Aufgaben:Aufgabe 1.2: Einfacher binärer Kanalcode - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Juni 2022 um 12:44 Uhr

2022-06-06T12:44:23Z

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2022-06-06T12:38:43Z

Guenter am 2. Mai 2019 um 15:08 Uhr

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Guenter am 2. Mai 2019 um 15:03 Uhr

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Guenter am 2. Mai 2019 um 15:02 Uhr

2019-05-02T15:02:37Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-01T17:26:25Z

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Guenter am 28. November 2017 um 12:24 Uhr

2017-11-28T12:24:11Z

Guenter am 28. November 2017 um 12:05 Uhr

2017-11-28T12:05:14Z

Wael: /* Musterlösung */

2017-11-23T13:43:34Z

Musterlösung

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Codeumfang ist hier zu $|\mathcal{C}| = 4$ gegeben.
+'''(1)'''&nbsp; Der Codeumfang ist hier zu&nbsp; $|\mathcal{C}| = 4$&nbsp; gegeben.
-*Allgemein gilt $|\mathcal{C}|= 2^k$.
+*Allgemein gilt&nbsp; $|\mathcal{C}|= 2^k$.
-*Daraus folgt $\underline{ k = 2}$.
+*Daraus folgt&nbsp; $\underline{ k = 2}$.
-'''(2)'''&nbsp; Jedes Codewort   $\underline{x}$   ist eineindeutig einem Informationsblock   $\underline{u}$  zugeordnet.
+'''(2)'''&nbsp; Jedes Codewort &nbsp;  $\underline{x}$ &nbsp;  ist eineindeutig einem Informationsblock&nbsp;   $\underline{u}$&nbsp;  zugeordnet.
-*Durch Verfälschungen einzelner der insgesamt  $n$   Bit eines Codewortes  $\underline{x}$ ergeben sich die Empfangsworte    $\underline{y}$.
+*Durch Verfälschungen einzelner der insgesamt&nbsp;  $n$&nbsp;   Bit eines Codewortes&nbsp;  $\underline{x}$&nbsp; ergeben sich die Empfangsworte&nbsp;    $\underline{y}$.
-*Aus der Anzahl $(16 = 2^4$) der möglichen Empfangsworte folgt $\underline{ n = 4}$.
+*Aus der Anzahl&nbsp; $(16 = 2^4)$&nbsp; der möglichen Empfangsworte folgt&nbsp; $\underline{ n = 4}$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Coderate ist per Definition $R = k/n$.
+'''(3)'''&nbsp; Die Coderate ist per Definition&nbsp; $R = k/n$.&nbsp; Mit den obigen Ergebnissen erhält man&nbsp; $\underline{R = 0.5}$.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Ja</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>Ja</u>:&nbsp; Ein systematischer Code zeichnet sich dadurch aus,&nbsp; dass jeweils die ersten&nbsp; $k$&nbsp; Bit der Codeworte identisch sind mit dem Informationsblock.
-'''(5)'''&nbsp;  Das Hamming–Gewicht eines binären Codes ist gleich der algebraischen Summe $x_1 + x_2 + \text{...} + x_n$ über alle Codewortelemente. Damit gilt:
+'''(5)'''&nbsp;  Das Hamming–Gewicht eines binären Codes ist gleich der algebraischen Summe&nbsp; $x_1 + x_2 + \text{...} + x_n$&nbsp; über alle Codewortelemente.&nbsp; Damit gilt:
 :$$w_{\rm H}(\underline{x}_0) \hspace{0.15cm} \underline {= 0} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Die Hamming–Distanz zwischen zwei Codeworten kann hier nur die Werte $2$ und $4$ annehmen:
+'''(6)'''&nbsp; Die Hamming–Distanz zwischen zwei Codeworten kann hier nur die Werte&nbsp; $2$&nbsp; und&nbsp; $4$&nbsp; annehmen:
 :$$d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm},$$
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-'''(7)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (6) folgt $d_{\rm min}(\mathcal{C}) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.
+'''(7)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; folgt&nbsp; $d_{\rm min}(\mathcal{C}) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}$.
 *Allgemein gilt für diese Größe:
 :$$d_{\rm min}(\mathcal{C}) = \min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID2381__KC_A_1_2.png|right|frame|Verdeutlichung der Kanal(de)codierung]]
 Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung&nbsp; $\mathcal{C}$:
-*Es gibt vier mögliche Informationsblöcke&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , u_{k})$.
+*Es gibt vier mögliche Informationsblöcke&nbsp; $\underline{u} = (u_{1},\ u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} ,\ u_{k})$.
-Ab Teilaufgabe '''(4)''' betrachten wir folgende Zuordnung:
+*Aufgrund von Decodierfehlern&nbsp; $(0 → 1, \ 1 → 0)$&nbsp; gibt es mehr als vier,&nbsp; nämlich 16 verschiedene Empfangsworte&nbsp; $\underline{y} = (y_{1},\ y_{2}, \text{...} \hspace{0.05cm} ,\ y_{n})$.
-''Hinweise'':
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]]
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|"Zielsetzung der Kanalcodierung"]]
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
-::[[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Blockschaltbild und Voraussetzungen]],
+:*[[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|"Blockschaltbild und Voraussetzungen"]],
-::[[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung]].
+:*[[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung"]].
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-{Wie groß ist die Codewortlänge $n$?
+{Wie groß ist die Codewortlänge&nbsp; $n$?
 |type="{}"}
 $n \ = \ $ { 4 }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Der Codeumfang ist hier zu $|\mathcal{C}| = 4$ gegeben. Allgemein gilt $|\mathcal{C}|= 2^k$. Daraus folgt $\underline{ k = 2}$.
+'''(1)'''&nbsp; Der Codeumfang ist hier zu $|\mathcal{C}| = 4$ gegeben.
-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>Ja</u>. Ein systematischer Code zeichnet sich dadurch aus, dass jeweils die ersten $k$ Bit der Codeworte identisch sind mit dem Informationsblock.
+'''(3)'''&nbsp; Die Coderate ist per Definition $R = k/n$.
 '''(5)'''&nbsp;  Das Hamming–Gewicht eines binären Codes ist gleich der algebraischen Summe $x_1 + x_2 + \text{...} + x_n$ über alle Codewortelemente. Damit gilt:
 :$$w_{\rm H}(\underline{x}_0) \hspace{0.15cm} \underline {= 0} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} w_{\rm H}(\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}w_{\rm H}(\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Die Hamming–Distanz zwischen zwei Codeworten kann hier nur die Werte $2$ und $4$ annehmen:
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 :$$ d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe (6) folgt $d_{\rm min}(\mathcal{C}) \hspace{0.15cm}\underline{= 2}$. Allgemein gilt für diese Größe:
 :$$d_{\rm min}(\mathcal{C}) = \min_{\substack{\underline{x},\hspace{0.05cm}\underline{x}' \hspace{0.05cm}\in \hspace{0.05cm} \mathcal{C} \\ {\underline{x}} \hspace{0.05cm}\ne \hspace{0.05cm} \underline{x}'}}\hspace{0.1cm}d_{\rm H}(\underline{x}, \hspace{0.05cm}\underline{x}')\hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID2381__KC_A_1_2.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Kanal(de)codierung]]
+[[Datei:P_ID2381__KC_A_1_2.png|right|frame|Verdeutlichung der Kanal(de)codierung]]
 Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung&nbsp; $\mathcal{C}$:
 *Es gibt vier mögliche Informationsblöcke&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , u_{k})$.

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 }}
-[[Datei:P_ID2381__KC_A_1_2.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Kanalcodierung]]
+[[Datei:P_ID2381__KC_A_1_2.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Kanal(de)codierung]]
-Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung $\mathcal{C}$:
+Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung&nbsp; $\mathcal{C}$:
-*Es gibt vier mögliche Informationsblöcke $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , u_{k})$.
+*Es gibt vier mögliche Informationsblöcke&nbsp; $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , u_{k})$.
-*Jeder Informationsblock $\underline{u}$ wird eindeutig (erkennbar an der gleichen Farbe) dem Codewort $\underline{x}= (x_{1}, x_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm}  , x_{n})$ zugeordnet.
+*Jeder Informationsblock&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; wird eindeutig (erkennbar an der gleichen Farbe) dem Codewort&nbsp; $\underline{x}= (x_{1}, x_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm}  , x_{n})$&nbsp; zugeordnet.
-*Aufgrund von Decodierfehlern $(0 → 1, \ 1 → 0)$ gibt es mehr als 4, nämlich 16 verschiedene Empfangsworte $\underline{y} = (y_{1}, y_{2}, \text{...} \hspace{0.05cm} , y_{n})$.
+*Aufgrund von Decodierfehlern&nbsp; $(0 → 1, \ 1 → 0)$&nbsp; gibt es mehr als 4, nämlich 16 verschiedene Empfangsworte&nbsp; $\underline{y} = (y_{1}, y_{2}, \text{...} \hspace{0.05cm} , y_{n})$.
-Ab Teilaufgabe (4) betrachten wir folgende Zuordnung:
+Ab Teilaufgabe '''(4)''' betrachten wir folgende Zuordnung:
 :$$\underline{u_0} = (0, 0) \leftrightarrow (0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u_1} = (0, 1) \leftrightarrow (0, 1, 0, 1) = \underline{x_1}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u_2} = (1, 0) \leftrightarrow (1, 0, 1, 0) = \underline{x_2}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u_3} = (1, 1) \leftrightarrow (1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise'':
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]]
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]]
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Blockschaltbild und Voraussetzungen]] und  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;
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 $ d_{\rm H} \  (\underline{x}_1, \underline{x}_2) \ = \ $ { 4 }
-{Wie groß ist die minimale Hamming–Distanz des betrachteten Codes $\mathcal{C}$?
+{Wie groß ist die minimale Hamming–Distanz des betrachteten Codes&nbsp; $\mathcal{C}$?
 |type="{}"}
 $ d_{\rm min}  (\mathcal{C}) \ = \ $ { 2 }

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 [[Datei:P_ID2381__KC_A_1_2.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Kanalcodierung]]
-Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung C:
+Die Grafik verdeutlicht die hier betrachtete Kanalcodierung $\mathcal{C}$:
-*Es gibt vier mögliche Informationsblöcke $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{k})$.
+*Es gibt vier mögliche Informationsblöcke $\underline{u} = (u_{1}, u_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm} , u_{k})$.
-*Jeder Informationsblock u wird eindeutig (erkennbar an der gleichen Farbe) dem Codewort $\underline{x}= (x_{1}, x_{2}, ... , x_{n})$ zugeordnet.
+*Jeder Informationsblock $\underline{u}$ wird eindeutig (erkennbar an der gleichen Farbe) dem Codewort $\underline{x}= (x_{1}, x_{2}, \text{...}\hspace{0.05cm}  , x_{n})$ zugeordnet.
-*Aufgrund von Decodierfehlern (0 → 1, 1 → 0) gibt es mehr als 4, nämlich 16 verschiedene Empfangsworte $\underline{y} = (y_{1}, y_{2}, ... , y_{n})$.
+*Aufgrund von Decodierfehlern $(0 → 1, \ 1 → 0)$ gibt es mehr als 4, nämlich 16 verschiedene Empfangsworte $\underline{y} = (y_{1}, y_{2}, \text{...} \hspace{0.05cm} , y_{n})$.
-Ab Teilaufgabe d) betrachten wir folgende Zuordnung:
+Ab Teilaufgabe (4) betrachten wir folgende Zuordnung:
 :$$\underline{u_0} = (0, 0) \leftrightarrow (0, 0, 0, 0) = \underline{x_0}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u_1} = (0, 1) \leftrightarrow (0, 1, 0, 1) = \underline{x_1}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u_2} = (1, 0) \leftrightarrow (1, 0, 1, 0) = \underline{x_2}\hspace{0.05cm},$$
 :$$\underline{u_3} = (1, 1) \leftrightarrow (1, 1, 1, 1) = \underline{x_3}\hspace{0.05cm}.$$
-−
-''Hinweis:''
- Die hier abgefragten Beschreibungsgrößen wie
-*Coderate,
+''Hinweise'':
-*Hamming–Gewicht,
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung|Zielsetzung der Kanalcodierung]]
-*Hamming–Distanz, usw.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Blockschaltbild und Voraussetzungen]] und  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Einige wichtige Definitionen zur Blockcodierung]].
-werden auf [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Blockschaltbild_und_Voraussetzungen|Blockschaltbild_und_Voraussetzungen]] und  [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung]] von Kanalcodierung definiert.
+*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
@@ Zeile 26: / Zeile 27: @@
 {Aus wievielen Binärsymbolen besteht ein Informationsblock?
 |type="{}"}
-$k \ = \ $ { 2 3% }
+$k \ = \ $ { 2 }
-{Wie groß ist die Codewortlänge ''n''?
+{Wie groß ist die Codewortlänge $n$?
 |type="{}"}
-$n \ = \ $ { 4 3% }
+$n \ = \ $ { 4 }
 {Wie groß ist die Coderate?
@@ Zeile 38: / Zeile 39: @@
 {Ist der hier vorgegebene Code systematisch?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Ja,
 - Nein.
@@ Zeile 44: / Zeile 45: @@
 {Geben Sie die Hamming–Gewichte aller Codeworte an.
 |type="{}"}
-$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_0) \ = \ $ { 0 3 % }
+$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_0) \ = \ $ { 0. }
-$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_1) \ = \ $ { 2 3 % }
+$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_1) \ = \ $ { 2 }
-$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_2) \ = \ $ { 2 3 % }
+$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_2) \ = \ $ { 2 }
-$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_3) \ = \ $ { 4 3 % }
+$ w_{\rm H} \  (\underline{x}_3) \ = \ $ { 4 }
 {Geben Sie die Hamming–Distanzen zwischen folgenden Codeworten an.
 |type="{}"}
-$ d_{\rm H} \  (\underline{x}_0, \underline{x}_1) \ = \ $ { 2 3 % }
+$ d_{\rm H} \  (\underline{x}_0, \underline{x}_1) \ = \ $ { 2 }
-$ d_{\rm H} \  (\underline{x}_0, \underline{x}_3) \ = \ $ { 4 3 % }
+$ d_{\rm H} \  (\underline{x}_0, \underline{x}_3) \ = \ $ { 4 }
-$ d_{\rm H} \  (\underline{x}_1, \underline{x}_2) \ = \ $ { 4 3 % }
+$ d_{\rm H} \  (\underline{x}_1, \underline{x}_2) \ = \ $ { 4 }
-{Wie groß ist die minimale Hamming–Distanz des betrachteten Codes C?
+{Wie groß ist die minimale Hamming–Distanz des betrachteten Codes $\mathcal{C}$?
 |type="{}"}
-$ d_{\rm min} \  (C) \ = \ $ { 2 3 % }
+$ d_{\rm min} \  (\mathcal{C}) \ = \ $ { 2 }

@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 '''(6)'''&nbsp; Die Hamming–Distanz zwischen zwei Codeworten kann hier nur die Werte 2 und 4 annehmen:
 :$$d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_1) \hspace{0.15cm} \underline {= 2}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_0, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_2) \hspace{0.15cm} \underline {= 4}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_1, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} d_{\rm H}(\underline{x}_2, \hspace{0.05cm}\underline{x}_3) = 2\hspace{0.05cm$$
 '''(6)'''&nbsp; Aus dem Ergebnis der Teilaufgabe 6 folgt d_{\rm min}(C) <u>= 2</u>. Allgemein gilt für diese Größe: