Aufgaben:Aufgabe 1.2: Koaxialkabel - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:34:39Z

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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^1.1 Systembeschreibung im Frequenzbereich^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.2:_Coaxial_Cable]]

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2026-02-24T13:38:20Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png \| Verschiedene Koaxialkabel\|right\|frame]]		[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png \| Verschiedene Koaxialkabel\|right\|frame]]
	Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:		Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:
	:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}		:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f\cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
	\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} \beta_1)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f
	\cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm
	j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\beta_2) \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$

	*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.		*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:		'''(1)'''  Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:
	:$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot		:$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$
	\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$



	'''(2)'''  Mit  ${\rm a_0 } = α_0 · l$  müsste folgende Gleichung erfüllt sein:		'''(2)'''  Mit  ${\rm a_0 } = α_0 · l$  müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
	:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97		:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
	\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
	} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
	*Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.		*Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.

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	'''(3)'''  Wegen  $β_2 = α_2$  und der angegebenen Beziehung  $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$  kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:		'''(3)'''  Wegen  $β_2 = α_2$  und der angegebenen Beziehung  $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$  kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
	:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{-\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2
	\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2} }= K \cdot {\rm e}^{-
	\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
	*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:		*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
	:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$		:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$
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	'''(4)'''  Für den Frequenzgang gilt:		'''(4)'''  Für den Frequenzgang gilt:
	:$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$\begin{align}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} \|H(f)\|^2 = K^2 \cdot{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align}$$
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }
	\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} } \hspace{0.05 cm} \Rightarrow \hspace{0.05 cm} \|H(f)\|^2 = K^2 \cdot
	{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
	*Für  $f = f_0$  erhält man hierfür  $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:		*Für  $f = f_0$  erhält man hierfür  $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
	:$$P_y = P_x \cdot \|H(f = f_0)\|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$		:$$P_y = P_x \cdot \|H(f = f_0)\|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$
Zeile 118:		Zeile 98:

	'''(5)'''  Mit der höheren Frequenz  $f_x = 10\:\text{MHz}$  ist die Ausgangsleistung gegenüber  $f_x = 0.54\:\text{MHz}$  signifikant kleiner:		'''(5)'''  Mit der höheren Frequenz  $f_x = 10\:\text{MHz}$  ist die Ausgangsleistung gegenüber  $f_x = 0.54\:\text{MHz}$  signifikant kleiner:
	:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 9. Juli 2021 um 15:28 Uhr

2021-07-09T15:28:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2021, 17:28 Uhr
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	bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:		bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind.  Für positive Frequenzen gilt:
	:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$		:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
	Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:		Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:
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	{Wie groß ist die charakteristische Frequenz  $f_0$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung  $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.		{Wie groß ist die charakteristische Frequenz  $f_0$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$.  Berücksichtigen Sie die Beziehung  $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_0\ = \ $ { 0.54 5% }  $\text{ MHz}$		$f_0\ = \ $ { 0.54 5% }  $\text{ MHz}$


	{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz  $f_x = f_0$  mit Leistung  $P_x = \,\text{1 W}$ an. Wie groß ist die Ausgangsleistung  $P_y$?		{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz  $f_x = f_0$  mit Leistung  $P_x = \,\text{1 W}$ an.  Wie groß ist die Ausgangsleistung  $P_y$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_y \ = \ $ { 135 5% }  $\text{ mW}$		$P_y \ = \ $ { 135 5% }  $\text{ mW}$

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:51 Uhr

2019-10-17T15:51:28Z

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:44 Uhr

2019-10-17T15:44:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2019, 17:44 Uhr
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	[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png \| Verschiedene Koaxialkabel\|right\|frame]]		[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png \| Verschiedene Koaxialkabel\|right\|frame]]
	Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:		Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge  $l$  (mit  $2.6 \ \text{mm}$  Durchmesser des Innenleiters und  $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser)  lautet für Frequenzen  $f > 0$:
	:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}		:$$H(f) = {\rm e}^{-\alpha_{0\hspace{0.02cm}} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}
	\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot		\cdot {\rm e}^{-(\alpha_1 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
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	\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$		\hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l}.$$

	*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$ beschrieben.		*Der erste, von den Ohmschen Verlusten herrührende Term in dieser Gleichung wird durch die so genannte kilometrische Dämpfung  $α_0 = 0.00162\, \text{Np/km}$  beschrieben.

	*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil ⇒ $α_1 · f · l$ mit $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$ geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.

	*~~Auch die~~ frequenzproportionale ~~Phase~~ $~~β_1~~ · f · l$ mit $~~β_1~~ = 21.78 \,\text{~~rad~~/(km · MHz)}$ wird ~~außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat~~.		*Der frequenzproportionale Dämpfungsanteil   ⇒   $α_1 · f · l$  mit  $α_1 = 0.000435 \,\text{Np/(km · MHz)}$  geht auf die Querverluste zurück. Dieser macht sich erst bei sehr hohen Frequenzen bemerkbar und wird im Folgenden vernachlässigt.


	Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen $200 \ \text{kHz}$ und $400 \ \text{MHz}$ ~~im Wesentlichen~~ durch den Einfluss		*Auch die frequenzproportionale Phase  $β_1 · f · l$  mit  $β_1 = 21.78 \,\text{rad/(km · MHz)}$  wird außer Acht gelassen werden, da diese nur eine für alle Frequenzen gleiche Laufzeit zur Folge hat.
	*der Dämpfungskonstanten $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
	*der Phasenkonstanten $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$
			Der Koaxialkabel–Frequenzgang wird deshalb für Frequenzen zwischen  $200 \ \text{kHz}$  und  $400 \ \text{MHz}$  vorwiegend durch den Einfluss
			*der Dämpfungskonstanten  $α_2 = 0.2722 \,\text{Np/(km · MHz}^{0.5})$, und
			*der Phasenkonstanten  $β_2 = 0.2722 \,\text{rad/(km · MHz}^{0.5})$


	bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:		bestimmt, die auf den so genannten Skineffekt zurückzuführen sind. Für positive Frequenzen gilt:
	:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$		:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{-(\alpha_2 + {\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \beta_2)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}.$$
	Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von $α_2$ und $β_2$ kann hierfür auch geschrieben werden:		Aufgrund der gleichen Zahlenwerte von  $α_2$  und  $β_2$  kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$		:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} },$$
	wobei der Parameter $f_0$ die beiden Konstanten $α_2$ und $β_2$ sowie die Kabellänge $l$ gleichermaßen berücksichtigt.		wobei der Parameter  $f_0$  die beiden Konstanten  $α_2$  und  $β_2$  sowie die Kabellänge  $l$  gleichermaßen berücksichtigt.



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	''~~Hinweise~~:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich \| Systembeschreibung im Frequenzbereich]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich \| Systembeschreibung im Frequenzbereich]].

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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>

	{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante $K$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$?		{Wie groß ist die Frequenzgang–Konstante  $K$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$K \ = \ $ { 0.992 5% }		$K \ = \ $ { 0.992 5% }


	{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $3\%$ gedämpft wird?		{Welche Länge  $l_{\rm max}$  könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als  $3\%$  gedämpft wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5% }  $\text{ km}$		$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5% }  $\text{ km}$


	{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. ~~<br>~~Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.		{Wie groß ist die charakteristische Frequenz  $f_0$  für die Kabellänge  $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung  $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_0\ = \ $ { 0.54 5% }  $\text{ MHz}$		$f_0\ = \ $ { 0.54 5% }  $\text{ MHz}$


	{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ an. ~~<br>~~Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$?		{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz  $f_x = f_0$  mit Leistung  $P_x = \,\text{1 W}$ an. Wie groß ist die Ausgangsleistung  $P_y$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_y \ = \ $ { 135 5% }  $\text{ mW}$		$P_y \ = \ $ { 135 5% }  $\text{ mW}$


	{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz $f_x = 10 \ \rm MHz$?		{Welche Ausgangsleistung erhält man mit der Signalfrequenz  $f_x = 10 \ \rm MHz$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_y \ = \ $ { 0.184 5% }  $\text{ mW}$		$P_y \ = \ $ { 0.184 5% }  $\text{ mW}$

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:50 Uhr

2018-10-23T09:50:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2018, 11:50 Uhr
Zeile 36:		Zeile 36:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich \| Systembeschreibung im Frequenzbereich]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich \| Systembeschreibung im Frequenzbereich]].


Zeile 84:		Zeile 84:
	\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97		\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
	} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$		} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
	Damit erhält man für die maximale Länge $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.		Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:46 Uhr

2018-10-23T09:46:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2018, 11:46 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:


	{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als 3% gedämpft wird?		{Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $3\%$ gedämpft wird?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5% }  $\text{ km}$		$l_{\rm max} \ = \ $ { 18.8 5% }  $\text{ km}$


	{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.		{Wie groß ist die charakteristische Frequenz $f_0$ für die Kabellänge $l = 5\,\text{ km}$. <br>Berücksichtigen Sie die Beziehung $\rm \sqrt{2j} = 1 + j$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$f_0\ = \ $ { 0.54 5% }  $\text{ MHz}$		$f_0\ = \ $ { 0.54 5% }  $\text{ MHz}$


	{~~Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$, wenn man am~~ Kabeleingang ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ ~~anlegt~~?		{Am Kabeleingang liegt ein Cosinussignal der Frequenz $f_x = f_0$ mit Leistung $P_x = \,\text{1 W}$ an. <br>Wie groß ist die Ausgangsleistung $P_y$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_y \ = \ $ { 135 5% }  $\text{ mW}$		$P_y \ = \ $ { 135 5% }  $\text{ mW}$

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:34 Uhr

2018-10-23T09:34:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2018, 11:34 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}

	~~==A1.2 Koaxialkabel==~~
	[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png \| Verschiedene Koaxialkabel\|right\|frame]]		[[Datei: P_ID787__LZI_A_1_2.png \| Verschiedene Koaxialkabel\|right\|frame]]
	Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:		Der Frequenzgang eines Normalkoaxialkabels der Länge $l$ (mit $2.6 \ \text{mm}$ Durchmesser des Innenleiters und $9.5 \ \text{mm}$ Außendurchmesser) lautet für Frequenzen $f > 0$:

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich \| Systembeschreibung im Frequenzbereich]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich \| Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 15. Februar 2018 um 10:42 Uhr

2018-02-15T10:42:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2019, 17:51 Uhr
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	'''(2)'''  Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
			'''(2)'''  Mit  ${\rm a_0 } = α_0 · l$  müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
	:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97		:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
	\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97		\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
	} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$		} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
	Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.		*Damit erhält man für die maximale Länge  $l_{\rm max} = 0.0305 \ \text{Np}/0.00162 \ \text{Np/km} \rm \underline{\: ≈ \: 18.8 \: km}$.



	'''(3)'''  Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:		'''(3)'''  Wegen  $β_2 = α_2$  und der angegebenen Beziehung  $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$  kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
	:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot		\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
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	\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot		\sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$		\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
	Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:		*Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
	:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$		:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = \big ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} }\big )^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$



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	{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot		{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$		\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
	Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:		*Für  $f = f_0$  erhält man hierfür  $K^2 \cdot \rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
	:$$P_y = P_x \cdot \|H(f = f_0)\|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$		:$$P_y = P_x \cdot \|H(f = f_0)\|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$


	'''(5)'''  Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\,\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\,\text{MHz}$ signifikant kleiner:
			'''(5)'''  Mit der höheren Frequenz  $f_x = 10\:\text{MHz}$  ist die Ausgangsleistung gegenüber  $f_x = 0.54\:\text{MHz}$  signifikant kleiner:
	:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$		\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:		'''(1)'''  Für den Gleichsignalübertragungsfaktor gilt:
	$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot		:$$K = H(f=0) = {\rm e}^{-\alpha_0 \hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot		\hspace{0.05cm} l} = {\rm e}^{-0.00162 \hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$		\hspace{0.05cm} 5}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.992}.$$
Zeile 81:		Zeile 81:

	'''(2)'''  Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:		'''(2)'''  Mit $a_0 = α_0 · l$ müsste folgende Gleichung erfüllt sein:
	$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97		:$${\rm e}^{\rm -a_0 } \ge 0.97
	\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97		\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} {\rm a_0 } < \ln \frac{1}{0.97
	} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$		} \approx 0.0305\,{\rm Np}.$$
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	'''(3)'''  Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = (2j~~)^{0.5~~}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:		'''(3)'''  Wegen $β_2 = α_2$ und der angegebenen Beziehung $\rm 1 + j = \sqrt{2j}$ kann für den Frequenzgang auch geschrieben werden:
	$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$H(f) = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot		\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2		\hspace{0.05cm} f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\alpha_2}^2
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	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$		\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} f/f_0} }.$$
	Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:		Durch Koeffizientenvergleich mit der vorne angegebenen Gleichung erhält man:
	$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$		:$${1}/{f_0} = \alpha_2^2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l^2 = ( \frac { {\rm 0.272} }{\rm km \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{MHz} })^2 \cdot ({\rm 5 \hspace{0.05cm} km})^2 = \frac{1.855}{ {\rm MHz} }\hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} f_0 \hspace{0.15cm}\rm \underline{= 0.540 \: MHz}.$$


	'''(4)'''  Für den Frequenzgang gilt:		'''(4)'''  Für den Frequenzgang gilt:
	$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$\begin{align*}H(f) & = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot		\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }		\hspace{0.05cm} f/f_0} } = K \cdot {\rm e}^{- \sqrt{ f/f_0} }
Zeile 106:		Zeile 106:
	{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot		{\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$		\hspace{0.05cm}\sqrt{ f/f_0} }.\end{align*}$$
	Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2}$ ≈ 0.135. Daraus folgt weiter:		Für $f = f_0$ erhält man hierfür $\rm e^{–2} ≈ 0.135$. Daraus folgt weiter:
	$$P_y = P_x \cdot \|H(f = f_0)\|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$		:$$P_y = P_x \cdot \|H(f = f_0)\|^2 \hspace{0.15cm}\underline{\approx135\hspace{0.05cm}{\rm mW}}.$$


	'''(5)'''  Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\,\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\,\text{MHz}$ signifikant kleiner:		'''(5)'''  Mit der höheren Frequenz $f_x = 10\,\text{MHz}$ ist die Ausgangsleistung gegenüber $f_x = 0.54\,\text{MHz}$ signifikant kleiner:
	$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot		:$$P_y = P_x \cdot {\rm e}^{- 2\hspace{0.05cm} \cdot
	\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$		\hspace{0.05cm}\sqrt{ 10/0.54} }\approx P_x \cdot {\rm e}^{- 8.6 } \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.184 \hspace{0.1cm}{\rm mW}}.$$