Aufgaben:Aufgabe 1.3: Gemessene Sprungantwort - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:34:44Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.2 Systembeschreibung im Zeitbereich^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.3:_Measured_Step_Response]]

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2026-02-24T13:38:23Z

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Zeile 84:		Zeile 84:

	'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:		'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
	:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=		:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$
	\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$


Zeile 106:		Zeile 105:
	*Für  $t < 0$  und  $t ≥ T$  gilt stets  $h(t)=0$.		*Für  $t < 0$  und  $t ≥ T$  gilt stets  $h(t)=0$.
	*Der Wert  $h(t = 0)$  bei exakt  $t = 0$  muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:		*Der Wert  $h(t = 0)$  bei exakt  $t = 0$  muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:
	:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon		:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$
	\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon
	\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$


Zeile 120:		Zeile 117:

	*Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:		*Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
	:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =		:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] ={\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$		:$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] ={\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
	:$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] =		:$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] ={\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
	:$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] =
	{\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Tasnad am 1. März 2021 um 16:18 Uhr

2021-03-01T16:18:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. März 2021, 18:18 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	*Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:		*Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:
	:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$		:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
	*Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  [[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Dreimal_Faltung~~%3F~~\|Aufgabe 3.8]]  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.		*Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  [[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]]  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
	*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.		*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.

Guenter am 18. Oktober 2019 um 09:49 Uhr

2019-10-18T09:49:21Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Oktober 2019, 11:49 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.		*Für das Ausgangssignal gilt  $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal  $x_1(t) = 0$  ist. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
	*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.		*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
	*Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt:   $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.		*Das Eingangssignal  $x_1(t)$  kann für sehr große Zeiten  $(t \gg 0)$  als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre  $H(f)$  ein Hochpass, dann müsste  $y_1(t)$  für  $t → ∞$  gegen Null gehen. Das heißt:   $H(f)$  stellt einen Tiefpass dar.


	'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
			'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
	:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=		:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=
	\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$		\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

	'''(3)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde.
	*Wegen $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:		'''(3)'''  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist gleich dem Ausgangssignal  $y(t)$, wenn am Eingang  $x(t) = γ(t)$  anliegen würde.
			*Wegen  $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$  gilt somit im Bereich von  $0$  bis  $T = 2 \ \rm ms$:
	:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$		:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
	*Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$.		*Zum Zeitpunkt  $t = T = 2 \ \rm ms$  erreicht die Sprungantwort ihren Endwert  $0.25$.
	*Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.		*Für  $t = T/2 = 1 \ \rm ms$  ergibt sich der Zahlenwert  $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
	*Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.		*Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort  $σ(t)$  ebenso wie die Sprungfunktion  $γ(t)$  keine Einheit besitzt.



	[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png \|Berechnete Impulsantwort \| rechts\|frame]]		[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png \|Berechnete Impulsantwort \| rechts\|frame]]
	'''(4)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:		'''(4)'''  Die Sprungantwort  $σ(t)$  ist das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$.
			*Damit ergibt sich  $h(t)$  aus  $σ(t)$  durch Differentiation nach der Zeit.
			*Im Bereich  $0 < t < T$  gilt deshalb:
	:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$		:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
	Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ~~ist~~ stets $h(t)=0$. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:		*Für  $t < 0$  und  $t ≥ T$  gilt stets  $h(t)=0$.
			*Der Wert  $h(t = 0)$  bei exakt  $t = 0$  muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:
	:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon		:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon
	\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon		\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon
	\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$		\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$



	[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png \| Berechnete Rechteckantwort\| rechts\|frame]]		[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png \| Berechnete Rechteckantwort\| rechts\|frame]]
	'''(5)'''  Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:		'''(5)'''  Der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann auch als die Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprünge dargestellt werden:
	:$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$		:$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
	Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:		*Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um  $±T/2$  verschobener Sprungantworten:
	:$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$		:$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
	Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.		*Für  $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$  gilt  $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.

	Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:		*Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
	:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =		:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$		{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$

Guenter am 18. Oktober 2019 um 09:37 Uhr

2019-10-18T09:37:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Oktober 2019, 11:37 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	*Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:		*Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:
	:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$		:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
	*Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  [[Aufgaben:3.~~8_Dreimal_Faltung~~\|Aufgabe 3.8]]  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.		*Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  [[Aufgaben:Aufgabe_3.8:_Dreimal_Faltung%3F\|Aufgabe 3.8]]  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
	*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.		*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.

Guenter am 18. Oktober 2019 um 09:35 Uhr

2019-10-18T09:35:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Oktober 2019, 11:35 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID817__LZI_A_1_3.png \|right\|frame\|Gemessene Sprungantwort]]		[[Datei:P_ID817__LZI_A_1_3.png \|right\|frame\|Gemessene Sprungantwort]]
	An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems		An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems
	*mit dem Frequenzgang $H(f)$		*mit dem Frequenzgang  $H(f)$
	*und der Impulsantwort $h(t)$		*und der Impulsantwort  $h(t)$


	wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):		wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):
	:$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$		:$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$
	Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den unten dargestellten Verlauf. Mit $T = 2 \,{\rm ms}$ kann dieses Signal im Bereich von $0$ bis $T$ wie folgt beschrieben werden:		Das gemessene Ausgangssignal  $y_1(t)$  hat dann den unten dargestellten Verlauf.
			*Mit  $T = 2 \,{\rm ms}$  kann dieses Signal im Bereich von  $0$  bis  $T$  wie folgt beschrieben werden:
	:$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$		:$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$

	Ab $t = T $ ist $y_1(t)$ konstant gleich $1 \,{\rm V}$.		*Ab  $t = T $  ist  $y_1(t)$  konstant gleich  $1 \,{\rm V}$.

	In der letzten Teilaufgabe '''(5)''' wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$ anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).
			In der letzten Teilaufgabe  '''(5)'''  wird nach dem Ausgangssignal  $y_2(t)$  gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls  $x_2(t)$  der Dauer  $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$  anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).






Zeile 23:		Zeile 28:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich\|Systembeschreibung im Zeitbereich]]		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich\|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
	*Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ auch geschrieben werden:		*Für den Rechteckimpuls  $x_2(t)$  kann mit  $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$  auch geschrieben werden:
	:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$		:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
	*Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.		*Der Frequenzgang  $H(f)$  des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu  [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]]  im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
	*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt.		*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird  $H(f)$  jedoch nicht explizit benötigt.


Zeile 38:		Zeile 43:
	{Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich?		{Welche Aussagen sind anhand der Grafik über das LZI–System möglich?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H(f)$ beschreibt ein akausales System.		- $H(f)$  beschreibt ein akausales System.
	+ $H(f)$ beschreibt ein kausales System.		+ $H(f)$  beschreibt ein kausales System.
	+ $H(f)$ beschreibt einen Tiefpass.		+ $H(f)$  beschreibt einen Tiefpass.
	- $H(f)$ beschreibt einen Hochpass.		- $H(f)$  beschreibt einen Hochpass.


Zeile 49:		Zeile 54:


	{Wie lautet die Sprungantwort $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei $t = T/2$ auf?		{Wie lautet die Sprungantwort  $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei  $t = T/2$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $ { 0.1875 5% }		$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $ { 0.1875 5% }


	{Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems. ~~<br>~~Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = T$?		{Berechnen Sie die Impulsantwort  $h(t)$  des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten  $t = T/2$  und  $t = T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 }  $\text {1/s}$		$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 }  $\text {1/s}$
	$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$		$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$

	{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. ~~<br>~~Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t_1 = -1 \text { ms}$, $t_2 = 0$ , $t_3 = +1 \text { ms}$  und  $t_4 = +2 \text { ms}$?		{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls  $x_2(t)$  an. Welches Ausgangssignal  $y_2(t)$  ergibt sich zu den Zeiten  $t_1 = -1 \text { ms}$,  $t_2 = 0$ ,  $t_3 = +1 \text { ms}$  und  $t_4 = +2 \text { ms}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$		$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$

Guenter am 23. Oktober 2018 um 12:44 Uhr

2018-10-23T12:44:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2018, 14:44 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:
	{Wie lautet die Sprungantwort $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei $t = T/2$ auf?		{Wie lautet die Sprungantwort $σ(t)$? Welcher Wert tritt bei $t = T/2$ auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$σ(t = \rm 1 \: ms) \ =$ { 0.1875 5% }		$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $ { 0.1875 5% }


Zeile 74:		Zeile 74:
	*Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.		*Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
	*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.		*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
	*Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.		*Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt:   $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.


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	\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$		\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

	'''(3)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. Wegen $x_1(t) = 4 \ \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:		'''(3)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde.
	:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\~~left~~( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\~~right~~).$$		*Wegen $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:
	Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$. Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$. Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.		:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$
			*Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$.
			*Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
			*Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.


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	[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png \| Berechnete Rechteckantwort\| rechts\|frame]]		[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png \| Berechnete Rechteckantwort\| rechts\|frame]]
	'''(5)'''  Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:		'''(5)'''  Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:
	:$$x_2(t) = A \cdot \~~left~~[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\~~right~~].$$		:$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$
	Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:		Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:
	:$$y_2(t) = A \cdot \~~left~~[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\~~right~~].$$		:$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$
	Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.		Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.

	Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:		Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
	:$$y_2(t = 0) = A \cdot \~~left~~[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\~~right~~] =		:$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] =
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$		{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
	:$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \~~left~~[\sigma( T) - \sigma(0)\~~right~~] =		:$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] =
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$		{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
	:$$y_2(t = T) = A \cdot \~~left~~[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\~~right~~] =		:$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] =
	{\rm 2\, V}\cdot \~~left~~[0.25 - 0.1875\~~right~~] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$		{\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 23. Oktober 2018 um 12:35 Uhr

2018-10-23T12:35:43Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2018, 14:35 Uhr
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	[[Datei:P_ID817__LZI_A_1_3.png \|right\|frame\|Gemessene Sprungantwort]]		[[Datei:P_ID817__LZI_A_1_3.png \|right\|frame\|Gemessene Sprungantwort]]
	An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems mit Frequenzgang $H(f)$ und Impulsantwort $h(t)$ wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):		An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems
	:$$x_1(t) = 4\ {\rm V} \cdot \gamma(t).$$		*mit dem Frequenzgang $H(f)$
	Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den ~~in der unteren Grafik~~ dargestellten Verlauf. Mit $T = 2 \,{\rm ms}$ kann dieses Signal im Bereich von $0$ bis $T$ wie folgt beschrieben werden:		*und der Impulsantwort $h(t)$
	:$$y_1(t) = 2\,{\rm V} \cdot\~~left~~[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\~~right~~].$$

			wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):
			:$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$
			Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den unten dargestellten Verlauf. Mit $T = 2 \,{\rm ms}$ kann dieses Signal im Bereich von $0$ bis $T$ wie folgt beschrieben werden:
			:$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$

	Ab $t = T $ ist $y_1(t)$ konstant gleich $1 \,{\rm V}$.		Ab $t = T $ ist $y_1(t)$ konstant gleich $1 \,{\rm V}$.

	In der letzten Teilaufgabe (5) wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T = 2 \ {\rm ms}$ anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).		In der letzten Teilaufgabe '''(5)''' wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$ anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).


Zeile 19:		Zeile 24:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich\|Systembeschreibung im Zeitbereich]]		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich\|Systembeschreibung im Zeitbereich]]
	*Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \ \text{V}$ auch geschrieben werden:		*Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ auch geschrieben werden:
	:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$		:$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$
	*Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.		*Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
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	{Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems. Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = T$?		{Berechnen Sie die Impulsantwort $h(t)$ des Systems. <br>Welche Werte besitzt diese zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 }  $\text {1/s}$		$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $ { 125 }  $\text {1/s}$
	$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$		$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$

	{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t_1 = -1 \text { ms}$, $t_2 = 0$ , $t_3 = +1 \text { ms}$ und $t_4 = +2 \text { ms}$?		{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. <br>Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t_1 = -1 \text { ms}$, $t_2 = 0$ , $t_3 = +1 \text { ms}$  und  $t_4 = +2 \text { ms}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$		$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:36Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	*Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.		*Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu [[Aufgaben:3.8_Dreimal_Faltung\|Aufgabe 3.8]] im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
	*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt.		*Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 15. Februar 2018 um 15:14 Uhr

2018-02-15T15:14:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Februar 2018, 17:14 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$		$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ ${ 0. }  $\text {1/s}$

	{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t = -1 \text { ms}$, $t = 0$ , $t = +1 \text { ms}$ und $t = +2 \text { ms}$?		{Am Eingang liegt der Rechteckimpuls $x_2(t)$ an. Welches Ausgangssignal $y_2(t)$ ergibt sich zu den Zeiten $t_1 = -1 \text { ms}$, $t_2 = 0$ , $t_3 = +1 \text { ms}$ und $t_4 = +2 \text { ms}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_2(t = ~~\rm \: -1 \: ms~~) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$		$y_2(t = t_1) \ =\ $ { 0. }  $\text {V}$
	$y_2(t = 0) \ =\ $ { 0.375 5% }  $\text {V}$		$y_2(t = t_2) \ =\ $ { 0.375 5% }  $\text {V}$
	$y_2(t = ~~\rm +1 \: ms~~) \ =\ $ { 0.5 5% }  $\text {V}$		$y_2(t = t_3) \ =\ $ { 0.5 5% }  $\text {V}$
	$y_2(t = ~~\rm +2 \: ms~~) \ =\ $ { 0.125 5% }  $\text {V}$		$y_2(t = t_4) \ =\ $ { 0.125 5% }  $\text {V}$


Zeile 66:		Zeile 66:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  ~~Das~~ Ausgangssignal $y_1(t)~~$ ist $~~0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt. Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
			*Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
	Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t >> 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen 0 gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar~~. Richtig sind die<u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.~~.		*Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
			*Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.


	'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:		'''(2)'''  Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:
	$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=		:$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}=
	\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$		\frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

	'''(3)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. Wegen $x_1(t) = 4 \ \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:		'''(3)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde. Wegen $x_1(t) = 4 \ \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:
	$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\left( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\right).$$		:$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\left( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\right).$$
	Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert 0.25. Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$. Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.		Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$. Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$. Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.


			[[Datei:P_ID840__LZI_A_1_3d.png \|Berechnete Impulsantwort \| rechts\|frame]]
	'''(4)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:		'''(4)'''  Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:
	~~[[Datei~~:~~P_ID840__LZI_A_1_3d.png \|Berechnete Impulsantwort \| rechts]]~~		:$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$
	$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$
	$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
	$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$		Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ist stets $h(t)=0$. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:
	Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ist $h(t)~~$ stets $~~0$. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:		:$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon
	$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon
	\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon		\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon
	\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$		\hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$


			[[Datei:P_ID829__LZI_A_1_3e.png \| Berechnete Rechteckantwort\| rechts\|frame]]
	'''(5)'''  Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:		'''(5)'''  Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:
	~~[[Datei~~:~~P_ID829__LZI_A_1_3e.png \| Berechnete Rechteckantwort\| rechts]]~~		:$$x_2(t) = A \cdot \left[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\right].$$
	$$x_2(t) = A \cdot \left[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\right].$$
	Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:		Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:
	$$y_2(t) = A \cdot \left[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\right].$$		:$$y_2(t) = A \cdot \left[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\right].$$
	Für $t = \: –T/2 = –1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$. Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:		Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.
	$$y_2(t = 0) = A \cdot \left[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\right] =
			Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:
			:$$y_2(t = 0) = A \cdot \left[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\right] =
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$		{\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$
	$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \left[\sigma( T) - \sigma(0)\right] =		:$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \left[\sigma( T) - \sigma(0)\right] =
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$		{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$
	$$y_2(t = T) = A \cdot \left[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\right] =		:$$y_2(t = T) = A \cdot \left[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\right] =
	{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0.1875\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$		{\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0.1875\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$