Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Nochmals Lognormal–Fading - Versionsgeschichte

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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-{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
+{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
 |type="()"}
 - Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Konstante $k_1$ erzeugt den zeitunabhängigen Pfadverlust $V_1 = 60 \ \rm dB$. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Die Konstante&nbsp; $k_1$&nbsp; erzeugt den zeitunabhängigen Pfadverlust&nbsp; $V_1 = 60 \ \rm dB$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$k_{\rm 1} =  10^{-V_{\rm 1}/(20\hspace{0.05cm} {\rm dB})} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.001}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Für die Gaußsche Zufallsvariable $V_2$ sind (theoretisch) alle Werte zwischen $&ndash;&#8734;$ und $+&#8734;$ möglich.
+*Für die Gaußsche Zufallsvariable&nbsp; $V_2$&nbsp; sind (theoretisch) alle Werte zwischen&nbsp; $-&#8734;$&nbsp; und&nbsp; $+&#8734;$&nbsp; möglich.
-*Durch die Transformation $z_2 = 10^{{\it &ndash;V_2}\rm /20}$ ergeben sich für die lineare Zufallsgröße $z_2$ nur positive Werte und zwar zwischen 0 (falls $V_2$ positiv ist und bis ins Unendliche reicht) und $+&#8734;$ (sehr große negative Werte von $V_2$).
+*Durch die Transformation&nbsp; $z_2 = 10^{{\it -V_2}\rm /20}$&nbsp; ergeben sich für die lineare Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; nur positive Werte und zwar zwischen&nbsp; 0&nbsp; $($falls&nbsp; $V_2$&nbsp; positiv ist und bis ins Unendliche reicht$)$&nbsp; und $+&#8734;$&nbsp; $($für sehr große negative Werte von $V_2)$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Zufallsgröße $z_2$ kann nur positiv sein. Deshalb ist der WDF&ndash;Wert $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\hspace{0.15cm} \underline{ = 0}$.
+'''(3)'''&nbsp; Die Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; kann nur positiv sein.&nbsp; Deshalb ist der WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\hspace{0.15cm} \underline{ = 0}$.
-*Der WDF&ndash;Wert für den Abszissenwert $z_2 = 1$ erhält man durch Einsetzen in die gegebene Gleichung:
+*Der WDF&ndash;Wert für den Abszissenwert&nbsp; $z_2 = 1$&nbsp; erhält man durch Einsetzen in die gegebene Gleichung:
-:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_2 = 1) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot (z_2 = 1)}=\frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot \sigma_{\rm S} }  \cdot \frac {1}{  C  } =
+:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}=1)
   \frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot 6\,\,{\rm dB} }  \cdot \frac {20\,\,{\rm dB}}{  {\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)  }
   \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.578}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der erste Anteil ist gleich dem WDF&ndash;Wert $f_{{\it V}2}(V_2 = 0)$.
+*Der erste Anteil ist gleich dem WDF&ndash;Wert&nbsp; $f_{{\it V}2}(V_2 = 0)$.
-*$C$ berücksichtigt den Betrag der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie $z_2 = g(V_2)$ für $V_2 = 0 \ \rm dB$ bzw. $z_2 = 1$.
+*$C$&nbsp; berücksichtigt den Betrag der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie&nbsp; $z_2 = g(V_2)$&nbsp; für&nbsp; $V_2 = 0 \ \rm dB$&nbsp; bzw.&nbsp; $z_2 = 1$.
-*Schließlich erhält man für $z_2 = 2$:
+*Schließlich erhält man für&nbsp; $z_2 = 2$:
 :$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac {f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1)}{ z_{\rm 2} = 2} \cdot
-  {\rm exp } \left [ - \frac {{\rm ln}^2 (2)}{2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ]= \frac {0.578}{ 2} \cdot
+  {\rm e }^{  - {{\rm ln}^2 (2)}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}C^2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2)} =  {0.578}/{ 2} \cdot
-  {\rm exp } \left [ - \frac {0.48}{0.952} \right ] \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.174}\hspace{0.05cm}. $$
+  {\rm e } ^{ - {0.48}/{0.952} } \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.174}\hspace{0.05cm}. $$
-'''(4)'''&nbsp; Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen $z_2$ und $V_2$, so erhält man:
+'''(4)'''&nbsp; Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen&nbsp; $z_2$&nbsp; und&nbsp; $V_2$, so erhält man:
 :$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(V_{\rm 2} < 0\,\,{\rm dB})\hspace{0.15cm} \underline{= 0.5}
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 111: / Zeile 114: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich ${\rm Q}(2)$:
+*Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als&nbsp; $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich&nbsp; ${\rm Q}(2)$:
 :$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 4)  =  {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm} \underline{= 0.023}
   \hspace{0.05cm}.$$
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 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die erste Aussage ist mit Sicherheit nicht zutreffend, da sich der Mittelwert $m_{\rm S}$ auf die logarithmierte Empfangsleistung (in $\rm dBm$) bezieht.
+*Die erste Aussage ist mit Sicherheit nicht zutreffend, da sich der Mittelwert&nbsp; $m_{\rm S}$&nbsp; auf die logarithmierte Empfangsleistung&nbsp; $($in&nbsp; $\rm dBm)$&nbsp; bezieht.
-*Um zu klären, ob nun die zweite oder die dritte Lösungsalternative zutrifft, gehen wir von $P_{\rm S} = 1 \ \rm W$, $V_1 = 60 \ \rm dB$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $P_{\rm E}' = 1 \ {\rm &micro; W}$ und folgender $V_2$&ndash;WDF aus:
+*Um zu klären, ob nun die zweite oder die dritte Lösungsalternative zutrifft, gehen wir von&nbsp; $P_{\rm S} = 1 \ \rm W$,&nbsp; $V_1 = 60 \ \rm dB$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $P_{\rm E}' = 1 \ {\rm &micro; W}$&nbsp; und folgender&nbsp; $V_2$&ndash;WDF aus:
 :$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  0.5 \cdot \delta (V_{\rm 2}) + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}- 10\,\,{\rm dB})
   + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}+ 10\,\,{\rm dB})\hspace{0.05cm}.$$
-*In der Hälfte der Zeit ist dann $P_{\rm E} = 1 \ \rm &micro; W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
+*In der Hälfte der Zeit ist dann&nbsp; $P_{\rm E} = 1 \ \rm &micro; W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
 :$$V_{\rm 2}= +10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^7} = 0.1\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm},$$
 :$$V_{\rm 2}= -10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^5} = 10\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm}.$$
-*Der Mittelwert ergibt somit:
+*Der Mittelwert ergibt somit zu:
-:$${\rm E}[P_{\rm E}(t)] =  0.5 \cdot 1\,{\rm &micro; W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm &micro; W}+0.25 \cdot 10\,{\rm &micro; W}= 3.025\,{\rm &micro; W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm &micro; W}
+:$${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big] =  0.5 \cdot 1\,{\rm &micro; W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm &micro; W}+0.25 \cdot 10\,{\rm &micro; W}= 3.025\,{\rm &micro; W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm &micro; W}
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der <u>Lösungsvorschlag 3</u> richtig sein wird.
+*Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der <u>Lösungsvorschlag 3</u> richtig ist.
 {{ML-Fuß}}

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-{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
+{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}'$.
+- Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
-- Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] < P_{\rm E}'$.
+- Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] < P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
-+ Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] > P_{\rm E}'$.
++ Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] > P_{\rm E}\hspace{0.01cm}'$.
 </quiz>

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 }}
-[[Datei:P_ID2123__Mob_Z_1_2.png|right|frame|Pfadverlustmodell <br>mit Lognormal-Fading]]
+[[Datei:P_ID2123__Mob_Z_1_2.png|right|frame|Modell für Lognormal-Fading]]
-Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der&nbsp; [[Aufgaben:1.2_Lognormal_%E2%80%93_Kanalmodell|Aufgabe 1.2]]&nbsp; aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust&nbsp; $V_0$&nbsp; und den Mittelwert&nbsp; $m_{\rm S}$&nbsp; des Lognormal&ndash;Fadings zusammen (der Index &bdquo;S&rdquo; steht für <i>Shadowing</i>):
+Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der&nbsp; [[Aufgaben:1.2_Lognormal_%E2%80%93_Kanalmodell|Aufgabe 1.2]]&nbsp; aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust&nbsp; $V_0$&nbsp; und den Mittelwert&nbsp; $m_{\rm S}$&nbsp; des Lognormal&ndash;Fadings zusammen&nbsp; (der Index &bdquo;S&rdquo; steht für <i>Shadowing</i>):
 :$$V_{\rm 1} =  V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
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 gegeben, wobei&nbsp; $V_2(t)$&nbsp; eine  ''Lognormal&ndash;Verteilung''&nbsp; mit Mittelwert Null beschreibt:
-:$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm e }^{ - { (V_{\rm S}\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}m_{\rm S})^2}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2) }\hspace{0.05cm}.$$
 Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet:
-*Multipliziert man das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zunächst mit einem konstanten Faktor&nbsp; $k_1$&nbsp; und weiter mit einer stochastischen Größe&nbsp; $z_2(t)$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeitsdichte (WDF)&nbsp; $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal&nbsp; $r(t)$, dessen Leistung&nbsp; $P_{\rm E}(t)$&nbsp; aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist.
+*Multipliziert man das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zunächst mit einem konstanten Faktor&nbsp; $k_1$&nbsp; und weiter mit einer stochastischen Größe&nbsp; $z_2(t)$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $\rm (WDF)$&nbsp; $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal&nbsp; $r(t)$, dessen Leistung&nbsp; $P_{\rm E}(t)$&nbsp; aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist.
 *Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; lautet für&nbsp; $z_2 &#8805; 0$:
-:$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) =  \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2}    \hspace{0.3cm}{\rm mit}  \hspace{0.3cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$f_{z_{\rm 2}}(z_{\rm 2}) =  \frac {{\rm e^{- {\rm ln}^2 (z_{\rm 2})
 *Für&nbsp; $z_2 &#8804; 0$&nbsp; ist diese WDF identisch Null.

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 '''(1)'''&nbsp; Die Konstante $k_1$ erzeugt den zeitunabhängigen Pfadverlust $V_1 = 60 \ \rm dB$. Daraus folgt:
 :$$k_{\rm 1} =  10^{-V_{\rm 1}/(20\hspace{0.05cm} {\rm dB})} \hspace{0.15cm} \underline{= 0.001}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
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-Der WDF&ndash;Wert für den Abszissenwert $z_2 = 1$ erhält man durch Einsetzen in die gegebene Gleichung:
+'''(3)'''&nbsp; Die Zufallsgröße $z_2$ kann nur positiv sein. Deshalb ist der WDF&ndash;Wert $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\hspace{0.15cm} \underline{ = 0}$.
 :$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_2 = 1) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot (z_2 = 1)}=\frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot \sigma_{\rm S} }  \cdot \frac {1}{  C  } =
   \frac {1}{ \sqrt{2 \pi } \cdot 6\,\,{\rm dB} }  \cdot \frac {20\,\,{\rm dB}}{  {\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)  }
   \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.578}\hspace{0.05cm}.$$
-Der erste Anteil ist gleich dem WDF&ndash;Wert $f_{\it V2}(V_2 = 0)$ und $\rm C$ berücksichtigt den Betrag der Ableitung der nichtlinearen Kennlinie $z_2 = g(V_2)$ für $V_2 = 0 \ \rm dB$ bzw. $z_2 = 1$. Schließlich erhält man für $z_2 = 2$:
+*Der erste Anteil ist gleich dem WDF&ndash;Wert $f_{{\it V}2}(V_2 = 0)$.
 :$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  \frac {f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2} = 1)}{ z_{\rm 2} = 2} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac {{\rm ln}^2 (2)}{2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ]= \frac {0.578}{ 2} \cdot
   {\rm exp } \left [ - \frac {0.48}{0.952} \right ] \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.174}\hspace{0.05cm}. $$
 '''(4)'''&nbsp; Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen $z_2$ und $V_2$, so erhält man:
@@ Zeile 104: / Zeile 109: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich ${\rm Q}(2)$:
+*Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußvariable größer ist als $2 \cdot \sigma$, ist aber gleich ${\rm Q}(2)$:
 :$${\rm Pr}(z_{\rm 2} > 4)  =  {\rm Q}(2)\hspace{0.15cm} \underline{= 0.023}
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die erste Aussage ist mit Sicherheit nicht zutreffend, da sich der Mittelwert $m_{\rm S}$ auf die logarithmierte Empfangsleistung (in $\rm dBm$) bezieht. Um zu klären, ob nun die zweite oder die dritte Lösungsalternative zutrifft, gehen wir von $P_{\rm S} = 1 \ \rm W$, $V_1 = 60 \ \rm dB$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $P_{\rm E}' = 1 \ {\rm \mu W}$ und folgender $V_2$&ndash;WDF aus:
 :$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  0.5 \cdot \delta (V_{\rm 2}) + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}- 10\,\,{\rm dB})
   + 0.25 \cdot \delta (V_{\rm 2}+ 10\,\,{\rm dB})\hspace{0.05cm}.$$
-In der Hälfte der Zeit ist dann $P_{\rm E} = 1 \ \rm \mu W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
+*In der Hälfte der Zeit ist dann $P_{\rm E} = 1 \ \rm &micro; W$, während in den beiden anderen Vierteln jeweils gilt:
-:$$V_{\rm 2}= +10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^7} = 0.1\,\,{\rm \mu W}\hspace{0.05cm},$$
+:$$V_{\rm 2}= +10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^7} = 0.1\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm},$$
-:$$V_{\rm 2}= -10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^5} = 10\,\,{\rm \mu W}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$V_{\rm 2}= -10\,\,{\rm dB}\text{:} \hspace{0.3cm}  P_{\rm E}(t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1\,\,{\rm W}}{10^5} = 10\,\,{\rm &micro; W}\hspace{0.05cm}.$$
-Der Mittelwert ergibt somit:
+*Der Mittelwert ergibt somit:
-:$${\rm E}[P_{\rm E}(t)] =  0.5 \cdot 1\,{\rm \mu W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm \mu W}+0.25 \cdot 10\,{\rm \mu W}= 3.025\,{\rm \mu W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm \mu W}
+:$${\rm E}[P_{\rm E}(t)] =  0.5 \cdot 1\,{\rm &micro; W}+ 0.25 \cdot 0.1\,{\rm &micro; W}+0.25 \cdot 10\,{\rm &micro; W}= 3.025\,{\rm &micro; W} > P_{\rm E}\hspace{0.05cm}' = 1\,{\rm &micro; W}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der <u>dritte Lösungsvorschlag</u> richtig sein wird.
+*Diese einfache Rechnung mit diskreten Wahrscheinlichkeiten anstelle einer kontinuierlichen WDF deutet darauf hin, dass der <u>Lösungsvorschlag 3</u> richtig sein wird.
 {{ML-Fuß}}

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-[[Datei:P_ID2123__Mob_Z_1_2.png|right|frame|Pfadverlustmodell mit Lognormal-Fading]]
+[[Datei:P_ID2123__Mob_Z_1_2.png|right|frame|Pfadverlustmodell <br>mit Lognormal-Fading]]
-Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der [[Aufgaben:1.2_Lognormal_%E2%80%93_Kanalmodell|Aufgabe 1.2]] aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ und den Mittelwert $m_{\rm S}$ des Lognormal&ndash;Fadings zusammen (der Index S steht für <i>Shadowing</i>):
+Wir gehen von ähnlichen Bedingungen wie in der&nbsp; [[Aufgaben:1.2_Lognormal_%E2%80%93_Kanalmodell|Aufgabe 1.2]]&nbsp; aus, fassen aber nun den rein entfernungsabhängigen Pfadverlust&nbsp; $V_0$&nbsp; und den Mittelwert&nbsp; $m_{\rm S}$&nbsp; des Lognormal&ndash;Fadings zusammen (der Index &bdquo;S&rdquo; steht für <i>Shadowing</i>):
 :$$V_{\rm 1} =  V_{\rm 0} + m_{\rm S} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$$V_{\rm P} =  V_{\rm 1} + V_{\rm 2}(t)$$
-gegeben, wobei $V_2(t)$ eine  ''Lognormal&ndash;Verteilung'' mit Mittelwert 0 beschreibt:
+gegeben, wobei&nbsp; $V_2(t)$&nbsp; eine  ''Lognormal&ndash;Verteilung''&nbsp; mit Mittelwert Null beschreibt:
 :$$f_{V{\rm 2}}(V_{\rm 2}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ V_{\rm 2} ^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
 Das in der Grafik gezeigte Pfadverlustmodell ist für das hier beschriebene Szenario geeignet:
-*Multipliziert man das Sendesignal $s(t)$ zunächst mit einem konstanten Faktor $k_1$ und weiter mit einer stochastischen Größe $z_2(t)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal $r(t)$, dessen Leistung $P_{\rm E}(t)$ aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist.
+*Multipliziert man das Sendesignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; zunächst mit einem konstanten Faktor&nbsp; $k_1$&nbsp; und weiter mit einer stochastischen Größe&nbsp; $z_2(t)$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeitsdichte (WDF)&nbsp; $f_{\rm z2}(z_2)$, so ergibt sich am Ausgang das Signal&nbsp; $r(t)$, dessen Leistung&nbsp; $P_{\rm E}(t)$&nbsp; aufgrund des stochastischen Anteils natürlich ebenfalls zeitabhängig ist.
-*Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße $z_2$ lautet für $z_2 &#8805; 0$:
+*Die WDF der lognormalverteilten Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; lautet für&nbsp; $z_2 &#8805; 0$:
 :$$f_{z{\rm 2}}(z_{\rm 2}) =  \frac {{\rm exp } \left [ - {\rm ln}^2 (z_{\rm 2}) /({2 \cdot C^2 \cdot \sigma_{\rm S}^2}) \right ]}{ \sqrt{2 \pi }\cdot C \cdot \sigma_{\rm S} \cdot z_2}    \hspace{0.3cm}{\rm mit}  \hspace{0.3cm} C = \frac{{\rm ln} \hspace{0.1cm}(10)}{20\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Für $z_2 &#8804; 0$ ist diese WDF identisch Null.
+*Für&nbsp; $z_2 &#8804; 0$&nbsp; ist diese WDF identisch Null.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
 * Verwenden Sie folgende Kenngrößen:
 :$$V_{\rm 1} = 60\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}  \sigma_{\rm S} = 6\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
-* Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße $z$ größer ist als ihre Streuung $\sigma$, lautet:
+* Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; größer ist als ihre Streuung&nbsp; $\sigma$, lautet:
 :$${\rm Pr}(z > \sigma) = {\rm Pr}(z < -\sigma) = {\rm Q}(1) \approx 0.158\hspace{0.05cm}.$$
 * Außerdem gilt: &nbsp; ${\rm Pr}(z > 2\sigma) = {\rm Pr}(z < -2\sigma) = {\rm Q}(2) \approx 0.023\hspace{0.05cm}.$
-* Nochmals zur Verdeutlichung: $z_2$ ist die lineare Fading&ndash;Größe, während die Beschreibungsgröße $V_2$ auf dem Zehner&ndash;Logarithmus basiert. Es gelten folgende Umrechnungen:
+* Nochmals zur Verdeutlichung: &nbsp; $z_2$&nbsp; ist die lineare Fading&ndash;Größe, während die Beschreibungsgröße&nbsp; $V_2$&nbsp; auf dem Zehner&ndash;Logarithmus basiert.
 :$$z_2 =  10^{-V_{\rm 2}/20\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 V_{\rm 2} = -20\,{\rm dB} \cdot  {\rm lg}\hspace{0.15cm}z_2\hspace{0.05cm}.$$
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß sollte die Konstante $k_1$ sein?
+{Wie groß sollte die Konstante&nbsp; $k_1$&nbsp; sein?
 |type="{}"}
 $k_1\ = \ $ { 0.001 3% }
-{Welcher Wertebereich gilt für die Zufallsgröße $z_2$?
+{Welcher Wertebereich gilt für die Zufallsgröße&nbsp; $z_2$?
 |type="[]"}
-- Es sind alle Werte zwischen $&ndash;&#8734;$ und $+&#8734;$ möglich.
+- Es sind alle Werte zwischen&nbsp; $-&#8734;$ und $+&#8734;$&nbsp; möglich.
-+ Die Zufallsgröße $z_2$ ist nicht negativ.
++ Die Zufallsgröße&nbsp; $z_2$&nbsp; ist nicht negativ.
-- Der kleinstmögliche Wert ist $z_2 = 0.5$.
+- Der kleinstmögliche Wert ist&nbsp; $z_2 = 0.5$.
-- Der größtmögliche Wert ist $z_2 = 2$.
+- Der größtmögliche Wert ist&nbsp; $z_2 = 2$.
-{Berechnen Sie die WDF $f_{\rm z2}(z_2)$ für einige Abszissenwerte.
+{Berechnen Sie die WDF&nbsp; $f_{\rm z2}(z_2)$&nbsp; für einige Abszissenwerte.
 |type="{}"}
 $f_{\rm z2}(z_2 = 0)\ = \ $ { 0. }
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-{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung ${\rm E}[P_{\rm E}(t)]$? <br><u>Hinweis:</u> $P_{\rm E}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit $k_1$ (siehe Grafik).
+{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung&nbsp; ${\rm E}\big[P_{\rm E}(t)\big]$? <br><u>Hinweis:</u> &nbsp;$P_{\rm E}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit&nbsp; $k_1$&nbsp; (siehe Grafik).
 |type="[]"}
 - Es gilt: &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}'$.

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 10. November 2017, 11:12 Uhr
(kein Unterschied)

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 {Wie groß sollte die Konstante $k_1$ sein?
 |type="{}"}
-$k_1$ = { 0.001 3% }
+$k_1\ = \ $ { 0.001 3% }
 {Welcher Wertebereich gilt für die Zufallsgröße $z_2$?
@@ Zeile 51: / Zeile 51: @@
 {Berechnen Sie die WDF $f_{\rm z2}(z_2)$ für einige Abszissenwerte.
 |type="{}"}
-$f_{\rm z2}(z_2 = 0)$ = { 0 3% }
+$f_{\rm z2}(z_2 = 0)\ = \ $ { 0. }
-$f_{\rm z2}(z_2 = 1)$ = { 0.578 3% }
+$f_{\rm z2}(z_2 = 1)\ = \ $ { 0.578 3% }
-$f_{\rm z2}(z_2 = 2)$ = { 0.174 3% }
+$f_{\rm z2}(z_2 = 2)\ = \ $ { 0.174 3% }
 {Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(z_2 > 1)$ = { 0.5 3% }
+${\rm Pr}(z_2 > 1.0)\ = \ ${ 0.5 3% }
-${\rm Pr}(z_2 > 0.5)$ = { 0.842 3% }
+${\rm Pr}(z_2 > 0.5)\ = \ $ { 0.842 3% }
-${\rm Pr}(z_2 > 4)$ = { 0.023 3% }
+${\rm Pr}(z_2 > 4.0)\ = \ $ { 0.023 3% }
-{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung ${\rm E}[P_{\rm E}(t)]$? <u>Hinweis:</u> $P_{\rm E}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit $k_1$ siehe Grafik.
+{Welche Aussagen gelten für die mittlere Empfangsleistung ${\rm E}[P_{\rm E}(t)]$? <br><u>Hinweis:</u> $P_{\rm E}'$ ist die Leistung nach der Multiplikation mit $k_1$ (siehe Grafik).
 |type="[]"}
-- Es gilt ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}'$.
+- Es gilt &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] = P_{\rm E}'$.
-- Es gilt ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] < P_{\rm E}'$.
+- Es gilt &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] < P_{\rm E}'$.
-+ Es gilt ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] > P_{\rm E}'$.
++ Es gilt &nbsp; ${\rm E}[P_{\rm E}(t)] > P_{\rm E}'$.
 </quiz>