Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Juli 2021 um 15:28 Uhr

2021-07-09T15:28:00Z

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:51 Uhr

2019-10-17T15:51:28Z

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:44 Uhr

2019-10-17T15:44:18Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:50 Uhr

2018-10-23T09:50:04Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:46 Uhr

2018-10-23T09:46:48Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:34 Uhr

2018-10-23T09:34:15Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 15. Februar 2018 um 10:42 Uhr

2018-02-15T10:42:45Z

Guenter am 15. Februar 2018 um 10:37 Uhr

2018-02-15T10:37:06Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2 Koaxialkabel nach Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel

2018-01-03T13:10:32Z

Guenter verschob die Seite 1.2 Koaxialkabel nach Aufgabe 1.2: Koaxialkabel

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-bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:
+bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.&nbsp; Für positive Frequenzen gilt:
 :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
 Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von&nbsp; $α_2$&nbsp; und&nbsp; $β_2$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
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-{Wie groß ist die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung&nbsp; $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
+{Wie groß ist die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$.&nbsp; Berücksichtigen Sie die Beziehung&nbsp; $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
 |type="{}"}
 $f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
-{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_x = f_0$&nbsp; mit Leistung&nbsp; $P_x = \,\text{1 W}$ an. Wie groß ist die Ausgangsleistung&nbsp; $P_y$?
+{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_x = f_0$&nbsp; mit Leistung&nbsp; $P_x = \,\text{1 W}$ an.&nbsp; Wie groß ist die Ausgangsleistung&nbsp; $P_y$?
 |type="{}"}
 $P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$

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 '''(2)'''&nbsp; Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
 :$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
-Damit erhält man für die maximale Länge&nbsp; $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.
+*Damit erhält man für die maximale Länge&nbsp; $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.
-'''(3)'''&nbsp; Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
+'''(3)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $β_2 = α_2$&nbsp; und der angegebenen Beziehung&nbsp; $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$&nbsp; kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
 :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
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 \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
-Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
+*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
-:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
+:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 =  \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
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 {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
-Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
+*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man hierfür&nbsp; $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
 :$$P_y = P_x \cdot |H(f = f_0)|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\,\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\,\text{MHz}$ signifikant kleiner:
 :$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
 \hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$

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 [[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]]
-Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels  der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:
+Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels  der Länge&nbsp; $l$&nbsp; (mit&nbsp; $2.6 \ \text{mm}$&nbsp; Durchmesser des Innenleiters und&nbsp;  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)&nbsp; lautet für Frequenzen&nbsp; $f > 0$:
 :$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
 \cdot {\rm e}^{-(\alpha_1  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
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 \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
-*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.
+*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung&nbsp; $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$&nbsp; beschrieben.
-*Auch die frequenzproportionale Phase $β_1 · f · l$ mit $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$ wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
+*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil &nbsp; ⇒ &nbsp; $α_1 · f · l$&nbsp; mit&nbsp; $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$&nbsp; geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.
-Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen $200 \ \text{kHz}$ und $400 \ \text{MHz}$ im Wesentlichen durch den Einfluss
+*Auch die frequenzproportionale Phase&nbsp; $β_1 · f · l$&nbsp; mit&nbsp; $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$&nbsp; wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
 *der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
 *der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
 bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:
 :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2  + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
-Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von&nbsp; $α_2$&nbsp; und&nbsp; $β_2$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
-wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.
+wobei der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; die beiden Konstanten&nbsp; $α_2$&nbsp; und&nbsp; $β_2$&nbsp; sowie die Kabellänge&nbsp; $l$&nbsp; gleichermaßen berücksichtigt.
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-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$?
+{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante&nbsp; $K$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$?
 |type="{}"}
 $K  \ = \ $ { 0.992 5%  }
-{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $3\%$ gedämpft wird?
+{Welche Länge&nbsp; $l_{\rm max}$&nbsp; könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als&nbsp; $3\%$&nbsp; gedämpft wird?
 |type="{}"}
 $l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5%  } &nbsp;$\text{ km}$
-{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. <br>Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
+{Wie groß ist die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_0$&nbsp; für die Kabellänge&nbsp; $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung&nbsp; $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
 |type="{}"}
 $f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
-{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ an. <br>Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$?
+{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz&nbsp; $f_x = f_0$&nbsp; mit Leistung&nbsp; $P_x = \,\text{1 W}$ an. Wie groß ist die Ausgangsleistung&nbsp; $P_y$?
 |type="{}"}
 $P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$
-{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x = 10 \ \rm MHz$?
+{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz&nbsp; $f_x = 10 \ \rm MHz$?
 |type="{}"}
 $P_y \ = \ $ { 0.184 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
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 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
 } \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
-Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.
+Damit erhält man für die maximale Länge&nbsp; $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.

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-{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird?
+{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $3\%$ gedämpft wird?
 |type="{}"}
 $l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5%  } &nbsp;$\text{ km}$
-{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
+{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. <br>Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
 |type="{}"}
 $f_0\ = \ $ { 0.54 5%  } &nbsp;$\text{ MHz}$
-{Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$, wenn man am Kabeleingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ anlegt?
+{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ an. <br>Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$?
 |type="{}"}
 $P_y \ = \ $ { 135 5%  } &nbsp;$\text{ mW}$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
-==A1.2 Koaxialkabel==
 [[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png | Verschiedene Koaxialkabel|right|frame]]
 Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels  der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$: