Aufgaben:Aufgabe 1.3: Systemvergleich beim AWGN–Kanal - Versionsgeschichte

Guenter am 16. November 2021 um 11:27 Uhr

2021-11-16T11:27:22Z

Guenter am 16. November 2021 um 11:21 Uhr

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Guenter am 3. März 2020 um 12:06 Uhr

2020-03-03T12:06:49Z

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2020-03-03T11:54:05Z

Guenter am 3. Dezember 2018 um 14:22 Uhr

2018-12-03T14:22:04Z

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2018-12-03T14:13:17Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:37Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:15:49Z

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Guenter am 20. Juni 2017 um 08:42 Uhr

2017-06-20T08:42:18Z

Guenter am 20. Juni 2017 um 08:05 Uhr

2017-06-20T08:05:24Z

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 '''(1)'''&nbsp; Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu
 :$$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert&nbsp; $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$&nbsp; führt.
+*Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert&nbsp; $y = 5$,&nbsp;  was zum Sinken-Störabstand&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$&nbsp; führt.
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 '''(3)'''&nbsp; Für&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ = 40$&nbsp; dB ist die Hilfsgröße&nbsp; $x = 4$.&nbsp; Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:
 :$$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$
-*Dies entspricht dem Sinken–Störabstand&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; um&nbsp; $7$&nbsp; dB.
+*Dies entspricht dem Sinken–Störabstand&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$,&nbsp;  also einer Verbesserung gegenüber dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; um&nbsp; $7$&nbsp; dB.

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 [[Datei:P_ID960__Mod_A_1_3.png|right|frame|Systemvergleich beim AWGN–Kanal]]
 Für den Vergleich verschiedener Modulationsverfahren und Demodulatoren hinsichtlich der Rauschempfindlichkeit gehen wir meist vom so genannten &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Einige_Anmerkungen_zum_AWGN.E2.80.93Kanalmodell|AWGN–Kanal]]&nbsp; aus und beschreiben folgendes doppelt–logarithmische Diagramm:
-*Die Ordinate gibt den Sinken–Störabstand (SNR logarithmiert) &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; in dB an.
+*Die Ordinate gibt den Sinken–Störabstand&nbsp; $\rm (SNR$,&nbsp; logarithmiert$)$ &nbsp;$10 · \lg ρ_v$&nbsp; in dB an.
-*Auf der Abszisse ist &nbsp;$10 · \lg ξ$&nbsp; aufgetragen; für die normierte Leistungskenngröße gilt:
+*Auf der Abszisse ist &nbsp;$10 · \lg ξ$&nbsp; aufgetragen;&nbsp; für die normierte Leistungskenngröße gilt:
 :$$ \xi = \frac{P_{\rm S} \cdot \alpha_{\rm K}^2 }{{N_0} \cdot B_{\rm NF}}\hspace{0.05cm}.$$
-*In &nbsp;$ξ$&nbsp; sind also die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$, der Kanaldämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm K}$, die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; sowie die Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; des Nachrichtensignals in geeigneter Weise zusammengefasst.
+*In &nbsp;$ξ$&nbsp; sind also die Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$,&nbsp; der Kanaldämpfungsfaktor &nbsp;$α_{\rm K}$,&nbsp; die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; sowie die Bandbreite &nbsp;$B_{\rm NF}$&nbsp; des Nachrichtensignals in geeigneter Weise zusammengefasst.
 * Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist, soll in der Aufgabe von folgenden Werten ausgegangen werden:
 :$$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_{\rm
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 B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-In der Grafik sind zwei Systeme eingezeichnet, deren&nbsp; $(x, y)$–Verlauf wie folgt beschrieben werden kann:
+In der Grafik sind zwei Systeme eingezeichnet,&nbsp; deren&nbsp; $(x, y)$–Verlauf wie folgt beschrieben werden kann:
 *Das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; ist gekennzeichnet durch die folgende Gleichung:
 :$$y = x+1.$$
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 Die in der Grafik zusätzlich grün eingezeichneten Achsenbeschriftungen haben folgende Bedeutung:
 :$$ x = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}y = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-So steht &nbsp;$x = 4$&nbsp; für &nbsp;$10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$&nbsp; bzw. &nbsp;$ξ = 10^4$&nbsp; und &nbsp;$y = 5$&nbsp; steht für &nbsp;$10 · \lg ρ_v= 50\text{ dB}$&nbsp;, also &nbsp;$ρ_v = 10^5$.
+So steht &nbsp;$x = 4$&nbsp; für &nbsp;$10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$ &nbsp; bzw. &nbsp;$ξ = 10^4$&nbsp; und &nbsp;$y = 5$&nbsp; steht für &nbsp;$10 · \lg ρ_v= 50\text{ dB}$&nbsp;, also &nbsp;$ρ_v = 10^5$.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Untersuchungen beim AWGN-Kanal]].
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 $10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{dB}$
-{Es wird nun &nbsp;$10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v ≥ 60\text{ dB}$&nbsp; gefordert.&nbsp; Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?
+{Es wird nun &nbsp;$10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v ≥ 60\text{ dB}$&nbsp; gefordert.&nbsp; Durch welche Maßnahmen&nbsp; (jeweils für sich allein)&nbsp; ist dies zu erreichen?
 |type="[]"}
 - Erhöhung der Sendeleistung von &nbsp;$P_{\rm S}= 5\text{ kW}$&nbsp; auf $10\text{ kW}$&nbsp;.
 + Erhöhung des Kanalübertragungsfaktors von &nbsp;$α_{\rm K} = 0.001$&nbsp; auf &nbsp;$0.004$.
 + Reduzierung der Rauschleistungsdichte auf &nbsp;$N_0=10^{–11 }\text{ W/Hz}$.
-- Erhöhung der NF–Bandbreite von &nbsp;$B_{\rm NF}= 5\text{ kHz}$&nbsp; auf &nbsp;$\text{ kHz}$.
+- Erhöhung der NF–Bandbreite von &nbsp;$B_{\rm NF}= 5\text{ kHz}$&nbsp; auf &nbsp;$10\text{ kHz}$.
 {Welcher Störabstand ergibt sich bei &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; mit &nbsp;$10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$?
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 $10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 57 3% } $\ \text{dB}$
-{Gefordert wird der Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50\text{ dB}$.&nbsp; Welche Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$ genügt bei &nbsp;$\text{System B}$, um diese Qualität zu erzielen?
+{Gefordert wird der Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50\text{ dB}$.&nbsp; Welche Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$&nbsp; genügt bei &nbsp;$\text{System B}$,&nbsp; um diese Qualität zu erzielen?
 |type="{}"}
 $P_{\rm S} \ = \ $ { 0.3 3% } $\ \text{ kW }$

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 '''(1)'''&nbsp; Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu
 :$$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$ führt.
+*Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert&nbsp; $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$&nbsp; führt.
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 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Alternativen 2 und 3</u>:
-Diese Forderung  entspricht gegenüber dem bisher betrachteten System einer Erhöhung des Störabstandes um $10$ dB, so dass auch $10 ·  \lg \hspace{0.05cm}ξ$ um $10$ dB erhöht werden muss:
+Diese Forderung  entspricht gegenüber dem bisherigen System einer Erhöhung des Störabstandes um&nbsp; $10$&nbsp; dB, so dass auch&nbsp; $10 ·  \lg \hspace{0.05cm}ξ$&nbsp; um&nbsp; $10$&nbsp; dB erhöht werden muss:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 50\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \xi=10^5 \hspace{0.05cm}.$$
-Ein $10$–fach größerer $ξ$–Wert wird erreicht – vorausgesetzt die anderen Parameter bleiben jeweils gleich:
+Ein&nbsp; $10$–fach größerer&nbsp; $ξ$–Wert wird erreicht – vorausgesetzt die anderen Parameter bleiben jeweils gleich:
-*durch die Sendeleistung $P_{\rm S} = 50$ kW statt $5$ kW,
+*durch die Sendeleistung&nbsp; $P_{\rm S} = 50$&nbsp; kW&nbsp; statt&nbsp; $5$&nbsp; kW,
-*durch den Dämpfungsfaktor $α_{\rm K} = 0.00316$ anstelle von $0.001$,
+*durch den Kanalübertragungsfaktor&nbsp; $α_{\rm K} = 0.00316$&nbsp; anstelle von&nbsp; $0.001$,
-*durch die Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{ –11 }$ W/Hz statt $10^{ –10 }$ W/Hz,
+*durch die Rauschleistungsdichte&nbsp; $N_0 = 10^{ –11 }$&nbsp; W/Hz&nbsp; statt&nbsp; $10^{ –10 }$&nbsp; W/Hz,
-*durch die Bandbreite $B_{\rm NF} = 0.5$ kHz statt $5$ kHz.
+*durch die Bandbreite&nbsp; $B_{\rm NF} = 0.5$&nbsp; kHz&nbsp; statt&nbsp; $5$&nbsp; kHz.
-'''(3)'''&nbsp; Für $10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ = 40$ dB ist die Hilfsgröße $x = 4$. Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:
+'''(3)'''&nbsp; Für&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ = 40$&nbsp; dB ist die Hilfsgröße&nbsp; $x = 4$.&nbsp; Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:
 :$$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$
-Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; um $7$ dB.
+*Dies entspricht dem Sinken–Störabstand&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; um&nbsp; $7$&nbsp; dB.
@@ Zeile 99: / Zeile 100: @@
 :$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) = 5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-x+1} ={1}/{6}\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \approx 2.79 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 27.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; war hierfür $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_{\rm S} = 5$ kW erreicht wurde. Nun kann die Sendeleistung um etwa $12.1$ dB verringert werden:
+*Bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; war hierfür&nbsp; $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$&nbsp; dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch&nbsp; $P_{\rm S} = 5$&nbsp; kW erreicht wurde.&nbsp;
 :$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}}= -12.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}} = 10^{-1.21}\approx 0.06\hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Bei &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; wird mit nur 6% der Sendeleistung von &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; – also mit nur $P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.3 \ \rm kW}$ – die gleiche Systemqualität erzielt.
+*Das bedeutet:&nbsp; Bei &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; wird mit nur&nbsp; $6\%$&nbsp; der Sendeleistung von &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; – also mit nur&nbsp; $P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.3 \ \rm kW}$ – die gleiche Systemqualität erzielt.
-'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit ''V'' (steht für Verbesserung) den größeren Sinken–Störabstand von  &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; gegenüber  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;:
+'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit&nbsp; $V$&nbsp; (steht für &bdquo;Verbesserung&rdquo;)&nbsp; den größeren Sinken–Störabstand von  &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; gegenüber  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;:
 :$$V  =  10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;B)} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;A)}
   =  \left[6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) -x -1 \right] \cdot 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige $x$–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt:
+*Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige&nbsp; $x$–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt:
 :$$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} = 6 \cdot {\rm e}^{-x+1} -1\Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = \hspace{0.15cm}\underline {27.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-Es ergibt sich also genau der in der Teilaufgabe '''(4)''' behandelte Fall mit $10 · \lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; nur $37.9$ dB beträgt. Die Verbesserung ist demnach $12.1$ dB.
+*Es ergibt sich also genau der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; behandelte Fall mit&nbsp; $10 · \lg ρ_υ = 50$&nbsp; dB, während der Störabstand bei  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; nur&nbsp; $37.9$&nbsp; dB beträgt.&nbsp;
 {{ML-Fuß}}

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 B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-In der Grafik sind zwei Systeme eingezeichnet, deren $(x, y)$–Verlauf wie folgt beschrieben werden kann:
+In der Grafik sind zwei Systeme eingezeichnet, deren&nbsp; $(x, y)$–Verlauf wie folgt beschrieben werden kann:
 *Das &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; ist gekennzeichnet durch die folgende Gleichung:
 :$$y = x+1.$$
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 :$$ x = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}y = \frac{10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v} {10 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
 So steht &nbsp;$x = 4$&nbsp; für &nbsp;$10 · \lg ξ = 40\text{ dB}$&nbsp; bzw. &nbsp;$ξ = 10^4$&nbsp; und &nbsp;$y = 5$&nbsp; steht für &nbsp;$10 · \lg ρ_v= 50\text{ dB}$&nbsp;, also &nbsp;$ρ_v = 10^5$.
@@ Zeile 39: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
-{Welcher Sinken–Störabstand (in dB) ergibt sich bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; mit <br>$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}$, &nbsp; $\alpha_{\rm
+{Welcher Sinken–Störabstand (in dB) ergibt sich bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; mit &nbsp;$P_{\rm S}= 5 \;{\rm kW}$, &nbsp; $\alpha_{\rm
-K} = 0.001$, &nbsp; $N_0 = 10^{-10}\;{\rm W}/{\rm Hz}$ und $B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}$?
+K} = 0.001$, &nbsp; $N_0 = 10^{-10}\;{\rm W}/{\rm Hz}$, &nbsp; $B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}$?
 |type="{}"}
 $10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{dB}$
-{Es wird nun &nbsp;$10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v ≥ 60\text{ dB}$&nbsp; gefordert. Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?
+{Es wird nun &nbsp;$10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v ≥ 60\text{ dB}$&nbsp; gefordert.&nbsp; Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?
 |type="[]"}
 - Erhöhung der Sendeleistung von &nbsp;$P_{\rm S}= 5\text{ kW}$&nbsp; auf $10\text{ kW}$&nbsp;.
-+ Erhöhung des Kanaldämpfungsfaktors von &nbsp;$α_{\rm K} = 0.001$&nbsp; auf &nbsp;$0.004$.
++ Erhöhung des Kanalübertragungsfaktors von &nbsp;$α_{\rm K} = 0.001$&nbsp; auf &nbsp;$0.004$.
 + Reduzierung der Rauschleistungsdichte auf &nbsp;$N_0=10^{–11 }\text{ W/Hz}$.
 - Erhöhung der NF–Bandbreite von &nbsp;$B_{\rm NF}= 5\text{ kHz}$&nbsp; auf &nbsp;$\text{ kHz}$.
@@ Zeile 55: / Zeile 58: @@
 $10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 57 3% } $\ \text{dB}$
-{Gefordert wird der Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50\text{ dB}$. Welche Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$ genügt bei &nbsp;$\text{System B}$, um diese Qualität zu erzielen?
+{Gefordert wird der Störabstand &nbsp;$10 · \lg ρ_v = 50\text{ dB}$.&nbsp; Welche Sendeleistung &nbsp;$P_{\rm S}$ genügt bei &nbsp;$\text{System B}$, um diese Qualität zu erzielen?
 |type="{}"}
 $P_{\rm S} \ = \ $ { 0.3 3% } $\ \text{ kW }$

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind also die <u>Alternativen 2 und 3</u>:
 Diese Forderung  entspricht gegenüber dem bisher betrachteten System einer Erhöhung des Störabstandes um $10$ dB, so dass auch $10 ·  \lg \hspace{0.05cm}ξ$ um $10$ dB erhöht werden muss:
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 *durch die Rauschleistungsdichte $N_0 = 10^{ –11 }$ W/Hz statt $10^{ –10 }$ W/Hz,
 *durch die Bandbreite $B_{\rm NF} = 0.5$ kHz statt $5$ kHz.
 '''(3)'''&nbsp; Für $10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ = 40$ dB ist die Hilfsgröße $x = 4$. Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:
 :$$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$
-Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem '''System A''' um $7$ dB.
+Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 57 \ \rm dB}$, also einer Verbesserung gegenüber dem &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; um $7$ dB.
@@ Zeile 93: / Zeile 96: @@
 :$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) = 5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-x+1} ={1}/{6}\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \approx 2.79 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 27.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei '''System A''' war hierfür $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_{\rm S} = 5$ kW erreicht wurde. Nun kann die Sendeleistung um etwa $12.1$ dB verringert werden:
+Bei &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; war hierfür $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_{\rm S} = 5$ kW erreicht wurde. Nun kann die Sendeleistung um etwa $12.1$ dB verringert werden:
 :$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}}= -12.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}} = 10^{-1.21}\approx 0.06\hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Bei '''System B''' wird mit nur 6% der Sendeleistung von '''System A''' – also mit nur $P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.3 \ \rm kW}$ – die gleiche Systemqualität erzielt.
+Das bedeutet: Bei &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; wird mit nur 6% der Sendeleistung von &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; – also mit nur $P_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.3 \ \rm kW}$ – die gleiche Systemqualität erzielt.
-'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit ''V'' (steht für Verbesserung) den größeren Sinken–Störabstand von  '''System B''' gegenüber  '''System A''':
+'''(5)'''&nbsp; Wir bezeichnen mit ''V'' (steht für Verbesserung) den größeren Sinken–Störabstand von  &nbsp;$\text{System B}$&nbsp; gegenüber  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp;:
 :$$V  =  10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;B)} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;A)}
   =  \left[6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) -x -1 \right] \cdot 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
 Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige $x$–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt:
 :$$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} = 6 \cdot {\rm e}^{-x+1} -1\Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = \hspace{0.15cm}\underline {27.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-Es ergibt sich also genau der in der Teilaufgabe (4) behandelte Fall mit $10 · \lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei  '''System A''' nur $37.9$ dB beträgt. Die Verbesserung ist demnach $12.1$ dB.
+Es ergibt sich also genau der in der Teilaufgabe '''(4)''' behandelte Fall mit $10 · \lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei  &nbsp;$\text{System A}$&nbsp; nur $37.9$ dB beträgt. Die Verbesserung ist demnach $12.1$ dB.
 {{ML-Fuß}}

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 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Untersuchungen_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Untersuchungen beim AWGN-Kanal]].
 *Durch die Angabe der Leistungen in $\rm W$att sind diese unabhängig vom Bezugswiderstand $R$.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 K} = 0.001$, &nbsp; $N_0 = 10^{-10}\;{\rm W}/{\rm Hz}$ und $B_{\rm NF}= 5\; {\rm kHz}$?
 |type="{}"}
-$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{dB}$
+$10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 50 3% } $\ \text{dB}$
-{Es wird nun $10 · \lg ρ_v ≥ 60$ dB gefordert. Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?
+{Es wird nun $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v ≥ 60$ dB gefordert. Durch welche Maßnahmen (jeweils für sich allein) ist dies zu erreichen?
 |type="[]"}
 - Erhöhung der Sendeleistung von $P_{\rm S}= 5$ kW auf $10$ kW.
-+ Erhöhung des Kanaldämpfungsfaktors von $α_{\rm K} = 0.00$1 auf $0.004$.
++ Erhöhung des Kanaldämpfungsfaktors von $α_{\rm K} = 0.001$ auf $0.004$.
 + Reduzierung der Rauschleistungsdichte auf $N_0=10^{–11 }$ W/Hz .
-- Erhöhung der $NF$–Bandbreite von $B_{\rm NF}= 5$ kHz auf $6$ kHz.
+- Erhöhung der NF–Bandbreite von $B_{\rm NF}= 5$ kHz auf $6$ kHz.
 {Welcher Störabstand ergibt sich bei '''System B''' mit $10 · \lg ξ = 40$ dB?
 |type="{}"}
-$10 · \lg ρ_v \ = \ $ { 57 3% } $\ \text{dB}$
+$10 · \lg \hspace{0.05cm}ρ_v \ = \ $ { 57 3% } $\ \text{dB}$
 {Gefordert wird der Störabstand $10 · \lg ρ_v = 50$ dB. Welche Sendeleistung $P_{\rm S}$ genügt bei '''System B''', um diese Qualität zu erzielen?
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 {Für welchen Wert von $10 · \lg ξ$ ist die Verbesserung von '''System B''' gegenüber '''System A''' am größten?
 |type="{}"}
-$10 · \lg ξ \ = \ ${ 27.9 3% } $\ \text{dB}$
+$10 · \lg \hspace{0.05cm} ξ \ = \ ${ 27.9 3% } $\ \text{dB}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu
+'''(1)'''&nbsp; Die normierte Leistungskenngröße ergibt sich mit diesen Werten zu
-$$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\xi = \frac{5 \cdot 10^3\,{\rm W}\cdot 10^{-6} }{10^{-10}\,{\rm W}/{\rm Hz} \cdot 5 \cdot 10^3\,{\rm Hz}} = 10^4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 40\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x=4 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand $10 · lg ρ_v = 50$ dB führt.
+Damit ergibt sich der Hilfsordinatenwert $y = 5$, was zum Sinken-Störabstand $10 · \lg \hspace{0.05cm} ρ_v\hspace{0.15cm}\underline{ = 50 \ \rm dB}$ führt.
-'''2.''' Dies entspricht gegenüber dem bisher betrachteten System einer Erhöhung des Störabstandes um 10 dB, so dass auch $10 · lg ξ$ um 10 dB erhöht werden muss.
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind also die <u>Alternativen 2 und 3</u>:
-Richtig sind also die Alternativen 2 und 3.
+Diese Forderung  entspricht gegenüber dem bisher betrachteten System einer Erhöhung des Störabstandes um $10$ dB, so dass auch $10 ·  \lg \hspace{0.05cm}ξ$ um $10$ dB erhöht werden muss:
-'''3.''' Für $10 · lg ξ = 40$ dB ist die Hilfsgröße $x = 4$. Damit ergibt sich für die Hilfsgröße der Ordinate:
+Ein $10$–fach größerer $ξ$–Wert wird erreicht – vorausgesetzt die anderen Parameter bleiben jeweils gleich:
-$$y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-3} \right)\approx 5.7 \hspace{0.05cm}.$$
+*durch die Sendeleistung $P_{\rm S} = 50$ kW statt $5$ kW,
-Dies entspricht dem Sinken–Störabstand $10 · lg ρ_υ = 57$ dB, also einer Verbesserung gegenüber dem System A um 7 dB.
+*durch den Dämpfungsfaktor $α_{\rm K} = 0.00316$ anstelle von $0.001$,
 '''5.'''Wir bezeichnen mit ''V'' (steht für Verbesserung) den größeren Sinken–Störabstand von System B gegenüber System A:
-$$V  =  10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;B)} - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\rho_v \hspace{0.1cm}{\rm (System\;A)}$$
+'''(4)'''&nbsp; Diese Problemstellung wird durch folgende Gleichung beschrieben:
-$$ =  \left[6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) -x -1 \right] \cdot 10\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ y= 6 \cdot \left(1 - {\rm e}^{-x+1} \right) = 5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{-x+1} ={1}/{6}\hspace{0.3cm}
-Durch Nullsetzen der Ableitung ergibt sich derjenige x–Wert, der zur maximalen Verbesserung führt:
+ \Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \approx 2.79 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = 27.9\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-$$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}x} = 6 \cdot {\rm e}^{-x+1} -1\Rightarrow \hspace{0.3cm} x = 1+ {\rm ln} \hspace{0.1cm}6 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}\xi = \hspace{0.15cm}\underline {27.9\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
+Bei '''System A''' war hierfür $10 · \lg \hspace{0.05cm} \xi = 40$ dB notwendig, was bei den weiter gegebenen Zahlenwerten durch $P_{\rm S} = 5$ kW erreicht wurde. Nun kann die Sendeleistung um etwa $12.1$ dB verringert werden:
-Es ergibt sich also genau der in (d) behandelte Fall mit $10 · lg ρ_υ = 50$ dB, während der Störabstand bei System A nur 37.9 dB beträgt. Die Verbesserung ist demnach 12.1 dB.
+:$$ 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}}= -12.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{P_{\rm S}}{ 5 \;{\rm kW}} = 10^{-1.21}\approx 0.06\hspace{0.05cm}.$$
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