Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 18. Oktober 2019 um 11:49 Uhr

2019-10-18T11:49:36Z

Guenter am 18. Oktober 2019 um 11:43 Uhr

2019-10-18T11:43:16Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 12:54 Uhr

2018-10-23T12:54:58Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 12:49 Uhr

2018-10-23T12:49:06Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 15. Februar 2018 um 15:25 Uhr

2018-02-15T15:25:09Z

Guenter am 15. Februar 2018 um 15:16 Uhr

2018-02-15T15:16:59Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3Z Exponentiell abfallende Impulsantwort nach Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort

2018-01-03T13:11:26Z

Guenter verschob die Seite 1.3Z Exponentiell abfallende Impulsantwort nach Aufgabe 1.3Z: Exponentiell abfallende Impulsantwort

Guenter am 26. Januar 2017 um 11:19 Uhr

2017-01-26T11:19:52Z

Guenter am 26. Januar 2017 um 11:18 Uhr

2017-01-26T11:18:49Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Frequenzgang $H(f)$ ist die Fouriertransformierte von $h(t)$:
+'''(1)'''&nbsp; Der Frequenzgang&nbsp; $H(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte von&nbsp; $h(t)$:
 :$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
 {\rm d}t.$$
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 :$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
 t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; hat der Frequenzgang den Wert&nbsp; $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.
 '''(2)'''&nbsp; Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:
 :$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
-*Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$.
+*Die Impulsantwort an der Stelle&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist gleich dem Integral über&nbsp; $H(f)$.
 *Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden.
 *Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:
 :$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
   d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
-*Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:
+*Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat&nbsp; $π/2$&nbsp; ergibt sich:
 :$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
-*Das Ergebnis zeigt , dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus links&ndash; und rechtsseitigeM Grenzwert ist.
+*Das Ergebnis zeigt , dass die Impulsantwort bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; gleich dem Mittelwert aus links&ndash; und rechtsseitigem Grenzwert ist.
 '''(3)'''&nbsp; Der Amplitudengang lautet bei dieser Aufgabe bzw. allgemein mit der 3dB-Grenzfrequenz $f_{\rm G}$:
 :$$|H(f)|  =  \frac{1}{\sqrt{1+(2\pi fT)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f/f_{\rm G})^2}}.$$
-Durch Koeffizientenvergleich erhält man:
+*Durch Koeffizientenvergleich erhält man:
 :$$f_{\rm G} =   \frac{1}{2\pi T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 159 \hspace{0.1cm} Hz}}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist  <u> der erste Lösungsvorschlag}</u>.:
-*Wegen $h(t) = 0$ &nbsp;für&nbsp; $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen <u>Tiefpass erster Ordnung</u>.
+*Wegen&nbsp; $h(t) = 0$&nbsp; &nbsp;für&nbsp; $t < 0$&nbsp; ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen <u>Tiefpass erster Ordnung</u>.
 *Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:
 :$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$
-*$H(f)$ ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet (siehe [[Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]]):
+*$H(f)$&nbsp; ist eine komplexe Funktion. Der Phasengang lautet&nbsp; (siehe&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.1Z:_Tiefpass_1._und_2._Ordnung|Aufgabe 1.1Z]]):
 :$$b(f) = \arctan {f}/{f_{\rm G}}.$$
-*Für die Frequenz $f = f_{\rm G}$ erhält man $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.
+*Für die Frequenz&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; erhält man&nbsp; $b(f = f_{\rm G}) = π/4 = 45^\circ$.
-*Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz $f = f_{\rm G}$ an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
+*Liegt am Eingang ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f = f_{\rm G}$&nbsp; an, so ergibt sich für das Ausgangssignal:
 :$$y(t) = K \cdot \cos( 2 \pi f_{\rm G} t - 45^{\circ}).$$
 *Dieses Signal ist zwar eine harmonische Schwingung, aber kein Cosinussignal.

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 [[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|frame|Abfallende Impulsantwort]]
-Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems,
+Gemessen wurde die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; eines LZI–Systems,
-*die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist,
+*die für alle Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null ist,
-*sich zur Zeit $t > 0$ sprungartig verändert, und
+*sich zur Zeit&nbsp; $t > 0$&nbsp; sprungartig verändert, und
-*für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
+*für&nbsp; $t > 0$&nbsp; entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
 :$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-Der Funktionsparameter sei $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe '''(3)''' ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:
+Der Parameter sei&nbsp; $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)''' ist nach der&nbsp; 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; gefragt, die wie folgt (implizit) definiert ist:
 :$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für $f = 0$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang&nbsp; $H(f)$. Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $H(f = 0) \ = \ $ { 1 3% }
-{Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit $t = 0$?
+{Welchen Wert besitzt die Impulsantwort zur Zeit&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $h(t = 0)  \ = \ $ { 500 3% } &nbsp;$\rm 1/s$
-{Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$.
+{Berechnen Sie die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$.
 |type="{}"}
 $f_{\rm G}  \ =\ $ { 159 3% } &nbsp;$\rm Hz$
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 + Das betrachtete System ist kausal.
 - Das betrachtete System hat Hochpass–Charakter.
-- Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_{\rm G}$ an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.
+- Liegt am Systemeingang ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; an, so ist das Ausgangssignal ebenfalls cosinusförmig.

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 :$$H(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j}2\pi ft}\hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T}) t}\hspace{0.15cm}
 {\rm d}t.$$
-Die Integration führt zum Ergebnis:
+*Die Integration führt zum Ergebnis:
 :$$H(f)  = \left[ \frac{-1/T}{{\rm j}2\pi f+{1}/{T}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-(\rm j}2\pi f+ {1}/{T})
 t}\right]_{0}^{\infty}= \frac{1}{1+{\rm j} \cdot 2\pi fT}.$$
-Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.
+*Bei der Frequenz $f = 0$ hat der Frequenzgang den Wert $H(f = 0) \; \underline{= 1}$.
 '''(2)'''&nbsp; Dieser Frequenzgang kann mit Real– und Imaginärteil auch wie folgt geschrieben werden:
 :$$H(f)  =  \frac{1}{1+(2\pi fT)^2} -{\rm j} \cdot  \frac{2\pi fT}{1+(2\pi fT)^2}.$$
-Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$. Da der Imaginärteil ungerade ist, muss nur über den Realteil integriert werden. Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft erhält man:
+*Die Impulsantwort an der Stelle $t = 0$ ist gleich dem Integral über $H(f)$.
 :$$h(t=0)=2 \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+(2\pi fT)^2}  \hspace{0.1cm}{\rm
   d}f = \frac{1}{\pi T} \cdot \int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x .$$
-Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:
+*Unter Benutzung des angegebenen bestimmten Integrals mit dem Resultat $π/2$ ergibt sich:
 :$$h(t=0)= \frac{1}{2 T} \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 500\cdot 1/s}}.$$
-Dieses Ergebnis zeigt auch, dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus dem links&ndash; und dem rechtsseitigen Grenzwert ist.
+*Das Ergebnis zeigt , dass die Impulsantwort bei $t = 0$ gleich dem Mittelwert aus links&ndash; und rechtsseitigeM Grenzwert ist.
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 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist  <u> der erste Lösungsvorschlag}</u>.:
-*Wegen $h(t) = 0$ für $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen Tiefpass erster Ordnung.
+*Wegen $h(t) = 0$ &nbsp;für&nbsp; $t < 0$ ist das System tatsächlich kausal. Es handelt sich um einen <u>Tiefpass erster Ordnung</u>.
 *Dagegen müsste ein Hochpass folgende Bedingung erfüllen:
 :$$H(f = 0) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm}{\rm d}t = 0.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Zeitbereich}}
-[[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|frame|Exponentiell abfallende Impulsantwort]]
+[[Datei:P_ID819__LZI_Z_1_3.png |right|frame|Abfallende Impulsantwort]]
-Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems, die für alle Zeiten $t < 0$ identisch $0$ ist und für $t > 0$ entsprechend einer Exponentialfunktion abfällt:
+Gemessen wurde die Impulsantwort $h(t)$ eines LZI–Systems,
 :$$h(t) = {1}/{T} \cdot {\rm e}^{-t/T}.$$
-Der Funktionsparameter sei $T = 1 \ \rm ms$. In der Teilaufgabe (3) ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:
+Der Funktionsparameter sei $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm ms$. In der Teilaufgabe '''(3)''' ist nach der 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ gefragt, die wie folgt implizit definiert ist:
 :$$|H(f = f_{\rm G})| = {1}/{\sqrt{2}} \cdot|H(f = 0)| .$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
 *Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
 :$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$

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 *Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
 :$$\int_{ 0 }^{ \infty } \frac{1}{1+x^2}  \hspace{0.1cm}{\rm d}x = {\pi}/{2} .$$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)