Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Tiefpass 1. und 2. Ordnung - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Juli 2021 um 14:53 Uhr

2021-07-09T14:53:37Z

Guenter am 9. Juli 2021 um 14:47 Uhr

2021-07-09T14:47:45Z

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:34 Uhr

2019-10-17T15:34:40Z

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:17 Uhr

2019-10-17T15:17:45Z

Guenter am 17. Oktober 2019 um 15:15 Uhr

2019-10-17T15:15:53Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:30 Uhr

2018-10-23T09:30:54Z

Guenter am 23. Oktober 2018 um 09:21 Uhr

2018-10-23T09:21:59Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 15. Februar 2018 um 15:32 Uhr

2018-02-15T15:32:37Z

Guenter am 15. Februar 2018 um 10:31 Uhr

2018-02-15T10:31:49Z

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit&nbsp;  $1/0.11513 = 8.68589$&nbsp; und führt zu den Ergebnissen
 *$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = f_0$,
-*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.
+*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}≈ 7 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.
-Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_0$.
+Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} \approx f_0$.

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
 Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
-* oben der ''Dämpfungsverlauf'' &nbsp;$a_1(f)$,
+* oben der Dämpfungsverlauf &nbsp;$a_1(f)$,
-* unten der ''Phasenverlauf'' &nbsp;$b_1(f)$.
+* unten der Phasenverlauf &nbsp;$b_1(f)$.

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 '''(1)'''&nbsp; Der Amplitudengang des Tiefpasses erster Ordnung lautet:
 :$$|H_{\rm 1}(f)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (f/f_0)^2}}.$$
-Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
+*Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
-:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
+:$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.3466 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.8047 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
-Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen
+Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit&nbsp;  $1/0.11513 = 8.68589$&nbsp; und führt zu den Ergebnissen
-*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$,
+*$ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = f_0$,
-*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$.
+*$ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $ f = 2f_0$.
-Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.
+Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = f_0$.
 '''(2)'''&nbsp; Der Frequenzgang $H_1(f)$ kann auch nach Real– und Imaginärteil getrennt dargestellt werden:
 :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{ {1+ (f/f_0)^2} } - {\rm j} \cdot \frac{f/f_0}{ {1+ (f/f_0)^2} }.$$
-Damit ergibt sich für den Phasengang:
+*Damit ergibt sich für den Phasengang:
 :$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
-*Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$,
+*Für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; erhält man&nbsp; $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, und für&nbsp; $f = 2f_0$&nbsp; den Wert&nbsp; $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
 '''(3)'''&nbsp; Für den Amplitudengang eines Tiefpasses $n$–ter Ordnung gilt:
 :$$|H_n(f)| = |H_{\rm 1}(f)|^n.$$
-Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der $n$–fachen Multiplikation die $n$–fache Summe:
+Bezüglich der (logarithmischen) Dämpfungsfunktion wird aus der&nbsp; $n$–fachen Multiplikation die&nbsp; $n$–fache Summe:
 :$$a_n(f) = n \cdot a_1(f)=  {n}/{2} \cdot \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right].$$
 Für den Tiefpass zweiter Ordnung ergibt sich daraus als Sonderfall:
 :$$a_2(f) =   \ln \left[ 1 + ({f}/{f_0})^2 \right]= 2 \cdot a_1(f).$$
 Die dB–Werte lauten nun:
-*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$ für $f = ±f_0$,
+*$ \underline{6.02 \: {\rm dB} ≈ 6 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±f_0$,
-*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$ für $f = ±2f_0$.
+*$\rm \underline{13.98 \: {\rm dB} ≈ 14 \: {\rm dB}}$&nbsp; für&nbsp; $f = ±2f_0$.
-Für $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp; ${f_{\rm G} } =  {f_0}/\sqrt{2}$.
+Damit ist offensichtlich, dass für&nbsp; $n > 1$&nbsp; der Parameter&nbsp; $f_0$&nbsp; nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. <br>Für&nbsp; $n = 2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp;
 '''(4)'''&nbsp; Auch bezüglich der Phasenfunktion gilt:
 :$$b_n(f) =   n \cdot b_1(f), \hspace{0.3 cm} b_2(f) =   2 \cdot b_1(f).$$
-Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen $±π$ möglich. Insbesondere ist
+Beim Tiefpass zweiter Ordnung sind somit alle Phasenwerte zwischen&nbsp; $±π$&nbsp; möglich. Insbesondere ist
 *$b_2(f = f_0) = π/2 \rm \underline{\: = 1.571 \: rad}$,
 * $b_2(f = 2f_0) = \rm 2.216 \: rad$.

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
-[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Vorgegebene Dämpfungs– <br>und Phasenfunktion|right|frame]]
+[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Dämpfungs– & Phasenfunktion|right|frame]]
 Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend&nbsp; [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]&nbsp; – hat folgenden Frequenzgang:
 :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Systembeschreibung im Frequenzbereich}}
-[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Vorgegebene Dämpfungs– und Phasenfunktion|right|frame]]
+[[Datei:P_ID785__LZI_Z_1_1.png|Vorgegebene Dämpfungs– <br>und Phasenfunktion|right|frame]]
-Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]] – hat folgenden Frequenzgang:
+Die einfachste Form eines Tiefpasses – zum Beispiel realisierbar als ein RC–Tiefpass entsprechend&nbsp; [[Aufgaben:1.1_Einfache_Filterfunktionen|Aufgabe 1.1]]&nbsp; – hat folgenden Frequenzgang:
 :$$H_{\rm 1}(f) = \frac{1}{1+{\rm j}\cdot f/f_0}.$$
 Man spricht dann von einem Tiefpass erster Ordnung. In der Grafik dargestellt sind für dieses Filter
 * oben der ''Dämpfungsverlauf'' &nbsp;$a_1(f)$,
-* unten der ''Phasenverlauf'' &nbsp;$b_1(f)$ .
+* unten der ''Phasenverlauf'' &nbsp;$b_1(f)$.
-Entsprechend gilt für einen Tiefpass $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
+Entsprechend gilt für einen Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung die folgende Definitionsgleichung:
 :$$H_n(f) = H_{\rm 1}(f)^n.$$
-In dieser Aufgabe sollen – ausgehend von den Funktionen $a_1(f)$ und $b_1(f)$ für den Tiefpass erster Ordnung – der Dämpfungs– und Phasenverlauf eines Tiefpasses höherer Ordnung analysiert werden. Allgemein gilt:
 :$$H(f) = {\rm e}^{-a(f) - {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)}.$$
@@ Zeile 22: / Zeile 29: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
-*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
+*Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes&nbsp; $|H| = 1/x$&nbsp; besteht folgender Zusammenhang:
 :$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln
 (10)}{20} \cdot a_{\rm dB} \approx 0.11513 \cdot a_{\rm dB}.$$
-*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen $z_1$ und $z_2$ folgende Gleichungen gelten:
+*Berücksichtigen Sie weiter, dass für zwei komplexe Größen&nbsp; $z_1$&nbsp; und&nbsp; $z_2$&nbsp; folgende Gleichungen gelten:
 :$$|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \hspace{0.5 cm}{\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1 \cdot z_2) = {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_1) + {\rm arc}\hspace{0.05 cm}(z_2).$$
@@ Zeile 33: / Zeile 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf $a_1(f)$ eines Tiefpasses erster Ordnung in dB. <br>Welche dB–Werte ergeben sich bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
+{Berechnen Sie den Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_1(f)$&nbsp; eines Tiefpasses erster Ordnung in&nbsp; $\rm dB$. <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte ergeben sich bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 |type="{}"}
 $a_1(f = f_0)\ = \ $  { 3.01 5% } &nbsp;$\text{dB}$
@@ Zeile 39: / Zeile 46: @@
-{Berechnen Sie den Phasenverlauf $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei $f = f_0$ und $f = 2f_0$?
+{Berechnen Sie den Phasenverlauf&nbsp; $b_1(f)$. <br>Welche Werte in Radian (rad) erhält man bei&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = 2f_0$?
 |type="{}"}
 $b_1(f = f_0)\ = \ $  { 0.786 5% } &nbsp;$\text{rad}$
@@ Zeile 45: / Zeile 52: @@
-{Welchen Dämpfungsverlauf $a_n(f)$ hat ein Tiefpass $n$–ter Ordnung? <br>Welche dB–Werte erhält man mit $n = 2$ für $f = f_0$ bzw. $f = \: –2f_0$?
+{Welchen Dämpfungsverlauf&nbsp; $a_n(f)$&nbsp; hat ein Tiefpass&nbsp; $n$–ter Ordnung? <br>Welche&nbsp; $\rm dB$–Werte erhält man mit&nbsp; $n = 2$&nbsp; für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 |type="{}"}
 $a_2(f = f_0)\ = \ $  { 6.02 5% } &nbsp;$\text{dB}$
@@ Zeile 51: / Zeile 58: @@
-{Berechnen Sie die Phasenfunktion $b_2(f)$ eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für $f = f_0$ und $f = \: –2f_0$?
+{Berechnen Sie die Phasenfunktion&nbsp; $b_2(f)$&nbsp; eines Tiefpasses zweiter Ordnung. <br>Welche Werte (in Radian) erhält man für&nbsp; $f = f_0$&nbsp; und&nbsp; $f = \: –2f_0$?
 |type="{}"}
 $b_2(f = f_0)\ = \ $  { 1.571 5% } &nbsp;$\text{rad}$

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 Damit erhält man den Dämpfungsverlauf in Neper (Np):
 :$$a_1(f) = \ln \frac{1}{|H_1(f)|} = {1}/{2} \cdot \ln \left[1 + ({f}/{f_0})^2 \right]  \Rightarrow  a_1(f = f_0) = 0.34657 \hspace{0.1 cm}{\rm Np},\hspace{0.5 cm}a_1(f = 2 f_0) = 0.804719 \hspace{0.1 cm}{\rm Np}.$$
-Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen $ \underline{3.01 \: {\rm dB} ≈ 3 \: {\rm dB}}$ für $ f = f_0$ und $ \underline{6.99 \: {\rm dB}}$ für $ f = 2f_0$. Beim Tiefpass erster Ordnung beträgt somit die 3dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_0$.
+Die entsprechenden dB–Werte erhält man durch Multiplikation mit $1/0.11513 = 8.68589$ und führt zu den Ergebnissen
@@ Zeile 74: / Zeile 79: @@
 Damit ergibt sich für den Phasengang:
 :$$b_1(f) = - \arctan \hspace{0.1cm} ( {\rm Im} /{\rm Re} ) = \arctan \hspace{0.1cm} ({f}/{f_0}).$$
-Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$, für $f = 2f_0$ den Wert $\arctan(2) \rm \underline{\: = 1.108 \: rad}$.
+*Für $f = f_0$ erhält man $\arctan(1) = π/4 \rm \underline{\: = 0.786 \: rad}$,
@@ Zeile 88: / Zeile 94: @@
-Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt. Für $n = 2$ &nbsp;&rArr;&nbsp; &bdquo;Tiefpass zweiter Ordnung&rdquo; gilt vielmehr der Zusammenhang: &nbsp; ${f_{\rm G} } =  {f_0}/\sqrt{2}$.
+Damit ist offensichtlich, dass für $n > 1$ der Parameter $f_0$ nicht mehr die 3 dB–Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ angibt.

@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Frequenzbereich | Systembeschreibung im Frequenzbereich]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Zwischen dem Np– und dem dB–Wert eines Amplitudenwertes $|H| = 1/x$ besteht folgender Zusammenhang:
 :$$a_{\rm Np} = \ln (x) = \ln (10) \cdot \lg (x) = \frac{\ln