Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Bitfehlermessung - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:34:41Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 120:		Zeile 120:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.2 BER bei Basisbandsystemen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.2 BER bei Basisbandsystemen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.2Z:_Bit_Error_Measurement]]

Maintenance script: Fix quiz parser eating LaTeX braces

2026-03-05T14:24:03Z

Fix quiz parser eating LaTeX braces

← Nächstältere Version		Version vom 5. März 2026, 16:24 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:
	{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an.  Es gelte  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.		{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an.  Es gelte  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 1.1 3% } $\ \cdot 10^{ -3 }\ $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 1.1 3% } $\ \cdot 10^{-3}\ $
	$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 0.22 3% } $\ \cdot 10^{ -3 }\ $		$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 0.22 3% } $\ \cdot 10^{-3}\ $


Zeile 63:		Zeile 63:
	{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an. Es gelte nun $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.		{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an. Es gelte nun $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 2.3 3% } $\ \cdot 10^{ -5 }\ $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 2.3 3% } $\ \cdot 10^{-5}\ $
	$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 0.46 3% } $\ \cdot 10^{ -5 }\ $		$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 0.46 3% } $\ \cdot 10^{-5}\ $

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:21Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 91:		Zeile 91:

	'''(2)'''  Bei  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$,  also  $E_{\rm B} = N_0$,  erhält man folgende Werte:		'''(2)'''  Bei  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$,  also  $E_{\rm B} = N_0$,  erhält man folgende Werte:
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1\cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
	\cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$		:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx0.22 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\~~approx~~
	0.22 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Hierfür ergeben sich mit  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$  folgende Werte:		'''(3)'''  Hierfür ergeben sich mit  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$  folgende Werte:
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
	= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
	:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$		:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe  '''(2)''':		'''(4)'''  Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe  '''(2)''':
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\~~approx~~		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
	2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
	:$$ N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.46 \cdot10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.46 \cdot10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 115:		Zeile 111:

	'''(6)'''  Die Anzahl der gemessenen Bitfehler sollte  $n_{\rm B} \ge 100$  sein.  Deshalb gilt näherungsweise  (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):		'''(6)'''  Die Anzahl der gemessenen Bitfehler sollte  $n_{\rm B} \ge 100$  sein.  Deshalb gilt näherungsweise  (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):
	:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
	p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt weiter,  dass bei der Simulation für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$  noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind  $(n_{\rm B} =1.6 \cdot 10^{6}\cdot 0.197 \cdot 10^{-3}= 315)$,  während für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  im Mittel nur mehr  $n_{\rm B} =52$  Fehler zu erwarten sind.		*Daraus folgt weiter,  dass bei der Simulation für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$  noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind  $(n_{\rm B} =1.6 \cdot 10^{6}\cdot 0.197 \cdot 10^{-3}= 315)$,  während für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  im Mittel nur mehr  $n_{\rm B} =52$  Fehler zu erwarten sind.
	*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.		*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.

Guenter am 30. April 2022 um 12:41 Uhr

2022-04-30T12:41:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2022, 14:41 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist nur der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:		'''(1)'''  Richtig ist nur der  <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
	*Natürlich wird die Genauigkeit der BER–Messung durch den Parameter $N$ in starkem Maße beeinflusst. Im statistischen Mittel wird die BER–Messung natürlich besser, wenn man $N$ erhöht.		*Natürlich wird die Genauigkeit der BER–Messung durch den Parameter  $N$  in starkem Maße beeinflusst.  Im statistischen Mittel wird die BER–Messung natürlich besser,  wenn man  $N$  erhöht.
	*Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$ zeigen:		*Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung,  wie z.B. die Ergebnisse für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$  zeigen:
	*Bei $N = 6.4 \cdot 10^4\ (n_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$ ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert $(0.239 \cdot 10^{-2})$ geringer als bei $N = 1.28 \cdot 10^5\ (n_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.		*Bei  $N = 6.4 \cdot 10^4\ (h_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$  ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert  $(0.239 \cdot 10^{-2})$  geringer als bei  $N = 1.28 \cdot 10^5\ (h_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.



	'''(2)'''  Bei $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$, also $E_{\rm B} = N_0$, erhält man folgende Werte:		'''(2)'''  Bei  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$,  also  $E_{\rm B} = N_0$,  erhält man folgende Werte:
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{64000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 1.1
	\cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$		\cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
Zeile 97:		Zeile 97:


	'''(3)'''  Hierfür ergeben sich mit $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ folgende Werte:		'''(3)'''  Hierfür ergeben sich mit  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$  folgende Werte:
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}
	= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$		= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
Zeile 103:		Zeile 103:


	'''(4)'''  Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe (2):		'''(4)'''  Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe  '''(2)''':
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{6.4 \cdot 10^{4}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx
	2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$		2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
Zeile 114:		Zeile 114:


	'''(6)'''  Die Anzahl der gemessenen Bitfehler sollte $n_{\rm B} \ge 100$ sein. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):		'''(6)'''  Die Anzahl der gemessenen Bitfehler sollte  $n_{\rm B} \ge 100$  sein.  Deshalb gilt näherungsweise  (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):
	:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$		p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind  $(n_{\rm B} =1.6 \cdot 10^{6}\cdot 0.197 \cdot 10^{-3}= 315)$, während für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ im Mittel nur mehr $n_{\rm B} =52$ Fehler zu erwarten sind.		*Daraus folgt weiter,  dass bei der Simulation für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$  noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind  $(n_{\rm B} =1.6 \cdot 10^{6}\cdot 0.197 \cdot 10^{-3}= 315)$,  während für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$  im Mittel nur mehr  $n_{\rm B} =52$  Fehler zu erwarten sind.
	*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.		*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.

Guenter am 30. April 2022 um 12:34 Uhr

2022-04-30T12:34:47Z

Guenter am 29. April 2022 um 16:18 Uhr

2022-04-29T16:18:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. April 2022, 18:18 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:


	[[Datei:P_ID1265__Dig_Z_1_2.png\|right\|frame\|Simulierte Bitfehlerhäufigkeiten]]		[[Datei:P_ID1265__Dig_Z_1_2.png\|right\|frame\|Simulierte Bitfehlerhäufigkeiten  $(h_{\rm B})$;     in letzter Spalte  $(N \to \infty) $:     $h_{\rm B} \to p_{\rm B}$   ⇒   Bitfehlerwahrscheinlichkeiten]]
	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$
Zeile 117:		Zeile 117:
	:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$		p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind $(n_{\rm B} =315)$, während für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ im Mittel nur mehr $n_{\rm B} =52$ Fehler zu erwarten sind.		*Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind  $(n_{\rm B} =1.6 \cdot 10^{6}\cdot 0.197 \cdot 10^{-3}= 315)$, während für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ im Mittel nur mehr $n_{\rm B} =52$ Fehler zu erwarten sind.
	*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.		*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.

Guenter am 30. Januar 2019 um 11:40 Uhr

2019-01-30T11:40:27Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 11:06 Uhr

2019-01-30T11:06:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 13:06 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER)		eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER)
	:$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$		:$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$
	simulativ ermittelt. Oftmals wird $h_{\rm B}$ auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.		simulativ ermittelt. Oftmals wird  $h_{\rm B}$  auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.


	In obigen Gleichungen bedeuten:		In obigen Gleichungen bedeuten:
	*$E_{\rm B}$:   ~~die~~ Energie pro Bit,		*$E_{\rm B}$:   Energie pro Bit,
	*$N_0$:   AWGN–Rauschleistungsdichte,		*$N_0$:   AWGN–Rauschleistungsdichte,
	*$n_{\rm B}$:   Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,		*$n_{\rm B}$:   Anzahl der aufgetretenen Bitfehler,
	*$N$:   Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.		*$N$:     Anzahl der simulierten Bit einer Versuchsreihe.


	Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit $N = 6.4 \cdot 10^4 $, $N = 1. 28 \cdot 10^5$ und $N = 1.6 \cdot 10^6$. Die letzte mit $N \to \infty $ benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ an.		Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit  $N = 6.4 \cdot 10^4 $,  $N = 1. 28 \cdot 10^5$  und  $N = 1.6 \cdot 10^6$. Die letzte mit  $N \to \infty $  benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  an.

	Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:		Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
	*Die Bitfehlerhäufigkeit $h_{\rm B}$ ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit ~~dem~~ Mittelwert $m_h = p_{\rm B}$ und ~~der~~ Varianz $\sigma_h^2 \approx p_{\rm B}$.		*Die Bitfehlerhäufigkeit  $h_{\rm B}$  ist in erster Näherung eine gaußverteilte Zufallsgröße mit Mittelwert  $m_h = p_{\rm B}$  und Varianz  $\sigma_h^2 \approx p_{\rm B}$.
	*Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt		*Die relative Abweichung der Bitfehlerhäufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt
	:$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

	*Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl der gemessenen Bitfehler $n_{\rm B} \ge 100$sein sollte.		*Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl der gemessenen Bitfehler  $n_{\rm B} \ge 100$  sein sollte.


	''~~Hinweise~~:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].


			''Hinweis:''
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].


Zeile 40:		Zeile 44:
	{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?		{Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von $N$.		- Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von  $N$.
	+ Je größer $N$ ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.		+ Je größer  $N$  ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
	- Je größer $N$ ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.		- Je größer  $N$  ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.


	{Geben Sie die Streuung $\sigma_h$ für verschiedene $N$ an. Es gelte $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.		{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an. Es gelte  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 1.1 3% } $\ \cdot 10^{ -3 }\ $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 1.1 3% } $\ \cdot 10^{ -3 }\ $
Zeile 51:		Zeile 55:


	{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$?		{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $ { -0.927--0.873 } $\ \% $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $ { -0.927--0.873 } $\ \% $
Zeile 57:		Zeile 61:


	{Geben Sie die Streuung $\sigma_h$ für verschiedene $N$ an. Es gelte $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.		{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an. Es gelte nun $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 2.3 3% } $\ \cdot 10^{ -5 }\ $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 2.3 3% } $\ \cdot 10^{ -5 }\ $
Zeile 63:		Zeile 67:


	{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$?		{Wie groß ist die jeweilige relative Abweichung für  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $ { 86 3% } $\ \% $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} ε_{\rm rel} \ = \ $ { 86 3% } $\ \% $
Zeile 69:		Zeile 73:


	{Bis zu welchem (logarithmischen) $E_{\rm B}/N_0$–Wert ist $N = 1.6 \cdot 10^6$ aufgrund der Bedingung $n_{\rm B} \ge 100$ ausreichend?		{Bis zu welchem (logarithmischen)  $E_{\rm B}/N_0$–Wert ist  $N = 1.6 \cdot 10^6$  aufgrund der Bedingung  $n_{\rm B} \ge 100$  ausreichend?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\text{Maximum} \ [10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0] \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm dB $		$\text{Maximum} \ \big [10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 \big] \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm dB $

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:36Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2Z Bitfehlermessung nach Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Bitfehlermessung

2018-01-04T06:18:32Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2Z Bitfehlermessung nach Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: Bitfehlermessung

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 08:18 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 30. April 2022, 14:34 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:


	[[Datei:P_ID1265__Dig_Z_1_2.png\|right\|frame\|Simulierte Bitfehlerhäufigkeiten  $(h_{\rm B})$~~; &nbsp~~;   in letzter Spalte  $(N \to \infty) $: ~~ ~~   $h_{\rm B} \to p_{\rm B}$   ⇒   Bitfehlerwahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID1265__Dig_Z_1_2.png\|right\|frame\|Simulierte Bitfehlerhäufigkeiten  $(h_{\rm B})$;   in letzter Spalte  $(N \to \infty) $:   $h_{\rm B} \to p_{\rm B}$   ⇒   Bitfehlerwahrscheinlichkeiten]]
	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
	:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$		:$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot{\rm erfc} \left( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0}}\right)$$
	eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote (BER)		eines Binärsystems wurde durch eine Messung der Bitfehlerquote  $\rm (BER)$
	:$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$		:$$h_{\rm B} = {n_{\rm B}}/{N}$$
	simulativ ermittelt. Oftmals wird  $h_{\rm B}$  auch Bitfehlerhäufigkeit genannt.		simulativ ermittelt.  Oftmals wird  $h_{\rm B}$  auch  "Bitfehlerhäufigkeit" genannt.


Zeile 19:		Zeile 19:


	Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit  $N = 6.4 \cdot 10^4 $,  $N = 1. 28 \cdot 10^5$  und  $N = 1.6 \cdot 10^6$. Die letzte mit  $N \to \infty $  benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  an.		Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einiger Versuchsreihen mit  $N = 6.4 \cdot 10^4 $,  $N = 1. 28 \cdot 10^5$  und  $N = 1.6 \cdot 10^6$.  Die letzte mit  $N \to \infty $  benannte Spalte gibt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  an.

	Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:		Im Fragebogen zur Aufgabe wird auf folgende Eigenschaften Bezug genommen:
Zeile 26:		Zeile 26:
	:$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\varepsilon_{\rm rel}= \frac {h_{\rm B}-p_{\rm B}}{p_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$

	*Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt, dass die Anzahl der gemessenen Bitfehler  $n_{\rm B} \ge 100$  sein sollte.		*Als eine grobe Faustregel zur erforderlichen Genauigkeit gilt,  dass die Anzahl der gemessenen Bitfehler  $n_{\rm B} \ge 100$  sein sollte.


Zeile 33:		Zeile 33:


	''Hinweis:''		Hinweis:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\| Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].


Zeile 45:		Zeile 45:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von  $N$.		- Die Genauigkeit der BER–Messung ist unabhängig von  $N$.
	+ Je größer  $N$  ist, desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.		+ Je größer  $N$  ist,  desto genauer ist im Mittel die BER–Messung.
	- Je größer  $N$  ist, desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.		- Je größer  $N$  ist,  desto genauer ist jede einzelne BER–Messung.


	{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an. Es gelte  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.		{Geben Sie die Streuung  $\sigma_h$  für verschiedene  $N$  an.  Es gelte  $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 1.1 3% } $\ \cdot 10^{ -3 }\ $		$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm} σ_h \ = \ $ { 1.1 3% } $\ \cdot 10^{ -3 }\ $

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 13:40 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:
	*Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$ zeigen:		*Es besteht jedoch kein deterministischer Zusammenhang zwischen der Anzahl der simulierten Bit und der Genauigkeit der BER–Messung, wie z. B. die Ergebnisse für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 6 \ \rm dB$ zeigen:
	*Bei $N = 6.4 \cdot 10^4\ (n_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$ ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert $(0.239 \cdot 10^{-2})$ geringer als bei $N = 1.28 \cdot 10^5\ (n_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.		*Bei $N = 6.4 \cdot 10^4\ (n_{\rm B} = 0.258 \cdot 10^{-2})$ ist die Abweichung vom tatsächlichen Wert $(0.239 \cdot 10^{-2})$ geringer als bei $N = 1.28 \cdot 10^5\ (n_{\rm B} = 0.272 \cdot 10^{-2})$.



Zeile 94:		Zeile 95:
	:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx		:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.0786}{1600000}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx
	0.22 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$		0.22 \cdot10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Hierfür ergeben sich mit $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ folgende Werte:		'''(3)'''  Hierfür ergeben sich mit $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ folgende Werte:
Zeile 99:		Zeile 101:
	= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$		= \frac{0.0779-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.9\% }\hspace{0.05cm}$$
	:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$		:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm} \varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.0782-0.0786}{0.0786}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -0.5\% } \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe (2):		'''(4)'''  Aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit ergeben sich nun kleinere Werte als in der Teilaufgabe (2):
Zeile 104:		Zeile 107:
	2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$		2.3 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
	:$$ N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.46 \cdot10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\sigma_h = \sqrt{{p}/{N}}= \sqrt{\frac{0.336 \cdot 10^{-4}}{1.6 \cdot 10^{6}}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 0.46 \cdot10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Trotz der deutlich kleineren Streuung $\sigma_h$ ergeben sich für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$:		'''(5)'''  Trotz der deutlich kleineren Streuung $\sigma_h$ ergeben sich für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ aufgrund der kleineren Fehlerwahrscheinlichkeit größere relative Abweichungen als für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$:
	:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$		:$$N = 6.4 \cdot 10^4\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.625 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 86\% } \hspace{0.05cm},$$
	:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$		:$$N = 1.6 \cdot 10^6\text{:}\hspace{0.4cm}\varepsilon_{\rm rel}= \frac{h_{\rm B}- p_{\rm B}}{h_{\rm B}}= \frac{0.325 \cdot 10^{-4} - 0.336 \cdot 10^{-4}}{0.336 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx -3.3\%}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(6)'''  Die Anzahl der gemessenen Bitfehler sollte $n_{\rm B} \ge 100$ sein. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):		'''(6)'''  Die Anzahl der gemessenen Bitfehler sollte $n_{\rm B} \ge 100$ sein. Deshalb gilt näherungsweise (Rundungsfehler sind zu berücksichtigen):
	:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$n_{\rm B} = {p_{\rm B}}\cdot {N} > 100 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$		p_{\rm B} > \frac{100}{1.6 \cdot 10^6} = 0.625 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm}.$$
	Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind $(n_{\rm B} =315)$, während für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ im Mittel nur mehr $n_{\rm B} =52$ Fehler zu erwarten sind. Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.		*Daraus folgt weiter, dass bei der Simulation für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0\hspace{0.05cm}\underline{ = 8 \ \rm dB}$ noch ausreichend viele Bitfehler aufgetreten sind $(n_{\rm B} =315)$, während für $10 \cdot \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ im Mittel nur mehr $n_{\rm B} =52$ Fehler zu erwarten sind.
			*Für diesen dB–Wert müsste etwa die doppelte Anzahl an Bits simuliert werden.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}