Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Linear verzerrendes System - Versionsgeschichte

Guenter am 16. November 2021 um 10:32 Uhr

2021-11-16T10:32:27Z

Guenter am 2. März 2020 um 10:37 Uhr

2020-03-02T10:37:24Z

Guenter am 2. März 2020 um 10:26 Uhr

2020-03-02T10:26:39Z

Guenter am 3. Dezember 2018 um 13:34 Uhr

2018-12-03T13:34:51Z

Guenter am 3. Dezember 2018 um 13:23 Uhr

2018-12-03T13:23:05Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:36Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:15:35Z

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Guenter am 19. Juni 2017 um 15:37 Uhr

2017-06-19T15:37:24Z

Guenter am 19. Juni 2017 um 15:05 Uhr

2017-06-19T15:05:51Z

Safwen am 11. Januar 2017 um 10:48 Uhr

2017-01-11T10:48:14Z

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 Modulator, Kanal und Demodulator einer Einrichtung zur Nachrichtenübertragung können durch ein einziges lineares System mit dem Frequenzgang
 :$$ H(f) = {\rm si }( \pi \cdot f \cdot \Delta t)$$
-beschrieben werden.&nbsp; Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig, symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; und weist die Höhe &nbsp;$1/Δt$&nbsp; sowie die (äquivalente) Dauer &nbsp;$Δt$&nbsp; auf:
+beschrieben werden.&nbsp; Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig,&nbsp; symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; und weist die Höhe &nbsp;$1/Δt$&nbsp; sowie die (äquivalente) Dauer &nbsp;$Δt$&nbsp; auf:
 :$$ h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\Delta t \\ 1/(2\Delta t) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{4}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$
-Es handelt sich um einen Spalttiefpass, der im Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]&nbsp; des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.
+Es handelt sich um einen Spalttiefpass, der im Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Spalt.E2.80.93Tiefpass|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]&nbsp; des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.
 Am Systemeingang liegt das periodische Rechtecksignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; an.&nbsp; Die Dauer der einzelnen Rechtecke und die der Lücken sind somit jeweils &nbsp;$T_0/2$.&nbsp; Die Höhe der Rechtecke beträgt &nbsp;$2\ \rm V$.
-Das Signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet.&nbsp; Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte der äquivalenten Impulsdauer in der Grafik dargestellt (rote Kurvenverläufe):
+Das Signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet.&nbsp; Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte für die äquivalente Impulsdauer in der Grafik dargestellt (rote Kurvenverläufe):
-* Das Signal &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; ergibt sich, wenn die äquivalente Impulsdauer von &nbsp;$h(t)$&nbsp; genau &nbsp;$Δt_1$&nbsp; ist.
+* Das Signal &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; ergibt sich,&nbsp; wenn die äquivalente Impulsdauer von &nbsp;$h(t)$&nbsp; genau &nbsp;$Δt_1$&nbsp; ist.
 * Entsprechend ergibt sich das Signal &nbsp;$v_2(t)$&nbsp; mit der äquivalenten Impulsdauer &nbsp;$Δt_2$.
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 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].&nbsp; Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Signal.E2.80.93zu.E2.80.93St.C3.B6r.E2.80.93Leistungsverh.C3.A4ltnis|Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis]]&nbsp; und auf das Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]&nbsp; im Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;.
 *Die Leistungen &nbsp;$P_q$&nbsp; und &nbsp;$P_ε$&nbsp; sind die quadratischen Mittelwerte der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$ε(t)$&nbsp; und können bei periodischen Signalen mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; wie folgt ermittelt werden:
 :$$P_{q} = \overline{q(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {q(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {\varepsilon(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Angabe von Leistungen in &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; bedeutet, dass die Signale auf den Widerstand &nbsp;$R = 1\ \rm \Omega$&nbsp; bezogen werden.
+*Die Angabe von Leistungen in &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; bedeutet,&nbsp; dass die Signale auf den Widerstand &nbsp;$R = 1\ \rm \Omega$&nbsp; bezogen werden.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_1$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_1(t)$, bezogen auf die Periode&nbsp; $T_0$?
+{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_1$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_1(t)$,&nbsp; bezogen auf die Periode&nbsp; $T_0$?
 |type="{}"}
 $Δt_1/T_0 \ = \ $ { 0.5 3% }
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 $ε_\text{1, max} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
-{Wie groß ist die „Leistung” &nbsp;$P_{ε1}$&nbsp; des Fehlersignals, also die mittlere quadratische Abweichung zwischen &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$q(t)$?
+{Wie groß ist die „Leistung” &nbsp;$P_{ε1}$&nbsp; des Fehlersignals,&nbsp; also die mittlere quadratische Abweichung zwischen &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$q(t)$?
 |type="{}"}
 $P_{ε1} \ = \ $ { 0.333 3% } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 61: / Zeile 57: @@
 $ρ_{v1} \ = \ $ { 6 3% }
-{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_2$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_2(t)$, bezogen auf die Periode &nbsp;$T_0$?
+{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_2$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_2(t)$,&nbsp; bezogen auf die Periode &nbsp;$T_0$?
 |type="{}"}
 $Δt_2/T_0 \ = \ $  { 0.25 3% }
-{Ermitteln Sie das Fehlersignal &nbsp;$ε_2(t) = v_2(t) - q(t)$, die Verzerrungsleistung &nbsp;$P_{ε2}$&nbsp; und das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v2}$.
+{Ermitteln Sie das Fehlersignal &nbsp;$ε_2(t) = v_2(t) - q(t)$,&nbsp; die Verzerrungsleistung &nbsp;$P_{ε2}$&nbsp; und das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v2}$.
 |type="{}"}
 $P_{ε2} \ = \ $ { 0.167 3% } $\ \rm V^2$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)''' &nbsp; Allgemein gilt $v(t) = q(t) ∗ h(t)$. Die Faltung des periodischen Rechtecksignals $q(t)$ mit der ebenfalls rechteckigen Impulsantwort $h(t)$ liefert nur dann ein Dreiecksignal $v(t)$, wenn die miteinander gefalteten Rechtecke gleiche Breite haben. Daraus folgt:
+'''(1)''' &nbsp; Allgemein gilt&nbsp; $v(t) = q(t) ∗ h(t)$.&nbsp; Die Faltung des periodischen Rechtecksignals&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit der ebenfalls rechteckigen Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; liefert nur dann ein Dreiecksignal&nbsp; $v(t)$, wenn die miteinander gefalteten Rechtecke gleiche Breite haben. Daraus folgt:
 :$$\Delta t_1 = T_0 /2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t_1 / T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID958__Mod_Z_1_2_b.png|right|frame|Fehlersignale bei den beiden betrachteten Empfangsfiltern unterschiedlicher Breite]]
-'''(2)''' &nbsp; Das Fehlersignal $ε_1(t)$ ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt. Man erkennt, dass $ε_1(t)$ alle Werte zwischen $±1 \ \rm V$ annehmen kann:
+'''(2)''' &nbsp; Das Fehlersignal&nbsp; $ε_1(t)$&nbsp; ist in nebenstehender Grafik oben dargestellt.&nbsp; Man erkennt, dass&nbsp; $ε_1(t)$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $±1 \ \rm V$&nbsp; annehmen kann:
 :$${\varepsilon}_\text{ 1, max} \hspace{0.15cm}\underline {= {1}\;{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)''' &nbsp; Es genügt die Mittelung über den Zeitbereich von $t = 0$ bis $t =T_0/4$, da alle anderen Teilintervalle genau gleiche Beiträge liefern:
 :$$P_{\varepsilon{\rm 1}} = \frac{1}{T_{\rm 0}/4} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\int_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\varepsilon_1(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{1 \,{\rm V}^2}{T_{\rm 0}/4} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \int_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\left( 1 - \frac{t}{T_{\rm 0}/4}\right)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Substitution $x = 4 · t/T_0$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit der Substitution&nbsp; $x = 4 · t/T_0$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$P_{\varepsilon{\rm 1}} = 1 \,{\rm V}^2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \int_{0}^{ 1} \hspace{-0.2cm}{\left( 1 - 2x + x^2\right)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}= 1 \,{\rm V}^2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \left( 1 - 1 + \frac{1}{3}\right)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333} \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)''' &nbsp; Die Mittelung über eine Periode des quadrierten Quellensignals liefert:
 :$$P_{q} = \frac{1}{T_0} \cdot \left[(2\,{\rm V})^2 \cdot \frac{T_0}{2}+(0\,{\rm V})^2 \cdot \frac{T_0}{2} \right]\hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm V^2}}\hspace{0.05cm}.$$
-Das Sinken–SNR beträgt somit
+*Das Sinken–SNR beträgt somit
 :$$\rho_{v{\rm 1}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 1}}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{0.333 \,{\rm V}^2}\hspace{0.15cm}\underline {= 6} \hspace{0.05cm}.$$
-Wegen $ε_\text{2, max} = ε_\text{1, max} = 1 \ \rm V$ erhält man:
+'''(6)''' &nbsp; Die untere Skizze in obiger Grafik zeigt, dass sich&nbsp; $ε_2(t)$&nbsp; ebenso wie&nbsp; $ε_1(t)$&nbsp; innerhalb einer Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; aus vier Dreiecken zusammensetzt, doch sind diese nur halb so breit.&nbsp;
 :$$P_{\varepsilon{\rm 2}} ={P_{\varepsilon{\rm 1}}}/{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.167} \,{\rm V}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 2}} = {P_{q}}/{P_{\varepsilon {\rm 2}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 12} \hspace{0.05cm}.$$
-Anschaulich wurde erläutert, dass ein linearer Zusammenhang besteht. Daraus folgen für $Δt ≤ T_0/2$ die empirischen Gleichungen:
+'''(7)''' &nbsp; Für&nbsp; $Δt = T_0/2$&nbsp; wurde in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; die Verzerrungsleistung&nbsp; $P_{ε1} = 1/3 \ \rm  V^{ 2 }$&nbsp; berechnet.
 :$$P_{\varepsilon} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{3} \cdot \frac{\Delta t}{T_0} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon }}= \frac{3}{\Delta t/T_0} \hspace{0.05cm}.$$
-Der Sonderfall $Δt = T_0/20$ führt somit zu den Resultaten:
+*Der Sonderfall&nbsp; $Δt = T_0/20$&nbsp; führt somit zu den Resultaten:
 :$$P_{\varepsilon{\rm 3}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{60} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 3}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 3}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 60} \hspace{0.05cm}.$$

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 Modulator, Kanal und Demodulator einer Einrichtung zur Nachrichtenübertragung können durch ein einziges lineares System mit dem Frequenzgang
 :$$ H(f) = {\rm si }( \pi \cdot f \cdot \Delta t)$$
-beschrieben werden. Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig, symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; und weist die Höhe &nbsp;$1/Δt$&nbsp; sowie die (äquivalente) Dauer &nbsp;$Δt$&nbsp; auf:
+beschrieben werden.&nbsp; Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig, symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; und weist die Höhe &nbsp;$1/Δt$&nbsp; sowie die (äquivalente) Dauer &nbsp;$Δt$&nbsp; auf:
 :$$ h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\Delta t \\ 1/(2\Delta t) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{4}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$
 Es handelt sich um einen Spalttiefpass, der im Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]&nbsp; des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.
-Am Systemeingang liegt das periodische Rechtecksignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; an. Die Dauer der einzelnen Rechtecke und die der Lücken sind somit jeweils &nbsp;$T_0/2$. Die Höhe der Rechtecke beträgt &nbsp;$2\ \rm V$.
+Am Systemeingang liegt das periodische Rechtecksignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; an.&nbsp; Die Dauer der einzelnen Rechtecke und die der Lücken sind somit jeweils &nbsp;$T_0/2$.&nbsp; Die Höhe der Rechtecke beträgt &nbsp;$2\ \rm V$.
-Das Signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet. Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte der äquivalenten Impulsdauer in der Grafik dargestellt (rote Kurvenverläufe):
+Das Signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet.&nbsp; Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte der äquivalenten Impulsdauer in der Grafik dargestellt (rote Kurvenverläufe):
 * Das Signal &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; ergibt sich, wenn die äquivalente Impulsdauer von &nbsp;$h(t)$&nbsp; genau &nbsp;$Δt_1$&nbsp; ist.
 * Entsprechend ergibt sich das Signal &nbsp;$v_2(t)$&nbsp; mit der äquivalenten Impulsdauer &nbsp;$Δt_2$.
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 :$$\rho_{v} =P_{q}/{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].&nbsp; Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Signal.E2.80.93zu.E2.80.93St.C3.B6r.E2.80.93Leistungsverh.C3.A4ltnis|Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis]] und auf das Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]] im Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;.
 *Die Leistungen &nbsp;$P_q$&nbsp; und &nbsp;$P_ε$&nbsp; sind die quadratischen Mittelwerte der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$ε(t)$&nbsp; und können bei periodischen Signalen mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; wie folgt ermittelt werden:
 :$$P_{q} = \overline{q(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {q(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {\varepsilon(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_1$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_1(t)$, bezogen auf die Periode $T_0$?
+{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_1$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_1(t)$, bezogen auf die Periode&nbsp; $T_0$?
 |type="{}"}
 $Δt_1/T_0 \ = \ $ { 0.5 3% }
@@ Zeile 62: / Zeile 65: @@
 $Δt_2/T_0 \ = \ $  { 0.25 3% }
-{Ermitteln Sie das Fehlersignal &nbsp;$ε_2(t) = v_2(t) - q(t)$, die Verzerrungsleistung &nbsp;$P_{ε2}$&nbsp; und das Sinken–$\text{SNR} &nbsp;$ρ_{v2}$.
+{Ermitteln Sie das Fehlersignal &nbsp;$ε_2(t) = v_2(t) - q(t)$, die Verzerrungsleistung &nbsp;$P_{ε2}$&nbsp; und das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v2}$.
 |type="{}"}
 $P_{ε2} \ = \ $ { 0.167 3% } $\ \rm V^2$
 $ρ_{v2} \ = \ $ { 12 3% }
-{Verallgemeinern Sie Ihre Ergebnisse für eine beliebige äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt$. <br>Welches Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v3}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp;$Δt_3 = T_0/20$?
+{Verallgemeinern Sie Ihre Ergebnisse für eine beliebige äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt$.&nbsp; Welches Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v3}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp;$Δt_3 = T_0/20$?
 |type="{}"}
 $ρ_{v3} \ = \ ${ 60 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)''' &nbsp; Allgemein gilt $v(t) = q(t) ∗ h(t)$. Die Faltung des periodischen Rechtecksignals $q(t)$ mit der ebenfalls rechteckförmigen Impulsantwort $h(t)$ liefert nur dann ein Dreiecksignal $v(t)$, wenn die miteinander gefalteten Rechtecke gleiche Breite haben. Daraus folgt:
+'''(1)''' &nbsp; Allgemein gilt $v(t) = q(t) ∗ h(t)$. Die Faltung des periodischen Rechtecksignals $q(t)$ mit der ebenfalls rechteckigen Impulsantwort $h(t)$ liefert nur dann ein Dreiecksignal $v(t)$, wenn die miteinander gefalteten Rechtecke gleiche Breite haben. Daraus folgt:
 :$$\Delta t_1 = T_0 /2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t_1 / T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID958__Mod_Z_1_2_b.png|right|frame|Fehlersignale bei den beiden betrachteten Empfangsfiltern unterschiedlicher Breite]]
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 :$${\varepsilon}_\text{ 1, max} \hspace{0.15cm}\underline {= {1}\;{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)''' &nbsp; Es genügt die Mittelung über den Zeitbereich von$t = 0$ bis $t =T_0/4$, da alle anderen Teilintervalle genau gleiche Beiträge liefern:
-:$$P_{\varepsilon{\rm 1}} = \frac{1}{T_{\rm 0}/4} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\varepsilon_1(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{1 \,{\rm V}^2}{T_{\rm 0}/4} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}/4} {\left( 1 - \frac{t}{T_{\rm 0}/4}\right)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
+'''(3)''' &nbsp; Es genügt die Mittelung über den Zeitbereich von $t = 0$ bis $t =T_0/4$, da alle anderen Teilintervalle genau gleiche Beiträge liefern:
 Mit der Substitution $x = 4 · t/T_0$ kann hierfür auch geschrieben werden:
-:$$P_{\varepsilon{\rm 1}} = 1 \,{\rm V}^2 \cdot \int_{0}^{ 1} {\left( 1 - 2x + x^2\right)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}= 1 \,{\rm V}^2 \cdot \left( 1 - 1 + \frac{1}{3}\right)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333} \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$
+:$$P_{\varepsilon{\rm 1}} = 1 \,{\rm V}^2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \int_{0}^{ 1} \hspace{-0.2cm}{\left( 1 - 2x + x^2\right)}\hspace{0.1cm}{\rm d}x \hspace{0.05cm}= 1 \,{\rm V}^2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm} \left( 1 - 1 + \frac{1}{3}\right)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.333} \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)''' &nbsp; Die Mittelung über eine Periode des quadrierten Quellensignals liefert:
@@ Zeile 90: / Zeile 93: @@
 Das Sinken–SNR beträgt somit
 :$$\rho_{v{\rm 1}} = \frac{P_{q}}{P_{\varepsilon {\rm 1}}} = \frac{2 \,{\rm V}^2}{0.333 \,{\rm V}^2}\hspace{0.15cm}\underline {= 6} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)''' &nbsp; Entsprechend der Skizze auf dem Angabenblatt wird nun aus einem Rechteck der Dauer $0.5 \cdot T_0$ ein Trapez der absoluten Dauer $0.75 · T_0$. Damit ist nach den Gesetzen der Faltung offensichtlich, dass die äquivalente Impulsdauer $Δt_2/T_0\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25}$ sein muss.
@@ Zeile 99: / Zeile 104: @@
 :$$P_{\varepsilon{\rm 2}} ={P_{\varepsilon{\rm 1}}}/{2} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.167} \,{\rm V}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{v{\rm 2}} = {P_{q}}/{P_{\varepsilon {\rm 2}}}\hspace{0.15cm}\underline {= 12} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(7)''' &nbsp; Für $Δt = T_0/2$ wurde in der Teilaufgabe (3) die Verzerrungsleistung $P_{ε1} = 1/3 \ \rm  V^{ 2 }$ berechnet. In der Teilaufgabe(6) wurde gezeigt, dass bei $Δt = T_0/4$ die Verzerrungsleistung $P_{ε2}$ nur halb so groß ist.
 Anschaulich wurde erläutert, dass ein linearer Zusammenhang besteht. Daraus folgen für $Δt ≤ T_0/2$ die empirischen Gleichungen:

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID957__Mod_Z_1_2.png|right|frame|Zur Herleitung der Verzerrungen bei Rechtecksignalen]]
+[[Datei:P_ID957__Mod_Z_1_2.png|right|frame|Zur Herleitung der Verzerrungen <br>bei Rechtecksignalen]]
 Modulator, Kanal und Demodulator einer Einrichtung zur Nachrichtenübertragung können durch ein einziges lineares System mit dem Frequenzgang
 :$$ H(f) = {\rm si }( \pi \cdot f \cdot \Delta t)$$
-beschrieben werden. Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig, symmetrisch um $t = 0$ und weist die Höhe $1/Δt$ sowie die (äquivalente) Dauer $Δt$ auf:
+beschrieben werden. Die dazugehörige Impulsantwort ist rechteckförmig, symmetrisch um &nbsp;$t = 0$&nbsp; und weist die Höhe &nbsp;$1/Δt$&nbsp; sowie die (äquivalente) Dauer &nbsp;$Δt$&nbsp; auf:
 :$$ h(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/\Delta t \\ 1/(2\Delta t) \\ 0 \\ \end{array} \right. \begin{array}{*{4}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$
-Es handelt sich um einen Spalttiefpass, der im Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]] des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” eingehend behandelt wurde.
+Es handelt sich um einen Spalttiefpass, der im Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]&nbsp; des Buches „Lineare zeitinvariante Systeme” behandelt wurde.
-Am Systemeingang liegt das periodische Rechtecksignal $q(t)$ mit der Periodendauer $T_0$ an. Die Dauer der einzelnen Rechtecke und die der Lücken sind somit jeweils $T_0/2$. Die Höhe der Rechtecke beträgt $2\ \rm V$.
+Am Systemeingang liegt das periodische Rechtecksignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; an. Die Dauer der einzelnen Rechtecke und die der Lücken sind somit jeweils &nbsp;$T_0/2$. Die Höhe der Rechtecke beträgt &nbsp;$2\ \rm V$.
-Das Signal $v(t)$ am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet. Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte der äquivalenten Impulsdauer in der Grafik dargestellt:
+Das Signal &nbsp;$v(t)$&nbsp; am Systemausgang wird als Sinkensignal bezeichnet. Dieses ist für zwei verschiedene Parameterwerte der äquivalenten Impulsdauer in der Grafik dargestellt (rote Kurvenverläufe):
-* Das Signal $v_1(t)$ ergibt sich, wenn die äquivalente Impulsdauer von $h(t)$ genau $Δt_1$ ist.
+* Das Signal &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; ergibt sich, wenn die äquivalente Impulsdauer von &nbsp;$h(t)$&nbsp; genau &nbsp;$Δt_1$&nbsp; ist.
-* Entsprechend ergibt sich das Signal $v_2(t)$ mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt_2$.
+* Entsprechend ergibt sich das Signal &nbsp;$v_2(t)$&nbsp; mit der äquivalenten Impulsdauer &nbsp;$Δt_2$.
-Die Veränderung vom Rechtecksignal $q(t)$ zum dreieck- bzw. trapezförmigen Sinkensignal $v(t)$ ist auf lineare Verzerrungen zurückzuführen und wird durch das Fehlersignal $ε(t) = v(t) – q(t)$ erfasst. Mit den Leistungen $P_q$ und $P_ε$ der Signale $q(t)$ und $ε(t)$ kann das Sinken–SNR berechnet werden:
+Die Veränderung vom Rechtecksignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; zum dreieck- bzw. trapezförmigen Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; ist auf lineare Verzerrungen zurückzuführen und wird durch das Fehlersignal &nbsp;$ε(t) = v(t) - q(t)$&nbsp; erfasst.
 :$$\rho_{v} =P_{q}/{P_{\varepsilon }} \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien|Qualitätskriterien]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Signal.E2.80.93zu.E2.80.93St.C3.B6r.E2.80.93Leistungsverh.C3.A4ltnis|Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis]] und auf das Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]] im Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  &nbsp;[[Modulationsverfahren/Qualitätskriterien#Signal.E2.80.93zu.E2.80.93St.C3.B6r.E2.80.93Leistungsverh.C3.A4ltnis|Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis]] und auf das Kapitel &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]] im Buch &bdquo;Lineare zeitinvariante Systeme&rdquo;.
-*Die Leistungen $P_q$ und $P_ε$ sind die quadratischen Mittelwerte der Signale $q(t)$ und $ε(t)$ und können bei periodischen Signalen mit der Periodendauer $T_0$ wie folgt ermittelt werden:
+*Die Leistungen &nbsp;$P_q$&nbsp; und &nbsp;$P_ε$&nbsp; sind die quadratischen Mittelwerte der Signale &nbsp;$q(t)$&nbsp; und &nbsp;$ε(t)$&nbsp; und können bei periodischen Signalen mit der Periodendauer &nbsp;$T_0$&nbsp; wie folgt ermittelt werden:
 :$$P_{q} = \overline{q(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {q(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} P_{\varepsilon} = \overline{\varepsilon(t)^2} = \frac{1}{T_{\rm 0}} \cdot \int_{0}^{ T_{\rm 0}} {\varepsilon(t)^2 }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Angabe von Leistungen in $\rm V^2$ bedeutet, dass die Signale auf den Widerstand $R = 1\ \rm \Omega$ bezogen werden.
+*Die Angabe von Leistungen in &nbsp;$\rm V^2$&nbsp; bedeutet, dass die Signale auf den Widerstand &nbsp;$R = 1\ \rm \Omega$&nbsp; bezogen werden.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer $Δt_1$ innerhalb des Signals $v_1(t)$, bezogen auf die Periode $T_0$?
+{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_1$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_1(t)$, bezogen auf die Periode $T_0$?
 |type="{}"}
 $Δt_1/T_0 \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie groß ist der Maximalwert des Fehlersignals $ε_1(t) = v_1(t) - q(t)$?
+{Wie groß ist der Maximalwert des Fehlersignals &nbsp;$ε_1(t) = v_1(t) - q(t)$?
 |type="{}"}
 $ε_\text{1, max} \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
-{Wie groß ist die „Leistung” $P_{ε1}$ des Fehlersignals, also die mittlere quadratische Abweichung zwischen $v_1(t)$ und $q(t)$?
+{Wie groß ist die „Leistung” &nbsp;$P_{ε1}$&nbsp; des Fehlersignals, also die mittlere quadratische Abweichung zwischen &nbsp;$v_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$q(t)$?
 |type="{}"}
 $P_{ε1} \ = \ $ { 0.333 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie die Nutzleistung $P_q$ und das Sinken–SNR $ρ_{v1}$.
+{Berechnen Sie die Nutzleistung &nbsp;$P_q$&nbsp; und das Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v1}$.
 |type="{}"}
 $P_q\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
 $ρ_{v1} \ = \ $ { 6 3% }
-{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer $Δt_2$ innerhalb des Signals $v_2(t)$, bezogen auf die Periode $T_0$?
+{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt_2$&nbsp; innerhalb des Signals &nbsp;$v_2(t)$, bezogen auf die Periode &nbsp;$T_0$?
 |type="{}"}
 $Δt_2/T_0 \ = \ $  { 0.25 3% }
-{Ermitteln Sie das Fehlersignal $ε_2(t) = v_2(t) - q(t)$, die Verzerrungsleistung $P_{ε2}$ und das Sinken–$\text{SNR} $ρ_{v2}$.
+{Ermitteln Sie das Fehlersignal &nbsp;$ε_2(t) = v_2(t) - q(t)$, die Verzerrungsleistung &nbsp;$P_{ε2}$&nbsp; und das Sinken–$\text{SNR} &nbsp;$ρ_{v2}$.
 |type="{}"}
 $P_{ε2} \ = \ $ { 0.167 3% } $\ \rm V^2$
 $ρ_{v2} \ = \ $ { 12 3% }
-{Verallgemeinern Sie Ihre Ergebnisse für eine beliebige äquivalente Impulsdauer $Δt$. Welches Sinken–SNR $ρ_{v3}$ ergibt sich für $Δt_3 = T_0/20$?
+{Verallgemeinern Sie Ihre Ergebnisse für eine beliebige äquivalente Impulsdauer &nbsp;$Δt$. <br>Welches Sinken–SNR &nbsp;$ρ_{v3}$&nbsp; ergibt sich für &nbsp;$Δt_3 = T_0/20$?
 |type="{}"}
 $ρ_{v3} \ = \ ${ 60 3% }

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 $$\Delta t_1 = T_0 /2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \Delta t_1 / T_0\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
-'''2.'''[[Datei:P_ID958__Mod_Z_1_2_b.png|right|]]
+[[Datei:P_ID958__Mod_Z_1_2_b.png|right|]]
-Das Fehlersignal $ε_1(t)$ ist in der Grafik dargestellt. Man erkennt, dass $ε_1(t)$ alle Werte zwischen ±1 V annehmen kann:
+'''2.''' Das Fehlersignal $ε_1(t)$ ist in der Grafik dargestellt. Man erkennt, dass $ε_1(t)$ alle Werte zwischen ±1 V annehmen kann:
 $${\varepsilon}_{\rm 1, max} \hspace{0.15cm}\underline {= {1}\;{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$