Aufgaben:Aufgabe 1.3: Entropienäherungen - Versionsgeschichte

Guenter am 19. Juni 2021 um 12:52 Uhr

2021-06-19T12:52:18Z

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2021-06-19T12:44:28Z

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2020-01-16T16:52:38Z

Guenter am 16. Januar 2020 um 16:39 Uhr

2020-01-16T16:39:55Z

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Guenter am 18. September 2018 um 15:54 Uhr

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Guenter am 18. September 2018 um 15:38 Uhr

2018-09-18T15:38:10Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:36Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.3 Entropienäherungen nach Aufgaben:Aufgabe 1.3: Entropienäherungen

2018-01-03T13:53:55Z

Guenter verschob die Seite 1.3 Entropienäherungen nach Aufgabe 1.3: Entropienäherungen

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 *Nicht bekannt ist die Zuordnung zwischen den Quellen&nbsp; $\rm Q1$,&nbsp; $\rm Q2$,&nbsp; $\rm Q3$,&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; und den in der Grafik gezeigten gezeigten Symbolfolgen&nbsp; (Schwarz, Blau, Rot, Grün).
 *Es ist lediglich bekannt, dass die Quelle&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; einen Wiederholungscode beinhaltet.&nbsp; Aufgrund der Tatsache, dass bei der entsprechenden Symbolfolge jedes zweite Symbol keinerlei Information lierfert, ist die Entropie&nbsp; $H = 0.5 \; \rm bit/Symbol$.
-*Zudem sind die Näherungen&nbsp; $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole)&nbsp; und&nbsp; $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gegeben.
+*Zudem sind die Näherungen&nbsp; $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; und&nbsp; $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gegeben.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die schwarze Binärfolge stammt von der Quelle&nbsp; $\underline{\rm Q3}$,
-*da die Symbole gleichwahrscheinlich sind &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H_1 = H_0$ und
+*da die Symbole gleichwahrscheinlich sind &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H_1 = H_0$,&nbsp; und
 *keine statistischen Bindungen zwischen den Symbolen bestehen &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H=$ ...  $= H_2 = H_1$.
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 :$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_1 = 1\,{\rm bit/Symbol}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zur&nbsp; $H_2$-Ermittlung  betrachtet man Zweiertupel.&nbsp; Die Verbundwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm AA}$,&nbsp; $p_{\rm AB}$,&nbsp; $p_{\rm BA}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm BB}$&nbsp; können daraus berechnet werden.&nbsp; Aus der Skizze erkennt man:
+Zur&nbsp; $H_2$&ndash;Ermittlung  betrachtet man Zweiertupel.&nbsp; Die Verbundwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm AA}$,&nbsp; $p_{\rm AB}$,&nbsp; $p_{\rm BA}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm BB}$&nbsp; können daraus berechnet werden.&nbsp; Aus der Skizze erkennt man:
 * Die Kombinationen&nbsp; $\rm AB$&nbsp; und&nbsp; $\rm BA$&nbsp; sind nur dann möglich, wenn ein Tupel bei geradzahligem&nbsp; $\nu$&nbsp; beginnt.&nbsp; Für die Verbundwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm AB}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm BA}$&nbsp; gilt dann:
 :$$p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}gerade})  \cdot {\rm Pr}( q_{\nu} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{\nu+1} = \mathbf{B}\hspace{0.05cm} | q_{\nu} = \mathbf{A}) =  {1}/{2} \cdot {1}/{2} \cdot {1}/{2} = {1}/{8} = p_{\rm BA}

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 [[Datei:Inf_A_1_3_vers2.png|right|frame|Verschiedene Binärfolgen]]
-Die Grafik zeigt vier Symbolfolgen&nbsp; $\langle q_\nu \rangle $&nbsp; mit jeweiliger Länge&nbsp; $N = 60$.&nbsp; Die Quellensymbole sind jeweils&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$.
+Die Grafik rechts oben zeigt vier Symbolfolgen&nbsp; $\langle q_\nu \rangle $&nbsp; mit jeweiliger Länge&nbsp; $N = 60$.&nbsp; Die Quellensymbole sind jeweils&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$.
 *Daraus folgt direkt, dass für den Entscheidungsgehalt aller betrachteten Quellen&nbsp; $H_0 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gilt.
 *Die Symbole&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp; treten  jedoch nicht gleichwahrscheinlich auf, sondern mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm B}$.
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 *Nicht bekannt ist die Zuordnung zwischen den Quellen&nbsp; $\rm Q1$,&nbsp; $\rm Q2$,&nbsp; $\rm Q3$,&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; und den in der Grafik gezeigten gezeigten Symbolfolgen&nbsp; (Schwarz, Blau, Rot, Grün).
-*Es ist lediglich bekannt, dass die Quelle&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; einen Wiederholungscode beinhaltet.&nbsp; Aufgrund der Tatsache, dass bei der entsprechenden Symbolfolge jedes zweite Symbol keinerlei Information lierfert, ist&nbsp; $H_0 = 0.5 \; \rm bit/Symbol$.
+*Es ist lediglich bekannt, dass die Quelle&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; einen Wiederholungscode beinhaltet.&nbsp; Aufgrund der Tatsache, dass bei der entsprechenden Symbolfolge jedes zweite Symbol keinerlei Information lierfert, ist die Entropie&nbsp; $H = 0.5 \; \rm bit/Symbol$.
-*Zudem sind die Entropienäherungen&nbsp; $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole)&nbsp; und&nbsp; $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gegeben.
+*Zudem sind die Näherungen&nbsp; $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole)&nbsp; und&nbsp; $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gegeben.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die schwarze Binärfolge stammt von der Quelle $\underline{\rm Q3}$,
+'''(1)'''&nbsp; Die schwarze Binärfolge stammt von der Quelle&nbsp; $\underline{\rm Q3}$,
 *da die Symbole gleichwahrscheinlich sind &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H_1 = H_0$ und
 *keine statistischen Bindungen zwischen den Symbolen bestehen &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; $H=$ ...  $= H_2 = H_1$.
 '''(3)'''&nbsp; Durch Ausschlussverfahren kommt man für die rote Binärfolge zum Ergebnis $\underline{\rm Q2}$:
 *Die Quelle $\rm Q1$ gehört nämlich zur blauen Folge, $\rm Q3$ zur schwarzen und $\rm Q4$ zum Wiederholungscode und damit offensichtlich zur grünen Symbolfolge.
 *Die rote Symbolfolge weist folgende Eigenschaften auf:
-:** Wegen $H_1 = H_0$ sind die Symbole gleichwahrscheinlich: &nbsp; $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$.
+:* Wegen&nbsp; $H_1 = H_0$&nbsp; sind die Symbole gleichwahrscheinlich: &nbsp; $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$.
-:** Wegen $H < H_1$ bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge.
+:* Wegen&nbsp; $H < H_1$&nbsp; bestehen statistische Bindungen innerhalb der Folge.
-*Diese erkennt man daran, dass es zwischen $\rm A$ und $\rm B$ mehr Übergänge als bei statistischer Unabhängigkeit gibt.
+*Diese erkennt man daran, dass es zwischen&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp; mehr Übergänge als bei statistischer Unabhängigkeit gibt.
-'''(4)'''&nbsp; Bei der grünen Symbolfolge (Quelle $\rm Q4$) sind die Symbole $\rm A$ und $\rm B$ gleichwahrscheinlich:
+'''(4)'''&nbsp; Bei der grünen Symbolfolge&nbsp; $($Quelle $\rm Q4)$&nbsp; sind die Symbole&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp; gleichwahrscheinlich:
 [[Datei:P_ID2247__Inf_A_1_3d.png|right|frame|Symbolfolgen eines binären Wiederholungscodes]]
 :$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_1 = 1\,{\rm bit/Symbol}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zur $H_2$-Ermittlung  betrachtet man Zweiertupel. Die Verbundwahrscheinlichkeiten $p_{\rm AA}$, $p_{\rm AB}$, $p_{\rm BA}$ und $p_{\rm BB}$ können daraus berechnet werden. Aus der Skizze erkennt man:
+Zur&nbsp; $H_2$-Ermittlung  betrachtet man Zweiertupel.&nbsp; Die Verbundwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm AA}$,&nbsp; $p_{\rm AB}$,&nbsp; $p_{\rm BA}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm BB}$&nbsp; können daraus berechnet werden.&nbsp; Aus der Skizze erkennt man:
-* Die Kombinationen $\rm AB$ und $\rm BA$ sind nur dann möglich, wenn ein Tupel bei geradzahligem $\nu$ beginnt. Für die Verbundwahrscheinlichkeiten $p_{\rm AB}$ und $p_{\rm BA}$ gilt dann:
+* Die Kombinationen&nbsp; $\rm AB$&nbsp; und&nbsp; $\rm BA$&nbsp; sind nur dann möglich, wenn ein Tupel bei geradzahligem&nbsp; $\nu$&nbsp; beginnt.&nbsp; Für die Verbundwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm AB}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm BA}$&nbsp; gilt dann:
 :$$p_{\rm AB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(\nu {\rm \hspace{0.15cm}ist\hspace{0.15cm}gerade})  \cdot {\rm Pr}( q_{\nu} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{\nu+1} = \mathbf{B}\hspace{0.05cm} | q_{\nu} = \mathbf{A}) =  {1}/{2} \cdot {1}/{2} \cdot {1}/{2} = {1}/{8} = p_{\rm BA}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dagegen gelten für die beiden weiteren Kombinationen $\rm AA$ und $\rm BB$:
+*Dagegen gelten für die beiden weiteren Kombinationen&nbsp; $\rm AA$&nbsp; und&nbsp; $\rm BB$:
 :$$p_{\rm AA} ={\rm Pr}(\nu = 1)  \cdot {\rm Pr}( q_1 = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{2} = \mathbf{A}\hspace{0.05cm} | q_{1} = \mathbf{A}) +  {\rm Pr}(\nu=2)  \cdot {\rm Pr}( q_{2} = \mathbf{A}) \cdot {\rm Pr}(q_{3} = \mathbf{A}\hspace{0.05cm} | q_{2} = \mathbf{A})
   \hspace{0.05cm}.$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm AA}  = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1+ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8} = p_{\rm BB}
   \hspace{0.05cm}.$$
-:Hierbei steht $\nu = 1$ für alle ungeradzahligen $\nu$ und $\nu = 2$ für alle geradzahligen.
+:Hierbei steht&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; für alle ungeradzahligen Indizes und&nbsp; $\nu = 2$&nbsp; für alle geradzahligen Indizes.
 *Damit ergibt sich für die Entropienäherung:
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 \cdot \frac{1}{8} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}(8)\right ] = \frac{2.5}{3} \hspace{0.15cm} \underline {= 0.833 \,{\rm bit/Symbol}}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Zur Berechnung von$H_4$  ergeben sich folgende $16$ Wahrscheinlichkeiten:
+Zur Berechnung von&nbsp; $H_4$&nbsp;  ergeben sich folgende&nbsp; $16$&nbsp; Wahrscheinlichkeiten:
 :$$p_{\rm AAAA} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} p_{\rm BBBB} = 3/16 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm AABB} = p_{\rm BBAA} = 2/16 \hspace{0.05cm},$$
 :$$ p_{\rm AAAB} \hspace{0.1cm} =  \hspace{0.1cm} p_{\rm ABBA} = p_{\rm ABBB} = p_{\rm BBBA} = p_{\rm BAAB} = p_{\rm BAAA}= 1/16
@@ Zeile 137: / Zeile 140: @@
 {\rm log}_2\hspace{0.01cm}(8) + 6\hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} {\rm log}_2\hspace{0.01cm}(16)\right ]}{32} .$$
 Man erkennt:
-*Auch die Näherung $H_4 = 0.789\,{\rm bit/Symbol}$ weicht noch deutlich vom Entropie-Endwert $H = 0.5\,{\rm bit/Symbol}$ ab.
+*Auch die Näherung&nbsp; $H_4 = 0.789\,{\rm bit/Symbol}$&nbsp; weicht noch deutlich vom Entropie-Endwert&nbsp; $H = 0.5\,{\rm bit/Symbol}$&nbsp; ab.
-*Der Wiederholungscode kann offensichtlich nicht durch eine Markovquelle modelliert werden. Wäre $\rm Q4$ eine Markovquelle, so müsste nämlich gelten:
+*Der Wiederholungscode kann offensichtlich nicht durch eine Markovquelle modelliert werden.&nbsp; Wäre&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; eine Markovquelle, so müsste nämlich gelten:
 :$$H = 2 \cdot H_2 - H_1
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}H_2 = 1/2 \cdot (H+H_1) =

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 [[Datei:Inf_A_1_3_vers2.png|right|frame|Verschiedene Binärfolgen]]
 Die Grafik zeigt vier Symbolfolgen&nbsp; $\langle q_\nu \rangle $&nbsp; mit jeweiliger Länge&nbsp; $N = 60$.&nbsp; Die Quellensymbole sind jeweils&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$.
-*Daraus folgt direkt, dass für den Entscheidungsgehalt aller betrachteten Quellen $H_0 = 1 \; \rm bit/Symbol$ gilt.
+*Daraus folgt direkt, dass für den Entscheidungsgehalt aller betrachteten Quellen&nbsp; $H_0 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gilt.
-*Die Symbole $\rm A$ und $\rm B$ treten  jedoch nicht gleichwahrscheinlich auf, sondern mit den Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$ und $p_{\rm B}$.
+*Die Symbole&nbsp; $\rm A$&nbsp; und&nbsp; $\rm B$&nbsp; treten  jedoch nicht gleichwahrscheinlich auf, sondern mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm B}$.
-Die untere Tabelle zeigt neben $H_0$ noch die Entropienäherungen
+Die untere Tabelle zeigt neben&nbsp; $H_0$&nbsp; noch die Entropienäherungen
-* $H_1$, basierend auf $p_{\rm A}$ und $p_{\rm B}$ (Spalte 2),
+* $H_1$,&nbsp; basierend auf&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; (Spalte 2),
-* $H_2$, basierend auf Zweiertupel (Spalte 3),
+* $H_2$,&nbsp; basierend auf Zweiertupel (Spalte 3),
-* $H_3$, basierend auf Dreiertupel (Spalte 4),
+* $H_3$,&nbsp; basierend auf Dreiertupel (Spalte 4),
-* $H_4$, basierend auf Vierertupel (Spalte 5),
+* $H_4$,&nbsp; basierend auf Vierertupel (Spalte 5),
-* die tatsächliche Entropie $H$, die sich aus $H_k$ durch den Grenzübergang für $k \to \infty$ ergibt (letzte Spalte).
+* die tatsächliche Entropie&nbsp; $H$, die sich aus&nbsp; $H_k$&nbsp; durch den Grenzübergang für&nbsp; $k \to \infty$&nbsp; ergibt (letzte Spalte).
 Zwischen diesen Entropien bestehen folgende Größenrelationen: &nbsp; $H \le$ ... $\le H_3 \le H_2 \le H_1 \le H_0 \hspace{0.05cm}.$
-*Nicht bekannt ist die Zuordnung zwischen den Quellen $\rm Q1$, $\rm Q2$, $\rm Q3$, $\rm Q4$ und den in der Grafik gezeigten gezeigten Symbolfolgen (Schwarz, Blau, Rot, Grün).
+*Nicht bekannt ist die Zuordnung zwischen den Quellen&nbsp; $\rm Q1$,&nbsp; $\rm Q2$,&nbsp; $\rm Q3$,&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; und den in der Grafik gezeigten gezeigten Symbolfolgen&nbsp; (Schwarz, Blau, Rot, Grün).
-*Es ist lediglich bekannt, dass die Quelle $\rm Q4$ einen Wiederholungscode beinhaltet. Aufgrund der Tatsache, dass bei der entsprechenden Symbolfolge jedes zweite Symbol keinerlei Information lierfert, ist $H_0 = 0.5 \; \rm bit/Symbol$.
+*Es ist lediglich bekannt, dass die Quelle&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; einen Wiederholungscode beinhaltet.&nbsp; Aufgrund der Tatsache, dass bei der entsprechenden Symbolfolge jedes zweite Symbol keinerlei Information lierfert, ist&nbsp; $H_0 = 0.5 \; \rm bit/Symbol$.
-*Zudem sind die Entropienäherungen $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$ (gleichwahrscheinliche Symbole) und $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$ gegeben.
+*Zudem sind die Entropienäherungen&nbsp; $H_1 = 1 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; (gleichwahrscheinliche Symbole)&nbsp; und&nbsp; $H_4 \approx 0.789 \; \rm bit/Symbol$&nbsp; gegeben.
-Zu bestimmen sind für diese Nachrichtenquelle $\rm Q4$ schließlich noch die Entropienäherungen $H_2$ und $H_3$.
+Zu bestimmen sind für diese Nachrichtenquelle&nbsp; $\rm Q4$&nbsp; schließlich noch die Entropienäherungen&nbsp; $H_2$&nbsp; und&nbsp; $H_3$.
 [[Datei:Inf_A_1_3b_vers2.png|left|frame|Quellenentropie und Näherungen in &bdquo;bit/Symbol&rdquo;]]
 <br clear=all>
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis|Nachrichtenquellen mit Gedächtnis]].
-*Für die $k$&ndash;te Entropienäherung gilt bei Binärquellen $(M = 2)$ mit der Verbundwahrscheinlichkeit $ p_i^{(k)}$ eines $k$&ndash;Tupels:
+*Für die&nbsp; $k$&ndash;te Entropienäherung gilt bei Binärquellen&nbsp; $(M = 2)$&nbsp; mit der Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $ p_i^{(k)}$&nbsp; eines&nbsp; $k$&ndash;Tupels:
 :$$H_k = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{2^k} p_i^{(k)} \cdot {\rm log}_2\hspace{0.1cm}\frac {1}{p_i^{(k)}} \hspace{0.5cm}({\rm Einheit\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.1cm}bit/Symbol})
   \hspace{0.05cm}.$$
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 <quiz display=simple>
 {Von welcher Quelle stammt die <u>schwarze Symbolfolge</u>?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\rm Q1$,
 - $\rm Q2$,
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 {Von welcher Quelle stammt die <u>blaue Symbolfolge</u>?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $\rm Q1$,
 - $\rm Q2$,
@@ Zeile 56: / Zeile 56: @@
 {Von welcher Quelle stammt die <u>rote Symbolfolge</u>?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\rm Q1$,
 + $\rm Q2$,
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
-{Berechnen Sie die Entropienäherung $H_2$ des Wiederholungscodes $\rm Q4$.
+{Berechnen Sie die Entropienäherung&nbsp; $H_2$&nbsp; des Wiederholungscodes&nbsp; $\rm Q4$.
 |type="{}"}
 $H_2 \ = \ $ { 0.906 3% } $\ \rm bit/Symbol$
-{Berechnen Sie die Entropienäherung $H_3$ des Wiederholungscodes  $\rm Q4$.
+{Berechnen Sie die Entropienäherung&nbsp; $H_3$&nbsp; des Wiederholungscodes&nbsp;  $\rm Q4$.
 |type="{}"}
 $H_3 \ =  \ $ { 0.833 3% } $\ \rm bit/Symbol$