Aufgaben:Aufgabe 1.4Z: Darstellungsformen von Schwingungen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:34:52Z

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^1.3 Allgemeines Modell der Modulation ^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^1.3 Allgemeines Modell der Modulation ^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.4Z:_Representation_of_Oscillations]]

Guenter am 23. November 2021 um 14:45 Uhr

2021-11-23T14:45:10Z

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	''Anmerkung zur Nomenklatur:''		Anmerkung zur Nomenklatur:
	*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.		*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
	*Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir  $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$.  Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\phi$  vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.		*Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir  $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$.  Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\phi$  vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.
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	''Weitere Hinweise:''		Weitere Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals\|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals\|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].

Guenter am 3. März 2020 um 14:55 Uhr

2020-03-03T14:55:32Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der grafischen Darstellung der Zeitfunktion $z(t)$ erkennt man		'''(1)'''  Aus der grafischen Darstellung der Zeitfunktion  $z(t)$  erkennt man
	*die (normierte) Amplitude $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$ und die Periodendauer $T_0=2$ Millisekunden.		*die (normierte) Amplitude  $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$  und die Periodendauer  $T_0=2$  Millisekunden.
	*Deshalb ist die Signalfrequenz $f_{\rm T} = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 500}$ Hz und die Kreisfrequenz beträgt $ω_{\rm T}= 2πf_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 3141.5}$ 1/s.		*Deshalb ist die Signalfrequenz  $f_{\rm T} = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 500}$  Hz und die Kreisfrequenz beträgt  $ω_{\rm T}= 2πf_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 3141.5}$  1/s.



	'''(2)'''  Das analytische Signal lautet allgemein:		'''(2)'''  Das analytische Signal lautet allgemein:
	:$$z_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.~~03cm~~}(\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t + \phi_{\rm T})} = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \phi_{\rm T}} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t }\hspace{0.05cm}.$$		:$$z_+(t) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}(\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t + \phi_{\rm T})} = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t }\hspace{0.05cm}.$$
	Gleichzeitig gilt der Zusammenhang:		*Gleichzeitig gilt der Zusammenhang:
	:$$A_0 = z_+(t = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \phi_{\rm T}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$A_0 = z_+(t = 0) = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} \hspace{0.05cm}.$$
	Die komplexe Amplitude $A_0$ kann aus der oberen Grafik abgelesen werden.		*Die komplexe Amplitude  $A_0$  kann aus der oberen Grafik abgelesen werden.
	:$$A_0 = - \sqrt{2} - {\rm j} \cdot \sqrt{2} = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 0.75 \pi} \hspace{0.05cm}.$$		:$$A_0 = - \sqrt{2} - {\rm j} \cdot \sqrt{2} = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} 0.75 \pi} \hspace{0.05cm}.$$
	Ein Vergleich beider Gleichungen führt zum Ergebnis:		*Ein Vergleich beider Gleichungen führt zum Ergebnis:
	:$$ \phi_{\rm T} = - 0.75 \pi \hspace{0.15cm}\underline {= - 135^{\circ}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ \phi_{\rm T} = - 0.75 \pi \hspace{0.15cm}\underline {= - 135^{\circ}} \hspace{0.05cm}.$$
	Dabei besteht folgender Zusammenhang mit der Laufzeit $τ$:		*Dabei besteht folgender Zusammenhang mit der Laufzeit  $τ$:
	:$$\phi_{\rm T} = - 2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot \tau \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \tau = \frac{-\phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_{\rm T}} = \frac{0.75 \pi}{2 \pi \cdot 0.5\,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75 \,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\phi_{\rm T} = - 2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot \tau \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \tau = \frac{-\phi_{\rm T}}{2 \pi \cdot f_{\rm T}} = \frac{0.75 \pi}{2 \pi \cdot 0.5\,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75 \,{\rm ms}} \hspace{0.05cm}.$$


			'''(3)'''  Das analytische Signal legt in der Zeit  $T_0$  genau eine Umdrehung zurück.
	'''(3)'''  Das analytische Signal legt in der Zeit $T_0$ genau eine Umdrehung zurück.		*Ausgehend von  $A_0$  erreicht man somit nach  $t_1 = T_0/8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25}$  ms zum ersten Mal, dass das analytische Signal imaginär ist:
	*Ausgehend von $A_0$ erreicht man somit nach $t_1 = T_0/8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25}$ ms zum ersten Mal, dass das analytische Signal imaginär ist:
	:$$z_+(t_1) = - 2 {\rm j}.$$		:$$z_+(t_1) = - 2 {\rm j}.$$
	*Wegen der Beziehung $z(t) = {\rm Re}[z_+(t)]$ tritt zu diesem Zeitpunkt $t_1$ auch der erste Nulldurchgang des Signals $z(t)$ auf.		*Wegen der Beziehung  $z(t) = {\rm Re}[z_+(t)]$  tritt zu diesem Zeitpunkt  $t_1$  auch der erste Nulldurchgang des Signals  $z(t)$  auf.



	'''(4)'''  Mit dem ~~Ergebnisder~~ Teilaufgabe '''(2)''' erhält man:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man:
	:$$ z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.~~03cm~~}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_0 = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \phi_{\rm T}} = {\rm const.}$$		:$$ z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_0 = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \phi_{\rm T}} = {\rm const.}$$
	Somit gilt für alle Zeiten $t$ und damit auch für $t = 1$ ms:		*Somit gilt für alle Zeiten  $t$  und damit auch für  $t = 1$ ms:
	:$${\rm Re}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2} \hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Re}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2} \hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ {\rm Im}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ {\rm Im}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm}.$$
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	'''(5)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:		'''(5)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
	*Die einzige Diracfunktion von $Z_+(f)$ liegt bei $f = f_{\rm T}$ und nicht bei $–f_{\rm T}$.		*Die einzige Diracfunktion von  $Z_+(f)$  liegt bei  $f = f_{\rm T}$  und nicht bei  $–f_{\rm T}$.
	*Das analytische Signal einer harmonischen Schwingung ist immer komplex.		*Das analytische Signal einer harmonischen Schwingung ist immer komplex.
	* Das äquivalente TP–Signal einer harmonischen Schwingung ist meistens komplex. Ausnahme:		* Das äquivalente TP–Signal einer harmonischen Schwingung ist meistens komplex.  Ausnahme:
	:$$z(t) = ±A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t) \ \Rightarrow \ z_{\rm TP}(t) = ±A_{\rm T}.$$		:$$z(t) = ±A_{\rm T} · \cos(ω_{\rm T} · t) \ \Rightarrow \ z_{\rm TP}(t) = ±A_{\rm T}.$$

Guenter am 3. März 2020 um 14:44 Uhr

2020-03-03T14:44:47Z

Guenter am 4. Dezember 2018 um 12:13 Uhr

2018-12-04T12:13:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2018, 14:13 Uhr
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	*die (normierte) Amplitude $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$ und die Periodendauer $T_0=2$ Millisekunden.		*die (normierte) Amplitude $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$ und die Periodendauer $T_0=2$ Millisekunden.
	*Deshalb ist die Signalfrequenz $f_{\rm T} = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 500}$ Hz und die Kreisfrequenz beträgt $ω_{\rm T}= 2πf_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 3141.5}$ 1/s.		*Deshalb ist die Signalfrequenz $f_{\rm T} = 1/T_0\hspace{0.15cm}\underline{ = 500}$ Hz und die Kreisfrequenz beträgt $ω_{\rm T}= 2πf_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 3141.5}$ 1/s.



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	'''(3)'''  Das analytische Signal legt in der Zeit $T_0$ genau eine Umdrehung zurück. Ausgehend von $A_0$ erreicht man somit nach $t_1 = T_0/8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25}$ ms zum ersten Mal, dass das analytische Signal imaginär ist: $z_+(t1) = – 2 j$. Wegen der Beziehung $z(t) = {\rm Re}[z_+(t)]$ tritt zu diesem Zeitpunkt $t_1$ auch der erste Nulldurchgang des Signals $z(t)$ auf.
			'''(3)'''  Das analytische Signal legt in der Zeit $T_0$ genau eine Umdrehung zurück.
			*Ausgehend von $A_0$ erreicht man somit nach $t_1 = T_0/8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.25}$ ms zum ersten Mal, dass das analytische Signal imaginär ist:
			:$$z_+(t_1) = - 2 {\rm j}.$$
			*Wegen der Beziehung $z(t) = {\rm Re}[z_+(t)]$ tritt zu diesem Zeitpunkt $t_1$ auch der erste Nulldurchgang des Signals $z(t)$ auf.



	'''(4)'''  Mit dem Ergebnisder Teilaufgabe (2) erhält man:		'''(4)'''  Mit dem Ergebnisder Teilaufgabe '''(2)''' erhält man:
	:$$ z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_0 = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \phi_{\rm T}} = {\rm const.}$$		:$$ z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_0 = A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \phi_{\rm T}} = {\rm const.}$$
	Somit gilt für alle Zeiten $t$ und damit auch für $t = 1$ ms:		Somit gilt für alle Zeiten $t$ und damit auch für $t = 1$ ms:
	:$${\rm Re}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2} \hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Re}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2} \hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ {\rm Im}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm}.$$		:$$ {\rm Im}[z_{\rm TP}(t)] = - \sqrt{2}\hspace{0.15cm}\underline {= -1.414} \hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 4. Dezember 2018 um 12:07 Uhr

2018-12-04T12:07:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2018, 14:07 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID969__Mod_Z_1_4.png\|right\|frame\|~~Darstellung~~ einer harmonischen Schwingung]]		[[Datei:P_ID969__Mod_Z_1_4.png\|right\|frame\|Zwei Darstellungen einer harmonischen Schwingung]]
	Betrachtet wird eine harmonische Schwingung  $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal  $z_+(t)$  in der Grafik dargestellt ist.		Betrachtet wird eine harmonische Schwingung  $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal  $z_+(t)$  in der Grafik dargestellt ist.

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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Berechnen Sie die Signalparameter $A_{\rm T}$, $f_{\rm T}$ und $ω_{\rm T}$.		{Berechnen Sie die Signalparameter  $A_{\rm T}$,  $f_{\rm T}$  und  $ω_{\rm T}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A_{\rm T} \ = \ $ { 2 3% }		$A_{\rm T} \ = \ $ { 2 3% }
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	$\omega_{\rm T} \ = \ $ { 3141.5 3% } $\ \text{1/s}$		$\omega_{\rm T} \ = \ $ { 3141.5 3% } $\ \text{1/s}$

	{Bestimmen Sie die Phase $\phi_{\rm T}$ (zwischen ~~±180°~~) und die Laufzeit $τ$.		{Bestimmen Sie die Phase  $\phi_{\rm T}$  $($zwischen $±180^\circ)$ und die Laufzeit  $τ$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\phi_{\rm T} \ = \ $ { -139--131 } $\ \text{Grad}$		$\phi_{\rm T} \ = \ $ { -139--131 } $\ \text{Grad}$
	$τ \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \text{ms}$		$τ \ = \ $ { 0.75 3% } $\ \text{ms}$

	{Zu welcher Zeit $t_1 > 0$ ist das analytische Signal $z_+(t)$ erstmalig imaginär?		{Zu welcher Zeit  $t_1 > 0$  ist das analytische Signal  $z_+(t)$  erstmalig imaginär?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$t_1 \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \text{ms}$		$t_1 \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \text{ms}$

	{Wie lautet das äquivalente Tiefpass–Signal $z_{\rm TP}(t)$? Geben Sie zur Kontrolle den Wert bei $t = 1$ ms ein.		{Wie lautet das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$? Geben Sie zur Kontrolle den Wert bei  $t = 1 \text{ ms}$ ein.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Re}[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)] \ = \ $ { -1.454--1.374 }		${\rm Re}\big[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)\big] \ = \ $ { -1.454--1.374 }
	${\rm Im}[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)] \ = \ $ { -1.454--1.374 }		${\rm Im}\big[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)\big] \ = \ $ { -1.454--1.374 }

	{Welche der Aussagen gelten für alle harmonischen Schwingungen?		{Welche der Aussagen gelten für alle harmonischen Schwingungen?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das Spektrum $Z(f)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$.		+ Das Spektrum  $Z(f)$  besteht aus zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$.
	- Das Spektrum $Z_+(f)$ weist eine Diracfunktion bei $–f_{\rm T}$ auf.		- Das Spektrum  $Z_+(f)$  weist eine Diracfunktion bei  $–f_{\rm T}$ auf.
	+ Das Spektrum $Z_{\rm TP}(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$.		+ Das Spektrum  $Z_{\rm TP}(f)$  beinhaltet eine Diracfunktion bei  $f = 0$.
	+ Das analytische Signal $z_+(t)$ ist stets komplex.		+ Das analytische Signal  $z_+(t)$  ist stets komplex.
	- Das äquivalente TP–Signal $z_{\rm TP}(t)$ ist stets komplex.		- Das äquivalente TP–Signal  $z_{\rm TP}(t)$  ist stets komplex.

	</quiz>		</quiz>

Guenter am 4. Dezember 2018 um 11:58 Uhr

2018-12-04T11:58:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2018, 13:58 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	::(2)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & äquivalentes TP-Signal]].		::(2)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & äquivalentes TP-Signal]].


	~~''Weitere Hinweise:''~~
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals\|Beschreibung von ''s''(''t'') mit Hilfe des analytischen Signals]].
	*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]], [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]] und [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\| Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] des Buches „Signaldarstellung”.

	*In unserem Tutorial LNTwww wird die Darstellung des analytischen Signals $s_+(t)$ in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden Interaktionsmodule [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] sowie [[Ortskurve – Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals]].

Guenter am 4. Dezember 2018 um 11:57 Uhr

2018-12-04T11:57:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2018, 13:57 Uhr
Zeile 26:		Zeile 26:


	''Hinweise:''		''Weitere Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.~~29_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals~~\|Beschreibung von ''s''(''t'') mit Hilfe des ~~äquivalenten Tiefpass-~~Signals]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals\|Beschreibung von ''s''(''t'') mit Hilfe des analytischen Signals]].
	*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:		*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:
	::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]],		::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]],

Guenter am 4. Dezember 2018 um 11:31 Uhr

2018-12-04T11:31:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. Dezember 2018, 13:31 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID969__Mod_Z_1_4.png\|right\|frame\|Darstellung einer harmonischen Schwingung]]		[[Datei:P_ID969__Mod_Z_1_4.png\|right\|frame\|Darstellung einer harmonischen Schwingung]]
	Betrachtet wird eine harmonische Schwingung $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal $z_+(t)$ in der Grafik dargestellt ist.		Betrachtet wird eine harmonische Schwingung  $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal  $z_+(t)$  in der Grafik dargestellt ist.

	Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden:		Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden:
	:$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm},$$		:$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm},$$
	:$$ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.~~03cm~~}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$		:$$ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$
	Die zwei Amplitudenparameter $A_{\rm T} $ und $A_0$ sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert $ϕ_{\rm T} $ soll zwischen $\text{±π}$ liegen und die Laufzeit $τ$ ist nicht negativ.		Die zwei Amplitudenparameter  $A_{\rm T} $  und  $A_0$  sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert  $ϕ_{\rm T} $  soll zwischen  $\text{±π}$  liegen und die Laufzeit  $τ$  ist nicht negativ.

	Die Teilaufgabe (4) bezieht sich auf das äquivalente ~~TP–Signal~~ $z_{\rm TP}(t)$, das mit $z_+(t)$ wie folgt zusammenhängt:		Die Teilaufgabe '''(4)''' bezieht sich auf das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$, das mit  $z_+(t)$  wie folgt zusammenhängt:
	:$$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.~~03cm~~}\omega_{\rm T}~~\cdot~~ \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$		:$$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

	Beachten Sie weiter, dass $ϕ_{\rm T}$ in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint. Unter Anmerkungen zur Nomenklatur finden Sie eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von $φ_{\rm T}$ und $ϕ_{\rm T} = – φ_{\rm T}$.		Beachten Sie weiter, dass  $ϕ_{\rm T}$  in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint. Unter Anmerkungen zur Nomenklatur finden Sie eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von  $φ_{\rm T}$  und  $ϕ_{\rm T} = – φ_{\rm T}$.


	''Anmerkung zur Nomenklatur:''		''Anmerkung zur Nomenklatur:''
	*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.		*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
	*Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise $\phi$ vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.		*Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir  $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\phi$  vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.
	*Die Phasenwerte $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ und $\phi_{\rm T} = -90^\circ$ sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:		*Die Phasenwerte  $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ und $\phi_{\rm T} = -90^\circ$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:
	:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi_{\rm T}) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi_{\rm T}) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$		:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi_{\rm T}) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi_{\rm T}) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$




			''Hinweise:''
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].
			*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals\|Beschreibung von ''s''(''t'') mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
			*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:
			::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]],
			::(2)  [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]]  und
			::(3)  [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\| Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]].

			*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
			::(1)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & analytisches Signal ]],
			::(2)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & äquivalentes TP-Signal]].

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:38Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals\|Beschreibung von ''s''(''t'') mit Hilfe des analytischen Signals]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals\|Beschreibung von ''s''(''t'') mit Hilfe des analytischen Signals]].
	*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]], [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]] und [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\| Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] des Buches „Signaldarstellung”.		*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]], [[Signaldarstellung/Analytisches_Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\|Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion]] und [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion\| Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] des Buches „Signaldarstellung”.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*In unserem Tutorial LNTwww wird die Darstellung des analytischen Signals $s_+(t)$ in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden Interaktionsmodule [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] sowie [[Ortskurve – Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals]].		*In unserem Tutorial LNTwww wird die Darstellung des analytischen Signals $s_+(t)$ in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals $s_{\rm TP}(t)$ angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden Interaktionsmodule [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] sowie [[Ortskurve – Verlauf des äquivalenten Tiefpass-Signals]].

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	[[Datei:P_ID969__Mod_Z_1_4.png\|right\|frame\|Zwei Darstellungen einer harmonischen Schwingung]]		[[Datei:P_ID969__Mod_Z_1_4.png\|right\|frame\|Zwei Darstellungen einer harmonischen Schwingung]]
	Betrachtet wird eine harmonische Schwingung  $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal  $z_+(t)$  in der Grafik dargestellt ist.		Betrachtet wird eine harmonische Schwingung  $z(t)$, die zusammen mit dem zugehörigen analytischen Signal  $z_+(t)$  in der Grafik dargestellt ist.  Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden:

	Diese Signale können mathematisch wie folgt beschrieben werden:
	:$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm},$$		:$$z(t) = A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})= A_{\rm T} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T}( t - \tau)) \hspace{0.05cm},$$
	:$$ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$		:$$ z_+(t) = A_{\rm 0} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$$
	Die zwei Amplitudenparameter  $A_{\rm T} $  und  $A_0$  sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert  $ϕ_{\rm T} $  soll zwischen  $\text{±π}$  liegen und die Laufzeit  $τ$  ist nicht negativ.		Die zwei Amplitudenparameter  $A_{\rm T} $  und  $A_0$  sind jeweils dimensionslos, der Phasenwert  $ϕ_{\rm T} $  soll zwischen  $\text{±π}$  liegen und die Laufzeit  $τ$  ist nicht negativ.

	Die Teilaufgabe '''(4)''' bezieht sich auf das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$, das mit  $z_+(t)$  wie folgt zusammenhängt:		Die Teilaufgabe  '''(4)'''  bezieht sich auf das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$, das mit  $z_+(t)$  wie folgt zusammenhängt:
	:$$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$		:$$z_{\rm TP}(t) = z_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm T}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}.$$

	Beachten Sie weiter, dass  $ϕ_{\rm T}$  in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint. Unter Anmerkungen zur Nomenklatur finden Sie eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von  $φ_{\rm T}$  und  $ϕ_{\rm T} = – φ_{\rm T}$.		Beachten Sie weiter, dass  $ϕ_{\rm T}$  in obiger Gleichung mit positivem Vorzeichen erscheint.  Unter &bdquo;Anmerkungen zur Nomenklatur” finden Sie unten eine Begründung für die unterschiedliche Verwendung von  $φ_{\rm T}$  und  $ϕ_{\rm T} = – φ_{\rm T}$.


	''Anmerkung zur Nomenklatur:''		''Anmerkung zur Nomenklatur:''
	*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.		*In diesem Tutorial geht – wie auch in anderer Literatur üblich – bei der Beschreibung von harmonischer Schwingung, Fourierreihe und Fourierintegral die Phase mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein, während in Zusammenhang mit Modulationsverfahren die Phase stets mit einem Pluszeichen angesetzt wird.
	*Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir  $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$. Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\phi$  vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.		*Zur Unterscheidung dieser beiden Varianten benutzen wir  $\phi_{\rm T}$ und $\varphi_{\rm T} = - \phi_{\rm T}$.  Beide Symbole kennzeichnen das kleine griechische „phi”, wobei die Schreibweise  $\phi$  vorwiegend im anglo-amerikanischen und $\varphi$ im deutschen Sprachraum angewandt wird.
	*Die Phasenwerte  $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ und $\phi_{\rm T} = -90^\circ$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:		*Die Phasenwerte  $\varphi_{\rm T} = 90^\circ$ und $\phi_{\rm T} = -90^\circ$  sind somit äquivalent und stehen beide für die Sinusfunktion:
	:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi_{\rm T}) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi_{\rm T}) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$		:$$\cos(2 \pi f_0 t - 90^{\circ}) = \cos(2 \pi f_0 t - \varphi_{\rm T}) = \cos(2 \pi f_0 t + \phi_{\rm T}) = \sin(2 \pi f_0 t ).$$





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	''Weitere Hinweise:''		''Weitere Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation\|Allgemeines Modell der Modulation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#~~Beschreibung_von_s~~.~~28t~~.~~29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals~~\|Beschreibung ~~von ''s''(''t'')~~ mit Hilfe des ~~analytischen~~ Signals]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals\|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
	*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:		*Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln des Buches „Signaldarstellung”:
	::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]],		::(1)   [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung\|Harmonische Schwingung]],
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	*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets		*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals  $s_+(t)$  in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals  $s_{\rm TP}(t)$  angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
	::(1)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & ~~analytisches~~ Signal ]],		::(1)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal\|Physikalisches Signal & Analytisches Signal ]],
	::(2)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & ~~äquivalentes~~ TP-Signal]].		::(2)  [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal\|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]].


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	$t_1 \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \text{ms}$		$t_1 \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \text{ms}$

	{Wie lautet das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$? Geben Sie zur Kontrolle den Wert bei  $t = 1 \text{ ms}$ ein.		{Wie lautet das äquivalente Tiefpass–Signal  $z_{\rm TP}(t)$?  Geben Sie zur Kontrolle den Wert bei  $t = 1 \text{ ms}$ ein.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Re}\big[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)\big] \ = \ $ { -1.454--1.374 }		${\rm Re}\big[z_{\rm TP}(t = 1\ \rm ms)\big] \ = \ $ { -1.454--1.374 }