Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:34:41Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 98:		Zeile 98:

	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^1.1 Zielsetzung der Kanalcodierung^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^1.1 Zielsetzung der Kanalcodierung^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.2Z:_Three-dimensional_Representation_of_Codes]]

Guenter am 6. Juni 2022 um 14:02 Uhr

2022-06-06T14:02:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juni 2022, 16:02 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 1 und 3</u>:
	*Bei dieser Belegung werden $k = 3$ Informationsbits auf $n = 3$ Codebits abgebildet   ⇒   $R = k/n = 1$.		*Bei dieser Belegung werden  $k = 3$  Informationsbits auf  $n = 3$  Codebits abgebildet   ⇒   $R = k/n = 1$.
	*Die Aussage $\underline{x} = \underline{u} $ würde nur bei systematischer Codierung gelten.		*Die Aussage  $\underline{x} = \underline{u} $  würde nur bei systematischer Codierung gelten.
	*Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch $(0, 0, 0)$   →   $(0, 1, 1)$.		*Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch $(0, 0, 0)$   →   $(0, 1, 1)$.
	*Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min} = 1$.		*Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch:  Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz  $d_{\rm min} = 1$.


	[[Datei:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png\|right\|frame\|Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes]]		[[Datei:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png\|right\|frame\|Zwei  $(3, 2, 2)$–Blockcodes]]
	'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:		'''(2)'''  Richtig sind die  <u>Aussagen 1 und 3</u>:
	*$\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate $R = 2/3$ und der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$.		*$\mathcal{C}_{1}$  und  $\mathcal{C}_{2}$  beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate  $R = 2/3$  und der Minimaldistanz  $d_{\rm min} = 2$.
	*In der Grafik markieren die grünen Punkte den Code $\mathcal{C}_{1}$ und die blauen Punkte den Code $\mathcal{C}_{2}$.		*In der Grafik markieren die grünen Punkte den Code  $\mathcal{C}_{1}$  und die blauen Punkte den Code  $\mathcal{C}_{2}$.
	*Beim Code $\mathcal{C}_{3}$ – ebenfalls mit Rate $R = 2/3$ – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min} = 1$, zum Beispiel zwischen $(0, 0, 0)$ und $(1, 0, 0)$ oder zwischen $(0, 1, 1)$ und $(1, 1, 1)$.		*Beim Code  $\mathcal{C}_{3}$  – ebenfalls mit Rate $R = 2/3$ – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min} = 1$,  zum Beispiel zwischen  $(0, 0, 0)$  und  $(1, 0, 0)$  oder zwischen  $(0, 1, 1)$  und  $(1, 1, 1)$.



	'''(3)'''  Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>:		'''(3)'''  Richtig ist nur die  <u>Aussage 1</u>:
	*Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$ kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden.		*Mit der Minimaldistanz  $d_{\rm min} = 2$  kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden.
	*In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $\mathcal{C}_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.		*In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von  $\mathcal{C}_{1}$.  Wird ein blauer Punkt empfangen,  so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.
	*Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min} = 2$ dagegen nicht möglich.		*Eine Fehlerkorrektur ist mit  $d_{\rm min} = 2$  dagegen nicht möglich.
	*Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code (3, 2, 2)]].		*Der Code  $\mathcal{C}_{1}$  entspricht dem  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code $(3, 2, 2)$]].


	[[Datei:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png\|right\|frame\|(3, 1, 3)–Blockcode]]		[[Datei:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png\|right\|frame\|$(3, 1, 3)$–Blockcode]]
	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 2, 3 und 4</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die  <u>Antworten 2, 3 und 4</u>:
	*$C_{4}$ beschreibt den [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes\|(3, 1, 3)–Wiederholungscode]].		*$C_{4}$  beschreibt den  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes\|$(3, 1, 3)$–Wiederholungscode]].
	*Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate $R = 1/4$ schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.		*Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt,  woraus man fälschlicherweise auf die Coderate  $R = 1/4$  schließen könnte.  Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.
	*Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen $d_{\rm min} = 3$ nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.		*Aus der unteren Grafik erkennt man,  dass wegen  $d_{\rm min} = 3$  nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.
	*Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte (mit schwarzer Umrahmung) in den grünen Punkt $(0, 0, 0)$ überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt $(1, 1, 1)$.		*Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte  (mit schwarzer Umrahmung)  in den grünen Punkt  $(0, 0, 0)$  überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt  $(1, 1, 1)$.
	*Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden (einer natürlich auch).		*Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden  (einer natürlich auch).
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 6. Juni 2022 um 13:52 Uhr

2022-06-06T13:52:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. Juni 2022, 15:52 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2400__KC_Z_1_2.png\|right\|frame\|Raum $\rm GF(2^3)$ und <br>Code der Länge $n = 3$]]		[[Datei:P_ID2400__KC_Z_1_2.png\|right\|frame\|Raum $\rm GF(2^3)$ und <br>Code der Länge $n = 3$]]
	Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im  $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge  $n = 3$:		Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im  $n$–dimensionalen Raum darstellen.  Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge  $n = 3$:
	:$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{x} = (x_{1},\ x_{2},\ x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0,\ 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

	Allgemein gilt bei der Blockcodierung:		Allgemein gilt bei der Blockcodierung:
	*Das Informationswort  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$  wird eindeutig in das Codewort  $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$  überführt.		*Das Informationswort  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$  wird eindeutig in das Codewort  $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$  überführt.

	*Die Coderate beträgt  $R = k/n$.		*Die Coderate beträgt  $R = k/n$.
	*Die Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$  zwischen zwei Codeworten  $x ∈ \mathcal{C}$  und  $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$  gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich  $x$  und  $x\hspace{0.05cm}'$  unterscheiden.
			*Die Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$  zwischen zwei Codeworten  $x ∈ \mathcal{C}$  und  $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$  gibt die Anzahl der Bitpositionen an,  in denen sich  $x$  und  $x\hspace{0.05cm}'$  unterscheiden.

	*Die Minimaldistanz  $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$  ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.		*Die Minimaldistanz  $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$  ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.

	*Es können  $e =d_{\rm min} – 1$  Fehler erkannt und  $t =(d_{\rm min} – 1)/2$  Fehler korrigiert werden.		*Es können  $e =d_{\rm min} – 1$  Fehler erkannt und  $t =(d_{\rm min} – 1)/2$  Fehler korrigiert werden.

	*Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades  $d_{\rm min}$.		*Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades  $d_{\rm min}$.

Zeile 17:		Zeile 22:


			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|"Zielsetzung der Kanalcodierung"]].
	''Hinweise'':
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung der Kanalcodierung]].		*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|"Beispiele binärer Blockcodes"]]  vorweg genommen.
	*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]]  vorweg genommen.


Zeile 30:		Zeile 34:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in  $\rm GF(2^3)$  belegt sind?		{Welche Aussagen gelten,  wenn alle Punkte in  $\rm GF(2^3)$  belegt sind?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Es gilt die Zuordnung  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$   →   $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.		+ Es gilt die Zuordnung  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$   →   $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
Zeile 37:		Zeile 41:
	-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist  $d_{\rm min} = 2$.		-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist  $d_{\rm min} = 2$.

	{Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?		{Welche Aussagen gelten für einen  $(3, 2, 2)$–Blockcode?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Code  $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$  ist möglich.		+ Code  $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 1),\ (1, 1, 0)\}$  ist möglich.
	+ Code  $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.		+ Code  $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1),\ (0, 1, 0),\ (1, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$  ist möglich.
	- Code  $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.		- Code  $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0),\ (0, 1, 1),\ (1, 0, 0),\ (1, 1, 1)\}$  ist möglich.

	{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe '''(2)''' definierte Code  $\mathcal{C}_{1}$?		{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe  '''(2)'''  definierte Code  $\mathcal{C}_{1}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.		+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	- Ein Bitfehler kann korrigiert werden.		- Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

	{Welche Eigenschaften zeigt der Code  $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?		{Welche Eigenschaften zeigt der Code  $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0),  (1, 1, 1)\}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Coderate beträgt  $R = 1/4$.		- Die Coderate beträgt  $R = 1/4$.

Guenter am 2. Mai 2019 um 15:23 Uhr

2019-05-02T15:23:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Mai 2019, 17:23 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Code  $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$  ist möglich.		+ Code  $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$  ist möglich.
	- Code  $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.		+ Code  $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.
	+ Code  $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.		- Code  $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.

	{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe '''(2)''' definierte Code  $\mathcal{C}_{1}$?		{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe '''(2)''' definierte Code  $\mathcal{C}_{1}$?

Guenter am 2. Mai 2019 um 15:19 Uhr

2019-05-02T15:19:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Mai 2019, 17:19 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID2400__KC_Z_1_2.png\|right\|frame\|Raum $\rm GF(2^3)$ und Code der Länge $n = 3$]]		[[Datei:P_ID2400__KC_Z_1_2.png\|right\|frame\|Raum $\rm GF(2^3)$ und <br>Code der Länge $n = 3$]]
	Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge $n = 3$:		Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im  $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge  $n = 3$:
	:$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

	Allgemein gilt bei der Blockcodierung:		Allgemein gilt bei der Blockcodierung:
	*Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.		*Das Informationswort  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$  wird eindeutig in das Codewort  $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$  überführt.
	*Die Coderate beträgt $R = k/n$.		*Die Coderate beträgt  $R = k/n$.
	*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{C}$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.		*Die Hamming–Distanz  $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$  zwischen zwei Codeworten  $x ∈ \mathcal{C}$  und  $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$  gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich  $x$  und  $x\hspace{0.05cm}'$  unterscheiden.
	*Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.		*Die Minimaldistanz  $d_{\rm min} = {\rm min}\big[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')\big]$  ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
	*Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.		*Es können  $e =d_{\rm min} – 1$  Fehler erkannt und  $t =(d_{\rm min} – 1)/2$  Fehler korrigiert werden.
			*Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades  $d_{\rm min}$.






	''Hinweise'':		''Hinweise'':
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung der Kanalcodierung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
	*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]] vorweg genommen.		*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]]  vorweg genommen.


Zeile 26:		Zeile 30:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in $\rm GF(2^3)$ belegt sind?		{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in  $\rm GF(2^3)$  belegt sind?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Es gilt die Zuordnung $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ → $\underline{u} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.		+ Es gilt die Zuordnung  $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$   →   $\underline{x} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
	- Es gilt die Identität $\underline{x} = \underline{u}$.		- Es gilt die Identität  $\underline{x} = \underline{u}$.
	+ Die Coderate ist $R = 1$.		+ Die Coderate ist  $R = 1$.
	-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min} = 2$.		-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist  $d_{\rm min} = 2$.

	{Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?		{Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Code $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$ ist möglich.		+ Code  $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$  ist möglich.
	- Code $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.		- Code  $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.
	+ Code $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.		+ Code  $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$  ist möglich.

	{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe (2) definierte Code $\mathcal{C}_{1}$?		{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe '''(2)''' definierte Code  $\mathcal{C}_{1}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.		+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	- Ein Bitfehler kann korrigiert werden.		- Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

	{Welche Eigenschaften zeigt der Code $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?		{Welche Eigenschaften zeigt der Code  $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Coderate beträgt $R = 1/4$.		- Die Coderate beträgt  $R = 1/4$.
	+ Die Coderate beträgt $R = 1/3$.		+ Die Coderate beträgt  $R = 1/3$.
	+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.		+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	+ Ein Bitfehler kann korrigiert werden.		+ Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung der Kanalcodierung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
	*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]] vorweg genommen.		*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]] vorweg genommen.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2Z 3D–Darstellung von Codes nach Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes

2018-01-01T17:26:57Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2Z 3D–Darstellung von Codes nach Aufgaben:Aufgabe 1.2Z: 3D–Darstellung von Codes

← Nächstältere Version	Version vom 1. Januar 2018, 19:26 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 11. Dezember 2017 um 08:07 Uhr

2017-12-11T08:07:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Dezember 2017, 10:07 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	*Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.		*Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.
	*Die Coderate beträgt $R = k/n$.		*Die Coderate beträgt $R = k/n$.
	*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{}C$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{}C$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.		*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{C}$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{C}$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.
	*Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.		*Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
	*Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.		*Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.
Zeile 56:		Zeile 56:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>: k = 3 Informationsbits ~~werden bei dieser Belegung~~ auf n = 3 Codebits abgebildet ⇒ R = k/n = 1. Die Aussage <>x~~</u>~~ = <>u~~</u>~~ würde nur bei systematischer Codierung gelten. Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch (0, 0, 0) → (0, 1, 1). Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 1.		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
			*Bei dieser Belegung werden $k = 3$ Informationsbits auf $n = 3$ Codebits abgebildet   ⇒   $R = k/n = 1$.
			*Die Aussage $\underline{x} = \underline{u} $ würde nur bei systematischer Codierung gelten.
			*Prinzipiell möglich wäre zum Beispiel auch $(0, 0, 0)$   →   $(0, 1, 1)$.
			*Die letzte Aussage ist mit Sicherheit falsch: Aus der Grafik erkennt man die Minimaldistanz $d_{\rm min} = 1$.

	~~'''(2)'''  [[Datei:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png\|right\|frame\|Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes]]~~
	~~$C_{1}$ und $C_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate R = 2/3 und der Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 2 ⇒ <u>Antwort 1 und 2.</u>~~

			[[Datei:P_ID2401__KC_Z_1_2b.png\|right\|frame\|Zwei (3, 2, 2)–Blockcodes]]
	In ~~nebenstehender~~ Grafik markieren die grünen Punkte den Code $C_{1}$ und die blauen Punkte den Code $C_{2}$. Beim ~~angegebenen~~ Code $C_{3}$ – ebenfalls mit Rate R = 2/3 – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min}$ = 1, zum Beispiel zwischen (0, 0, 0) und (1, 0, 0) oder ~~auch~~ zwischen (0, 1, 1) und (1, 1, 1).		'''(2)'''  Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 3</u>:
			*$\mathcal{C}_{1}$ und $\mathcal{C}_{2}$ beschreiben tatsächlich Codes mit der Rate $R = 2/3$ und der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$.
			*In der Grafik markieren die grünen Punkte den Code $\mathcal{C}_{1}$ und die blauen Punkte den Code $\mathcal{C}_{2}$.
			*Beim Code $\mathcal{C}_{3}$ – ebenfalls mit Rate $R = 2/3$ – ist die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten $d_{\rm min} = 1$, zum Beispiel zwischen $(0, 0, 0)$ und $(1, 0, 0)$ oder zwischen $(0, 1, 1)$ und $(1, 1, 1)$.



	'''(3)'''  Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = 2 kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden. In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $C_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin. Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min}$ = 2 dagegen nicht möglich ~~⇒ <u>Antwort 1</u>~~. ~~Hinweis:~~ Der Code $C_{1}$ entspricht dem [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code]] (3, 2, 2).		'''(3)'''  Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>:
			*Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 2$ kann lediglich ein Bitfehler erkannt werden.
			*In der oberen Grafik kennzeichnen die grünen Punkte zulässige Codeworte von $\mathcal{C}_{1}$. Wird ein blauer Punkt empfangen, so weist dies auf einen Übertragungsfehler hin.
			*Eine Fehlerkorrektur ist mit $d_{\rm min} = 2$ dagegen nicht möglich.
			*Der Code $\mathcal{C}_{1}$ entspricht dem [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes\|Single Parity–check Code (3, 2, 2)]].

	~~'''(4)'''  [[Datei:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png\|right\|frame\|(3, 1, 3)–Blockcode]]~~
	$C_{4}$ beschreibt den [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes\|(3, 1, 3)–Wiederholungscode]]. Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate R = 1/4 schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß R = k/n = 1/3.
	Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen dmin = 3 nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann. Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte (mit schwarzer Umrahmung) in den grünen Punkt (0, 0, 0) überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt (1, 1, 1). Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden (einer natürlich auch) ⇒ Richtig sind die <u>Antworten 2, 3 und 4</u>.

			[[Datei:P_ID2402__KC_Z_1_2d.png\|right\|frame\|(3, 1, 3)–Blockcode]]
			'''(4)'''  Richtig sind die <u>Antworten 2, 3 und 4</u>:
			*$C_{4}$ beschreibt den [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Wiederholungscodes\|(3, 1, 3)–Wiederholungscode]].
			*Bei diesem Code sind zwar zwei der insgesamt acht möglichen Punkte belegt, woraus man fälschlicherweise auf die Coderate $R = 1/4$ schließen könnte. Die Coderate berechnet sich aber gemäß $R = k/n = 1/3$.
			*Aus der unteren Grafik erkennt man, dass wegen $d_{\rm min} = 3$ nun auch ein Bitfehler korrigiert werden kann.
			*Bei der Decodierung werden alle hellgrünen Punkte (mit schwarzer Umrahmung) in den grünen Punkt $(0, 0, 0)$ überführt und alle hellblauen in den blauen Punkt $(1, 1, 1)$.
			*Gleichzeitig können bis zu zwei Bitfehler erkannt werden (einer natürlich auch).
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. November 2017 um 13:07 Uhr

2017-11-29T13:07:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2017, 15:07 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID2400__KC_Z_1_2.png\|right\|]]		[[Datei:P_ID2400__KC_Z_1_2.png\|right\|frame\|Raum $\rm GF(2^3)$ und Code der Länge $n = 3$]]
	Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im ''n''–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge ''n'' = 3:		Codes zur Fehlererkennung bzw. Fehlererkorrektur lassen sich sehr anschaulich im $n$–dimensionalen Raum darstellen. Wir beschränken uns hier auf binäre Codes der Länge $n = 3$:
	:$$\underline{x~~} \hspace{-0.15cm~~} = ~~\hspace{-0.15cm}~~ (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},~~\\ x_i~~ \hspace{-0.~~15cm} \in \hspace{-0.15cm~~} \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$		:$$\underline{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \hspace{0.1cm} \in \hspace{0.1cm}{\rm GF}(2^3) \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} x_i = \{0, 1 \}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} i = 1, 2, 3\hspace{0.05cm}.$$

	Allgemein gilt bei der Blockcodierung:		Allgemein gilt bei der Blockcodierung:
	*Das Informationswort <u~~>u</u>~~ = $(u_{1}, u_{2}, ... , u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort ~~<u>~~x~~</u>~~ = $(x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$ überführt.		*Das Informationswort $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \ \text{...} , \ u_{k})$ wird eindeutig in das Codewort $\underline{x} =(x_{1}, x_{2}, \ \text{...} , \ , x_{n})$ überführt.
	*Die Coderate beträgt R = k/n.		*Die Coderate beträgt $R = k/n$.
	*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}$(~~<u>~~x~~</u>~~,~~<u>~~ x'~~</u>~~) zwischen zwei Codeworten ~~<u>~~x~~</u>~~ ∈ C und ~~<u>~~x'~~</u>~~ ∈ C gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich x und x' unterscheiden.		*Die Hamming–Distanz $d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')$ zwischen zwei Codeworten $x ∈ \mathcal{}C$ und $x\hspace{0.05cm}' ∈ \mathcal{}C$ gibt die Anzahl der Bitpositionen an, in denen sich $x$ und $x\hspace{0.05cm}'$ unterscheiden.
	*Die Minimaldistanz $d_{\rm min}$ = min [$d_{\rm H}$(~~<u>~~x~~</u>~~,~~<u>~~ x'~~</u>~~)] ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.		*Die Minimaldistanz $d_{\rm min} = {\rm min}[d_{\rm H}(x, \hspace{0.05cm}x\hspace{0.05cm}')]$ ist ein Maß für die Korrekturfähigkeit eines Codes.
	*Es können ''e'' =$d_{\rm min}$ – 1 Fehler erkannt und ''t'' = ($d_{\rm min}$ – 1)/2 korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$ .		*Es können $e =d_{\rm min} – 1$ Fehler erkannt und $t =(d_{\rm min} – 1)/2$ Fehler korrigiert werden. Die letzte Aussage gilt allerdings nur für ungerades $d_{\rm min}$.



			''Hinweise'':
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung der Kanalcodierung]].
			*Zusätzlich werden einige einfache Fragen zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele binärer Blockcodes]] vorweg genommen.
			*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.


	~~''Hinweis'':~~
	Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung\|Zielsetzung_der_Kanalcodierung]]. Zusätzlich werden einige einfache Fragen zu [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes\|Beispiele_binärer_Blockcodes]] vorweg genommen.

	===Fragebogen===		===Fragebogen===
Zeile 20:		Zeile 26:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in GF(23) belegt sind?		{Welche Aussagen gelten, wenn alle Punkte in $\rm GF(2^3)$ belegt sind?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Es gilt die Zuordnung <u~~>u</u>~~ = $ (u_{1}, u_{2}, u_{3})$) → <u~~>x</u>~~=$(x_{1}, x_{2},x_{3})$.		+ Es gilt die Zuordnung $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3})$ → $\underline{u} = (x_{1}, x_{2},x_{3})$.
	- Es gilt die Identität ~~<u>~~x~~</u>~~ = <u~~>u</u>~~.		- Es gilt die Identität $\underline{x} = \underline{u}$.
	+ Die Coderate ist R = 1.		+ Die Coderate ist $R = 1$.
	-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min}$ = 2.		-Die Minimaldistanz zwischen zwei Codeworten ist $d_{\rm min} = 2$.

	{Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?		{Welche Aussagen gelten für einen (3, 2, 2)–Blockcode?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Code $C_{1}$ = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} ist möglich.		+ Code $\mathcal{C}_{1} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)\}$ ist möglich.
	- Code $C_{2}$ = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)} ist möglich.		- Code $\mathcal{C}_{2} = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.
	+ Code $C_{3}$ = {(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)} ist möglich.		+ Code $\mathcal{C}_{3} = \{(0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)\}$ ist möglich.

	{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe 2) definierte Code $C_{1}$?		{Welche Eigenschaften zeigt der in Teilaufgabe (2) definierte Code $\mathcal{C}_{1}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.		+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	- Ein Bitfehler kann korrigiert werden.		- Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

	{Welche Eigenschaften zeigt der Code $C_{4}$= {(0, 0, 0), (1, 1, 1)}?		{Welche Eigenschaften zeigt der Code $\mathcal{C}_{4}= \{(0, 0, 0), (1, 1, 1)\}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die Coderate beträgt R = 1/4.		- Die Coderate beträgt $R = 1/4$.
	+ Die Coderate beträgt R = 1/3.		+ Die Coderate beträgt $R = 1/3$.
	+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.		+ Ein Bitfehler lässt sich erkennen.
	Ein Bitfehler ~~lässt sich erkennen~~.		+ Ein Bitfehler kann korrigiert werden.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2Z: 3D–Darstellung von Codes nach Aufgaben:1.2Z 3D–Darstellung von Codes

2017-11-29T12:38:04Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2Z: 3D–Darstellung von Codes nach Aufgaben:1.2Z 3D–Darstellung von Codes

← Nächstältere Version	Version vom 29. November 2017, 14:38 Uhr
(kein Unterschied)