Aufgaben:Aufgabe 1.4: Maximum–Likelihood–Entscheidung - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Juni 2022 um 14:25 Uhr

2022-06-12T14:25:36Z

Guenter am 12. Juni 2022 um 14:20 Uhr

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Guenter am 6. Mai 2019 um 11:17 Uhr

2019-05-06T11:17:42Z

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2019-05-06T11:11:48Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-01T17:29:08Z

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 14:48 Uhr

2017-12-11T14:48:46Z

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2017-12-11T14:34:23Z

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 14:33 Uhr

2017-12-11T14:33:12Z

Wael am 28. November 2017 um 17:03 Uhr

2017-11-28T17:03:28Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u> &nbsp; &rArr; &nbsp;  $\underline{z} = \underline{x}_{2} = (1, 0, 1, 0, 1)$:
-*Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$ und den vier möglichen Codeworten $\underline{x}_{i}$ ergeben sich wie folgt:
+*Die Hamming–Distanzen zwischen dem spezifischen Empfangswort&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$&nbsp; und den vier möglichen Codeworten&nbsp; $\underline{x}_{i}$&nbsp; ergeben sich wie folgt:
 :$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 3\hspace{0.05cm}.$$
-*Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1$.
+*Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1$.
-'''(2)'''&nbsp; Für $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$ sind die <u>Antworten 1 und 2</u> richtig, wie die folgende Rechnung zeigt:
+'''(2)'''&nbsp; Für&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$&nbsp; sind die&nbsp; <u>Antworten 1 und 2</u>&nbsp; richtig,&nbsp; wie die folgende Rechnung zeigt:
 :$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 4\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 3</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 3</u>:
-*Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von $x_{2}$ genau so möglich wie für $x_{3}$, wenn der Vektor $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$ empfangen wird:
+*Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von&nbsp; $x_{2}$&nbsp; genau so möglich wie für&nbsp; $x_{3}$,&nbsp; wenn $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$&nbsp; empfangen wird:
 :$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 1\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Empfangsvektor $\underline{y}$ unterscheidet sich aber von $x_{2}$ bezüglich des vierten Bits und von $x_{3}$ im zweiten Bit.
+*Der Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; unterscheidet sich aber von&nbsp; $x_{2}$&nbsp; bezüglich des vierten Bits und von&nbsp; $x_{3}$&nbsp; im zweiten Bit.
-* Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für $x_{2}$ entscheiden .
+* Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite,&nbsp; wird er sich für&nbsp; $x_{2}$&nbsp; entscheiden .
-'''(4)'''&nbsp; Da es sich hier um einen systematischen Code handelt, ist die Entscheidung für $\underline{z} = (1, 0, 1, 0, 1)$ gleichbedeutend mit der Entscheidung
+'''(4)'''&nbsp; Da es sich hier um einen systematischen Code handelt,&nbsp; ist die Entscheidung für&nbsp; $\underline{z} = (1, 0, 1, 0, 1)$&nbsp; gleichbedeutend mit der Entscheidung
 :$$v_{1}  \ \underline{ = 1}, \ v_{2} \  \underline{= 0}.$$
-*Es ist nicht sicher, dass $\underline{u} = (1, 0)$  tatsächlich gesendet wurde.
+*Es ist nicht sicher,&nbsp; dass&nbsp; $\underline{u} = (1, 0)$&nbsp;  tatsächlich gesendet wurde.
 *Aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$ hierfür am größten.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2384__KC_A_1_4.png|right|frame|Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung]]
-Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:
+Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik.&nbsp; Berücksichtigt sind dabei:
-*ein systematischer&nbsp; $(5, 2)$–Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; mit den Codeworten
+*Ein systematischer&nbsp; $(5, 2)$–Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; mit den Codeworten
 :$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
-*ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor&nbsp; $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; in den Vektor&nbsp; $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; verfälscht;
+*ein digitales&nbsp; (binäres)&nbsp; Kanalmodell,&nbsp; das den Vektor&nbsp; $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; in den Vektor&nbsp; $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; verfälscht;
 *ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]&nbsp; (kurz: &nbsp; ML–Decoder) &nbsp;mit der Entscheidungsregel
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$
-Hier bezeichnet&nbsp; $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]]&nbsp; zwischen dem Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort&nbsp; $\underline{x_{i}}$.
+Hier bezeichnet&nbsp; $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]]&nbsp; zwischen dem Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; und dem&nbsp; (möglicherweise)&nbsp; gesendeten Codewort&nbsp; $\underline{x_{i}}$.
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-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und  Entscheiderstrukturen]].
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und  Entscheiderstrukturen"]].
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 <quiz display=simple>
-{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$. Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
+{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$.&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
 |type="[]"}
 - $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
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-{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$. Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
+{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$.&nbsp; Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
 |type="[]"}
 + $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
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 - $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.
-{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$, wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?
+{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$,&nbsp; wenn ihm mitgeteilt wird,&nbsp; dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?
 |type="[]"}
 - $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,

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 :$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
 *ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor&nbsp; $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; in den Vektor&nbsp; $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; verfälscht;
-*ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]&nbsp; mit der Entscheidungsregel
+*ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]&nbsp; (kurz: &nbsp; ML–Decoder) &nbsp;mit der Entscheidungsregel
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$
@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 :$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 3\hspace{0.05cm}.$$
 *Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz $d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1$.
 '''(2)'''&nbsp; Für $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$ sind die <u>Antworten 1 und 2</u> richtig, wie die folgende Rechnung zeigt:
 :$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 4\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 3</u>:
 *Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von $x_{2}$ genau so möglich wie für $x_{3}$, wenn der Vektor $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$ empfangen wird:
 :$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 1\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Empfangsvektor $\underline{y}$ unterscheidet sich aber von $x_{2}$ bezüglich des vierten Bits und von $x_{3}$ im zweiten Bit. Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für $x_{2}$ entscheiden .
+*Der Empfangsvektor $\underline{y}$ unterscheidet sich aber von $x_{2}$ bezüglich des vierten Bits und von $x_{3}$ im zweiten Bit.
@@ Zeile 82: / Zeile 86: @@
 :$$v_{1}  \ \underline{ = 1}, \ v_{2} \  \underline{= 0}.$$
-Es ist nicht sicher, dass $\underline{u} = (1, 0)$  tatsächlich gesendet wurde, aber die Wahrscheinlichkeit ist angesichts des Empfangsvektors $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$ hierfür am größten.
+*Es ist nicht sicher, dass $\underline{u} = (1, 0)$  tatsächlich gesendet wurde.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:
-*ein systematischer (5, 2)–Blockcode $\mathcal{C}$ mit den Codeworten
+*ein systematischer&nbsp; $(5, 2)$–Blockcode&nbsp; $\mathcal{C}$&nbsp; mit den Codeworten
 :$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
-*ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$ in den Vektor $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$ verfälscht;
+*ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor&nbsp; $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; in den Vektor&nbsp; $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$&nbsp; verfälscht;
-*ein [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]] mit der Entscheidungsregel
+*ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]]&nbsp; mit der Entscheidungsregel
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$
-In der Gleichung bezeichnet $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$ die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]] zwischen Empfangswort $\underline{y}$ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort $\underline{x_{i}}$.
+Hier bezeichnet&nbsp; $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]]&nbsp; zwischen dem Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort&nbsp; $\underline{x_{i}}$.
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und  Entscheiderstrukturen]].
@@ Zeile 25: / Zeile 29: @@
 <quiz display=simple>
-{Es sei $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$. Welche Entscheidungen erfüllen das ML–Kriterium?
+{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 0, 0, 1)$. Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
 |type="[]"}
 - $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
@@ Zeile 33: / Zeile 37: @@
-{Es sei $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$. Welche Entscheidungen erfüllen das ML–Kriterium?
+{Es sei&nbsp; $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$. Welche Entscheidungen erfüllen das Maximum–Likelihood–Kriterium?
 |type="[]"}
 + $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
@@ Zeile 40: / Zeile 44: @@
 - $\underline{z} = \underline{x}_{3} = (1, 1, 1, 1, 1)$.
-{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$, wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole eher unsicher sind?
+{Welche Entscheidung trifft der ML–Decoder für&nbsp; $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$, wenn ihm mitgeteilt wird, dass die beiden letzten Symbole unsicher sind?
 |type="[]"}
 - $\underline{z} = \underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$,
@@ Zeile 49: / Zeile 53: @@
-{Zu welchem Informationswort $v = (v_{1}, v_{2})$ führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?
+{Zu welchem Informationswort&nbsp; $v = (v_{1}, v_{2})$&nbsp; führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?
 |type="{}"}
 $v_{1} \ = \ $  { 1 }

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 12:02 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen\|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
−	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.	+

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 11. Dezember 2017, 14:34 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2384__KC_A_1_4.png|right|frame|Zur Maximum–Likelihood–Decodierung]]
+[[Datei:P_ID2384__KC_A_1_4.png|right|frame|Modell zur Maximum–Likelihood–Decodierung]]
 Wir betrachten das digitale Übertragungssystem entsprechend der Grafik. Berücksichtigt sind dabei:
-*ein systematischer (5, 2)–Blockcode ''C'' mit den Codeworten
+*ein systematischer (5, 2)–Blockcode $\mathcal{C}$ mit den Codeworten
-:$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm},$$
+:$$\underline{x}_{0} \hspace{-0.1cm} \ =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{1} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 1, 0) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{2} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 0, 1, 0, 1) \hspace{0.05cm},$$ $$\underline{x}_{3} \hspace{-0.1cm} \  =  \  \hspace{-0.1cm} (1, 1, 1, 1, 1) \hspace{0.05cm};$$
-*ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor <u>x</u> ∈ GF($2^{5}$) in den Vektor $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5}$) verfälscht,
+*ein digitales (binäres) Kanalmodell, das den Vektor $\underline{x} \in {\rm GF} (2^{5})$ in den Vektor $\underline{y} \in {\rm GF} (2^{5})$ verfälscht;
 *ein [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-Likelihood.E2.80.93Entscheidung_beim_BSC.E2.80.93Kanal|Maximum–Likelihood–Decoder]] mit der Entscheidungsregel
 :$$\underline{z} = {\rm arg} \max_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( \underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \underline{y} ) = {\rm arg} \min_{\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i} \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} \mathcal{C}} \hspace{0.1cm} d_{\rm H}(\underline{y} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}\underline{x}_{\hspace{0.03cm}i}).$$
-In der Gleichung bezeichnet $d_{\rm H} (\underline{y},\underline{x_{i}})$ die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]] zwischen Empfangswort $\underline{y}$ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort $\underline{x_{i}}$.
+In der Gleichung bezeichnet $d_{\rm H} (\underline{y}, \ \underline{x_{i}})$ die [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Distanz]] zwischen Empfangswort $\underline{y}$ und dem (möglicherweise) gesendeten Codewort $\underline{x_{i}}$.
 ===Fragebogen===
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-{Zu welchem Informationswort $\upsilon = (\upsilon_{1}, \upsilon_{2})$ führt diese Entscheidung?
+{Zu welchem Informationswort $v = (v_{1}, v_{2})$ führt die Entscheidung gemäß der letzten Teilaufgabe?
 |type="{}"}
-$\upsilon_{1}$ = { 1 3% }
+$v_{1}$ = { 1 }
-$\upsilon_{2}$ = { 0 3% }
+$v_{2}$ = { 0. }
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-[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen
+[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanal und Entscheiderstrukturen
 ^]]

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 Entschieden wird sich für die Folge mit der geringsten Hamming–Distanz ⇒ <u>Antwort 3</u>.
-'''2.'''
+'''(2)'''&nbsp; Für $\underline{y} = (0, 0, 0, 1, 0)$ sind <u>Antwort 1</u>und <u>Antwort 2</u> richtig, wie die folgende Rechnung zeigt:
-'''3.'''
+:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 4\hspace{0.05cm}.$$
-'''4.'''
-'''5.'''
+'''(3)'''&nbsp; Entsprechend der Hamming–Distanz wäre eine Entscheidung zugunsten von $x_{2}$ genau so möglich wie für $x_{3}$, wenn der Vektor $\underline{y} = (1, 0, 1, 1, 1)$ empfangen wird:
-'''6.'''
+:$$d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_0) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) = 4\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{y}, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 1\hspace{0.05cm}.$$
-'''7.'''
+Der Empfangsvektor ''y'' unterscheidet sich von $x_{2}$ bezüglich des vierten Bits und von $x_{3}$ im zweiten Bit. Da das vierte Bit unsicherer ist als das zweite, wird er sich für $x_{2}$ entscheiden ⇒ <u>Antwort 3</u>.
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