Aufgaben:Aufgabe 1.4: Entropienäherungen für den AMI-Code - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Juni 2021 um 13:33 Uhr

2021-06-19T13:33:09Z

Guenter am 16. Januar 2020 um 17:07 Uhr

2020-01-16T17:07:49Z

Guenter am 16. Januar 2020 um 17:00 Uhr

2020-01-16T17:00:28Z

Guenter am 18. September 2018 um 16:13 Uhr

2018-09-18T16:13:10Z

Guenter am 18. September 2018 um 16:07 Uhr

2018-09-18T16:07:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:54:12Z

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Guenter am 28. April 2017 um 15:01 Uhr

2017-04-28T15:01:23Z

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2017-04-28T14:31:38Z

Guenter am 28. April 2017 um 14:29 Uhr

2017-04-28T14:29:33Z

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 Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal&nbsp; $q(t)$, das man ebenfalls durch die Symbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu \rangle$&nbsp;  mit&nbsp; $q_\nu \in \{ {\rm L}, {\rm H} \}$&nbsp; beschreiben kann.&nbsp; In der gesamten Aufgabe gelte&nbsp; $p_{\rm L} = p_{\rm H} =0.5$.
-Das codierte Signal&nbsp; $c(t)$&nbsp; und die dazugehörige Symbolfolge&nbsp; $\langle c_\nu \rangle$&nbsp;  mit&nbsp; $c_\nu \in \{{\rm P}, {\rm N}, {\rm M}  \}$&nbsp; ergibt sich aus der AMI&ndash;Codierung (<i>Alternate Mark Inversion</i>) nach folgender Vorschrift:
+Das codierte Signal&nbsp; $c(t)$&nbsp; und die dazugehörige Symbolfolge&nbsp; $\langle c_\nu \rangle$&nbsp;  mit&nbsp; $c_\nu \in \{{\rm P}, {\rm N}, {\rm M}  \}$&nbsp; ergibt sich aus der AMI&ndash;Codierung&nbsp; (&bdquo;Alternate Mark Inversion&rdquo;)&nbsp; nach folgender Vorschrift:
-* Das Binärsymbol&nbsp; $\rm L$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Low</i> wird stets durch das Ternärsymbol&nbsp; $\rm N$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Null</i>&nbsp; dargestellt.
+* Das Binärsymbol&nbsp; $\rm L$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Low&rdquo; wird stets durch das Ternärsymbol&nbsp; $\rm N$ &nbsp;&rArr;&nbsp; &bdquo;Null</i>&nbsp; dargestellt.
-* Das Binärsymbol&nbsp; $\rm H$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>High</i>&nbsp; wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name &bdquo;AMI&rdquo;) durch die Symbole&nbsp; $\rm P$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Plus</i>&nbsp; und&nbsp; $\rm M$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Minus</i>&nbsp; codiert.
+* Das Binärsymbol&nbsp; $\rm H$ &nbsp;&rArr;&nbsp; &bdquo;High</i>&rdquo; wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name &bdquo;Alternate Mark Inversion&rdquo;) durch die Symbole&nbsp; $\rm P$ &nbsp;&rArr;&nbsp; &bdquo;Plus</i>&rdquo; und&nbsp; $\rm M$ &nbsp;&rArr;&nbsp; &bdquo;Minus&rdquo;&nbsp; codiert.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Symbolumfang beträgt $M = 3$. Daraus ergibt sich der Entscheidungsgehalt mit dem <i>Logarithmus dualis</i> zur Basis 2 &nbsp; &rArr; &nbsp; $\log_2$ bzw $\rm ld$:
+'''(1)'''&nbsp; Der Symbolumfang beträgt&nbsp; $M = 3$.&nbsp; Daraus ergibt sich der Entscheidungsgehalt mit dem&nbsp; <i>Logarithmus dualis</i>&nbsp; zur Basis $2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\log_2$ bzw $\rm ld$:
 :$$H_0  = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} M = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (3)   \hspace{0.15cm} \underline { = 1.585 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Entropienäherung erster Ordnung berücksichtigt nur die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$ und nicht die statistischen Bindungen innerhalb der Codefolge $\langle c_\nu \rangle$. Damit erhält man:
 :$$p_{\rm N} = p_{\rm L} = 1/2\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}p_{\rm P} = p_{\rm M} = p_{\rm H}/2 = 1/4 \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm} H_1  = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (2) +
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 '''(3)'''&nbsp; Zunächst müssen hier die $M^2 = 9$ Verbundwahrscheinlichkeiten von Zweiertupeln ermittelt werden, im Folgenden gekennzeichnet durch die beiden ersten Codesymbole $c_1$ und $c_2$:
-* Da beim AMI&ndash;Code weder $\rm P$ auf $\rm P$ noch $\rm M$ auf $\rm M$ folgen kann, ist $p_{\rm PP} = p_{\rm MM} =0$.
+'''(3)'''&nbsp; Zunächst müssen hier die&nbsp; $M^2 = 9$&nbsp; Verbundwahrscheinlichkeiten von Zweiertupeln ermittelt werden, im Folgenden gekennzeichnet durch die beiden ersten Codesymbole&nbsp; $c_1$&nbsp; und&nbsp; $c_2$:
-* Für die Verbundwahrscheinlichkeiten unter der Bedingung $c_2 = \rm N$ gilt:
+* Da beim AMI&ndash;Code weder&nbsp; $\rm P$&nbsp; auf&nbsp; $\rm P$&nbsp; noch&nbsp; $\rm M$&nbsp; auf&nbsp; $\rm M$&nbsp; folgen kann, ist&nbsp; $p_{\rm PP} = p_{\rm MM} =0$.
 :$$p_{\rm NN} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 = 1/4 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ p_{\rm MN} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{M}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{M}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm},$$
 :$$  p_{\rm PN} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{P}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{N}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{P}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Die Verbundwahrscheinlichkeiten der Zweiertupel $\rm PM$  und $\rm MP$ lauten:
+* Die Verbundwahrscheinlichkeiten der Zweiertupel&nbsp; $\rm PM$&nbsp;  und&nbsp; $\rm MP$&nbsp; lauten:
 :$$p_{\rm PM} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{P}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{M}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{P}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ p_{\rm MP} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{M}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{P}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{M}) = 1/4 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$
-* Bei den restlichen Wahrscheinlichkeiten muss zusätzlich berücksichtigt werden, ob beim letzten Mal das Binärsymbol $\rm H$ mit $\rm P$ oder mit $\rm M$ codiert wurde &nbsp;&#8658;&nbsp; weiterer Faktor $1/2$:
+* Bei den restlichen Wahrscheinlichkeiten muss zusätzlich berücksichtigt werden, ob beim letzten Mal das Binärsymbol&nbsp; $\rm H$&nbsp; mit&nbsp; $\rm P$&nbsp; oder mit&nbsp; $\rm M$&nbsp; codiert wurde &nbsp;&#8658;&nbsp; weiterer Faktor&nbsp; $1/2$:
 :$$p_{\rm NM} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{M}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2= 1/8 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ p_{\rm NP} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}( c_1 = \mathbf{N}) \cdot {\rm Pr}(c_2 = \mathbf{P}\hspace{0.05cm} | c_1 = \mathbf{N}) = 1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit ist die Entropie $H_2'$ eines Zweiertupels bzw. dessen Entropie $H_2$ pro Codesymbol:
+Damit ist die Entropie&nbsp; $H_2'$&nbsp; eines Zweiertupels bzw. dessen Entropie&nbsp; $H_2$&nbsp; pro Codesymbol:
 :$$H_2\hspace{0.01cm}'  = \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (4) +
 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8)  \hspace{0.15cm} {= 2.75 \,{\rm bit/Zweiertupel}}\hspace{0.3cm}
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-'''(4)'''&nbsp; Die Berechnung von $H_3$  erfolgt ähnlich wie bei der letzten Teilaufgabe für $H_2$, nur müssen nun $3^3 = 27$ Verbundwahrscheinlichkeiten ermittelt werden:
+'''(4)'''&nbsp; Die Berechnung von&nbsp; $H_3$&nbsp;  erfolgt ähnlich wie bei der letzten Teilaufgabe für&nbsp; $H_2$, nur müssen nun&nbsp; $3^3 = 27$&nbsp; Verbundwahrscheinlichkeiten ermittelt werden:
 :$$p_{\rm NNN} = 1/8\hspace{0.4cm}{\rm (nur \hspace{0.15cm}einmal)}
   \hspace{0.05cm},$$
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
-*Falsch ist dagegen die Aussage 3, da $H_4$ auf jeden Fall kleiner sein muss als $H_3 = 1.292 \; \rm bit/Symbol$.
+*Falsch ist dagegen die Aussage 3, da&nbsp; $H_4$&nbsp; auf jeden Fall kleiner sein muss als&nbsp; $H_3 = 1.292 \; \rm bit/Symbol$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2248__Inf_A_1_4.png|right|frame|Binäres Quellensignal (oben) und <br>ternäres Codersignal (unten)]]
-Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal $q(t)$, das man ebenfalls durch die Symbolfolge $\langle q_\nu \rangle$  mit $q_\nu \in \{ {\rm L}, {\rm H} \}$ beschreiben kann. In der gesamten Aufgabe gelte $p_{\rm L} = p_{\rm H} =0.5$.
+Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal&nbsp; $q(t)$, das man ebenfalls durch die Symbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu \rangle$&nbsp;  mit&nbsp; $q_\nu \in \{ {\rm L}, {\rm H} \}$&nbsp; beschreiben kann.&nbsp; In der gesamten Aufgabe gelte&nbsp; $p_{\rm L} = p_{\rm H} =0.5$.
-Das codierte Signal $c(t)$ und die dazugehörige Symbolfolge $\langle c_\nu \rangle$  mit $c_\nu \in \{{\rm P}, {\rm N}, {\rm M}  \}$ ergibt sich aus der AMI&ndash;Codierung (<i>Alternate Mark Inversion</i>) nach folgender Vorschrift:
+Das codierte Signal&nbsp; $c(t)$&nbsp; und die dazugehörige Symbolfolge&nbsp; $\langle c_\nu \rangle$&nbsp;  mit&nbsp; $c_\nu \in \{{\rm P}, {\rm N}, {\rm M}  \}$&nbsp; ergibt sich aus der AMI&ndash;Codierung (<i>Alternate Mark Inversion</i>) nach folgender Vorschrift:
-* Das Binärsymbol $\rm L$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Low</i> wird stets durch das Ternärsymbol $\rm N$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Null</i> dargestellt.
+* Das Binärsymbol&nbsp; $\rm L$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Low</i> wird stets durch das Ternärsymbol&nbsp; $\rm N$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Null</i>&nbsp; dargestellt.
-* Das Binärsymbol $\rm H$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>High</i> wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name &bdquo;AMI&rdquo;) durch die Symbole $\rm P$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Plus</i> und $\rm M$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Minus</i> codiert.
+* Das Binärsymbol&nbsp; $\rm H$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>High</i>&nbsp; wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name &bdquo;AMI&rdquo;) durch die Symbole&nbsp; $\rm P$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Plus</i>&nbsp; und&nbsp; $\rm M$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Minus</i>&nbsp; codiert.
 In dieser Aufgabe sollen die Entropienäherungen für das AMI&ndash;codierte Signal berechnet werden:
-* Die Näherung $H_1$ bezieht sich nur auf die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$.
+* Die Näherung&nbsp; $H_1$&nbsp; bezieht sich nur auf die Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm P}$,&nbsp; $p_{\rm N}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm M}$.
-* Die $k$&ndash;te Entropienäherung $(k = 2, 3, \text{...} \ )$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
+* Die&nbsp; $k$&ndash;te Entropienäherung&nbsp; $(k = 2, 3, \text{...} \ )$&nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
 :$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{3^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
   \hspace{0.05cm}.$$
-:Hierbei bezeichnet $p_i^{(k)}$ die $i$&ndash;te Verbundwahrscheinlichkeit eines $k$&ndash;Tupels.
+:Hierbei bezeichnet&nbsp; $p_i^{(k)}$&nbsp; die&nbsp; $i$&ndash;te Verbundwahrscheinlichkeit eines&nbsp; $k$&ndash;Tupels.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Die_Entropie_des_AMI.E2.80.93Codes|Die Entropie des AMI-Codes]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Die_Entropie_des_AMI.E2.80.93Codes|Die Entropie des AMI-Codes]].
-*In der  [[Aufgaben:1.4Z_Entropie_der_AMI-Codierung|Aufgabe 1.4Z]] wird die tatsächliche Entropie der Codesymbolfolge  $\langle c_\nu \rangle$ zu $H = 1 \; \rm bit/Symbol$ berechnet.
+*In der&nbsp;  [[Aufgaben:1.4Z_Entropie_der_AMI-Codierung|Aufgabe 1.4Z]]&nbsp; wird die tatsächliche Entropie der Codesymbolfolge&nbsp;  $\langle c_\nu \rangle$&nbsp; zu&nbsp; $H = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; berechnet.
 *Zu erwarten sind die folgenden Größenrelationen: &nbsp; $H \le$ ...$ \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0
   \hspace{0.05cm}.$
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-{Wie groß ist die Entropienäherung $H_2$, basierend auf Zweiertupel?
+{Wie groß ist die Entropienäherung&nbsp; $H_2$, basierend auf Zweiertupel?
 |type="{}"}
 $H_2  \ = \ $ { 1.375 3% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Welchen Wert liefert die Entropienäherung $H_3$, basierend auf Dreiertuptel?
+{Welchen Wert liefert die Entropienäherung&nbsp; $H_3$, basierend auf Dreiertuptel?
 |type="{}"}
 $H_3 \ = \ $ { 1.292 3% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Welche Aussagen gelten für die Entropienäherung $H_4$?
+{Welche Aussagen gelten für die Entropienäherung&nbsp; $H_4$?
 |type="[]"}
-+ Es muss über $3^4 = 81$ Summanden gemittelt werden.
++ Es muss über&nbsp; $3^4 = 81$&nbsp; Summanden gemittelt werden.
-+ Es gilt $1 \; {\rm bit/Symbol} < H_4 < H_3$.
++ Es gilt&nbsp; $1 \; {\rm bit/Symbol} < H_4 < H_3$.
-- Nach langer Rechnung erhält man $H_4 = 1.333 \; {\rm bit/Symbol}$.
+- Nach langer Rechnung erhält man&nbsp; $H_4 = 1.333 \; {\rm bit/Symbol}$.

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 :$$H_0  = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} M = {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (3)   \hspace{0.15cm} \underline { = 1.585 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Entropienäherung erster Ordnung berücksichtigt nur die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$ und nicht die statistischen Bindungen innerhalb der Codefolge $\langle c_\nu \rangle$. Damit erhält man:
@@ Zeile 78: / Zeile 79: @@
 \cdot \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(4)  \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Zunächst müssen hier die $M^2 = 9$ Verbundwahrscheinlichkeiten von Zweiertupeln ermittelt werden, im Folgenden gekennzeichnet durch die beiden ersten Codesymbole $c_1$ und $c_2$:
@@ Zeile 94: / Zeile 96: @@
 Damit ist die Entropie $H_2'$ eines Zweiertupels bzw. dessen Entropie $H_2$ pro Codesymbol:
-:$$H_2'  = \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (4) +
+:$$H_2\hspace{0.01cm}'  = \frac{1}{4} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm} (4) +
 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8)  \hspace{0.15cm} {= 2.75 \,{\rm bit/Zweiertupel}}\hspace{0.3cm}
-\Rightarrow\hspace{0.3cm} H_2  = \frac{H_2'}{2}   \hspace{0.15cm} \underline {= 1.375 \,{\rm bit/Symbol}}
+\Rightarrow\hspace{0.3cm} H_2  = \frac{H_2\hspace{0.01cm}'}{2}   \hspace{0.15cm} \underline {= 1.375 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Die Berechnung von $H_3$  erfolgt ähnlich wie bei der letzten Teilaufgabe für $H_2$ , nur müssen nun $3^3 = 27$ Verbundwahrscheinlichkeiten ermittelt werden:
 :$$p_{\rm NNN} = 1/8\hspace{0.4cm}{\rm (nur \hspace{0.15cm}einmal)}
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 111: / Zeile 114: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>. Falsch ist dagegen die Aussage 3, da $H_4$ auf jeden Fall kleiner sein muss als $H_3 = 1.292 \; \rm bit/Symbol$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2248__Inf_A_1_4.png|right|Binäres Quellensignal und ternäres Codersignal]]
+[[Datei:P_ID2248__Inf_A_1_4.png|right|frame|Binäres Quellensignal (oben) und <br>ternäres Codersignal (unten)]]
 Die Grafik zeigt oben das binäre Quellensignal $q(t)$, das man ebenfalls durch die Symbolfolge $\langle q_\nu \rangle$  mit $q_\nu \in \{ {\rm L}, {\rm H} \}$ beschreiben kann. In der gesamten Aufgabe gelte $p_{\rm L} = p_{\rm H} =0.5$.
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 * Das Binärsymbol $\rm L$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Low</i> wird stets durch das Ternärsymbol $\rm N$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Null</i> dargestellt.
 * Das Binärsymbol $\rm H$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>High</i> wird ebenfalls deterministisch, aber alternierend (daher der Name &bdquo;AMI&rdquo;) durch die Symbole $\rm P$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Plus</i> und $\rm M$ &nbsp;&rArr;&nbsp; <i>Minus</i> codiert.
 In dieser Aufgabe sollen die Entropienäherungen für das AMI&ndash;codierte Signal berechnet werden:
@@ Zeile 15: / Zeile 16: @@
 * Die Näherung $H_1$ bezieht sich nur auf die Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm P}$, $p_{\rm N}$ und $p_{\rm M}$.
-* Die $k$&ndash;te Entropienäherung ($k = 2, 3$, ... ) kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
+* Die $k$&ndash;te Entropienäherung $(k = 2, 3, \text{...} \ )$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
 :$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{3^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
   \hspace{0.05cm}.$$
 :Hierbei bezeichnet $p_i^{(k)}$ die $i$&ndash;te Verbundwahrscheinlichkeit eines $k$&ndash;Tupels.
@@ Zeile 25: / Zeile 29: @@
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Die_Entropie_des_AMI.E2.80.93Codes|Die Entropie des AMI-Codes]].
 *In der  [[Aufgaben:1.4Z_Entropie_der_AMI-Codierung|Aufgabe 1.4Z]] wird die tatsächliche Entropie der Codesymbolfolge  $\langle c_\nu \rangle$ zu $H = 1 \; \rm bit/Symbol$ berechnet.
-*Zu erwarten sind die folgenden Größenrelationen: $H \le$ ...$ \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0
+*Zu erwarten sind die folgenden Größenrelationen: &nbsp; $H \le$ ...$ \le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0
   \hspace{0.05cm}.$
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 {Wie groß ist der Entscheidungsgehalt des AMI&ndash;Codes?
 |type="{}"}
-$H_0 \ = $  { 1.585 3% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_0 \ = \ $  { 1.585 3% } $\ \rm bit/Symbol$
 {Berechnen Sie die erste Entropienäherung des AMI&ndash;Codes.
 |type="{}"}
-$H_1 \ = $ { 1.5 3% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_1 \ = \ $ { 1.5 3% } $\ \rm bit/Symbol$
 {Wie groß ist die Entropienäherung $H_2$, basierend auf Zweiertupel?
 |type="{}"}
-$H_2  \ = $ { 1.375 3% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_2  \ = \ $ { 1.375 3% } $\ \rm bit/Symbol$
 {Welchen Wert liefert die Entropienäherung $H_3$, basierend auf Dreiertuptel?
 |type="{}"}
-$H_3 \ = $ { 1.292 3% } $\ \rm bit/Symbol$
+$H_3 \ = \ $ { 1.292 3% } $\ \rm bit/Symbol$

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(kein Unterschied)