Aufgaben:Aufgabe 1.4: 2S/3E-Kanalmodell - Versionsgeschichte

Guenter am 30. November 2021 um 14:22 Uhr

2021-11-30T14:22:28Z

Guenter am 30. November 2021 um 14:19 Uhr

2021-11-30T14:19:48Z

Guenter am 9. November 2019 um 16:05 Uhr

2019-11-09T16:05:49Z

Guenter am 9. November 2019 um 16:01 Uhr

2019-11-09T16:01:12Z

Guenter am 1. August 2018 um 11:47 Uhr

2018-08-01T11:47:59Z

Guenter am 1. August 2018 um 11:37 Uhr

2018-08-01T11:37:47Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:27:14Z

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Guenter am 5. März 2017 um 15:30 Uhr

2017-03-05T15:30:36Z

Guenter am 22. Februar 2017 um 11:39 Uhr

2017-02-22T11:39:34Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheiden.
+'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde,&nbsp; kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheiden.
-*Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes&nbsp; $\rm L$&nbsp; ist allerdings um den Faktor&nbsp; $0.7$&nbsp; kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:
+*Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes&nbsp; $\rm L$&nbsp; ist allerdings um den Faktor&nbsp; $0.7$&nbsp; kleiner als f&uuml;r ein gesendetes.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis&nbsp; $E_{\rm H}$&nbsp; kommt man sowohl von&nbsp;  $S_{\rm H}$&nbsp; als auch von&nbsp; $S_{\rm L}$&nbsp; aus. Deshalb gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis&nbsp; $E_{\rm H}$&nbsp; kommt man sowohl von&nbsp;  $S_{\rm H}$&nbsp; als auch von&nbsp; $S_{\rm L}$&nbsp; aus.&nbsp; Deshalb gilt:
 :$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse&nbsp; $E_{\rm H}$,&nbsp; $E_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm K}$&nbsp; bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
+'''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse&nbsp; $E_{\rm H}$,&nbsp; $E_{\rm L}$&nbsp; und&nbsp; $E_{\rm K}$&nbsp; bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
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-'''(5)'''&nbsp; Wenn das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; empfangen wurde, kann nur&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet worden sein. Daraus folgt:
+'''(5)'''&nbsp; Wenn das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; empfangen wurde,&nbsp; kann nur&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet worden sein.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp; [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp;
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheidet?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,&nbsp; dass sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheidet?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $  { 0.21 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm H$&nbsp; entscheidet?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,&nbsp; dass sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm H$&nbsp; entscheidet?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $ { 0.66 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Empfänger keine Entscheidung trifft?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,&nbsp; dass der Empfänger keine Entscheidung trifft?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(E_{\rm K}) \ = \ $  { 0.13 3% }
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-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich  das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entschieden hat?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass tatsächlich  das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde,&nbsp; wenn sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entschieden hat?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $  { 1 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde,&nbsp; wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol $\rm L$ entscheiden.
+'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheiden.
-Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:
+*Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes&nbsp; $\rm L$&nbsp; ist allerdings um den Faktor&nbsp; $0.7$&nbsp; kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
 :$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
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 '''(5)'''&nbsp; Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID83__Sto_A_1_4.png|right|frame|2S/3E-Kanalmodell]]
+[[Datei:P_ID83__Sto_A_1_4.png|right|frame|$\rm 2S/3E$-Kanalmodell]]
-Ein Sender gibt die binären Symbole $\rm L$ (Ereignis $S_{\rm L}$) und $\rm H$ (Ereignis $S_{\rm H}$) ab.
+Ein Sender gibt die binären Symbole&nbsp; $\rm L$&nbsp; $($Ereignis&nbsp; $S_{\rm L})$&nbsp; und&nbsp; $\rm H$&nbsp; $($Ereignis&nbsp; $S_{\rm H})$&nbsp; ab.
-*Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole $\rm L$ (Ereignis $E_{\rm L}$) oder $\rm H$ (Ereignis $E_{\rm H}$) .
+*Bei guten Bedingungen entscheidet sich der Digitalempfänger ebenfalls nur für die Binärsymbole&nbsp; $\rm L$&nbsp; $($Ereignis&nbsp; $E_{\rm L})$&nbsp; oder&nbsp; $\rm H$&nbsp; $($Ereignis&nbsp; $E_{\rm H})$.
-*Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung (Ereignis $E_{\rm K}$; $\rm K$ steht dabei für „Keine Entscheidung”).
+*Kann der Empfänger allerdings vermuten, dass bei der Übertragung ein Fehler aufgetreten ist, so trifft er keine Entscheidung&nbsp; $($Ereignis&nbsp; $E_{\rm K})$;&nbsp; $\rm K$&nbsp; steht hierbei für „Keine Entscheidung”).
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo&nbsp; [[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entscheidet?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entscheidet?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(E_{\rm L}) \ = \ $  { 0.21 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol $\rm H$ entscheidet?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm H$&nbsp; entscheidet?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(E_{\rm H}) \ = \ $ { 0.66 3% }
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-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich  das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; entschieden hat?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = \ $  { 1 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol&nbsp; $\rm L$&nbsp; gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =\ $ { 0.4614 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol $\rm L$ entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol $\rm L$ entscheiden.
 $${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
-$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = \rm Pr (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
+:$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = {\rm Pr} (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
-$${\rm Pr} (E_{\rm K}) =\rm  1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
+:$${\rm Pr} (E_{\rm K}) = 1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:
-$$\rm Pr (falsche\hspace{0.1cm}Entscheidung) = Pr (S_{\rm L} \cap E_{\rm H} \cup S_{\rm H} \cap E_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
+:$${\rm Pr} \text{(falsche Entscheidung)} = {\rm Pr} \big [(S_{\rm L} \cap E_{\rm H}) \cup (S_{\rm H} \cap E_{\rm L})\big ] = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Wenn das Symbol $\rm L$ empfangen wurde, kann nur $\rm L$ gesendet worden sein. Daraus folgt:
-$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
+:$${\rm Pr} (S_{\rm L} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe eignet sich zum Beispiel der Satz von Bayes:
-$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
+:$${\rm Pr} (S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} E_{\rm K}) =\frac{ {\rm Pr} ( E_{\rm K} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (S_{\rm L})}{{\rm Pr} (E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
 :[[Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]

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−	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.3 Statistische Abhängigkeit ~~und Unabhängigkeit~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^1.3 Statistische (Un-)Abhängigkeit^]]

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 {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn sich der Empfänger für das Symbol $\rm L$ entschieden hat?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(E_{\rm S}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = $  { 1 3% }
+${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm L} ) \ = $  { 1 3% }
 {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, wenn der Empfänger keine Entscheidung trifft?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(E_{\rm S}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =$ { 0.4614 3% }
+${\rm Pr}(S_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}E_{\rm K} ) \ =$ { 0.4614 3% }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:'''1.''' &nbsp;&nbsp;Nur wenn das Symbol <b>L</b> gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol <b>L</b> entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes <b>L</b> ist allerdings um den Faktor 0.7 kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Nur wenn das Symbol $\rm L$ gesendet wurde, kann sich der Empf&auml;nger beim gegebenen Kanal f&uuml;r das Symbol $\rm L$ entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r ein empfangenes $\rm L$ ist allerdings um den Faktor $0.7$ kleiner als f&uuml;r ein gesendetes. Daraus folgt:
-:$$\rm Pr (\it E_{\rm L}) = \rm Pr (\it S_{\rm L}) \cdot \rm Pr (\it E_{\rm L}|\it S_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
+$${\rm Pr} (E_{\rm L}) = {\rm Pr}(S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr} (E_{\rm L}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm L}) = 0.3 \cdot 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.21}.$$
-:'''2.''' &nbsp;&nbsp;Zum Ereignis <i>E</i><sub>H</sub> kommt man sowohl von <i>S</i><sub>H</sub> als auch von <i>S</i><sub>L</sub> aus. Deshalb gilt:
-:$$\rm Pr (\it E_{\rm H}) = \rm Pr (\it S_{\rm H}) \cdot \rm Pr (\it E_{\rm H}|\it S_{\rm H}) + \rm Pr (\it S_{\rm L}) \cdot\rm Pr (\it E_{\rm H}|\it S_{\rm L}) \\ = \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Zum Ereignis $E_{\rm H}$ kommt man sowohl von  $S_{\rm H}$ als auch von $S_{\rm L}$ aus. Deshalb gilt:
-:'''3.''' &nbsp;&nbsp;Die Ereignisse <i>E</i><sub>H</sub>, <i>E</i><sub>L</sub> und <i>E</i><sub>K</sub> bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
+$${\rm Pr} (E_{\rm H}) = \rm Pr (S_{\rm H}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}S_{\rm H}) + {\rm Pr} (S_{\rm L}) \cdot {\rm Pr}  (E_{\rm H}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} S_{\rm L})= \rm 0.7 \cdot 0.9 + 0.3 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { =  \rm 0.66}.$$
-:$$\rm Pr (\it E_{\rm K}) =\rm  1 - \rm Pr (\it E_{\rm L}) - \rm Pr (\it E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
-:'''4.''' &nbsp;&nbsp;Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:
+'''(3)'''&nbsp; Die Ereignisse $E_{\rm H}$, $E_{\rm L}$ und $E_{\rm K}$ bilden zusammen ein vollst&auml;ndiges System. Daraus folgt:
-:$$\rm Pr (falsche\hspace{0.1cm}Entscheidung) = Pr (\it S_{\rm L} \cap \it E_{\rm H} \cup \it S_{\rm H} \cap \it E_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
+$${\rm Pr} (E_{\rm K}) =\rm  1 - {\rm Pr}  (E_{\rm L}) - {\rm Pr} (E_{\rm H}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.13}.$$
-:'''5.''' &nbsp;&nbsp;Wenn das Symbol <b>L</b> empfangen wurde, kann nur <b>L</b> gesendet worden sein. Daraus folgt:
-:$$\rm Pr (\it S_{\rm L} | \it E_{\rm L}) \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 1}.$$
+'''(4)'''&nbsp; Eine falsche Entscheidung kann man mengentheoretisch wie folgt charakterisieren:
-:'''6.''' &nbsp;&nbsp;Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe eignet sich z. B. der Satz von Bayes:
+$$\rm Pr (falsche\hspace{0.1cm}Entscheidung) = Pr (S_{\rm L} \cap E_{\rm H} \cup S_{\rm H} \cap E_{\rm L}) = \rm 0.3 \cdot 0.1 + 0.7\cdot 0 \hspace{0.15cm}\underline {= \rm 0.03}.$$
-:$$\rm Pr (\it S_{\rm L}|\it E_{\rm K}) =\frac{ \rm Pr (\it E_{\rm K} | S_{\rm L}) \cdot \rm Pr (\it S_{\rm L})}{\rm Pr (\it E_{\rm K})} =\frac{ \rm 0.2 \cdot 0.3}{\rm 0.13} = \frac{\rm 6}{\rm 13}\hspace{0.15cm}\underline { \approx \rm 0.462}.$$
 {{ML-Fuß}}