Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung - Versionsgeschichte

Guenter am 30. April 2022 um 14:36 Uhr

2022-04-30T14:36:11Z

Guenter am 30. April 2022 um 14:27 Uhr

2022-04-30T14:27:54Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:47Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 30. Januar 2019 um 14:24 Uhr

2019-01-30T14:24:25Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 14:10 Uhr

2019-01-30T14:10:50Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 12:57 Uhr

2019-01-30T12:57:51Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Schwellenwertoptimierung nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung

2018-01-04T06:19:05Z

Guenter verschob die Seite 1.3Z Schwellenwertoptimierung nach Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung

Guenter am 5. November 2017 um 16:27 Uhr

2017-11-05T16:27:41Z

Guenter am 5. November 2017 um 16:07 Uhr

2017-11-05T16:07:23Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Aus der Q&ndash;Funktion ergibt sich mit der Substitution $t^{2} = u^{2}/2$:
+'''(1)'''&nbsp; Aus der Q&ndash;Funktion ergibt sich mit der Substitution&nbsp; $t^{2} = u^{2}/2$:
 :$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
 x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u =
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}
 \right)\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt die Richtigkeit des <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:
+Daraus folgt die Richtigkeit des&nbsp; <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:
 :$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:
+'''(2)'''&nbsp; Unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Entscheiderschwelle&nbsp; $E = 0$:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( {s_0}/{\sigma_d}\right)= {\rm Q}  (2) \hspace{0.1cm}\underline {= 2.27 \, \% }\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Nun lautet die allgemeine Gleichung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit, wobei $d_{\rm N}$ den Rauschanteil von $d(t)$ bezeichnet:
+'''(3)'''&nbsp; Nun lautet die allgemeine Gleichung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; wobei&nbsp; $d_{\rm N}$&nbsp; den Rauschanteil von&nbsp; $d(t)$&nbsp; bezeichnet:
 :$$p_{\rm B}  \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}> E + s_0)+
    p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+
    p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt. Mit $p_{\rm L}  = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $erhält man:
+*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt.&nbsp; Mit&nbsp; $p_{\rm L}  = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$&nbsp; und&nbsp; $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $&nbsp; erhält man:
 :$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}
 .12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
-*Durch die Schwellenverschiebung nach rechtsum $E = s_{0}/10$ ergibt sich eine Verbesserung von $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$ auf $p_{\rm B} = 1.65  \ \%$.
+*Durch die Schwellenverschiebung nach rechts um&nbsp; $E = s_{0}/10$&nbsp; ergibt sich eine Verbesserung von&nbsp; $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$&nbsp; auf&nbsp; $p_{\rm B} = 1.65  \ \%$.
 '''(4)'''&nbsp; Diese Optimierungsaufgabe wird durch Nullsetzen der Ableitung gelöst, wobei der Hinweis auf der Angabenseite zu berücksichtigen ist:
 :$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}} p_{\rm B}(E)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}E} = - \frac{\rm p_{\rm L}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot {\sigma_d}}
 \cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 + E)^2}{{\rm 2}\cdot
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 *Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:
 :$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$, $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$, $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$ ergibt sich folgendes Optimum:
+*Mit&nbsp; $&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$,&nbsp; $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$,&nbsp; $p_{\rm L} = 0.88$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$&nbsp; ergibt sich folgendes Optimum:
 :$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.88} {0.12} \hspace{0.1cm}\underline { \approx 0.25\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ ist somit:
+'''(5)'''&nbsp; Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert&nbsp; $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; ist somit:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min}  = 0.88 \cdot {\rm Q}(2.5) + 0.12 \cdot {\rm Q}(1.5) = 0.88 \cdot 0.62\,\% + 0.12 \cdot 6.68\,\%\  \hspace{0.1cm}\underline {= 1.35\,\% }\hspace{0.05cm}.$$
-*Gegenüber $E = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca. $40  \%$ kleiner.
+*Gegenüber&nbsp; $E = 0$&nbsp; ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca.&nbsp; $40  \%$&nbsp; kleiner.
-'''(6)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:
+'''(6)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:
 :$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.31} {0.69}\hspace{0.1cm}\underline { \approx -0.1\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 Bitte beachten Sie:
-*Nachdem hier das Symbol '''L''' unwahrscheinlicher ist, muss nun die Schwelle nach links &ndash; also weg vom wahrscheinlicheren Symbol &ndash; verschoben werden.
+*Nachdem hier das Symbol&nbsp; '''$\rm L$'''&nbsp; unwahrscheinlicher ist,&nbsp; muss nun die Schwelle nach links &ndash; also weg vom wahrscheinlicheren Symbol &ndash; verschoben werden.
-*Die Herleitung des Ergebnisses zu '''(4)''' und die Grafik auf der Angabenseite zeigen, dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist, bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.
+*Die Herleitung des Ergebnisses zu&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und die Grafik auf der Angabenseite zeigen,&nbsp; dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist,&nbsp; bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.
-'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(6)''' gilt schließlich:
+'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(6)'''&nbsp; gilt schließlich:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min}  = 0.31 \cdot {\rm Q}(1.8) + 0.69 \cdot {\rm Q}(2.2) = 0.31 \cdot 3.59\,\% + 0.69 \cdot 1.39\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 2.07\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
-*Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit $9 \%$ geringer als unter Punkt '''(5)''' berechnet
+*Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit&nbsp; $9 \%$&nbsp; geringer als unter Punkt&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnet.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png|right|frame|Zur Optimierung des Schwellenwertes]]
-In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN&ndash;Rauschen (''Additive White Gaussian Noise''&nbsp;) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
+In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN&ndash;Rauschen&nbsp; ("Additive White Gaussian Noise")&nbsp; betrachtet,&nbsp; so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
 :$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$
 Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
-:$$\rm Q (\it x)  =  \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
+:$${\rm Q} (x)  =  \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
 x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
 \hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x})  =  \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
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 \hspace{0.05cm}.$$
 *Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert &nbsp;$E = 0$&nbsp; unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm L}$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm H}$.
-*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert &nbsp;$E$&nbsp; eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind &nbsp; $(p_{\rm L} &ne; p_{\rm H})$.
+*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert &nbsp;$E$&nbsp; eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden,&nbsp; wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind &nbsp; $(p_{\rm L} &ne; p_{\rm H})$.
-Die Streuung des Rauschanteils ist stets &nbsp;$&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$. Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit &nbsp;$&plusmn;1 \ \rm V$&nbsp; fest vorgegeben.
+Die Streuung des Rauschanteils ist stets &nbsp;$&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$.&nbsp; Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit &nbsp;$&plusmn;1 \ \rm V$&nbsp; fest vorgegeben.
 Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
-In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert &nbsp;$E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$&nbsp; berücksichtigt. Dargestellt ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Detektionsabtastwerte &nbsp;$d$.
+In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert &nbsp;$E =s_{\rm 0}/10$&nbsp; berücksichtigt.&nbsp; Dargestellt ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm WDF$&nbsp; der Detektionsabtastwerte &nbsp;$d$.
@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].
-*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; verwenden.
+*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]&nbsp; verwenden.
 *Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
 :$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
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 <quiz display=simple>
 {Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 +${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,
 -${\rm erfc}(x) =\sqrt{2} \cdot {\rm Q}(x/\sqrt{2})$,
@@ Zeile 61: / Zeile 62: @@
 $E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$
-{Es gelte &nbsp;$E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit &nbsp;$p_{\rm L} = 0.88$?
+{Es gelte &nbsp;$E = E_{\rm opt}$.&nbsp; Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit &nbsp;$p_{\rm L} = 0.88$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
-*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; verwenden.
+*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; verwenden.
 *Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
 :$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}

@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
    p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+
    p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt. Mit $p_{\rm L}  = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $erhält man:
+*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt. Mit $p_{\rm L}  = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $erhält man:
 :$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}
 .12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
-Durch die Schwellenverschiebung nach rechtsum $E = s_{0}/10$ ergibt sich eine Verbesserung von $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$ auf $p_{\rm B} = 1.65  \ \%$.
+*Durch die Schwellenverschiebung nach rechtsum $E = s_{0}/10$ ergibt sich eine Verbesserung von $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$ auf $p_{\rm B} = 1.65  \ \%$.
@@ Zeile 113: / Zeile 113: @@
 }\cdot {\sigma_d}^2}\right)} = {\rm exp} \left( \frac{2 \cdot  E
 \cdot s_0 }{ {\sigma_d}^2}\right)\hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:
+*Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:
 :$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$, $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$, $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$ ergibt sich folgendes Optimum:
+*Mit $&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$, $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$, $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$ ergibt sich folgendes Optimum:
 :$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.88} {0.12} \hspace{0.1cm}\underline { \approx 0.25\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ ist somit:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min}  = 0.88 \cdot {\rm Q}(2.5) + 0.12 \cdot {\rm Q}(1.5) = 0.88 \cdot 0.62\,\% + 0.12 \cdot 6.68\,\%\  \hspace{0.1cm}\underline {= 1.35\,\% }\hspace{0.05cm}.$$
-Gegenüber $E = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca. $40  \%$ kleiner.
+*Gegenüber $E = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca. $40  \%$ kleiner.
-'''(6)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (4) ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:
+'''(6)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:
 :$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.31} {0.69}\hspace{0.1cm}\underline { \approx -0.1\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 Bitte beachten Sie:
 *Nachdem hier das Symbol '''L''' unwahrscheinlicher ist, muss nun die Schwelle nach links &ndash; also weg vom wahrscheinlicheren Symbol &ndash; verschoben werden.
-*Die Herleitung des Ergebnisses zu (4) und die Grafik auf der Angabenseite zeigen, dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist, bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.
+*Die Herleitung des Ergebnisses zu '''(4)''' und die Grafik auf der Angabenseite zeigen, dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist, bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.
-'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (6) gilt schließlich:
+'''(7)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(6)''' gilt schließlich:
 :$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min}  = 0.31 \cdot {\rm Q}(1.8) + 0.69 \cdot {\rm Q}(2.2) = 0.31 \cdot 3.59\,\% + 0.69 \cdot 1.39\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 2.07\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit $9 \%$ geringer als unter Punkt (5) berechnet
+*Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit $9 \%$ geringer als unter Punkt '''(5)''' berechnet
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen ${\rm Q}(x)$ und ${\rm erfc}(x)$?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen &nbsp;${\rm Q}(x)$&nbsp; und &nbsp;${\rm erfc}(x)$?
 |type="[]"}
 +${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,
@@ Zeile 49: / Zeile 49: @@
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0$?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit &nbsp;$\underline{p_{\rm L} = 0.88}$&nbsp; und &nbsp;$\underline{E = 0}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ =\ $ { 2,27 3% } $\ \%$
-{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit &nbsp;$p_{\rm L} = 0.88$&nbsp; und &nbsp;$\underline{E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V}$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B} \ =\ $ { 1,65 3% } $\ \%$
-{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt}$ für $p_{\rm L} = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$.
+{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert &nbsp;$E_{\rm opt}$&nbsp; für &nbsp;$p_{\rm L} = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$.
 |type="{}"}
 $E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$
-{Es gelte $E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit $p_{\rm L} = 0.88$?
+{Es gelte &nbsp;$E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit &nbsp;$p_{\rm L} = 0.88$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$
-{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt}$ für $p_{\rm L} = 0.31$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.69$.
+{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert &nbsp;$E_{\rm opt}$&nbsp; für &nbsp;$\underline{p_{\rm L} = 0.31}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.69$.
 |type="{}"}
 $E_{\rm opt} \ =\ $ { -0.103--0.097 } $\ \rm V$
-{Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit für diesen Fall $(p_{\rm L} = 0.31)$?
+{Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit für diesen Fall &nbsp;$(p_{\rm L} = 0.31)$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 2.07 3% } $\ \%$

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] verwenden.
 *Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:19 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png|right|frame|Zur Optimierung des Schwellenwertes]]
-In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN&ndash;Rauschen (&bdquo;Additive White Gaussian Noise&rdquo;) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
+In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN&ndash;Rauschen (''Additive White Gaussian Noise'') betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
-:$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= \frac{1}{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}$$
+:$$p_{\rm B} =   {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-gilt. Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
+Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
 :$$\rm Q (\it x)  =  \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
-x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u
+x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
-\hspace{0.05cm},$$
+\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ( x)  =  \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
 \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.
+*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.
-Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind ( $p_{\rm L} &ne; p_{\rm H}$ )
+*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind: &nbsp; $(p_{\rm L} &ne; p_{\rm H})$.
-Die Streuung des Rauschanteils ist stets $&sigma;_{\rm d} = 0.5 \ \rm V$, die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $&plusmn;1 V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
-*$p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$,
-*$p_{\rm L} = 0.31$ und $p_{\rm H} = 0.69.$
+Die Streuung des Rauschanteils ist stets $&sigma;_{d} = 0.5 \ \rm V$. Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $&plusmn;1 \ \rm V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
-In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ dargestellt.
+*$p_{\rm L} = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $p_{\rm H} = 1- p_{\rm L} =0.12$,
 ''Hinweise:''
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
-*Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung.]] Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} (\it x)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
+*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] verwenden.
 \cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welcher Zusammenhang besteht zwischen Q(x) und erfc(x)?
+{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen ${\rm Q}(x)$ und ${\rm erfc}(x)$?
 |type="[]"}
-+erfc$(x)  =  $ $2 \cdot$ Q($2^{1/2} \cdot x$),
++${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,
--erfc$(x)  =  $ $2^{1/2} \cdot$ Q($x/2^{1/2}$),
+-${\rm erfc}(x) =\sqrt{2} \cdot {\rm Q}(x/\sqrt{2})$,
--erfc$(x) \approx$ Q($x$).
+-${\rm erfc}(x)  \approx {\rm Q}(x)$.
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0$?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0$?
 |type="{}"}
-$E = 0:  p_{\rm B} \ =\ $ { 2,27 3% } $\%$
+$p_{\rm B} \ =\ $ { 2,27 3% } $\ \%$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0.1 \rm V$?
+{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0.1 \ \rm V$?
 |type="{}"}
-$E = 0.1 \rm V: $ $p_{\rm B} \ =\ $ { 1,65 3% } $\%$
+$p_{\rm B} \ =\ $ { 1,65 3% } $\ \%$
-{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert für $p_{\rm L} = 0.88$.
+{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt}$ für $p_{\rm L} = 0.88$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.12$.
 |type="{}"}
-$ p_{\rm L} = 0.88:  E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$
+$E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$
-{Wie groß ist die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit mit $p_{\rm L} = 0.88$.
+{Es gelte $E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit $p_{\rm L} = 0.88$?
 |type="{}"}
-$ p_{\rm L} = 0.88:  E_{\rm opt}: p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\%$
+$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$
-{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert für $p_{\rm L} = 0.31$.
+{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt}$ für $p_{\rm L} = 0.31$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm H} = 0.69$.
 |type="{}"}
-$ p_{\rm L} = 0.31:  E_{\rm opt} \ =\ $ { -0.103--0.097 } $\ \rm V$
+$E_{\rm opt} \ =\ $ { -0.103--0.097 } $\ \rm V$
-{Wie groß ist die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit mit $p_{\rm L} = 0.31$.
+{Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit für diesen Fall $(p_{\rm L} = 0.31)$?
 |type="{}"}
-$ p_{\rm L} = 0.31:  E_{\rm opt}: p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 2.07 3% } $\%$
+$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 2.07 3% } $\ \%$
 </quiz>