Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen - Versionsgeschichte

Guenter am 9. April 2021 um 15:14 Uhr

2021-04-09T15:14:36Z

Guenter am 23. August 2019 um 09:39 Uhr

2019-08-23T09:39:58Z

Guenter am 23. August 2019 um 09:32 Uhr

2019-08-23T09:32:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 13. Dezember 2017 um 16:02 Uhr

2017-12-13T16:02:01Z

Guenter am 13. Dezember 2017 um 15:53 Uhr

2017-12-13T15:53:53Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Nochmals komplexe Zahlen nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen

2017-12-12T13:42:19Z

Guenter verschob die Seite 1.3Z Nochmals komplexe Zahlen nach Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen

Guenter am 13. Januar 2017 um 13:42 Uhr

2017-01-13T13:42:28Z

Guenter: /* Musterlösung */

2017-01-13T13:39:17Z

Musterlösung

Guenter am 13. Januar 2017 um 13:32 Uhr

2017-01-13T13:32:51Z

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-'''(2)'''&nbsp; Die Multiplikation von&nbsp; $z_1$&nbsp; mit deren Konjugiert-Komplexen&nbsp; $z_1^{\star}$&nbsp; ergibt die rein reelle Größe&nbsp; $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
+'''(2)'''&nbsp; Die Multiplikation von&nbsp; $z_1$&nbsp; mit deren Konjugiert-Komplexen&nbsp; $z_1^{\star}$&nbsp; ergibt die rein reelle Größe&nbsp; $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:
 :$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
 y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:
+'''(1)'''&nbsp;  Der Betrag kann nach dem Satz von&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras]&nbsp; berechnet werden:
 :$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
-Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
+*Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
 :$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
 :$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
 y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
 :$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{=  25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
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 :$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_2| = 2, \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
 :$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
 :$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
 .9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
 :$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
   \circ}}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Zunächst die umständlichere Lösung:
 :$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
-   \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$
+   \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
-Ein anderer Lösungsweg lautet:
+*Ein anderer Lösungsweg lautet:
 :$$|z_7| = \frac{|z_3|}{|z_1|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}
 \hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$

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 Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:
-: $$z_1 = 4 + 3{\rm j},$$
+: $$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$
 : $$ z_2 = -2 ,$$
-: $$z_3 = 6{\rm j} .$$
+: $$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$
 Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:
 : $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
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 : $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
 : $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
-*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
+*Die Thematik wird auch im Lernvideo&nbsp; [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]]&nbsp; behandelt.
-*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
+*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich&nbsp; $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an.
+{Geben Sie&nbsp; $z_1$&nbsp; nach Betrag und Phase an.
 |type="{}"}
 $|z_1|\ = \ ${ 5 3% }
-$\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$
+$\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$
-{Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?
+{Wie lautet&nbsp; $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?
 |type="{}"}
 $x_4\ = \ $ { 25 3% }
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
-{Berechnen Sie $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite.
+{Berechnen Sie&nbsp; $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$&nbsp; entsprechend der Angabenseite.
 |type="{}"}
 $x_5\ = \ $ { 0. }
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-{Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$) an.
+{Geben Sie&nbsp; $z_6 = z_1 \cdot z_2$&nbsp; nach Betrag und Phase an &nbsp; $($im Bereich&nbsp; $\pm 180^{\circ})$.
 |type="{}"}
 $|z_6|\ = \ $ { 10 3% }
-$\phi_6\ = \ $  { -145--140 } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$
+$\phi_6\ = \ $  { -145--140 } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$
-{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$?
+{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl&nbsp; $z_3$?
 |type="{}"}
-$\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$
+$\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$
-{Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$).
+{Berechnen Sie&nbsp; $z_7 = z_3/z_1$&nbsp; nach Betrag und Phase&nbsp; $($im Bereich&nbsp; $\pm 180^{\circ})$.
 |type="{}"}
 $|z_7| \ = \ $ { 1.2 3% }
-$\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$
+$\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$
 </quiz>

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 *Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
 *Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:
+'''(1)'''&nbsp;  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:
 :$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
 Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
 :$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
-'''2.'''  Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
 :$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
 y_1^2}= |z_1|^2 = 25,$$
-:$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25$$
+:$$z_4 = |z_1| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot |z_1| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= |z_1|^2 = 25\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{=  25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
+\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{=  25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{=  0}.$$
-'''3.'''  Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
 :$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
 :$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$
-'''4.'''  Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase &nbsp; &rArr; &nbsp; $|z_2| = 2, \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
 :$$|z_6| = |z_1| \cdot |z_2|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
 :$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
 .9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
-'''5.'''  Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
 :$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
 \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
   \circ}}.$$
-'''6.'''  Zunächst die umständlichere Lösung:
 :$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
    \frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$

← Nächstältere Version	Version vom 12. Dezember 2017, 13:42 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 $|z_7|$ = { 1.2 3% }
 $\phi_7$ = { 53.1 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$
 </quiz>
@@ Zeile 64: / Zeile 62: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Der Betrag kann nach dem Satz von Pythagoras brechnet werden:
+'''1.'''  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:
 :$$|z_1| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
-Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite 3 von [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen Kapitel 1.3] :
+Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Darstellung_nach_Betrag_und_Phase]] :
 :$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
 '''2.'''  Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die beiden nachfolgenden Gleichungen zeigen: