Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:34:49Z

Add English interlanguage link

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:25Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:		Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
	:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it		:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\itx}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u\hspace{0.05cm}.$$
	x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
	\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
	\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.		*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.
	*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden,  wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.		*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden,  wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.
Zeile 36:		Zeile 32:

	*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:		*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
	:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}		:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$
	\cdot \rm e^{\it -x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 79:		Zeile 74:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Q–Funktion ergibt sich mit der Substitution  $t^{2} = u^{2}/2$:		'''(1)'''  Aus der Q–Funktion ergibt sich mit der Substitution  $t^{2} = u^{2}/2$:
	:$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it		:$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\itx}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\itx/\sqrt{\rm 2}}^{+\infty}\rm e^{\it -t^{\hspace{0.05cm}\rm 2}}\,{d \it t} ={1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u =
	\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it
	x/\sqrt{\rm 2}}^{+\infty}\rm e^{\it -t^{\hspace{0.05cm}\rm 2}}\,{d \it t} =
	{1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}
	\right)\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus folgt die Richtigkeit des  <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:		Daraus folgt die Richtigkeit des  <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:
	:$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 94:		Zeile 84:

	'''(3)'''  Nun lautet die allgemeine Gleichung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit,  wobei  $d_{\rm N}$  den Rauschanteil von  $d(t)$  bezeichnet:		'''(3)'''  Nun lautet die allgemeine Gleichung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit,  wobei  $d_{\rm N}$  den Rauschanteil von  $d(t)$  bezeichnet:
	:$$p_{\rm B} \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}> E + s_0)+		:$$p_{\rm B} \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}> E + s_0)+p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+
	p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt.  Mit  $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$  und  $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $  erhält man:		*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt.  Mit  $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$  und  $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $  erhält man:
	:$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}		:$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
	0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
	*Durch die Schwellenverschiebung nach rechts um  $E = s_{0}/10$  ergibt sich eine Verbesserung von  $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$  auf  $p_{\rm B} = 1.65 \ \%$.		*Durch die Schwellenverschiebung nach rechts um  $E = s_{0}/10$  ergibt sich eine Verbesserung von  $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$  auf  $p_{\rm B} = 1.65 \ \%$.

Zeile 105:		Zeile 92:

	'''(4)'''  Diese Optimierungsaufgabe wird durch Nullsetzen der Ableitung gelöst,  wobei der Hinweis auf der Angabenseite zu berücksichtigen ist:		'''(4)'''  Diese Optimierungsaufgabe wird durch Nullsetzen der Ableitung gelöst,  wobei der Hinweis auf der Angabenseite zu berücksichtigen ist:
	:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}} p_{\rm B}(E)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}E} = - \frac{\rm p_{\rm L}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot {\sigma_d}}		:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}} p_{\rm B}(E)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}E} = - \frac{\rm p_{\rm L}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot {\sigma_d}}\cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 + E)^2}{{\rm 2}\cdot{\sigma_d}^2}\right)+\frac{\rm p_{\rm H}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot{\sigma_d}} \cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 - E)^2}{{\rm 2}\cdot{\sigma_d}^2}\right) = 0$$
	\cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 + E)^2}{{\rm 2}\cdot		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} = - \frac{{\rm exp} \left(-\frac{(s_0 - E)^2}{{\rm 2}\cdot{\sigma_d}^2}\right)}{{\rm exp} \left(-\frac{(s_0 + E)^2}{{\rm2}\cdot {\sigma_d}^2}\right)} = {\rm exp} \left( \frac{2 \cdot E\cdot s_0 }{ {\sigma_d}^2}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	{\sigma_d}^2}\right)+\frac{\rm p_{\rm H}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot
	{\sigma_d}} \cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 - E)^2}{{\rm 2}\cdot
	{\sigma_d}^2}\right) = 0$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} = - \frac{
	{\rm exp} \left(-\frac{(s_0 - E)^2}{{\rm 2}\cdot
	{\sigma_d}^2}\right)}{{\rm exp} \left(-\frac{(s_0 + E)^2}{{\rm
	2}\cdot {\sigma_d}^2}\right)} = {\rm exp} \left( \frac{2 \cdot E
	\cdot s_0 }{ {\sigma_d}^2}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:		*Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 30. April 2022 um 14:36 Uhr

2022-04-30T14:36:11Z

Guenter am 30. April 2022 um 14:27 Uhr

2022-04-30T14:27:54Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:47Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].

	*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  verwenden.		*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  verwenden.
	*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:		*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
	:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}		:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}

Guenter am 30. Januar 2019 um 14:24 Uhr

2019-01-30T14:24:25Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 14:10 Uhr

2019-01-30T14:10:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 16:10 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen ${\rm Q}(x)$ und ${\rm erfc}(x)$?		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen  ${\rm Q}(x)$  und  ${\rm erfc}(x)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,		+${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,
Zeile 49:		Zeile 49:


	{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0$?		{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $\underline{p_{\rm L} = 0.88}$  und  $\underline{E = 0}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B} \ =\ $ { 2,27 3% } $\ \%$		$p_{\rm B} \ =\ $ { 2,27 3% } $\ \%$

	{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $p_{\rm L} = 0.88$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V$?		{Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $p_{\rm L} = 0.88$  und  $\underline{E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B} \ =\ $ { 1,65 3% } $\ \%$		$p_{\rm B} \ =\ $ { 1,65 3% } $\ \%$

	{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt}$ für $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$.		{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert  $E_{\rm opt}$  für  $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$		$E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$

	{Es gelte $E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit $p_{\rm L} = 0.88$?		{Es gelte  $E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit  $p_{\rm L} = 0.88$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$		$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$

	{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt}$ für $p_{\rm L} = 0.31$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.69$.		{Bestimmen Sie den optimalen Schwellenwert  $E_{\rm opt}$  für  $\underline{p_{\rm L} = 0.31}$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.69$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_{\rm opt} \ =\ $ { -0.103--0.097 } $\ \rm V$		$E_{\rm opt} \ =\ $ { -0.103--0.097 } $\ \rm V$

	{Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit für diesen Fall $(p_{\rm L} = 0.31)$?		{Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit für diesen Fall  $(p_{\rm L} = 0.31)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 2.07 3% } $\ \%$		$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 2.07 3% } $\ \%$

Guenter am 30. Januar 2019 um 12:57 Uhr

2019-01-30T12:57:51Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 27:		Zeile 27:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] verwenden.		*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] verwenden.
	*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:		*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Schwellenwertoptimierung nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung

2018-01-04T06:19:05Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Schwellenwertoptimierung nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Schwellenwertoptimierung

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2018, 08:19 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:		Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
	:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\~~itx~~}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u\hspace{0.05cm}.$$
	*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.		*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.
	*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden,  wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.		*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden,  wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.
Zeile 74:		Zeile 74:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Q–Funktion ergibt sich mit der Substitution  $t^{2} = u^{2}/2$:		'''(1)'''  Aus der Q–Funktion ergibt sich mit der Substitution  $t^{2} = u^{2}/2$:
	:$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\~~itx~~}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\~~itx~~/\sqrt{\rm 2}}^{+\infty}\rm e^{\it -t^{\hspace{0.05cm}\rm 2}}\,{d \it t} ={1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x/\sqrt{\rm 2}}^{+\infty}\rm e^{\it -t^{\hspace{0.05cm}\rm 2}}\,{d \it t} ={1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus folgt die Richtigkeit des  <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:		Daraus folgt die Richtigkeit des  <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:
	:$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 121:		Zeile 121:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.2 BER bei Basisbandsystemen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.2 BER bei Basisbandsystemen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.3Z:_Threshold_Optimization]]

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2022, 16:36 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Aus der Q–Funktion ergibt sich mit der Substitution $t^{2} = u^{2}/2$:		'''(1)'''  Aus der Q–Funktion ergibt sich mit der Substitution  $t^{2} = u^{2}/2$:
	:$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it		:$$\rm Q (\it x)= \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
	x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u =		x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u =
Zeile 85:		Zeile 85:
	{1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}		{1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( {x}/{\sqrt{2}}
	\right)\hspace{0.05cm}.$$		\right)\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus folgt die Richtigkeit des <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:		Daraus folgt die Richtigkeit des  <u>ersten Lösungsvorschlags</u>:
	:$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm erfc} (x)= 2 \cdot {\rm Q} (\sqrt{2} \cdot x) \hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:		'''(2)'''  Unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Entscheiderschwelle  $E = 0$:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( {s_0}/{\sigma_d}\right)= {\rm Q} (2) \hspace{0.1cm}\underline {= 2.27 \, \% }\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( {s_0}/{\sigma_d}\right)= {\rm Q} (2) \hspace{0.1cm}\underline {= 2.27 \, \% }\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Nun lautet die allgemeine Gleichung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit, wobei $d_{\rm N}$ den Rauschanteil von $d(t)$ bezeichnet:		'''(3)'''  Nun lautet die allgemeine Gleichung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit,  wobei  $d_{\rm N}$  den Rauschanteil von  $d(t)$  bezeichnet:
	:$$p_{\rm B} \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}> E + s_0)+		:$$p_{\rm B} \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}> E + s_0)+
	p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+		p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+
	p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$		p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt. Mit $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $erhält man:		*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt.  Mit  $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$  und  $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $  erhält man:
	:$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}		:$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}
	0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$		0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
	*Durch die Schwellenverschiebung nach ~~rechtsum~~ $E = s_{0}/10$ ergibt sich eine Verbesserung von $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$ auf $p_{\rm B} = 1.65 \ \%$.		*Durch die Schwellenverschiebung nach rechts um  $E = s_{0}/10$  ergibt sich eine Verbesserung von  $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$  auf  $p_{\rm B} = 1.65 \ \%$.


	'''(4)'''  Diese Optimierungsaufgabe wird durch Nullsetzen der Ableitung gelöst, wobei der Hinweis auf der Angabenseite zu berücksichtigen ist:
			'''(4)'''  Diese Optimierungsaufgabe wird durch Nullsetzen der Ableitung gelöst,  wobei der Hinweis auf der Angabenseite zu berücksichtigen ist:
	:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}} p_{\rm B}(E)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}E} = - \frac{\rm p_{\rm L}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot {\sigma_d}}		:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}} p_{\rm B}(E)} {{\rm d}\hspace{0.05cm}E} = - \frac{\rm p_{\rm L}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot {\sigma_d}}
	\cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 + E)^2}{{\rm 2}\cdot		\cdot {\rm exp}\left(- \frac{(s_0 + E)^2}{{\rm 2}\cdot
Zeile 116:		Zeile 117:
	*Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:		*Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$
	*Mit $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$, $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$, $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$ ergibt sich folgendes Optimum:		*Mit  $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$,  $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$,  $p_{\rm L} = 0.88$  und  $p_{\rm H} = 0.12$  ergibt sich folgendes Optimum:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.88} {0.12} \hspace{0.1cm}\underline { \approx 0.25\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.88} {0.12} \hspace{0.1cm}\underline { \approx 0.25\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ ist somit:		'''(5)'''  Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert  $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$  ist somit:
	:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.88 \cdot {\rm Q}(2.5) + 0.12 \cdot {\rm Q}(1.5) = 0.88 \cdot 0.62\,\% + 0.12 \cdot 6.68\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline {= 1.35\,\% }\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.88 \cdot {\rm Q}(2.5) + 0.12 \cdot {\rm Q}(1.5) = 0.88 \cdot 0.62\,\% + 0.12 \cdot 6.68\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline {= 1.35\,\% }\hspace{0.05cm}.$$
	*Gegenüber $E = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca. $40 \%$ kleiner.		*Gegenüber  $E = 0$  ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca.  $40 \%$  kleiner.


	'''(6)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:		'''(6)'''  Mit dem Ergebnis aus  '''(4)'''  ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.31} {0.69}\hspace{0.1cm}\underline { \approx -0.1\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.31} {0.69}\hspace{0.1cm}\underline { \approx -0.1\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
	Bitte beachten Sie:		Bitte beachten Sie:
	*Nachdem hier das Symbol '''L''' unwahrscheinlicher ist, muss nun die Schwelle nach links – also weg vom wahrscheinlicheren Symbol – verschoben werden.		*Nachdem hier das Symbol  '''$\rm L$'''  unwahrscheinlicher ist,  muss nun die Schwelle nach links – also weg vom wahrscheinlicheren Symbol – verschoben werden.
	*Die Herleitung des Ergebnisses zu '''(4)''' und die Grafik auf der Angabenseite zeigen, dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist, bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.		*Die Herleitung des Ergebnisses zu  '''(4)'''  und die Grafik auf der Angabenseite zeigen,  dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist,  bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.


	'''(7)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(6)''' gilt schließlich:		'''(7)'''  Mit dem Ergebnis aus  '''(6)'''  gilt schließlich:
	:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.31 \cdot {\rm Q}(1.8) + 0.69 \cdot {\rm Q}(2.2) = 0.31 \cdot 3.59\,\% + 0.69 \cdot 1.39\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 2.07\,\% } \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.31 \cdot {\rm Q}(1.8) + 0.69 \cdot {\rm Q}(2.2) = 0.31 \cdot 3.59\,\% + 0.69 \cdot 1.39\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 2.07\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
	*Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit $9 \%$ geringer als unter Punkt '''(5)''' berechnet		*Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit  $9 \%$  geringer als unter Punkt  '''(5)'''  berechnet.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2022, 16:27 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:

	[[Datei:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png\|right\|frame\|Zur Optimierung des Schwellenwertes]]		[[Datei:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png\|right\|frame\|Zur Optimierung des Schwellenwertes]]
	In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen (''Additive White Gaussian Noise'' ) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:		In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen  ("Additive White Gaussian Noise")  betrachtet,  so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:		Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
	:$$\rm Q (~~\it~~ x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it		:$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
	x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}		x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
	\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm		\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
Zeile 14:		Zeile 14:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.		*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.
	*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.		*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden,  wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.


	Die Streuung des Rauschanteils ist stets  $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$. Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit  $±1 \ \rm V$  fest vorgegeben.		Die Streuung des Rauschanteils ist stets  $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$.  Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit  $±1 \ \rm V$  fest vorgegeben.

	Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:		Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
Zeile 24:		Zeile 24:


	In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert  $E = ~~0.1 \cdot~~ s_{\rm 0}$  berücksichtigt. Dargestellt ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Detektionsabtastwerte  $d$.		In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert  $E =s_{\rm 0}/10$  berücksichtigt.  Dargestellt ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm WDF$  der Detektionsabtastwerte  $d$.


Zeile 30:		Zeile 30:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].

	*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  verwenden.		*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]  verwenden.

	*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:		*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
	:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}		:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}
Zeile 43:		Zeile 44:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen  ${\rm Q}(x)$  und  ${\rm erfc}(x)$?		{Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Funktionen  ${\rm Q}(x)$  und  ${\rm erfc}(x)$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,		+${\rm erfc}(x) =2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2} \cdot x)$,
	-${\rm erfc}(x) =\sqrt{2} \cdot {\rm Q}(x/\sqrt{2})$,		-${\rm erfc}(x) =\sqrt{2} \cdot {\rm Q}(x/\sqrt{2})$,
Zeile 61:		Zeile 62:
	$E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$		$E_{\rm opt} \ =\ $ { 0.25 3% } $\ \rm V$

	{Es gelte  $E = E_{\rm opt}$. Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit  $p_{\rm L} = 0.88$?		{Es gelte  $E = E_{\rm opt}$.  Wie groß ist die minimale Bitfehlerwahrscheinlichkeit mit  $p_{\rm L} = 0.88$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$		$p_{\rm B,\ min} \ =\ $ { 1.35 3% } $\ \%$

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 16:24 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:
	p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+		p_{\rm H} \cdot {\rm Pr}( d_{\rm N}< E - s_0) \ = \ p_{\rm L} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 + E}{\sigma_d}\right)+
	p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$		p_{\rm H} \cdot {\rm Q} \left( \frac{s_0 - E}{\sigma_d}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt. Mit $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $erhält man:		*Hierbei ist die WDF-Symmetrie berücksichtigt. Mit $p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 0.12$ und $E = 0.1 \hspace{0.05cm} \rm V $erhält man:
	:$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}		:$$p_{\rm B} \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} + 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right)\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}
	0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$		0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm}{\rm Q} \left( \frac{1\, {\rm V} - 0.1\, {\rm V}}{0.5\, {\rm V}}\right) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm} 0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} {\rm Q}(2.2) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \cdot {\rm Q}(1.8) \hspace{-0.05cm}= \hspace{-0.05cm}0.88 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 1.39\,\% \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 0.12 \hspace{-0.03cm}\cdot \hspace{-0.03cm} 3.59\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 1.65\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
	Durch die Schwellenverschiebung nach rechtsum $E = s_{0}/10$ ergibt sich eine Verbesserung von $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$ auf $p_{\rm B} = 1.65 \ \%$.		*Durch die Schwellenverschiebung nach rechtsum $E = s_{0}/10$ ergibt sich eine Verbesserung von $p_{\rm B} = 2.27 \ \%$ auf $p_{\rm B} = 1.65 \ \%$.


Zeile 113:		Zeile 113:
	2}\cdot {\sigma_d}^2}\right)} = {\rm exp} \left( \frac{2 \cdot E		2}\cdot {\sigma_d}^2}\right)} = {\rm exp} \left( \frac{2 \cdot E
	\cdot s_0 }{ {\sigma_d}^2}\right)\hspace{0.05cm}.$$		\cdot s_0 }{ {\sigma_d}^2}\right)\hspace{0.05cm}.$$
	Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:		*Damit erhält man für den optimalen Schwellenwert allgemein:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{\sigma_d^2} {2 \cdot s_0} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{p_{\rm L}} {p_{\rm H}} \hspace{0.05cm}.$$
	Mit $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$, $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$, $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$ ergibt sich folgendes Optimum:		*Mit $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$, $s_{\rm 0} = 1 \ \rm V$, $p_{\rm L} = 0.88$ und $p_{\rm H} = 0.12$ ergibt sich folgendes Optimum:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.88} {0.12} \hspace{0.1cm}\underline { \approx 0.25\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.88} {0.12} \hspace{0.1cm}\underline { \approx 0.25\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ ist somit:		'''(5)'''  Die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit für den optimalen Schwellenwert $E_{\rm opt} = 0.25 \hspace{0.05cm} \rm V$ ist somit:
	:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.88 \cdot {\rm Q}(2.5) + 0.12 \cdot {\rm Q}(1.5) = 0.88 \cdot 0.62\,\% + 0.12 \cdot 6.68\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline {= 1.35\,\% }\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.88 \cdot {\rm Q}(2.5) + 0.12 \cdot {\rm Q}(1.5) = 0.88 \cdot 0.62\,\% + 0.12 \cdot 6.68\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline {= 1.35\,\% }\hspace{0.05cm}.$$
	Gegenüber $E = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca. $40 \%$ kleiner.		*Gegenüber $E = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit nun um ca. $40 \%$ kleiner.


	'''(6)'''  Mit dem Ergebnis aus (4) ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:		'''(6)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(4)''' ergibt sich nun für den optimalen Schwellenwert:
	:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.31} {0.69}\hspace{0.1cm}\underline { \approx -0.1\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$E_{\rm opt} = \frac{(0.5\, {\rm V})^2} {2 \cdot 1\, {\rm V}} \cdot {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{0.31} {0.69}\hspace{0.1cm}\underline { \approx -0.1\, {\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
	Bitte beachten Sie:		Bitte beachten Sie:
	*Nachdem hier das Symbol '''L''' unwahrscheinlicher ist, muss nun die Schwelle nach links – also weg vom wahrscheinlicheren Symbol – verschoben werden.		*Nachdem hier das Symbol '''L''' unwahrscheinlicher ist, muss nun die Schwelle nach links – also weg vom wahrscheinlicheren Symbol – verschoben werden.
	*Die Herleitung des Ergebnisses zu (4) und die Grafik auf der Angabenseite zeigen, dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist, bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.		*Die Herleitung des Ergebnisses zu '''(4)''' und die Grafik auf der Angabenseite zeigen, dass der optimale Schwellenwert genau an die Stelle zu setzen ist, bei der sich die beiden Gaußfunktionen schneiden.


	'''(7)'''  Mit dem Ergebnis aus (6) gilt schließlich:		'''(7)'''  Mit dem Ergebnis aus '''(6)''' gilt schließlich:
	:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.31 \cdot {\rm Q}(1.8) + 0.69 \cdot {\rm Q}(2.2) = 0.31 \cdot 3.59\,\% + 0.69 \cdot 1.39\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 2.07\,\% } \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B, \hspace{0.05cm}min} = 0.31 \cdot {\rm Q}(1.8) + 0.69 \cdot {\rm Q}(2.2) = 0.31 \cdot 3.59\,\% + 0.69 \cdot 1.39\,\%\ \hspace{0.1cm}\underline { = 2.07\,\% } \hspace{0.05cm}.$$
	Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit $9 \%$ geringer als unter Punkt (5) berechnet		*Aufgrund der weniger gravierenden Unsymmetrie ist die erreichbare Verbesserung mit $9 \%$ geringer als unter Punkt '''(5)''' berechnet

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 14:57 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:

	[[Datei:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png\|right\|frame\|Zur Optimierung des Schwellenwertes]]		[[Datei:P_ID1268__Dig_Z_1_3.png\|right\|frame\|Zur Optimierung des Schwellenwertes]]
	In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen (''Additive White Gaussian Noise'') betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:		In dieser Aufgabe wird ein bipolares Binärsystem mit AWGN–Rauschen (''Additive White Gaussian Noise'' ) betrachtet, so dass für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit gilt:
	:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \frac{s_0}{\sigma_d}\right)= {1}/{2} \cdot {\rm erfc} \left( \frac{s_0}{\sqrt{2} \cdot \sigma_d}\right) \hspace{0.05cm}.$$
	Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:		Hierbei sind folgende Funktionen verwendet:
	:$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it		:$$\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it
	x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}		x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u}
	\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ( x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm		\hspace{0.05cm},\hspace{1cm}{\rm erfc} ({\it x}) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm
	\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u		\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert $E = 0$ unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm L}$ und $p_{\rm H}$.		*Die obige Gleichung gilt für den Schwellenwert  $E = 0$  unabhängig von den Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm L}$  und  $p_{\rm H}$.
	*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert $E$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind:   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.		*Allerdings kann mit einem anderen Schwellenwert  $E$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden, wenn die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind   $(p_{\rm L} ≠ p_{\rm H})$.


	Die Streuung des Rauschanteils ist stets $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$. Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit $±1 \ \rm V$ fest vorgegeben. Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:		Die Streuung des Rauschanteils ist stets  $σ_{d} = 0.5 \ \rm V$. Die beiden Amplituden des Detektionsnutzanteils sind mit  $±1 \ \rm V$  fest vorgegeben.

			Zu untersuchen sind folgende Symbolwahrscheinlichkeiten:
	*$p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 1- p_{\rm L} =0.12$,		*$p_{\rm L} = 0.88$   ⇒   $p_{\rm H} = 1- p_{\rm L} =0.12$,
	*$p_{\rm L} = 0.31$   ⇒   $p_{\rm H} = 1- p_{\rm L} =0.69$.		*$p_{\rm L} = 0.31$   ⇒   $p_{\rm H} = 1- p_{\rm L} =0.69$.


	In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$ berücksichtigt. Dargestellt ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Detektionsabtastwerte $d$..		In der Grafik ist dieser letzte Parametersatz und der Schwellenwert  $E = 0.1 \cdot s_{\rm 0}$  berücksichtigt. Dargestellt ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Detektionsabtastwerte  $d$.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].

	*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das ~~Interaktionsmodul~~ [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] verwenden.		*Zur Bestimmung von Fehlerwahrscheinlichkeiten können Sie das interaktive Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  verwenden.
	*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:		*Für die Ableitung der Q–Funktion gilt:
	:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}		:$$\frac{{\rm d\hspace{0.05cm}Q} ({\it x})} {{\rm d}\hspace{0.05cm}x} = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}