Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:34:48Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 101:		Zeile 101:

	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.3Z:_Calculating_with_Complex_Numbers_II]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:25Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:

	'''(2)'''  Die Multiplikation von  $z_1$  mit deren Konjugiert-Komplexen  $z_1^{\star}$  ergibt die rein reelle Größe  $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:		'''(2)'''  Die Multiplikation von  $z_1$  mit deren Konjugiert-Komplexen  $z_1^{\star}$  ergibt die rein reelle Größe  $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:
	:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +		:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$
	y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$		:$$z_4 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot \|z_1\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= \|z_1\|^2 = 25\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
	:$$z_4 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot \|z_1\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= \|z_1\|^2 = 25\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


Zeile 87:		Zeile 85:
	'''(4)'''  Schreibt man  $z_2$  nach Betrag und Phase   ⇒   $\|z_2\| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:		'''(4)'''  Schreibt man  $z_2$  nach Betrag und Phase   ⇒   $\|z_2\| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
	:$$\|z_6\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$		:$$\|z_6\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
	:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =		:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
	216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$


	'''(5)'''  Die Phase ist  $\phi_3 = 90^{\circ}$  (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:		'''(5)'''  Die Phase ist  $\phi_3 = 90^{\circ}$  (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
	:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)		:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{\circ}}.$$
	\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
	\circ}}.$$


	'''(6)'''  Zunächst die umständlichere Lösung:		'''(6)'''  Zunächst die umständlichere Lösung:
	:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =		:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =\frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
	\frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
	*Ein anderer Lösungsweg lautet:		*Ein anderer Lösungsweg lautet:
	:$$\|z_7\| = \frac{\|z_3\|}{\|z_1\|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}		:$$\|z_7\| = \frac{\|z_3\|}{\|z_1\|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 9. April 2021 um 15:14 Uhr

2021-04-09T15:14:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. April 2021, 17:14 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:


	'''(2)'''  Die Multiplikation von  $z_1$  mit deren Konjugiert-Komplexen  $z_1^{\star}$  ergibt die rein reelle Größe  $z_4$, wie ~~die folgenden~~ Gleichungen zeigen:		'''(2)'''  Die Multiplikation von  $z_1$  mit deren Konjugiert-Komplexen  $z_1^{\star}$  ergibt die rein reelle Größe  $z_4$, wie folgende Gleichungen zeigen:
	:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +		:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
	y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$		y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$

Guenter am 23. August 2019 um 09:39 Uhr

2019-08-23T09:39:58Z

Guenter am 23. August 2019 um 09:32 Uhr

2019-08-23T09:32:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2019, 11:32 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:		Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:

	: $$z_1 = 4 + 3{\rm j},$$		: $$z_1 = 4 + 3\cdot {\rm j},$$
	: $$ z_2 = -2 ,$$		: $$ z_2 = -2 ,$$
	: $$z_3 = 6{\rm j} .$$		: $$z_3 = 6\cdot{\rm j} .$$
	Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:		Im Rahmen dieser Aufgabe sollen berechnet werden:
	: $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$		: $$z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star},$$
Zeile 12:		Zeile 12:
	: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$		: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
	: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$		: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen\|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen\|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
	*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.		*Die Thematik wird auch im Lernvideo  [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen ]]  behandelt.
	*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.		*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich  $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.


Zeile 26:		Zeile 29:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an.		{Geben Sie  $z_1$  nach Betrag und Phase an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|z_1\|\ = \ ${ 5 3% }		$\|z_1\|\ = \ ${ 5 3% }
	$\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.~~1cm~~}\text{Grad}$		$\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


	{Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?		{Wie lautet  $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_4\ = \ $ { 25 3% }		$x_4\ = \ $ { 25 3% }
Zeile 38:		Zeile 41:


	{Berechnen Sie $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite.		{Berechnen Sie  $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$  entsprechend der Angabenseite.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_5\ = \ $ { 0. }		$x_5\ = \ $ { 0. }
Zeile 44:		Zeile 47:


	{Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$~~) an~~.		{Geben Sie  $z_6 = z_1 \cdot z_2$  nach Betrag und Phase an   $($im Bereich  $\pm 180^{\circ})$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|z_6\|\ = \ $ { 10 3% }		$\|z_6\|\ = \ $ { 10 3% }
	$\phi_6\ = \ $ { -145--140 } $\hspace{0.~~1cm~~}\text{Grad}$		$\phi_6\ = \ $ { -145--140 } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


	{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$?		{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl  $z_3$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.~~1cm~~}\text{Grad}$		$\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$


	{Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$).		{Berechnen Sie  $z_7 = z_3/z_1$  nach Betrag und Phase  $($im Bereich  $\pm 180^{\circ})$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|z_7\| \ = \ $ { 1.2 3% }		$\|z_7\| \ = \ $ { 1.2 3% }
	$\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.~~1cm~~}\text{Grad}$		$\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.2cm}\text{Grad}$

	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.		*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
	*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.		*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 13. Dezember 2017 um 16:02 Uhr

2017-12-13T16:02:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Dezember 2017, 18:02 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''1.''' Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:		'''(1)'''  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:
	:$$\|z_1\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$		:$$\|z_1\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
	Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Darstellung nach Betrag und Phase]] :		Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
	:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$		:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$
	'''2.''' Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
			'''(2)'''  Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
	:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +		:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
	y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$		y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$
	:$$z_4 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot \|z_1\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= \|z_1\|^2 = 25$$		:$$z_4 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot \|z_1\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= \|z_1\|^2 = 25\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
	'''3.''' Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
			'''(3)'''  Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
	:$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$		:$$x_5 = x_1 + 2 \cdot x_2 - {x_3}/{2} = 4 + 2 \cdot(-2) -0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
	:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$		:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$
	'''4.''' Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase   ⇒   $\|z_2\| = 2, \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
			'''(4)'''  Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase   ⇒   $\|z_2\| = 2, \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
	:$$\|z_6\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$		:$$\|z_6\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
	:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =		:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
	216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$		216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
	'''5.''' Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
			'''(5)'''  Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
	:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)		:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
	\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{		\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
	\circ}}.$$		\circ}}.$$
	'''6.''' Zunächst die umständlichere Lösung:
			'''(6)'''  Zunächst die umständlichere Lösung:
	:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =		:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
	\frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$		\frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$

Guenter am 13. Dezember 2017 um 15:53 Uhr

2017-12-13T15:53:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Dezember 2017, 17:53 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Prinzip der Nachrichtenübertragung}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Prinzip der Nachrichtenübertragung}}

	[[Datei:P_ID802__Sig_Z_1_3.png\|right\|Zahlen in der komplexen Ebene]]		[[Datei:P_ID802__Sig_Z_1_3.png\|right\|frame\|Betrachtete Zahlen in der komplexen Ebene]]
	Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:		Ausgegangen wird von drei komplexen Zahlen, die rechts in der komplexen Ebene dargestellt sind:

Zeile 12:		Zeile 12:
	: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$		: $$z_6 = z_1 \cdot z_2,$$
	: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$		: $$z_7 = {z_3}/{z_1}.$$



	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen\|~~Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen~~]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen\|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
	*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.		*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)\|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
	*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.		*Geben Sie Phasenwerte stets im Bereich $-\hspace{-0.05cm}180^{\circ} < \phi ≤ +180^{\circ}$ ein.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
Zeile 26:		Zeile 28:
	{Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an.		{Geben Sie $z_1$ nach Betrag und Phase an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|z_1\|$ = { 5 3% }		$\|z_1\|\ = \ ${ 5 3% }
	$\phi_1$ = { 36.9 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$		$\phi_1\ = \ $ { 36.9 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$


	{Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?		{Wie lautet $z_4 = z_1 \cdot z_1^{\star} = x_4 + \text{j} \cdot y_4$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_4$ = { 25 3% }		$x_4\ = \ $ { 25 3% }
	$y_4$ = { 0. }		$y_4\ = \ $ { 0. }


	{Berechnen Sie $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite.		{Berechnen Sie $z_5 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5$ entsprechend der Angabenseite.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_5$ = { 0. }		$x_5\ = \ $ { 0. }
	$y_5$ = { 0. }		$y_5\ = \ $ { 0. }


	{Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$) an.		{Geben Sie $z_6 = z_1 \cdot z_2$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$) an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|z_6\|$ = { 10 3% }		$\|z_6\|\ = \ $ { 10 3% }
	$\phi_6$ = { -145--140 } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$		$\phi_6\ = \ $ { -145--140 } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$


	{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$?		{Welchen Phasenwert besitzt die rein imaginäre Zahl $z_3$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\phi_3$ = { 90 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$		$\phi_3 \ = \ $ { 90 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$


	{Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$).		{Berechnen Sie $z_7 = z_3/z_1$ nach Betrag und Phase (im Bereich $\pm 180^{\circ}$).
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|z_7\|$ = { 1.2 3% }		$\|z_7\| \ = \ $ { 1.2 3% }
	$\phi_7$ = { 53.1 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$		$\phi_7 \ = \ $ { 53.1 3% } $\hspace{0.1cm}\text{Grad}$

	</quiz>		</quiz>

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Nochmals komplexe Zahlen nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen

2017-12-12T13:42:19Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Nochmals komplexe Zahlen nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals komplexe Zahlen

← Nächstältere Version	Version vom 12. Dezember 2017, 15:42 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 13. Januar 2017 um 13:42 Uhr

2017-01-13T13:42:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. Januar 2017, 15:42 Uhr
Zeile 78:		Zeile 78:
	:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =		:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
	216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$		216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$
	'''5.''' Die Phase ist $90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:		'''5.''' Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
	:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)		:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
	\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \~~phi_6~~ \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{		\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
	\circ}}.$$		\circ}}.$$
	'''6.''' Zunächst die umständlichere Lösung:		'''6.''' Zunächst die umständlichere Lösung:

← Nächstältere Version		Version vom 23. August 2019, 11:39 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der Betrag kann nach dem Satz von [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras] berechnet werden:		'''(1)'''  Der Betrag kann nach dem Satz von  [https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras Pythagoras]  berechnet werden:
	:$$\|z_1\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$		:$$\|z_1\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}= \sqrt{4^2 + 3^2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}.$$
	Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Darstellung nach Betrag und Phase]] :		*Für den Phasenwinkel gilt entsprechend der Seite  [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase\|Darstellung nach Betrag und Phase]] :
	:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$		:$$\phi_1 = \arctan \frac{y_1}{x_1}= \arctan \frac{3}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ = 36.9^{\circ}}.$$

	'''(2)'''  Die Multiplikation von $z_1$ mit deren Konjugiert-Komplexen $z_1^{\star}$ ergibt die rein reelle Größe $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
			'''(2)'''  Die Multiplikation von  $z_1$  mit deren Konjugiert-Komplexen  $z_1^{\star}$  ergibt die rein reelle Größe  $z_4$, wie die folgenden Gleichungen zeigen:
	:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +		:$$z_4 = (x_1 + {\rm j} \cdot y_1)(x_1 - {\rm j} \cdot y_1)= {x_1^2 +
	y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$		y_1^2}= \|z_1\|^2 = 25,$$
	:$$z_4 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot \|z_1\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= \|z_1\|^2 = 25\hspace{0.3cm}		:$$z_4 = \|z_1\| \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi_1} \cdot \|z_1\| \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \phi_1}= \|z_1\|^2 = 25\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		\Rightarrow\hspace{0.3cm} x_4 \hspace{0.1cm}\underline{= 25}, \hspace{0.25cm}y_4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


	'''(3)'''  Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:		'''(3)'''  Aufgeteilt nach Real- und Imaginärteil kann geschrieben werden:
Zeile 82:		Zeile 84:
	:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$		:$$y_5 = y_1 + 2 \cdot y_2 - {y_3}/{2} = 3 + 2 \cdot 0 - \frac{6}{2} \hspace{0.1cm}\underline{=0}.$$

	'''(4)'''  Schreibt man $z_2$ nach Betrag und Phase   ⇒   $\|z_2\| = 2, \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
			'''(4)'''  Schreibt man  $z_2$  nach Betrag und Phase   ⇒   $\|z_2\| = 2, \ \phi_2 = 180^{\circ}$, so erhält man für das Produkt:
	:$$\|z_6\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$		:$$\|z_6\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|= 5 \cdot 2 \hspace{0.15cm}\underline{= 10},$$
	:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =		:$$\phi_6 = \phi_1 + \phi_2 = 36.9^{\circ} + 180^{\circ} =
	216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$		216.9^{\circ}\hspace{0.15cm}\underline{= -143.1^{\circ}}.$$

	'''(5)'''  Die Phase ist $\phi_3 = 90^{\circ}$ (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
			'''(5)'''  Die Phase ist  $\phi_3 = 90^{\circ}$  (siehe Grafik auf der Angabenseite), wie man formal nachweisen kann:
	:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)		:$$\phi_3 = \arctan \left( \frac{6}{0}\right) = \arctan (\infty)
	\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{		\hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_3 \hspace{0.15cm}\underline{= 90^{
	\circ}}.$$		\circ}}.$$


	'''(6)'''  Zunächst die umständlichere Lösung:		'''(6)'''  Zunächst die umständlichere Lösung:
	:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =		:$$z_7 = \frac{z_3}{z_1}= \frac{6{\rm j}}{4 + 3{\rm j}} = \frac{6{\rm j}\cdot(4 - 3{\rm j})}{(4 + 3{\rm j})\cdot (4 - 3{\rm j})} =
	\frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 53.1^{ \circ}}.$$		\frac{18 +24{\rm j}}{25} = 1.2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 53.1^{ \circ}}.$$
	Ein anderer Lösungsweg lautet:		*Ein anderer Lösungsweg lautet:
	:$$\|z_7\| = \frac{\|z_3\|}{\|z_1\|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}		:$$\|z_7\| = \frac{\|z_3\|}{\|z_1\|} = \frac{6}{5}\hspace{0.15cm}\underline{=1.2}, \hspace{0.3cm}\phi_7 = \phi_3 - \phi_1 = 90^{\circ} - 36.9^{\circ}
	\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$		\hspace{0.15cm}\underline{=53.1^{\circ}}.$$