Aufgaben:Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER) - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:34:37Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.2 BER bei Basisbandsystemen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^1.2 BER bei Basisbandsystemen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.2:_Bit_Error_Rate]]

Maintenance script: Fix quiz parser eating LaTeX braces

2026-03-05T14:24:02Z

Fix quiz parser eating LaTeX braces

← Nächstältere Version		Version vom 5. März 2026, 16:24 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	{Berechnen Sie die Streuung  $\sigma$  für  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$.		{Berechnen Sie die Streuung  $\sigma$  für  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $		$\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-4}\ $

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als  $5\%$  von der Wahrscheinlichkeit  $\underline{p = 10^{-2}}$  abweicht?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als  $5\%$  von der Wahrscheinlichkeit  $\underline{p = 10^{-2}}$  abweicht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(\|{\rm BER} – p\| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $		${\rm Pr}(\|{\rm BER} – p\| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{-4}\ $

	{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit  $\underline{p = 10^{-4}}$?		{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit  $\underline{p = 10^{-4}}$?
Zeile 54:		Zeile 54:
	{Wie groß müsste  $N$  mindestens sein, damit bei  $\underline{p = 10^{-4}}$  nicht mehr als  $10\%$  außerhalb des Intervalls von  $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$  liegen?		{Wie groß müsste  $N$  mindestens sein, damit bei  $\underline{p = 10^{-4}}$  nicht mehr als  $10\%$  außerhalb des Intervalls von  $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$  liegen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{ 6 }\ $		$N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{6}\ $

Maintenance script: Fix MathJax: add space after \cdot before letter

2026-02-25T13:19:26Z

Fix MathJax: add space after \cdot before letter

← Nächstältere Version		Version vom 25. Februar 2026, 15:19 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:

	'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$  wie folgt formulieren:		'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$  wie folgt formulieren:
	:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \~~cdotN~~}{p}> 1.64^2 = 2.69$$		:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdot N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N >\frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25\cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N >\frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25\cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:19Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	$ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt.  Dabei gilt:		$ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt.  Dabei gilt:

	:$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\		:$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\1 \\ \end{array} \right.\quad\begin{array}{{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}c}v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\v_\nu \ne q_\nu . \\\end{array}$$
	1 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
	\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
	v_\nu = q_\nu \hspace{0.05cm}, \\
	v_\nu \ne q_\nu . \\
	\end{array}$$
	Die Bitfehlerquote  (englisch:  "Bit Error Rate")  ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :		Die Bitfehlerquote  (englisch:  "Bit Error Rate")  ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :
	:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$		:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$
Zeile 80:		Zeile 74:
	'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit,  dass  $\rm BER$  einen Wert außerhalb des Bereichs		'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit,  dass  $\rm BER$  einen Wert außerhalb des Bereichs
	$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$  annimmt,  ergibt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ $($wegen  $p = 10^{-2})$  zu		$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$  annimmt,  ergibt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ $($wegen  $p = 10^{-2})$  zu
	:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)		:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)= {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)= {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$
	= {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - p\| > \varepsilon \right)= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
	= {\rm Q} \left({\varepsilon}/{\sigma} \right)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - p\| > \varepsilon \right)
	= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Mit  $p = 10^{-4}$  gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Mit  $p = 10^{-4}$  gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)		:$${\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)= 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}\right);\hspace{0.5cm}\text{mit}\hspace{0.5cm}\sigma \approx \sqrt{{ p}/{N}}=10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \cdot10^{-6}\text{:}$$
	= 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$
	\right);\hspace{0.5cm}
	\text{mit}\hspace{0.5cm}\sigma \approx \sqrt{{ p}/{N}}=
	10^{-5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}\varepsilon = 5 \~~cdot~~
	10^{-6}\text{:}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)
	= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$  wie folgt formulieren:		'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$  wie folgt formulieren:
	:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \cdotN}{p}> 1.64^2 = 2.69$$
	{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N >\frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25\cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\frac{\varepsilon^2}{\sigma^2}\approx \frac{\varepsilon^2 \~~cdot~~
	N}{p}> 1.64^2 = 2.69$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} N >
	\frac{2.69 \cdot p}{\varepsilon^2}= \frac{2.69 \cdot 10^{-4}}{25
	\cdot10^{-12}}\hspace{0.1cm}\underline {\approx 10.8 \cdot 10^{6}}\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 29. April 2022 um 12:33 Uhr

2022-04-29T12:33:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. April 2022, 14:33 Uhr
Zeile 67:		Zeile 67:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>:		'''(1)'''  Richtig ist  <u>nur die zweite Aussage</u>:
	*$\rm BER$ ist der Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten ~~Symbolfehler~~ und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.		*$\rm BER$  ist der Quotient aus der Anzahl  $n_{\rm B}$  der festgestellten Bitfehler und der Anzahl  $N$  aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
	*Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\rm BER} = p$ gilt, ist stets genau Null, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.		*Die Wahrscheinlichkeit,  dass ${\rm BER} = p$  gilt,  ist stets genau Null,  da  $\rm BER$  eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
	*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER$ in einem schmalen Intervall um $p$ liegt, mit steigendem $N$ immer größer.		*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit,  dass  $\rm BER$  in einem schmalen Intervall um  $p$  liegt,  mit steigendem  $N$  immer größer.



	'''(2)'''  Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße $\rm BER$ ergibt sich mit $N = 10^6$ und $p = 10^{-2}$ zu		'''(2)'''  Die Streuung der Gaußschen Zufallsgröße  $\rm BER $ ergibt sich mit  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$  zu
	:$$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass ~~die~~ $\rm BER$ einen Wert außerhalb des Bereichs		'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit,  dass  $\rm BER$  einen Wert außerhalb des Bereichs
	$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$ annimmt, ergibt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ ($p = 10^{-2}$) zu		$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$  annimmt,  ergibt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ $($wegen  $p = 10^{-2})$  zu
	:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)		:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)
	= {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)		= {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)
Zeile 87:		Zeile 87:


	'''(4)'''  Mit $p = 10^{-4}$ gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Mit  $p = 10^{-4}$  gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)		:$${\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)
	= 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}		= 2 \cdot {\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma}
Zeile 98:		Zeile 98:


	'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$ wie folgt formulieren:		'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit  $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$  wie folgt formulieren:
	:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${\rm Q} \left( {\varepsilon}/{\sigma} \right) < 0.1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64		{\varepsilon}/{\sigma} > {\rm Q}^{-1}(0.05) \approx 1.64

Guenter am 29. April 2022 um 12:24 Uhr

2022-04-29T12:24:52Z

Guenter am 30. Januar 2019 um 10:55 Uhr

2019-01-30T10:55:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 12:55 Uhr
Zeile 68:		Zeile 68:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>:		'''(1)'''  Richtig ist <u>nur die zweite Aussage</u>:
	*$\rm BER$ ist ~~als~~ Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich ~~als~~ relative Häufigkeit ~~definiert~~.		*$\rm BER$ ist der Quotient aus der Anzahl $n_{\rm B}$ der festgestellten Symbolfehler und der Anzahl $N$ aller simulierten Symbole und damit tatsächlich eine relative Häufigkeit.
	*Die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER = p$ gilt, ist stets genau 0, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.		*Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\rm BER} = p$ gilt, ist stets genau Null, da $\rm BER$ eine kontinuierliche Zufallsgröße darstellt.
	*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER$ in einem schmalen Intervall um $p$ liegt, mit steigendem $N$ immer größer.		*Allerdings wird die Wahrscheinlichkeit, dass $\rm BER$ in einem schmalen Intervall um $p$ liegt, mit steigendem $N$ immer größer.



Zeile 76:		Zeile 77:
	:$$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\sigma = \sqrt{{ p\cdot (\rm 1- \it p)}/{N}}\approx \sqrt{{ p}/{N}}\hspace{0.1cm}\underline {= 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die ~~Bitfehlerrate (kurz~~ $\rm BER$) einen Wert außerhalb des Bereichs
	$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$ annimmt, ~~kann~~ mit $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ ($p = 10^{-2}$) ~~wie folgt berechnet werden:~~		'''(3)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die $\rm BER$ einen Wert außerhalb des Bereichs
			$0.95 \cdot p$ ... $1.05 \cdot p$ annimmt, ergibt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 0^{-4}$ ($p = 10^{-2}$) zu
	:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)		:$${\rm Pr} \left( {\rm BER} < 0.95 \cdot 10^{-2} \right)
	= {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)		= {\rm Pr} \left( {\rm BER} > 1.05 \cdot 10^{-2} \right)
Zeile 83:		Zeile 85:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - p\| > \varepsilon \right)		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - p\| > \varepsilon \right)
	= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$		= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-4}}{10^{-4}} \right) = 2 \cdot 0.287 \cdot 10^{-6}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.00574 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Mit $p = 10^{-4}$ gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Mit $p = 10^{-4}$ gilt für die vergleichbare Wahrscheinlichkeit:
Zeile 93:		Zeile 96:
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left( \|{\rm BER} - 10^{-4}\| > 0.05 \cdot 10^{-4} \right)
	= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$		= 2 \cdot {\rm Q} \left( \frac{5 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}} \right) = 2 \cdot 0.309 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.618} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$ wie folgt formulieren:		'''(5)'''  Diese Bedingung lässt sich mit $\varepsilon = 5 \cdot 10^{-6}$ wie folgt formulieren:

Guenter am 30. Januar 2019 um 10:48 Uhr

2019-01-30T10:48:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Januar 2019, 12:48 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png\|right\|frame\|Tabelle der Gaußsche Fehlerfunktionen]]		[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png\|right\|frame\|Tabelle der Gaußsche Fehlerfunktionen]]
	Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein		Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein
	BSC–Modell (<i>Binary Symmetrical Channel</i>) mit Fehlerwahrscheinlichkeit $p$ angenähert werden kann.		BSC–Modell (<i>Binary Symmetrical Channel</i> ) mit Fehlerwahrscheinlichkeit  $p$  angenähert werden kann.

	Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge $ \langle v_\nu \rangle $ mit der Quellensymbolfolge		Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge  $ \langle v_\nu \rangle $  mit der Quellensymbolfolge
	$ \langle q_\nu \rangle $ vergleicht und daraus die Fehlerfolge $ \langle e_\nu \rangle $ ermittelt. Dabei gilt:		$ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt. Dabei gilt:

	$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\		$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
Zeile 18:		Zeile 18:
	v_\nu \ne q_\nu . \\		v_\nu \ne q_\nu . \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	Die Bitfehlerquote (englisch: <i>Bit Error Rate</i>) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p$:		Die Bitfehlerquote (englisch: <i>Bit Error Rate</i> ) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :
	:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$		:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$
	Je größer der Simulationsparameter $N$ gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.		Je größer der Simulationsparameter  $N$  gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.

	Aus der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]] im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße &bdquo;BER” eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit ~~dem~~ Mittelwert $p$ und ~~der~~ Streuung $\sigma$ angenähert werden kann:		Aus der  [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]]  im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße &bdquo;BER” eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit Mittelwert  $p$  und Streuung  $\sigma$  angenähert werden kann:
	:$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$		:$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]  im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
	*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen $\rm \phi(x)$ und $\rm Q(x)$ angegeben.		*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen  $\rm \phi(x)$  und  $\rm Q(x)$  angegeben.


Zeile 36:		Zeile 39:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Was beschreibt $\rm BER$ im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?		{Was beschreibt  $\rm BER$  im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $\rm BER$ ist eine Wahrscheinlichkeit.		- $\rm BER$  ist eine Wahrscheinlichkeit.
	+ $\rm BER$ ist eine relative Häufigkeit.		+ $\rm BER$  ist eine relative Häufigkeit.
	- Wenn $N$ hinreichend groß ist, stimmt $\rm BER$ mit $p$ <b>exakt</b> überein.		- Wenn  $N$  hinreichend groß ist, stimmt  $\rm BER$  mit  $p$  <b>exakt</b> überein.


	{Berechnen Sie die Streuung $\sigma$ für $N = 10^6$ und $p = 10^{-2}$.		{Berechnen Sie die Streuung  $\sigma$  für  $N = 10^6$  und  $p = 10^{-2}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~p = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm}~~\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $		$\sigma \ =\ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als 5% von der Wahrscheinlichkeit $p = 10^{-2}$ abweicht?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Bitfehlerquote betragsmäßig um mehr als  $5\%$  von der Wahrscheinlichkeit  $\underline{p = 10^{-2}}$  abweicht?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~p = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm}~~{\rm Pr}(\|{\rm BER} – p\| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $		${\rm Pr}(\|{\rm BER} – p\| > 0.05 · p) \ =\ ${ 0.00574 10% } $\ \cdot 10^{ -4 }\ $

	{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit $p = 10^{-4}$?		{Wie groß ist die gleiche Wahrscheinlichkeit mit  $\underline{p = 10^{-4}}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~p = 10^{-4}\text{:} \hspace{0.4cm}~~{\rm Pr}(\|{\rm BER} – p\| > 0.05 · p) \ =\ $ { 0.618 3% }		${\rm Pr}(\|{\rm BER} – p\| > 0.05 · p) \ =\ $ { 0.618 3% }

	{Wie groß müsste $N$ mindestens sein, damit bei $p = 10^{-4}$ nicht mehr als $10\%$ außerhalb des Intervalls von $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$ liegen?		{Wie groß müsste  $N$  mindestens sein, damit bei  $\underline{p = 10^{-4}}$  nicht mehr als  $10\%$  außerhalb des Intervalls von  $0.95 \cdot 10^{-4}$ ... $1.05 \cdot 10^{-4}$  liegen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~p = 10^{-4}\text{:} \hspace{0.4cm}~~N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{ 6 }\ $		$N_{\rm min} \ =\ $ { 10.8 10% } $\ \cdot 10^{ 6 }\ $

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
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	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
	*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen $\rm \phi(x)$ und $\rm Q(x)$ angegeben.		*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen $\rm \phi(x)$ und $\rm Q(x)$ angegeben.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2 Bitfehlerquote (BER) nach Aufgaben:Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER)

2018-01-04T06:18:17Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:1.2 Bitfehlerquote (BER) nach Aufgaben:Aufgabe 1.2: Bitfehlerquote (BER)

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(kein Unterschied)

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	[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png\|right\|frame\|Tabelle ~~der Gaußsche~~ Fehlerfunktionen]]		[[Datei:P_ID1264__Dig_A_1_2.png\|right\|frame\|Tabelle zweier Gaußscher Fehlerfunktionen]]
	Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt, dass es durch ein		Von einem digitalen Übertragungssystem ist bekannt,  dass es durch ein
	BSC–Modell (~~<i>~~Binary Symmetrical Channel~~</i>~~ ) mit Fehlerwahrscheinlichkeit  $p$  angenähert werden kann.		BSC–Modell  ("Binary Symmetrical Channel")  mit Fehlerwahrscheinlichkeit  $p$  angenähert werden kann.

	Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden, indem man die Sinkensymbolfolge  $ \langle v_\nu \rangle $  mit der Quellensymbolfolge		Zur Verifizierung soll die Bitfehlerquote ermittelt werden,  indem man die Sinkensymbolfolge  $ \langle v_\nu \rangle $  mit der Quellensymbolfolge
	$ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt. Dabei gilt:		$ \langle q_\nu \rangle $  vergleicht und daraus die Fehlerfolge  $ \langle e_\nu \rangle $  ermittelt.  Dabei gilt:

	$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\		:$$e_\nu = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\
	1 \\ \end{array} \right.\quad		1 \\ \end{array} \right.\quad
	\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}		\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
Zeile 18:		Zeile 18:
	v_\nu \ne q_\nu . \\		v_\nu \ne q_\nu . \\
	\end{array}$$		\end{array}$$
	Die Bitfehlerquote (englisch: ~~<i>~~Bit Error Rate~~</i>~~ ) ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :		Die Bitfehlerquote  (englisch:  "Bit Error Rate")  ist eine Näherung für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p$ :
	:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$		:$${\rm BER} = \frac{1}{N}\cdot\sum_{\nu=1}^N e_\nu.$$
	Je größer der Simulationsparameter  $N$  gewählt wird, um so genauer ist diese Näherung.		Je größer der Simulationsparameter  $N$  gewählt wird,  um so genauer ist diese Näherung.

	Aus der  [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]]  im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt, dass die Zufallsgröße &bdquo;BER” eigentlich binominalverteilt ist, aber mit guter Näherung durch eine (diskrete) Gaußverteilung mit Mittelwert  $p$  und Streuung  $\sigma$  angenähert werden kann:		Aus der  [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]]  im Buch „Stochastische Signaltheorie” ist bekannt,  dass die Zufallsgröße &bdquo;BER” eigentlich binominalverteilt ist,  aber mit guter Näherung durch eine  (diskrete)  Gaußverteilung mit Mittelwert  $p$  und Streuung  $\sigma$  angenähert werden kann:
	:$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$		:$$\sigma = \sqrt{\frac{ p\cdot (\rm 1- \it p)}{N}}.$$

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	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung\|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]].
	*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]  im Buch „Stochastische Signaltheorie”.		*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen\|"Gaußverteilte Zufallsgrößen"]]  im Buch  „Stochastische Signaltheorie”.
	*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen  $\rm \phi(x)$  und  $\rm Q(x)$  angegeben.		*In der Tabelle sind einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktionen  ${\rm \phi}(x)$  und  ${\rm Q}(x)$  angegeben.