Aufgaben:Aufgabe 1.4: Zeigerdiagramm und Ortskurve - Versionsgeschichte

Guenter am 16. November 2021 um 14:33 Uhr

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Guenter am 16. November 2021 um 14:27 Uhr

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Guenter am 16. November 2021 um 14:26 Uhr

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Guenter am 16. November 2021 um 14:24 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 14:36 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 14:06 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 13:36 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 13:35 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 13:34 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 13:32 Uhr

2020-03-03T13:32:45Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation|Allgemeines Modell der Modulation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass-Signals|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
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 :$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.
-*Im Kapitel &bdquo;Hüllkurvendemodulation&rdquo; des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die ''Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger'' handelt.
+*Im Kapitel&nbsp; &bdquo;Hüllkurvendemodulation&rdquo;&nbsp; des vorliegenden Buches werden wir sehen, dass es sich dabei um die&nbsp; "Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines Cosinussignals mit cosinusförmigem Träger"&nbsp; handelt.
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 '''(2)'''&nbsp; Die Periodendauer des analytischen Signals&nbsp; $s_+(t)$&nbsp; beträgt&nbsp; $T_0 = 50$&nbsp; μs.
 *Das physikalische Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; hat die gleiche Periodendauer.
-*Unter der Voraussetzung, dass&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $f_0$&nbsp; ist&nbsp; (was stets zu überprüfen ist, aber für dieses Beispiel zutrifft), ergibt sich&nbsp;
+*Unter der Voraussetzung,&nbsp; dass&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; ein ganzzahliges Vielfaches von&nbsp; $f_0$&nbsp; ist&nbsp; (was stets zu überprüfen ist,&nbsp; aber für dieses Beispiel zutrifft),&nbsp; ergibt sich&nbsp;
 :$$f_0 = 1/T_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 20 \ \rm kHz}.$$
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 :$$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s})  =  -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
 *Daraus erhält man&nbsp; $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$&nbsp; und&nbsp; $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.
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 *Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 20$&nbsp; μs&nbsp; $(k = 4$, gerade$)$:
 :$$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm &micro; s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$ genau so groß.
+Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal&nbsp; $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$&nbsp; genau so groß.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation|Allgemeines Modell der Modulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_TP-Signals|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass-Signals|Beschreibung des physikalischen Signals mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]].
 *Weitere Informationen zu dieser Thematik finden Sie in den Kapiteln  des Buches „Signaldarstellung”:
 ::(1) &nbsp; [[Signaldarstellung/Harmonische_Schwingung|Harmonische Schwingung]],

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−	Bezug genommen wird auch auf das  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#~~Beschreibung_von_s~~.~~28t~~.~~29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals~~\|äquivalente Tiefpass–Signal]]  $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:	+	Bezug genommen wird auch auf das  [[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_des_physikalischen_Signals_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass-Signals\|äquivalente Tiefpass–Signal]]  $s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:
	:$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$		:$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation}}
-[[Datei:P_ID966__Mod_A_1_4_neu.png|right|frame|Vorgegebenes nalytisches Signal in der komplexen Ebene]]
+[[Datei:P_ID966__Mod_A_1_4_neu.png|right|frame|Vorgegebenes analytisches Signal in der komplexen Ebene]]
 Die beiliegende Grafik zeigt das analytische Signal &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene.
 *Die in den Rechtecken angegebenen Zahlen geben die Zeitpunkte in Mikrosekunden an.
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 :$$\text{.....................................} $$
 :$$s_+(t = 25\;{\rm &micro; s}) =  -0.500\hspace{0.05cm}.$$
-Als bekannt vorausgesetzt wird, dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:
+Als bekannt vorausgesetzt wird,&nbsp; dass das dazugehörige physikalische Signal folgende Form hat:
 :$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \left(\omega_{\rm T}\cdot t\right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right) + {A_0}/{2}\cdot \cos\left(\left(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0}\right)\cdot t \right)\hspace{0.05cm}.$$
 *Gegeben ist die Frequenz des Trägersignals zu &nbsp;$f_{\rm T} = 100\text{ kHz}$.
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-Bezug genommen wird auch auf das &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|äquivalente TP–Signal]] &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:
+Bezug genommen wird auch auf das &nbsp;[[Modulationsverfahren/Allgemeines_Modell_der_Modulation#Beschreibung_von_s.28t.29_mit_Hilfe_des_analytischen_Signals|äquivalente Tiefpass–Signal]] &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$, wobei folgender Zusammenhang mit dem analytischen Signal besteht:
 :$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} \hspace{0.05cm}.$$
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 ::(3)&nbsp; [[Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion| Äquivalentes Tiefpass-Signal  und zugehörige Spektralfunktion]].
-*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten TP–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
+*In unserem Tutorial $\rm LNTwww$ wird die Darstellung des analytischen Signals &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; in der komplexen Ebene teilweise auch als „Zeigerdiagramm” bezeichnet, während die „Ortskurve” den zeitlichen Verlauf des äquivalenten Tiefpass–Signals &nbsp;$s_{\rm TP}(t)$&nbsp; angibt. Wir verweisen auf die entsprechenden interaktiven Applets
 ::(1) &nbsp;[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal ]],
-::(2) &nbsp;[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes TP-Signal]].
+::(2) &nbsp;[[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Äquivalentes_TP-Signal|Physikalisches Signal & Äquivalentes Tiefpass-Signal]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie ausgehend von $s(t)$ die Gleichung für &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; an und vereinfachen Sie diese. &nbsp;Welche Gleichung gilt für das äquivalente Tiefpass–Signal?
+{Geben Sie ausgehend von&nbsp; $s(t)$&nbsp; die Gleichung für &nbsp;$s_+(t)$&nbsp; an und vereinfachen Sie diese. &nbsp;Welche Gleichung gilt für das äquivalente Tiefpass–Signal?
 |type="()"}
 - Es gilt &nbsp; $s_{\rm TP}(t) = A_0 · {\rm e}^{–{\rm j}ω_0t}.$

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 '''(1)'''&nbsp; Alle Cosinusfunktionen sind in entsprechende komplexe Exponentialfunktionen umzuwandeln:
 :$$s_+(t)  =  A_{\rm T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} + \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} + \frac{A_0}{2}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}(\omega_{\rm T} - \omega_{\rm 0})\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t}  =  {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ \frac{A_0}{2} \cdot \left( {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t} + {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 0}\cdot \hspace{0.05cm}t}\right)\right]\hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Gleichung ${\rm e}^{{\rm j} · α} + {\rm e}^{-{\rm j} · α} = 2 · \cos(α)$ folgt weiter:
+*Mit der Gleichung&nbsp; ${\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}· \hspace{0.05cm}α} + {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}·\hspace{0.05cm} α} = 2 · \cos(α)$&nbsp; folgt weiter:
 :$$s_+(t) = {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.03cm}t} \cdot \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \right] \hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:
+*Damit erhält man für das äquivalente Tiefpass–Signal:
 :$$s_{\rm TP}(t) = s_+(t) \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm T}\cdot \hspace{0.05cm}t} = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>.
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 '''(3)'''&nbsp; Bei den gegebenen Zeitpunkten (Vielfache von $5$ μs) gilt für den komplexen Drehzeiger des Trägers:
 :$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi \cdot \hspace{0.05cm} {100\,{\rm kHz}}\cdot \hspace{0.05cm}(k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 5\,{\rm \mu s})} = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}k \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm} \pi } = \left\{ \begin{array}{c} +1 \\ -1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{10}c} {\rm{falls}} \\ {\rm{falls}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} k \hspace{0.1cm}{\rm gerade} , \\ k \hspace{0.1cm}{\rm ungerade} . \\ \end{array}$$
-Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe '''(1)''' berechneten Gleichung:
+*Deshalb folgt aus der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten Gleichung:
 :$$k = 0  \Rightarrow  \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot 0) = A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm},$$
 :$$k = 5  \Rightarrow \hspace{0.2cm} s_{\rm +}(t = 25\;{\rm &micro; s}) = - \left[ A_{\rm T}+ {A_0} \cdot \cos (\omega_{\rm 0}\cdot {T_0}/{2}) \right] = -A_{\rm T}+ {A_0} \hspace{0.05cm}.$$
-Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:
+*Ein Vergleich mit der ersten und letzten Gleichung auf dem Angabenblatt zeigt:
 :$$ s_{\rm +}(t = 0)  =  A_{\rm T}+ {A_0}=1.5 \hspace{0.05cm}, $$
 :$$ s_{\rm +}(t = 25\;{\rm \mu s})  =  -A_{\rm T}+ {A_0} = -0.5 \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus erhält man $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$ und $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.
+*Daraus erhält man&nbsp; $A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$&nbsp; und&nbsp; $A_0 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}$.
-'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt $t = 15$ μs ($k = 3$, ungerade) gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 15$ μs&nbsp; $(k = 3$, ungerade$)$&nbsp; gilt:
-:$$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm &micro; s})  =  - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm},  =  -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$ s_{\rm +}(t = 15\;{\rm &micro; s})  =  - \left[ 1+ 0.5 \cdot \cos (2 \pi \cdot 20\,{\rm kHz} \cdot 0.015\,{\rm ms}) \right] \hspace{0.05cm}  =  -1- 0.5 \cdot \cos (108^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= -0.845} \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 20$ μs ($k = 4$, gerade):
+*Dagegen ergibt sich für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 20$&nbsp; μs&nbsp; $(k = 4$, gerade$)$:
 :$$ s_{\rm +}(t = 20\;{\rm &micro; s}) = 1 + 0.5 \cdot \cos (144^{\circ})\hspace{0.15cm}\underline {= 0.595} \hspace{0.05cm}.$$
 Bei allen diesen betrachteten Zeitpunkten ist das physikalische Signal $s(t) = {\rm Re}[s_+(t)]$ genau so groß.