[G(f)] =0$ angenommen. In diesem Fall ist $g(t)$ sicher ein Nyquistimpuls.
+:$${\rm Re}\big[G(f)\big] = A = 10^{-4} \, \rm V/Hz.$$
-*Ab der Teilaufgabe (6) hat der Imaginärteil ${\rm Im}[G(f)]$ im Bereich $f_{1} \leq | f | \leq f_{2}$ einen Dreiecksverlauf mit den Werten $\pm B$ bei den Dreieckspitzen.
+*Der Imaginärteil von &nbsp;$G(f)$&nbsp; wird für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(5)''' stets zu &nbsp;${\rm Im}\big[G(f)\big] =0$&nbsp; angenommen. <br>In diesem Fall ist &nbsp;$g(t)$&nbsp; sicher ein Nyquistimpuls.
-Zu prüfen ist, ob der Impuls $g(t)$ auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
+Zu prüfen ist, ob der Impuls &nbsp;$g(t)$&nbsp; auch mit komplexem Spektrum der ersten Nyquistbedingung genügt:
 :$$g(\nu
 T)  =   \left\{ \begin{array}{c} g_0  \\
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
-*Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff&ndash;Faktor $r$:
+*Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte &nbsp;$g(t)$&nbsp; eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$:
 :$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot
 t}/{T}\right)\cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot r \cdot
 t}/{T}\right).$$
-*Ein dreieckförmiges Tiefpass&ndash;Spektrum $G(f)$, das auf $| f | < f_{0}$ begrenzt ist und bei dem $G(f = 0) = B$ gilt, führt nach der Fourierrücktransformation zu folgender Zeitfunktion: &nbsp; $g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0
+*Ein dreieckförmiges Tiefpass&ndash;Spektrum &nbsp;$G(f)$, das auf &nbsp;$| f | < f_{0}$&nbsp; begrenzt ist und bei dem &nbsp;$G(f = 0) = B$&nbsp; gilt, führt nach Fourierrücktransformation zur Zeitfunktion
-t}\right)\hspace{0.05cm}.$
+:$$g ( t )= B \cdot f_0 \cdot {\rm si}^2 \left ( {\pi f_0 t}\right)\hspace{0.05cm}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Für die ersten Teilfragen gelte $B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
+{Für die ersten Teilfragen gelte &nbsp;$B = 0$. Wie groß ist die Nyquistfrequenz?
 |type="{}"}
 $f_{\rm Nyq} \ =  \ $ { 5 3% } $\ \rm kHz$
-{Welcher Rolloff–Faktor liegt hier vor?
+{Welcher Rolloff–Faktor &nbsp;$r$&nbsp; liegt hier vor?
 |type="{}"}
 $r \ =  \ $ { 0.4 3% }
-{Berechnen Sie den Maximalwert $g_{0}$ des Nyquistimpulses $g(t)$.
+{Berechnen Sie den Maximalwert &nbsp;$g_{0}$&nbsp; des Nyquistimpulses &nbsp;$g(t)$.
 |type="{}"}
 $g_{0} \ =  \ ${ 1 3% } $\ \rm V$
-{Es gelte weiter $B=0$. Berechnen Sie $g(t)$ für die Zeitpunkte $t = 100\, \mu \rm s$ und $t = 200\, \mu \rm s$.
+{Es gelte weiter &nbsp;$B=0$. Berechnen Sie &nbsp;$g(t)$&nbsp; für die Zeitpunkte &nbsp;$t = 100\, &micro; \rm s$&nbsp; und &nbsp;$t = 200\, &micro; \rm s$.
 |type="{}"}
-$g(t = 100\, \mu \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
+$g(t = 100\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
-$g(t = 200\, \mu \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
+$g(t = 200\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit $t = 250\ \mu \rm s$.
+{Berechnen Sie den Impulswert zur Zeit &nbsp;$t = 250\ &micro; \rm s$.
 |type="{}"}
-$g(t = 250\, \mu \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
+$g(t = 250\, &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0. } $\ \rm V$
-{Welche Aussagen treffen für $B \neq 0$ zu? $G(f)$ ist dann komplexwertig.
+{Welche Aussagen treffen für &nbsp;$B \neq 0$&nbsp; zu? $G(f)$&nbsp; ist dann komplexwertig.
 |type="[]"}
-+Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen $3 \, \rm kHz$ und $7 \, \rm kHz$ liegt.
++Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion wie in der Grafik zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$7 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
-- Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $3 \, \rm kHz$ und $5 \, \rm kHz$ liegt.
+- Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$3 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
-+ Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion zwischen $4.5 \, \rm kHz$ und $5.5 \, \rm kHz$ liegt.
++ Die Nyquistbedingung wird erfüllt, wenn die Dreieckfunktion symmetrisch zwischen &nbsp;$4.5 \, \rm kHz$&nbsp; und &nbsp;$5.5 \, \rm kHz$&nbsp; liegt.
-{Berechnen Sie $g(t)$ für $t = 250\, \mu \rm s$ und $B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; komplexe Spektralfunktion.
+{Berechnen Sie &nbsp;$g(t)$&nbsp; für &nbsp;$t = 250\, &micro; \rm s$&nbsp; und &nbsp;$B = A = 10^{–4} \, \rm V/Hz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; komplexe Spektralfunktion.
 |type="{}"}
-$g(t = 250\ \mu \rm s) \ =  \ $ { 0.162 3% } $\ \rm V$
+$g(t = 250\ &micro; \rm s) \ =  \ $ { 0.162 3% } $\ \rm V$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen|Eigenschaften von Nyquistsystemen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Als bekannt vorausgesetzt werden kann die Fourierrücktransformierte $g(t)$ eines trapezförmigen Nyquistspektrums mit Rolloff&ndash;Faktor $r$:
 :$$g ( t )= g_0 \cdot {\rm si} \left ( {\pi \cdot

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(kein Unterschied)