Aufgaben:Aufgabe 1.3: Rechnen mit komplexen Zahlen - Versionsgeschichte

Guenter am 9. April 2021 um 14:39 Uhr

2021-04-09T14:39:39Z

Guenter am 23. August 2019 um 09:26 Uhr

2019-08-23T09:26:30Z

Guenter am 23. August 2019 um 09:10 Uhr

2019-08-23T09:10:53Z

Guenter am 11. Juli 2018 um 15:44 Uhr

2018-07-11T15:44:52Z

Guenter am 11. Juli 2018 um 15:33 Uhr

2018-07-11T15:33:31Z

Guenter am 11. Juli 2018 um 15:29 Uhr

2018-07-11T15:29:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:36Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 13. Dezember 2017 um 14:13 Uhr

2017-12-13T14:13:57Z

Guenter am 13. Dezember 2017 um 14:05 Uhr

2017-12-13T14:05:30Z

Guenter am 13. Dezember 2017 um 14:05 Uhr

2017-12-13T14:05:06Z

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 :$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$
 ''Hinweise:''
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Gleichungen sind zutreffend?
+{Welche der folgenden Gleichungen sind richtig?
 |type="[]"}
 + <math>2 \cdot z_1 + z_2 =0.</math>

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die<u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Entsprechend den Angaben gilt mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]:&nbsp;
+*Entsprechend den Angaben gilt mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]:&nbsp;
-::<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
+::<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2 \cdot {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2\cdot {\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
 *Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
-::<math>z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{
+::<math>z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{
   \circ}}= -2.</math>
-*Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von <math>z_1</math> und <math>z_2</math> liefert:&nbsp;
+*Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von&nbsp; <math>z_1</math> und <math>z_2</math>&nbsp; liefert:&nbsp;
 ::<math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}} =
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   \circ}}= -0.5.</math>
-*Die Multiplikation mit <math>z_3 = -{\rm j} </math> führt zum Ergebnis ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.
+*Die Multiplikation mit&nbsp; <math>z_3 = -{\rm j} </math>&nbsp; führt zum Ergebnis&nbsp; ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.
 '''(2)'''&nbsp; Das Quadrat von <math>z_2</math> hat den Betrag <math>|z_2|^{2}</math> und die Phase <math>2 \cdot \phi_2</math>:&nbsp;
 ::<math>z_2^2 =  2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.</math>
-Entsprechend gilt für das Quadrat von <math>z_3</math>:&nbsp;
+*Entsprechend gilt für das Quadrat von&nbsp; <math>z_3</math>:&nbsp;
 ::<math>z_3^2 =  (-{\rm j})^2 = -1.</math>
-Somit ist <math>x_4 =\underline{ –1}</math>  und <math>y_4 = \underline{–4}.</math>
+*Somit ist&nbsp; <math>x_4 =\underline{ –1}</math>&nbsp;  und&nbsp; <math>y_4 = \underline{–4}.</math>
 '''(3)'''&nbsp; Durch Anwendung der Divisionsregel erhält man:&nbsp;
-::<math>z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 135^{
+::<math>z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{
   \circ}} = 0.5 \cdot \big[ \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{
   \circ})\big]</math>
-::<math>\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}.</math>
+::<math>\Rightarrow \ x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}.</math>
-'''(4)'''&nbsp; Die angegeben Beziehung für <math>z_6</math> kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp; <math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.</math>
+'''(4)'''&nbsp; Die angegeben Beziehung für&nbsp; <math>z_6</math>&nbsp; kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp; <math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}.</math>
-Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für <math>z_6</math> gibt, die diese Gleichung erfüllen:&nbsp;
+*Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für&nbsp; <math>z_6</math>&nbsp; gibt, die diese Gleichung erfüllen:&nbsp;
-::<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}
+::<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (1.\hspace{0.1cm} L\ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = \frac{z_2}{2} = 1 \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}
   \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6 \hspace{0.15cm}\underline{= 135^{
   \circ}}, </math>
-::<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}
+::<math>z_6 \hspace{0.1cm}{\rm (2.\hspace{0.1cm} L \ddot{o}sung)}\hspace{0.1cm} = {z_1} = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45^{ \circ}}
   \hspace{0.2cm}\Rightarrow \hspace{0.2cm} \phi_6  \hspace{0.15cm}\underline{=-45^{
   \circ}}.</math>
-'''(5)'''&nbsp; Die komplexe Größe <math>z_2</math> lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung:&nbsp;
+'''(5)'''&nbsp; Die komplexe Größe&nbsp; <math>z_2</math>&nbsp; lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung:&nbsp;
 ::<math>z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.</math>
-Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
+*Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
 ::<math>z_7 =  {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big].</math>
-Mit <math>{\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm}  \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988</math> erhält man somit:&nbsp;
+*Mit&nbsp; <math>{\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.4cm}  \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.4cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988</math>&nbsp; erhält man somit:&nbsp;
 ::<math>z_7 = 0.243 \cdot \left( 0.156 + {\rm j} \cdot 0.988\right) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.038 + {\rm j} \cdot 0.24}.</math>
 '''(6)'''&nbsp; Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe '''(4)''' erhält man für <math>z_8</math>:&nbsp;
 ::<math>z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin
   (\sqrt{2})\big]
-  = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.</math>
+  = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.4cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.</math>
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich
-:$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$
+:$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}, $$
-:$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 135^{ \circ}},$$
+:$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}},$$
 :$$z_3 = -{\rm j} .$$
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 :$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen|Zum Rechnen mit komplexen Zahlen]].
-*Die Thematik wird auch im Lernvideo [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]] behandelt.
+*Die Thematik wird auch im Lernvideo&nbsp; [[Rechnen_mit_komplexen_Zahlen_(Lernvideo)|Rechnen mit komplexen Zahlen ]]&nbsp; behandelt.
@@ Zeile 34: / Zeile 37: @@
-{Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße <math>z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4</math>?
+{Welchen Wert besitzt die Zufallsgröße&nbsp; <math>z_4 = z_2^2 + z_3^2 = x_4 + {\rm j} \cdot y_4</math>?
 |type="{}"}
 <math> x_4 \ =\  </math> { -1.01--0.99 }
@@ Zeile 40: / Zeile 43: @@
-{Berechnen Sie die komplexe Größe <math>z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5</math>.
+{Berechnen Sie die komplexe Größe&nbsp; <math>z_5 = 1/z_2 = x_5 + {\rm j} \cdot y_5</math>.
 |type="{}"}
 <math> x_5 \ =\  </math> { -0.36--0.35 }
 <math> y_5  \ =\  </math> { -0.36--0.35 }
-{<math>z_6</math> hat als Quadratwurzel von <math>z_3</math> zwei Lösungen, beide mit dem Betrag <math>|z_6| = 1</math>. Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von <math>z_6</math> an.
+{<math>z_6</math>&nbsp; hat als Quadratwurzel von&nbsp; <math>z_3</math>&nbsp; zwei Lösungen, beide mit dem Betrag&nbsp; <math>|z_6| = 1</math>. <br>Geben Sie die beiden möglichen Phasenwinkel von&nbsp; <math>z_6</math>&nbsp; an.
 |type="{}"}
-<math> \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ}  \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ </math>    { 133-137 } $\text{Grad}$
+<math> \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} 0^{\circ}  \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} +\hspace{-0.15cm}180^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad}) \hspace{0.2cm} =\ </math>    { 133-137 } $\ \text{Grad}$
-<math> \phi_6 ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ}  \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad})  \hspace{0.2cm} =\ </math>  { -47--43  } $\text{Grad}$
+<math> \phi_6 \ ({\rm zwischen\hspace{0.1cm} - \hspace{-0.15cm}180^{\circ}  \hspace{0.1cm}und \hspace{0.1cm} 0^{\circ} \hspace{0.1cm}Grad})  \hspace{0.2cm} =\ </math>  { -47--43  } $\ \text{Grad}$
-{Berechnen Sie  <math>z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7</math>.
+{Berechnen Sie&nbsp;  <math>z_7 = {\rm e}^{z_2} = x_7 + {\rm j} \cdot y_7</math>.
 |type="{}"}
 <math> x_7  \ =\  </math> { 0.03-0.04 }
@@ Zeile 57: / Zeile 60: @@
-{Geben Sie die komplexe Größe  <math>z_8 =  {\rm e}^{z_2} +  {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8</math> an.
+{Geben Sie die komplexe Größe&nbsp;  <math>z_8 =  {\rm e}^{z_2} +  {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8</math>&nbsp; an.
 |type="{}"}
 <math> x_8 \ =\  </math> { 0.07-0.08 }
@@ Zeile 70: / Zeile 73: @@
 *Entsprechend den Angaben gilt mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]:&nbsp;
-::<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
+::<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
 *Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
-::<math>z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{
+::<math>z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{
   \circ}}= -2.</math>
 *Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von <math>z_1</math> und <math>z_2</math> liefert:&nbsp;
-::<math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} =
+::<math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}135^{ \circ}}} =
-.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 180^{
+.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 180^{
   \circ}}= -0.5.</math>
@@ Zeile 88: / Zeile 91: @@
 '''(2)'''&nbsp; Das Quadrat von <math>z_2</math> hat den Betrag <math>|z_2|^{2}</math> und die Phase <math>2 \cdot \phi_2</math>:&nbsp;
-::<math>z_2^2 =  2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.</math>
+::<math>z_2^2 =  2^2 \cdot{\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 270^{ \circ}}= 4 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 90^{ \circ}}=-4 \cdot {\rm j}.</math>
 Entsprechend gilt für das Quadrat von <math>z_3</math>:&nbsp;

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind also die<u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die<u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Entsprechend den Angaben gilt mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]:&nbsp;
 ::<math>2 \cdot z_1 + z_2 = 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) - 2{\rm j}\cdot \sin(45^{ \circ})- 2 \cdot \cos(45^{ \circ}) + 2{\rm j} \cdot\sin(45^{ \circ}) = 0.</math>
-Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
+*Der zweite Vorschlag ist ebenfalls richtig, da
 ::<math>z_1^{\star} \cdot z_2 = 1 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 45^{ \circ}} \cdot 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}} = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 180^{
   \circ}}= -2.</math>
-Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von <math>z_1</math> und <math>z_2</math> liefert:&nbsp;
+*Dagegen ist der dritte Vorschlag falsch. Die Division von <math>z_1</math> und <math>z_2</math> liefert:&nbsp;
 ::<math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{{\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}} =
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
   \circ}}= -0.5.</math>
-Die Multiplikation mit <math>z_3 = -{\rm j} </math> führt zum Ergebnis j/2, also zu einer rein imaginären Größe.
+*Die Multiplikation mit <math>z_3 = -{\rm j} </math> führt zum Ergebnis ${\rm j}/2$, also zu einer rein imaginären Größe.
@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 ::<math>z_5 = {1}/{z_2} = \frac{1}{2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}}}= 0.5 \cdot{\rm e}^{-{\rm j} 135^{
-  \circ}} = 0.5 \cdot \left( \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{
+  \circ}} = 0.5 \cdot \big[ \cos (- 135^{ \circ}) + {\rm j} \cdot \sin (- 135^{
-  \circ})\right)</math>
+  \circ})\big]</math>
-::<math>\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \underline{= -0.354}.</math>
+::<math>\Rightarrow x_5 = - {\sqrt{2}}/{4}\hspace{0.15cm}\underline{= -0.354},\hspace{0.5cm} y_5 = x_5 \hspace{0.15cm}\underline{= -0.354}.</math>
-''''(4)'''&nbsp; Die angegeben Beziehung für <math>z_6</math> kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp; <math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.</math>
+'''(4)'''&nbsp; Die angegeben Beziehung für <math>z_6</math> kann wie folgt umgeformt werden:&nbsp; <math>z_6^2 = {z_3} = {\rm e}^{-{\rm j} 90^{ \circ}}.</math>
 Man erkennt, dass es zwei Möglichkeiten für <math>z_6</math> gibt, die diese Gleichung erfüllen:&nbsp;
@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
-'''(5)'''&nbsp; Die komplexe Größe <math>z_2</math> lautet in Realteil/imaginärteildarstellung:&nbsp;
+'''(5)'''&nbsp; Die komplexe Größe <math>z_2</math> lautet in Realteil/Imaginärteildarstellung:&nbsp;
 ::<math>z_2 = x_2 + {\rm j} \cdot y_2 = -\sqrt{2} + {\rm j} \cdot\sqrt{2}.</math>
@@ Zeile 123: / Zeile 123: @@
 Damit ergibt sich für die komplexe Exponentialfunktion:
-::<math>z_7 =  {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\cdot \sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\right).</math>
+::<math>z_7 =  {\rm e}^{-\sqrt{2} + {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sqrt{2}}= {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2})\big].</math>
 Mit <math>{\rm e}^{-\sqrt{2} } = 0.243, \hspace{0.2cm}  \cos (\sqrt{2}) = 0.156, \hspace{0.2cm} \sin (\sqrt{2}) = 0.988</math> erhält man somit:&nbsp;
@@ Zeile 130: / Zeile 130: @@
-'''(6)'''&nbsp; Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe (4) erhält man für <math>z_8</math>:&nbsp;
+'''(6)'''&nbsp; Ausgehend vom Ergebnis der Teilaufgabe '''(4)''' erhält man für <math>z_8</math>:&nbsp;
-::<math>z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \left( \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin
+::<math>z_8 = {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \big[ \cos (\sqrt{2}) + {\rm j} \cdot \sin (\sqrt{2}) + \cos (\sqrt{2}) - {\rm j} \cdot \sin
-  (\sqrt{2})\right)
+  (\sqrt{2})\big]
   = 2 \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2} } \cdot \cos (\sqrt{2}) = 2 \cdot x_7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.076}, \hspace{0.1cm}y_8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.</math>
 {{ML-Fuß}}

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-{Geben Sie die komplexe Größe  <math>z_8 =  {\rm e}^{z_2} +  {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8</math>.
+{Geben Sie die komplexe Größe  <math>z_8 =  {\rm e}^{z_2} +  {\rm e}^{z_2^{\ast}} = x_8 + {\rm j}\cdot y_8</math> an.
 |type="{}"}
 <math> x_8 \ =\  </math> { 0.07-0.08 }

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 Nebenstehende Grafik zeigt einige Punkte in der komplexen Ebene, nämlich
-:$$z_1 = {\rm e}^{-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$
+:$$z_1 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} 45^{ \circ}}, $$
-:$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{{\rm j} 135^{ \circ}},$$
+:$$z_2 = 2 \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} 135^{ \circ}},$$
 :$$z_3 = -{\rm j} .$$
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 :$$z_5 = 1/z_2,$$
 :$$z_6 = \sqrt{z_3},$$
-:$$z_7 = {\rm e}^{z_2},$$
+:$$z_7 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2},$$
-:$$z_8 = {\rm e}^{z_2} + {\rm e}^{z_2^{\star}}.$$
+:$$z_8 = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}z_2^{\star}}.$$

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 |type="{}"}
 <math> x_4 \ =\  </math> { -1.01--0.99 }
-<math> y_4 \ =\  </math> { -4.01--3.99}
+<math> y_4 \ =\  </math> { -4.01--3.99 }