Aufgaben:Aufgabe 1.4: Zum Tiefpass 2. Ordnung - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Oktober 2019 um 12:32 Uhr

2019-10-18T12:32:55Z

Guenter am 18. Oktober 2019 um 12:21 Uhr

2019-10-18T12:21:35Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 13:11 Uhr

2018-10-23T13:11:21Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 13:02 Uhr

2018-10-23T13:02:57Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:38Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 15. Februar 2018 um 15:45 Uhr

2018-02-15T15:45:19Z

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Guenter am 26. Januar 2017 um 12:49 Uhr

2017-01-26T12:49:26Z

Guenter am 26. Januar 2017 um 11:40 Uhr

2017-01-26T11:40:40Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht $1$ anliegt.
+'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht&nbsp; $1$&nbsp; anliegt.
-*Entsprechend der [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Musterlösung zu 1.3Z]] und obiger Skizze gilt:
+*Entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Musterlösung zu Aufgabe 1.3Z]]&nbsp; und obiger Skizze gilt:
 :$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-*Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten:
+*Für den Zeitpunkt&nbsp; $t_1$&nbsp; soll gelten:
 :$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T  \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos.
 [[Datei:P_ID830__LZI_A_1_4b.png |right|frame| Zur Verdeutlichung der Faltung]]
 *Somit gilt nach dem Faltungssatz:
-:$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \left[ h_1 (t) * h_1 (t) \right].$$
+:$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \big[ h_1 (t) * h_1 (t) \big].$$
-*Die Faltung ist für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ durch eine Skizze verdeutlicht.
+*Die Faltung ist hier für einen spezifischen Zeitpunkt&nbsp; $t$&nbsp; durch eine Skizze verdeutlicht.
 *Nach Variablenumbenennung erhält man:
 :$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 y_1(t) =  T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty }  h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
-*Für $τ < 0$ ist $h_1(τ) = 0$. Für $τ > t$ verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:
+*Für&nbsp; $τ < 0$&nbsp; ist&nbsp; $h_1(τ) = 0$. &nbsp; Für&nbsp; $τ > t$&nbsp; verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:
 :$$y_1(t) =  T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t }  {\rm
   e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t }   {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
-*Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen $τ$ ist. Somit gilt:
+*Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen&nbsp; $τ$&nbsp; ist. Somit gilt:
 :$$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow
 \hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1}  \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$
-'''(3)'''&nbsp;  Aufgrund von $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$ gilt für die Impulsantwort:  &nbsp; $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$
-*Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor $1/T$ erhält man das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe  (2):
+'''(3)'''&nbsp;  Aufgrund des Zusammenhangs&nbsp; $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$&nbsp; gilt für die Impulsantwort:  &nbsp; $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$
 :$$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
 *Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt:
@@ Zeile 103: / Zeile 105: @@
 '''(4)'''&nbsp;  Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus '''(3)''' gilt für die Sprungantwort:
 :$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =
   \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau  \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau  .$$
-*Mit der Substitution $u = τ/T$ folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:
+*Mit der Substitution&nbsp; $u = τ/T$&nbsp; folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:
 :$${\rm \sigma_2}(t)   = \int_{ 0 }^{ t /T} u  \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1)  |_{ 0 }^{ t /T}  \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm \sigma_2}(t)  =
 - \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-*Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors $2\ \rm V$:
+*Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors&nbsp; $2\ \rm V$:
 :$$y_2(t = T)  = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}},   \hspace{0.9cm}y_2(t = 5T)  = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.$$
-*Für noch größere Zeiten nähert sich $y_2(t)$ immer mehr dem Endwert $2\hspace{0.05cm} \rm V$ an.
+*Für noch größere Zeiten nähert sich&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; immer mehr dem Endwert&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; an.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID820__LZI_A_1_4.png |right|frame|Tiefpass erster Ordnung (oben) <br>und zweiter Ordnung (unten)]]
-In der [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] und der [[Aufgaben:1.1Z_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]] im Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]] wurden die so genannten RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier erfolgt nun die Zeitbereichsdarstellung.
+In&nbsp; [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]&nbsp; und&nbsp; [[Aufgaben:1.1Z_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]]&nbsp; im Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]]&nbsp; wurden die so genannten RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier erfolgt nun die Zeitbereichsdarstellung.
-Die oben skizzierte Schaltung mit dem Eingangssignal $x(t)$ und dem Ausgangssignal $y_1(t)$ ist ein Tiefpass erster Ordnung mit dem Frequenzgang
+Die oben skizzierte Schaltung mit dem Eingangssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und dem Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; ist ein Tiefpass erster Ordnung mit dem Frequenzgang
 :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0}}.$$
-Hierbei gibt $f_0 = 1/(2πRC)$ die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal $x(t) = δ(t)$ an, so erscheint am Ausgang das Signal $y_1(t)$ gemäß der mittleren Skizze.
+Hierbei gibt&nbsp; $f_0 = 1/(2πRC)$&nbsp; die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal&nbsp; $x(t) = δ(t)$&nbsp; an, so erscheint am Ausgang das Signal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; gemäß der mittleren Skizze.
-Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R$, $C$ und $T$ lautet (siehe  [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]]):
+Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern&nbsp; $R$,&nbsp; $C$&nbsp; und&nbsp; $T$&nbsp; lautet (siehe&nbsp;  [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]]):
 :$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R  \cdot C.$$
-Für numerische Berechnungen soll im Folgenden $T = 1 \ \rm ms$ verwendet werden.
+Für numerische Berechnungen soll im Folgenden&nbsp; $T = 1 \ \rm ms$&nbsp; verwendet werden.
-Die untere Schaltung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y_2(t)$ zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung:
+Die untere Schaltung mit Eingang&nbsp; $x(t)$&nbsp; und Ausgang&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung:
 :$$H_{\rm 2}(f) = \big[H_{\rm 1}(f)\big]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
-Die zu $H_2(f)$ gehörende Impulsantwort ist $h_2(t)$.
+*Die zu&nbsp; $H_2(f)$&nbsp; gehörende Impulsantwort ist&nbsp; $h_2(t)$.
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Impulsantwort $h_1(t)$ an. Zu welcher Zeit $t_1$ ist $h_1(t)$ auf die Hälfte seines Maximalwertes abgefallen?
+{Geben Sie die Impulsantwort&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; an. &nbsp; Zu welcher Zeit&nbsp; $t_1$&nbsp; ist&nbsp; $h_1(t)$&nbsp; auf die Hälfte seines Maximalwertes abgefallen?
 |type="{}"}
 $t_1\ = \ $ { 0.693 5%  } $\ \rm ms$
-{Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? <br>Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf?
+{Wie lautet das Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; für&nbsp; $x(t) = T · h_1(t)$? &nbsp; Welche Signalwerte treten zu den Zeiten&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = T$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_1(t = 0) \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 49: / Zeile 53: @@
-{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von '''(2)'''. <br>Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?
+{Berechnen Sie die Impulsantwort&nbsp; $h_2(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Ergebnisses von&nbsp; '''(2)'''. &nbsp; Zu welcher Zeit&nbsp; $t_2$&nbsp; ist&nbsp; $h_2(t=t_2)$&nbsp; maximal?
 |type="{}"}
 $t_2 \ = \ $ { 1 } &nbsp;$\rm ms$
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-{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2 \hspace{0.05cm}V} · γ(t)$ anlegt? <br>Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf?
+{Wie lautet das Ausgangssignal&nbsp; $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion&nbsp; $x(t) = {\rm 2 \hspace{0.05cm}V} · γ(t)$&nbsp; anlegt? &nbsp; Welche Signalwerte treten bei&nbsp; $t = T$&nbsp; und&nbsp; $t = 5T$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_2(t = T) \ = \ $ { 0.528 5%  } &nbsp;$\rm V$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht $1$ anliegt. Entsprechend der [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Musterlösung zu 1.3Z]] und obiger Skizze gilt:
+'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich dem Ausgangssignal, wenn am Eingang ein Diracimpuls mit Gewicht $1$ anliegt.
 :$$h_1(t) = y_1(t) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten:
+*Für den Zeitpunkt $t_1$ soll gelten:
 :$$h_1(t_{\rm 1}) ={1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t_{\rm 1}/T} = \frac{1}{2T}
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{t_{\rm 1}}/{T} = {\rm ln}(2)\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}t_{\rm 1} = 0.693 \cdot T  \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.693\,\,ms}}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos. Somit gilt nach dem Faltungssatz:
-[[Datei:P_ID830__LZI_A_1_4b.png |right|frame| Zur Verdeutlichung der Faltungsoperation]]
+'''(2)'''&nbsp; Das Eingangssignal $x(t)$ ist wie die Impulsantwort $h_1(t)$ ein exponentiell abfallender Impuls, jedoch dimensionslos.
 :$$y_1(t) = x (t) * h_1 (t) = T \cdot \left[ h_1 (t) * h_1 (t) \right].$$
-Die Faltung ist für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ in nebenstehender Skizze verdeutlicht.
+*Die Faltung ist für einen spezifischen Zeitpunkt $t$ durch eine Skizze verdeutlicht.
-Nach Variablenumbenennung erhält man:
+*Nach Variablenumbenennung erhält man:
 :$$\begin{align*}h_1(\tau) & = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{\tau/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm}h_1(t-\tau) = \frac{1}{T} \cdot {\rm e}^{(-t+\tau)/T} \\ & \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 y_1(t) =  T \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty }  h_1 ( {t - \tau } )\cdot {h_1 ( \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.\end{align*}$$
-Für $τ < 0$ ist $h_1(τ) = 0$. Für $τ > t$ verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:
+*Für $τ < 0$ ist $h_1(τ) = 0$. Für $τ > t$ verschwindet der erste Faltungsoperand (siehe Skizze). Daraus folgt:
 :$$y_1(t) =  T \cdot \frac{1}{T^2}\cdot \int_{ 0 }^{ t }  {\rm
   e}^{(-t+\tau)/T} \cdot {\rm e}^{-\tau/T}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot \int_{ 0 }^{ t }   {\rm e}^{-t/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau .$$
-Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen $τ$ ist. Somit gilt:
+*Man sieht, dass nun der Integrand unabhängig von der Integrationsvariablen $τ$ ist. Somit gilt:
 :$$y_1(t) = {t}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}\hspace{0.1cm} \Rightarrow
 \hspace{0.1cm} y_1(t =0) \hspace{0.15cm}\underline{=0}; \hspace{0.5cm}y_1(t =T)={\rm e}^{-1}  \hspace{0.15cm}\underline{=0.368}.$$
@@ Zeile 89: / Zeile 93: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Aufgrund von $H_2(f) = H_1(f) · H_1(f)$ gilt für die Impulsantwort:  &nbsp; $h_2(t) = h_1 (t) * h_1 (t).$
-Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor $1/T$ erhält man das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe  (2):
+*Bis auf den zusätzlichen konstanten Faktor $1/T$ erhält man das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe  (2):
 :$$h_2(t) ={t}/{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt:
+*Der Maximalwert wird durch Nullsetzen der Ableitung ermittelt:
 :$$\frac{{\rm d} h_2(t)}{{\rm d}t}  = \frac{1}{T^2} \cdot {\rm e}^{-t/T} \cdot \left( 1 - {t}/{T}\right) = 0  \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} t_{\rm 2}  \hspace{0.15cm}\underline{= T = 1\,\,{\rm ms}}  \hspace{0.5cm}\Rightarrow  \hspace{0.5cm} h_2(t_{\rm 2})  =\frac{{\rm e}^{-1}}{T}   =\frac{0.368}{1\,\,{\rm ms}} \hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 368 \hspace{0.1cm} 1/s}}.$$
-'''(4)'''&nbsp;  Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus (3) gilt für die Sprungantwort:
+'''(4)'''&nbsp;  Allgemein bzw. mit dem Ergebnis aus '''(3)''' gilt für die Sprungantwort:
 :$${\rm \sigma_2}(t) = \int_{ 0 }^{ t } {h_2 ( \tau  )}   \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =
   \frac{1}{T^2} \cdot \int_{ 0 }^{ t } \tau  \cdot {\rm e}^{-\tau/T} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau  .$$
-Mit der Substitution $u = τ/T$ folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:
+*Mit der Substitution $u = τ/T$ folgt daraus unter Verwendung des angegebenen Integrals:
 :$${\rm \sigma_2}(t)   = \int_{ 0 }^{ t /T} u  \cdot {\rm e}^{-u} \hspace{0.1cm}{\rm d}u ={\rm e}^{-u} \cdot (-u-1)  |_{ 0 }^{ t /T}  \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\rm \sigma_2}(t)  =
 - \left( 1 + {t}/{T} \right) \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors $2\ \rm V$:
+*Zu den angegebenen Zeitpunkten erhält man unter weiterer Berücksichtigung des Faktors $2\ \rm V$:
 :$$y_2(t = T)  = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 2 \cdot {\rm e}^{-1} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.528 \,V}},   \hspace{0.9cm}y_2(t = 5T)  = {\rm 2 \,V} \cdot \left( 1- 6 \cdot {\rm e}^{-5} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 1.919 \,V}}.$$
-Für noch größere Zeiten nähert sich $y_2(t)$ immer mehr dem Endwert $2\ \rm V$ an.
+*Für noch größere Zeiten nähert sich $y_2(t)$ immer mehr dem Endwert $2\hspace{0.05cm} \rm V$ an.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}
-[[Datei:P_ID820__LZI_A_1_4.png |right|frame|Tiefpass erster und zweiter Ordnung]]
+[[Datei:P_ID820__LZI_A_1_4.png |right|frame|Tiefpass erster Ordnung (oben) <br>und zweiter Ordnung (unten)]]
 In der [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] und der [[Aufgaben:1.1Z_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]] im Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich|Systembeschreibung im Frequenzbereich]] wurden die so genannten RC–Tiefpässe im Frequenzbereich beschrieben. Hier erfolgt nun die Zeitbereichsdarstellung.
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 Hierbei gibt $f_0 = 1/(2πRC)$ die 3dB–Grenzfrequenz an. Legt man am Eingang ein diracförmiges Signal $x(t) = δ(t)$ an, so erscheint am Ausgang das Signal $y_1(t)$ gemäß der mittleren Skizze.
-Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R$, $C$ und $T$ lautet (siehe auch [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]]:
+Der Zusammenhang zwischen den Systemparametern $R$, $C$ und $T$ lautet (siehe  [[Aufgaben:1.3Z_Exponentiell_abfallende_Impulsantwort|Aufgabe 1.3Z]]):
 :$$T = \frac{1}{\omega_{\rm 0}}= \frac{1}{2\pi f_{\rm 0}} = R  \cdot C.$$
 Für numerische Berechnungen soll im Folgenden $T = 1 \ \rm ms$ verwendet werden.
 Die untere Schaltung mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y_2(t)$ zeigt einen Tiefpass zweiter Ordnung:
-:$$H_{\rm 2}(f) = [H_{\rm 1}(f)]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
+:$$H_{\rm 2}(f) = \big[H_{\rm 1}(f)\big]^2 =\frac{1}{(1+{\rm j}\cdot f/f_{\rm 0})^2}.$$
 Die zu $H_2(f)$ gehörende Impulsantwort ist $h_2(t)$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
 *Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
 :$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u =
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-{Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf?
+{Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? <br>Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf?
 |type="{}"}
 $y_1(t = 0) \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 48: / Zeile 49: @@
-{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von 2). Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?
+{Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von '''(2)'''. <br>Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?
 |type="{}"}
 $t_2 \ = \ $ { 1 } &nbsp;$\rm ms$
@@ Zeile 54: / Zeile 55: @@
-{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2V} · γ(t)$ anlegt? <br>Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf?
+{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2 \hspace{0.05cm}V} · γ(t)$ anlegt? <br>Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf?
 |type="{}"}
 $y_2(t = T) \ = \ $ { 0.528 5%  } &nbsp;$\rm V$

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 :$$\int u \cdot {\rm e}^{a \cdot \hspace{0.03cm} u}  \hspace{0.1cm}{\rm d}u =
   \frac{{\rm e}^{\hspace{0.03cm}a \cdot \hspace{0.03cm} u}}{a^2} \cdot (a \cdot u -1).$$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
 {Wie lautet das Ausgangssignal $y_1(t)$ für $x(t) = T · h_1(t)$? Welche Signalwerte treten zu den Zeiten $t = 0$ und $t = T$ auf?
 |type="{}"}
-$y_1(t = 0) =$ { 0. }
+$y_1(t = 0) \ =$ { 0. }
-$y_1(t = T) =$ { 0.368 5%  }
+$y_1(t = T) \ =$ { 0.368 5%  }
 {Berechnen Sie die Impulsantwort $h_2(t)$ unter Berücksichtigung des Ergebnisses von 2). Zu welcher Zeit $t_2$ ist $h_2(t)$ maximal?
 |type="{}"}
-$t_2$ = { 1 } ms
+$t_2 \ =$ { 1 } &nbsp;$\rm ms$
-$h_2(t = t_2) =$ { 368 } 1/s
+$h_2(t = t_2) =$ { 368 3% } &nbsp;$\rm 1/s$
 {Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn man am Eingang eine Sprungfunktion $x(t) = {\rm 2V} · γ(t)$ anlegt? Welche Signalwerte treten bei $t = T$ und $t = 5T$ auf?
 |type="{}"}
-$y_2(t = T) =$ { 0.528 5%  } V
+$y_2(t = T) \ =$ { 0.528 5%  } &nbsp;$\rm V$
-$y_2(t = 5T) =$ { 1.919 5%  } V
+$y_2(t = 5T) \ =$ { 1.919 5%  } &nbsp;$\rm V$