Aufgaben:Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell - Versionsgeschichte

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:00Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 9. Mai 2020 um 16:29 Uhr

2020-05-09T16:29:50Z

Guenter am 9. Mai 2020 um 16:09 Uhr

2020-05-09T16:09:12Z

Guenter am 9. Mai 2020 um 16:08 Uhr

2020-05-09T16:08:20Z

Javier am 25. März 2020 um 15:11 Uhr

2020-03-25T15:11:10Z

Guenter am 28. März 2019 um 12:49 Uhr

2019-03-28T12:49:00Z

Guenter am 28. März 2019 um 12:34 Uhr

2019-03-28T12:34:40Z

Guenter am 28. März 2019 um 10:00 Uhr

2019-03-28T10:00:10Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2 Lognormal – Kanalmodell nach Aufgaben:Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell

2017-12-04T09:11:34Z

Guenter verschob die Seite 1.2 Lognormal – Kanalmodell nach Aufgabe 1.2: Lognormal – Kanalmodell

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 :$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$
-* Oder Sie benutzen unser Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Oder Sie benutzen unser Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist <u>JA</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; $\rm JA$:
-*Aus dem $\rm dB$&ndash;Wert $V_0 = 80 \ \rm dB$ folgt der absolute (lineare) Wert $K_0 = 10^8$. Damit beträgt die Empfangsleistung
+*Aus dem&nbsp; $\rm dB$&ndash;Wert $V_0 = 80 \ \rm dB$&nbsp; folgt der absolute (lineare) Wert&nbsp; $K_0 = 10^8$.&nbsp; Damit beträgt die Empfangsleistung
 :$$P_{\rm E} = P_{\rm S}/K_0 = 10 \ {\rm W}/10^8 = 100 \ {\rm nW} > 10 \ \rm pW.$$
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert $&ndash;80 \ \rm dBm$.
+*Gefordert ist aber lediglich der Grenzwert&nbsp; $&ndash;80 \ \rm dBm$.
-'''(2)'''&nbsp; Lognormal&ndash;Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.
+'''(2)'''&nbsp; Lognormal&ndash;Fading mit&nbsp; $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$&nbsp; ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung&nbsp; $P_{\rm E}$.
-*Gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner &nbsp; &#8658; &nbsp; $P_{\rm E} = \ &ndash;60 \ \rm dBm$.
+*Gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ist diese um&nbsp; $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$&nbsp; kleiner &nbsp; &#8658; &nbsp; $P_{\rm E} = \ &ndash;60 \ \rm dBm$.
-*Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($&ndash;80 \ \rm dBm$).
+*Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert&nbsp; ($-80 \ \rm dBm$).
-*Daraus folgt: &nbsp; Das System ist (fast) zu <u>100% funktionsfähig</u>. &bdquo;Fast&rdquo; deshalb, weil es bei einer Gaußschen Zufallsgröße immer eine (kleine) Restunsicherheit gibt.
+*Daraus folgt: &nbsp; Das System ist (fast) zu <u>100% funktionsfähig</u>.&nbsp;
-'''(3)'''&nbsp; Die Empfangsleistung ist dann zu gering (kleiner als $&ndash;80 \ \rm dBm$), wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal&ndash;Term $40 \ \rm dB$ oder mehr beträgt.
+'''(3)'''&nbsp; Die Empfangsleistung ist dann zu gering&nbsp; $($kleiner als $-80 \ \rm dBm)$, wenn der Leistungsverlust durch den Lognormal&ndash;Term&nbsp; $40 \ \rm dB$&nbsp; oder mehr beträgt.
-*Der veränderliche Anteil $V_{\rm S}$ darf also nicht größer sein als $20 \ \rm dB$.
+[[Datei:P_ID2187__Mob_A_1_2c_v1.png|right|frame|Verlust durch das  Lognormal–Fading]]
 *Daraus folgt:
-:$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{20\,\,{\rm dB}}{\sigma_{\rm S} = 10\,{\rm dB}}\right )
+:$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}\left ( \frac{20\,\,{\rm dB}}{\sigma_{\rm S} = 10\,{\rm dB}}\right ) $$
-  = {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.3cm}
+:$$\hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert"})= 1-  0.02 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 98\,\%}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})= {\rm Q}(2) \approx 0.02$$
-[[Datei:P_ID2187__Mob_A_1_2c_v1.png|right|frame|Verlust durch Lognormal–Fading]]
+:$$\hspace{0.3cm}  \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert"})= 1-  0.02 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 98\,\%}\hspace{0.05cm}.$$
 Die Grafik verdeutlicht das Ergebnis.
-*Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$ des Pfadverlustes durch ''Shadowing'' (Longnormal&ndash;Fading).
+*Dargestellt ist hier die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_{\rm VS}(V_{\rm S})$&nbsp; des Pfadverlustes durch&nbsp; ''Shadowing''&nbsp; (Longnormal&ndash;Fading).
 *Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, ist rot markiert:
 <br clear=all>
-'''(4)'''&nbsp; Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit $99.9  \%$ folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit $10^{\rm &ndash;3} \approx \ {\rm Q}(3)$.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Verfügbarkeitswahrscheinlichkeit&nbsp; $99.9  \%$&nbsp; folgt die Ausfallwahrscheinlichkeit&nbsp; $10^{\rm &ndash;3} \approx \ {\rm Q}(3)$.
-*Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust $V_0$ um $10 \ \rm dB$ auf $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn $V_{\rm S} &#8805; 50 \ \rm dB$ ist.
+*Verringert man den entfernungsabhängigen Pfadverlust&nbsp; $V_0$&nbsp; um&nbsp; $10 \ \rm dB$&nbsp; auf&nbsp; $\underline {70 \ \rm dB}$, so kommt es erst dann zu einem Ausfall, wenn&nbsp; $V_{\rm S} &#8805; 50 \ \rm dB$&nbsp; ist.
 *Damit wäre genau die geforderte Zuverlässigkeit erreicht, wie die folgende Rechnung zeigt:
 :$${\rm Pr}({\rm "System\hspace{0.15cm}funktioniert\hspace{0.15cm}nicht"})=

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 :$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$
-* Oder Sie benutzen das Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Oder Sie benutzen unser Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2122__Mob_A_1_2.png|right|frame|WDF des Lognormal–Fadings]]
+[[Datei:P_ID2122__Mob_A_1_2.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion <br>des Lognormal–Fadings]]
-Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand&nbsp; $d_0$&nbsp; von der Basisstation aufhält. Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
+Wir betrachten eine Mobilfunkzelle im städtischen Bereich und ein Fahrzeug, das sich näherungsweise in einem festen Abstand&nbsp; $d_0$&nbsp; von der Basisstation aufhält.&nbsp; Beispielsweise bewegt es sich auf einem Kreisbogen um die Basisstation.
 Somit ist der gesamte Pfadverlust durch folgende Gleichung beschreibbar:
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 *$V_0$&nbsp; berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit&nbsp; $V_0 = 80 \ \rm dB$&nbsp; als konstant angenommen wird.
-*Der Verlust&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp; ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal&ndash;Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
+*Der Verlust&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp; ist auf Abschattungen&nbsp; (<i>Shadowing</i>)&nbsp; zurückzuführen, der durch die Lognormal&ndash;Verteilung mit folgender Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $\rm (WDF)$&nbsp; ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik):
-:$$f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}-  m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}$$
+:$$f_{V_{\rm S}}(V_{\rm S}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm e }^{ - { (V_{\rm S}\hspace{0.05cm}- \hspace{0.05cm}m_{\rm S})^2}/(2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sigma_{\rm S}^2) }$$
-:ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik). Es gelten folgende Zahlenwerte:
+*Beispielsweise gelten für die Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; die Zahlenwerte:
-:$$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}  \sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm (Teilaufgabe\hspace{0.15cm} 2)}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}  \sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
 Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus:
-* Die Sendeleistung beträgt&nbsp; $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$&nbsp; (oder $40 \ \rm dBm$).
+* Die Sendeleistung beträgt&nbsp; $P_{\rm S} = 10 \ \rm W$&nbsp; $($umgerechnet:&nbsp; $+40 \ \rm dBm)$.
-* Die Empfangsleistung soll mindestens&nbsp; $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$&nbsp;  (umgerechnet: $&ndash;80 \ \rm dBm$) betragen.
+* Die Empfangsleistung soll mindestens&nbsp; $P_{\rm E} = 10 \ \rm pW$&nbsp;  $($umgerechnet:&nbsp; $-80 \ \rm dBm)$&nbsp; betragen.
@@ Zeile 30: / Zeile 32: @@
 :$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
   {\rm Q}(3) \approx 10^{-3}\hspace{0.05cm}.$$
-* Oder Sie benutzen das von $\rm LNTwww$ bereitgestellte Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Oder Sie benutzen das Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
@@ Zeile 42: / Zeile 44: @@
 - Nein.
-{Die Lognormal&ndash;Parameter seien&nbsp; $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
+{Die Lognormal&ndash;Parameter seien&nbsp; $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$.&nbsp; In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr(System \ funktioniert)} \ = \ $ { 100 3% } $\ \%$

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-'''(2)'''&nbsp; Lognormal&ndash;Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangslestung $P_{\rm E}$.
+'''(2)'''&nbsp; Lognormal&ndash;Fading mit $\sigma_{\rm S} = 0 \ \rm dB$ ist gleichbedeutend mit einer konstanten Empfangsleistung $P_{\rm E}$.
 *Gegenüber der Teilaufgabe '''(1)''' ist diese um $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ kleiner &nbsp; &#8658; &nbsp; $P_{\rm E} = \ &ndash;60 \ \rm dBm$.
 *Sie ist aber immer noch größer als der vorgegebene Grenzwert ($&ndash;80 \ \rm dBm$).

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 :$$V_{\rm P} =  V_{\rm 0} + V_{\rm S}  \hspace{0.05cm}.$$
-$V_0$&nbsp; berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit&nbsp; $V_0 = 80 \ \rm dB$&nbsp; als konstant angenommen wird. Der Verlust&nbsp; $V_{\rm S}$&nbsp; ist auf Abschattungen (<i>Shadowing</i>) zurückzuführen, der durch die Lognormal&ndash;Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
+*$V_0$&nbsp; berücksichtigt den entfernungsabhängigen Pfadverlust, der mit&nbsp; $V_0 = 80 \ \rm dB$&nbsp; als konstant angenommen wird.
 :$$f_{V{\rm S}}(V_{\rm S}) =  \frac {1}{ \sqrt{2 \pi }\cdot \sigma_{\rm S}}  \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{ (V_{\rm S}-  m_{\rm S})^2}{2 \cdot \sigma_{\rm S}^2} \right ] \hspace{0.05cm}$$
-ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik). Es gelten folgende Zahlenwerte:
+:ausreichend genau beschrieben wird (siehe Grafik). Es gelten folgende Zahlenwerte:
-:$$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}  \sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm (Teilaufgabe\hspace{0.15cm} b)}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$m_{\rm S} = 20\,\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}  \sigma_{\rm S} = 10\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm bzw.}\hspace{0.15cm}\sigma_{\rm S} = 0\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}{\rm (Teilaufgabe\hspace{0.15cm} 2)}\hspace{0.05cm}.$$
 Gehen Sie außerdem von folgenden einfachen Annahmen aus:
@@ Zeile 36: / Zeile 37: @@
 <quiz display=simple>
-{Wäre $P_{\rm E}$ ohne Berücksichtigung des Lognormal&ndash;Fadings ausreichend?
+{Wäre&nbsp; $P_{\rm E}$&nbsp; ohne Berücksichtigung des Lognormal&ndash;Fadings ausreichend?
 |type="()"}
 + Ja,
 - Nein.
-{Die Lognormal&ndash;Parameter seien $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
+{Die Lognormal&ndash;Parameter seien&nbsp; $m_{\rm S} = 20 \, \rm dB$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_{\rm S} = 0 \, \rm dB$. In wieviel Prozent der Zeit funktioniert das System?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr(System \ funktioniert)} \ = \ $ { 100 3% } $\ \%$
-{Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$ und $\sigma_{\rm S} = 10 \ \rm dB$?
+{Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $m_{\rm S} = 20 \ \rm dB$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_{\rm S} = 10 \ \rm dB$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr(System \ funktioniert)}\ = \ $ { 98 3% } $\ \%$
-{Wie groß darf $V_0$ maximal sein, damit die Zuverlässigkeit $99.9\%$ ist?
+{Wie groß darf&nbsp; $V_0$&nbsp; maximal sein, damit die Zuverlässigkeit zu&nbsp; $99.9\%$&nbsp; erreicht wird?
 |type="{}"}
-${\rm Zuverlässigkeit} \ 99.9\%\text{:} \hspace{0.4cm} V_0 \ = \ $ { 70 3% } $\ \rm dB$
+$V_0 \ = \ $ { 70 3% } $\ \rm dB$
 </quiz>

@@ Zeile 19: / Zeile 19: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie folgende (grobe) Näherungen verwenden:
 :$${\rm Q}(1) \approx 0.16\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Q}(2) \approx 0.02\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}

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(kein Unterschied)