Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN - Versionsgeschichte

Guenter am 12. Juni 2022 um 13:50 Uhr

2022-06-12T13:50:47Z

Guenter am 12. Juni 2022 um 13:20 Uhr

2022-06-12T13:20:59Z

Guenter am 6. Mai 2019 um 11:04 Uhr

2019-05-06T11:04:30Z

Guenter am 6. Mai 2019 um 10:15 Uhr

2019-05-06T10:15:31Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:36Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3 Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN nach Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

2018-01-01T17:28:41Z

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 14:23 Uhr

2017-12-11T14:23:00Z

Guenter am 11. Dezember 2017 um 13:58 Uhr

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 08:38 Uhr

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Guenter am 11. Dezember 2017 um 08:34 Uhr

2017-12-11T08:34:34Z

@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 1</u>:
-*Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle. Wegen der Eigenschaft ''Symmetric'' liegt diese bei $G = 0$.
+*Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle.&nbsp; Wegen der Eigenschaft&nbsp; "symmetric"&nbsp; liegt diese bei&nbsp; $G = 0$.
-'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung ''$\sigma$'' größer ist als $+1$ oder kleiner ist als $–1$,  ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.
+'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlickeit,&nbsp; dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung&nbsp; $\sigma$&nbsp; größer ist als&nbsp; $+1$&nbsp; oder kleiner ist als&nbsp; $–1$,&nbsp;  ergibt sich gemäß der Angabe zu&nbsp; $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.
-*Mit $\sigma= 0.4$ folgt daraus: &nbsp; $\varepsilon = {\rm Q}(2.5)  \ \underline { = 0.62\, \%}.$
+*Mit&nbsp; $\sigma= 0.4$&nbsp; folgt daraus: &nbsp; $\varepsilon = {\rm Q}(2.5)  \ \underline { = 0.62\, \%}.$
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier die <u>Antwort 2</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist hier die&nbsp; <u>Antwort 2</u>:
-*Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete, je eines für die Symbole $0$ und $1$ und ein weiteres für ''Erasure'' ($\rm E$: keine Entscheidung möglich).
+*Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete,&nbsp; je eines für die Symbole&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; und ein weiteres für&nbsp; "Erasure" $(\rm E$:&nbsp; keine Entscheidung möglich$)$.
-*Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um $0$ liegen müssen.
+*Dazu benötigt man zwei Schwellen,&nbsp; die symmetrisch um&nbsp; $0$&nbsp; liegen müssen.
-*Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole $0$ und $1$.
+*Wenn dem nicht so wäre,&nbsp; ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
-'''(4)'''&nbsp; Es gelte $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$. Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm
+'''(4)'''&nbsp; Es gelte&nbsp; $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.&nbsp; Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm
-*$n > +1.2$,   falls $\tilde{x} = -1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 1$,
+*$n > +1.2$, &nbsp;   falls $\tilde{x} = -1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 1$,
-*$n < -1.2$,   falls $\tilde{x} = +1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 0$.
+*$n < -1.2$, &nbsp;   falls $\tilde{x} = +1$  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $x = 0$.
 In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit:
 :$$ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}.$$
-*Ein ''Erasure'' (keine Entscheidung) ergibt sich für $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$.
+*Ein&nbsp; "Erasure"&nbsp; (keine Entscheidung)&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$.
-*Ausgehend von $\tilde{x} = -1$ gilt somit:
+*Ausgehend von&nbsp; $\tilde{x} = -1$&nbsp; gilt somit:
 :$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp;  Hier ist ebenfalls die <u>Antwort 2</u> richtig:
+'''(5)'''&nbsp;  Hier ist ebenfalls die&nbsp; <u>Antwort 2</u>&nbsp; richtig:
-*Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um $0$ symmetrische Schwellen.
+*Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um&nbsp; $0$&nbsp; symmetrische Schwellen.
-*Der Unterschied zum BSEC–Modell ist, dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon  = 0$ (genauer gesagt: $\varepsilon  < 0.5 · 10^{–4}$) ergibt, entweder, weil
+*Der Unterschied zum BSEC–Modell ist,&nbsp; dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon  = 0$&nbsp; $($genauer gesagt:&nbsp; $\varepsilon  < 0.5 · 10^{–4})$&nbsp; ergibt,&nbsp; entweder,&nbsp; weil
-:*der Sicherheitsbereich $(±G)$ größer gewählt ist als beim BSEC–Modell, oder
+:*der Sicherheitsbereich&nbsp; $(±G)$&nbsp; größer gewählt ist als beim BSEC–Modell,&nbsp; oder
-:*das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung $σ$ aufweist.
+:*das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung&nbsp; $σ$&nbsp; aufweist.
@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
 :$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
 *Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen.
-*Für die ''Erasure''–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:
+*Für die&nbsp; "Erasure"–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:
 :$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|Kanalmodelle&nbsp; &bdquo;BSEC&rdquo; &nbsp;und&nbsp; &bdquo;AWGN&rdquo;]]
 Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC),
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp; $\rm (BSC)$,
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC),
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; $\rm (BEC)$,
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]]&nbsp; (BSEC).
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]]&nbsp; $\rm (BSEC)$.
-Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:
+Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell.&nbsp; Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:
 *Mit&nbsp; $λ = 0$&nbsp; ergibt sich das BSC–Modell.
 *Mit&nbsp; $\varepsilon = 0$&nbsp; ergibt sich das BEC–Modell.
-Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit&nbsp; $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm&nbsp; $n$&nbsp; gilt:
+Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell.&nbsp; Um Verwechslungen zu vermeiden,&nbsp; bezeichnen wir das&nbsp; (analoge)&nbsp; Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit&nbsp; $y_{\rm A}$,&nbsp; wobei mit dem Rauschterm&nbsp; $n$&nbsp; gilt:
 :$$y_{\rm A} = \tilde{x}+ n.$$
-Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt:
+Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin.&nbsp; Es gilt:
-*$\tilde{x} = +1$, falls&nbsp; $x = 0$,
+*$\tilde{x} = +1$, &nbsp; falls&nbsp; $x = 0$,
-*$\tilde{x} = -1$, falls&nbsp; $x = 1$.
+*$\tilde{x} = -1$, &nbsp; falls&nbsp; $x = 1$.
-Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße&nbsp; $y  \in \{0, 1, \rm E\}$, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen&nbsp; $G_0$&nbsp; und&nbsp; $G_1$&nbsp; benötigt.
+Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße&nbsp; $y  \in \{0,\ 1,\ \rm E\}$,&nbsp; die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt.&nbsp; Hierzu werden die Entscheiderschwellen&nbsp; $G_0$&nbsp; und&nbsp; $G_1$&nbsp; benötigt.
-Das Ereignis &nbsp; $y = \rm E$&nbsp; (&bdquo;''Erasure''&rdquo;) sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder&nbsp; $y = 0$&nbsp; noch&nbsp; $y = 1$&nbsp; gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer ''&bdquo;Auslöschung&rdquo;''.
+Das Ereignis &nbsp; $y = \rm E$&nbsp; (&bdquo;"Erasure"&rdquo;)&nbsp; sagt aus,&nbsp; dass die Entscheidung so unsicher ist,&nbsp; dass als Ergebnis weder&nbsp; $y = 0$ &nbsp; noch &nbsp; $y = 1$ &nbsp; gerechtfertigt erscheint.&nbsp; In deutschen Fachbüchern spricht man von einer&nbsp; "Auslöschung".
 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|"Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen"]].
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
+*Die Streuung des AWGN–Rauschens&nbsp; $n$&nbsp; wird für die gesamte Aufgabe zu&nbsp; $\sigma  = 0.4$&nbsp; angenommen.
 *Die Streuung des AWGN–Rauschens&nbsp; $n$&nbsp; wird für die gesamte Aufgabe zu&nbsp; $\sigma  = 0.4$&nbsp; angenommen.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; größer ist als&nbsp; $A$&nbsp; oder kleiner als&nbsp; $–A$, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt:
+*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; größer ist als&nbsp; $A$&nbsp; oder kleiner als&nbsp; $–A$,&nbsp; ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt:
 :$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
 *Bitte beachten Sie weiter: &nbsp; Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0$&nbsp; eigentlich nicht möglich.
-*Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann&nbsp; $\varepsilon < 0.5 · 10^{-4}$&nbsp; durch&nbsp; $\varepsilon \approx 0$&nbsp; angenähert werden.
@@ Zeile 72: / Zeile 73: @@
 $\lambda \ = \ $ { 2.14 3% }   $ \ \%$
-{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell? Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.
+{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell?&nbsp; Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.
 |type="[]"}
 - Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.

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 '''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung ''$\sigma$'' größer ist als $+1$ oder kleiner ist als $–1$,  ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$. Mit $\sigma= 0.4$ folgt daraus:
-:$$\varepsilon = {\rm Q}(2.5)  \ \underline { = 0.62\, \%}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlickeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung ''$\sigma$'' größer ist als $+1$ oder kleiner ist als $–1$,  ergibt sich gemäß der Angabe zu $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.
@@ Zeile 98: / Zeile 100: @@
 *Dazu benötigt man zwei Schwellen, die symmetrisch um $0$ liegen müssen.
 *Wenn dem nicht so wäre, ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole $0$ und $1$.
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-In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit $ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}$.
+In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit:
-Ein ''Erasure'' (keine Entscheidung) ergibt sich für $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$. Ausgehend von $\tilde{x} = -1$ gilt somit:
+:$$ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}.$$
 :$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp;  Hier ist ebenfalls die <u>Antwort 2</u> richtig:
-*Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um $0$ symmetrische Schwellen. Der Unterschied zum BSEC–Modell ist, dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon  = 0$ (genauer gesagt: $\varepsilon  < 0.5 · 10^{–4}$) ergibt, entweder, weil
+*Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um $0$ symmetrische Schwellen.
-*der Sicherheitsbereich $(±G)$ größer gewählt ist als beim BSEC–Modell, oder
+*Der Unterschied zum BSEC–Modell ist, dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon  = 0$ (genauer gesagt: $\varepsilon  < 0.5 · 10^{–4}$) ergibt, entweder, weil
-*das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung $σ$ aufweist.
+:*der Sicherheitsbereich $(±G)$ größer gewählt ist als beim BSEC–Modell, oder
 '''(6)'''&nbsp;  Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:
 :$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen. Für die ''Erasure''–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:
+*Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen.
 :$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ =  \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen BSEC und AWGN]]
+[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|Kanalmodelle&nbsp; &bdquo;BSEC&rdquo; &nbsp;und&nbsp; &bdquo;AWGN&rdquo;]]
 Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]] (BSC),
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]]&nbsp; (BSC),
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC),
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC),
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]] (BSEC).
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]]&nbsp; (BSEC).
 Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:
-*Mit $λ = 0$ ergibt sich das BSC–Modell.
+*Mit&nbsp; $λ = 0$&nbsp; ergibt sich das BSC–Modell.
-*Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.
+*Mit&nbsp; $\varepsilon = 0$&nbsp; ergibt sich das BEC–Modell.
-Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm $n$ gilt: $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.
+Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit&nbsp; $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm&nbsp; $n$&nbsp; gilt:
 Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt:
-*$\tilde{x} = +1$, falls $x = 0$,
+*$\tilde{x} = +1$, falls&nbsp; $x = 0$,
-*$\tilde{x} = -1$, falls $x = 1$.
+*$\tilde{x} = -1$, falls&nbsp; $x = 1$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
-*Die Streuung des AWGN–Rauschens $n$ wird für die gesamte Aufgabe zu $\sigma  = 0.4$ angenommen.
+*Die Streuung des AWGN–Rauschens&nbsp; $n$&nbsp; wird für die gesamte Aufgabe zu&nbsp; $\sigma  = 0.4$&nbsp; angenommen.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $n$ größer ist als $A$ oder kleiner als $–A$, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$ wie folgt:
+*Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; größer ist als&nbsp; $A$&nbsp; oder kleiner als&nbsp; $–A$, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; wie folgt:
 :$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
-*Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich.
+*Bitte beachten Sie weiter: &nbsp; Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0$&nbsp; eigentlich nicht möglich.
-*Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^{-4}$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.
+*Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann&nbsp; $\varepsilon < 0.5 · 10^{-4}$&nbsp; durch&nbsp; $\varepsilon \approx 0$&nbsp; angenähert werden.
@@ Zeile 39: / Zeile 44: @@
 Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
 :$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
-:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \  \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \  \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \hspace{0.3cm} 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 48: / Zeile 53: @@
 {Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?
 |type="[]"}
-+ Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
++ Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.
-- Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
+- Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei&nbsp; $±G$.
-- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.
+- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G_{1} = 0$&nbsp; und eine zweite bei&nbsp; $G_{2} = 0.5$.
-{Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ mit $\sigma = 0.4$?
+{Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; mit&nbsp; $\sigma = 0.4$?
 |type="{}"}
 $\varepsilon \ = \ $ { 0.62 3% }  $\ \%$
-{Durch welche Entscheiderschwelle(''n'') entsteht das BSEC–Modell?
+{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSEC–Modell?
 |type="[]"}
-- Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
+- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.
-+ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
++ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei&nbsp; $±G$.
-- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.
+- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G_{1} = 0$&nbsp; und eine zweite bei&nbsp; $G_{2} = 0.5$.
-{Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei ±0.2?
+{Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei&nbsp; $±0.2$?
 |type="{}"}
 $\varepsilon \ = \ $ { 0.14 3% }   $ \ \%$
 $\lambda \ = \ $ { 2.14 3% }   $ \ \%$
-{Durch welche Entscheiderschwelle(''n'') entsteht das BEC–Modell? Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.
+{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell? Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.
 |type="[]"}
-- Eine Entscheiderschwelle bei $G = 0$.
+- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G = 0$.
-+ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei $±G$.
++ Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei&nbsp; $±G$.
-- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.
+- Eine Entscheiderschwelle bei&nbsp; $G_{1} = 0$&nbsp; und eine zweite bei&nbsp; $G_{2} = 0.5$.
-{Berechnen Sie den BEC–Parameter $\lambda$ für Entscheiderschwellen bei $G = ±0.6$.
+{Berechnen Sie den BEC–Parameter&nbsp; $\lambda$&nbsp; für Entscheiderschwellen bei&nbsp; $G = ±0.6$.
 |type="{}"}
 $\lambda \ = \ $ { 15.87 3% }   $ \ \%$

@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 *Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich.
 *Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^{-4}$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 }}
-[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|BEEC und dessen Bezug zum AWGN–Modell]]
+[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|Zusammenhang zwischen BSEC und AWGN]]
 Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]](BSC),
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]] (BSC),
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]](BEC),
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC),
-*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symm. Error & Erasure Ch.]](BSEC).
+*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symmetric Error & Erasure Channel]] (BSEC).
-Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich auch die beiden anderen Kanalmodelle ableiten:
 *Mit λ = 0 ergibt sich das BSC–Modell.
 *Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.
-Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße y $\in$ {0, 1, E}, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen G0 und G1 benötigt.
+Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm $n$ gilt: $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.
-y = E (''Erasure'') sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder y = 0 noch y = 1 gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer ''Auslöschung''.
+Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt:
-''Hinweis:''
-Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen]]. Die Streuung des AWGN–Rauschens n wird für die gesamte Aufgabe zu $\sigma$  = 0.4 angenommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße n größer ist als A oder kleiner als –A, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral Q(x) wie folgt:
+Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße $y  \in \{0, 1, \rm E\}$, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen $G_0$ und $G_1$ benötigt.
 :$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
 Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
 :$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \  \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich. Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^-4$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.