Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Summe zweier Ternärsignale - Versionsgeschichte

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2021-11-18T17:01:24Z

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2019-11-08T16:14:03Z

Guenter am 8. November 2019 um 16:08 Uhr

2019-11-08T16:08:36Z

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2018-07-30T15:54:58Z

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2018-07-30T15:46:10Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:35Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:25:57Z

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Guenter am 20. Februar 2017 um 13:30 Uhr

2017-02-20T13:30:37Z

Guenter am 20. Februar 2017 um 13:01 Uhr

2017-02-20T13:01:21Z

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
 *Lösen Sie die Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; nach der klassischen Definition.
 *Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals&nbsp; $Y$.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von&nbsp; $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $Y = 0$&nbsp; ist ?
+{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von&nbsp; $Y$?&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $Y = 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
+{Wieviele unterschiedliche Signalwerte&nbsp; $(I)$&nbsp; kann das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; annehmen?&nbsp; Welche sind dies?
 |type="{}"}
 $ I \ = \ $ { 5 3% }
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ermittelten Werte auf?&nbsp; Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert&nbsp; $S_{\rm max}$?
 |type="{}"}
 $ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }
-{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz&nbsp; $D = X - Y$&nbsp; betrachtet wird?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
+{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten,&nbsp; wenn nun anstelle der Summe die Differenz&nbsp; $D = X - Y$&nbsp; betrachtet wird?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
 |type="[]"}
 + Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
-- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.&nbsp; Wie ändern sie sich?
+- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.&nbsp; Wenn JA:&nbsp; Wie ändern sie sich?
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 :$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
 '''(2)'''&nbsp; $S$&nbsp; kann insgesamt&nbsp; $\underline {I =5}$&nbsp; Werte annehmen, nämlich&nbsp; $0$,&nbsp; $\pm 1$&nbsp; und&nbsp; $\pm 2$.
 [[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
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 :$${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal&nbsp; $D$&nbsp; und das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von&nbsp; $ \pm 1$&nbsp; gleich sind und&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$&nbsp; gilt, erhält man:
 :$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
-'''(2)'''&nbsp; $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
+'''(2)'''&nbsp; $S$&nbsp; kann insgesamt&nbsp; $\underline {I =5}$&nbsp; Werte annehmen, nämlich&nbsp; $0$,&nbsp; $\pm 1$&nbsp; und&nbsp; $\pm 2$.
 [[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
-'''(3)'''&nbsp; Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
+'''(3)'''&nbsp; Da&nbsp; $Y$&nbsp; nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
-Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen. Man erhält dann:
+*Teilt man&nbsp; $Y$&nbsp; jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis&nbsp; $Y = 0$&nbsp; zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen.
 :$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal&nbsp; $D$&nbsp; und das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen.
-Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist &nbsp;  ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Dies war zu erwarten, da&nbsp; ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$&nbsp; vorgegeben ist &nbsp;  ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen}}
-[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier Ternärsignale <br>$X$ und $Y$]]
+[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier <br>Ternärsignale&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$]]
-Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
+Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte&nbsp; $-1$,&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
-*Lösen Sie die Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' nach der klassischen Definition.
+*Lösen Sie die Teilaufgaben&nbsp; '''(3)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; nach der klassischen Definition.
-*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
+*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals&nbsp; $Y$.
-*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] zusammengefasst:
+*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo&nbsp; [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]&nbsp; zusammengefasst.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
+{Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von&nbsp; $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $Y = 0$&nbsp; ist ?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
+{Wieviele unterschiedliche Signalwerte&nbsp; $(I)$&nbsp; kann das Summensignal&nbsp; $S$&nbsp; annehmen? Welche sind dies?
 |type="{}"}
 $ I \ = \ $ { 5 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe '''(2)''' ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert&nbsp; $S_{\rm max}$?
 |type="{}"}
 $ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }
-{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz $D = X - Y$ betrachtet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.
+{Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn nun anstelle der Summe die Differenz&nbsp; $D = X - Y$&nbsp; betrachtet wird?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
 |type="[]"}
 + Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich.
-- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich. Wie ändern sie sich?
+- Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich.&nbsp; Wie ändern sie sich?

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 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen}}
-[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier Ternärsignale $X$ und $Y$]]
+[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier Ternärsignale <br>$X$ und $Y$]]
 Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 '''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
-$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 1/2}. $$
+:$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 0.5}. $$
 '''(2)'''&nbsp; $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
-$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
+[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|frame|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
-$${\rm Pr}(S = +1) = {\rm Pr}(S = -1) ={3}/{12} = {1}/{4},$$
+'''(3)'''&nbsp; Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich) die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
 $${\rm Pr}(S = +2) = {\rm Pr}(S = -2) ={1}/{12}$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(S = S_{\rm max}) = {\rm Pr}(S = +2) =1/12 \;\underline {= 0.0833}.$$
+Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man trotzdem gemäß der klassischen Definition vorgehen. Man erhält dann:
-'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist  ⇒  <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
+Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist &nbsp;  ⇒ &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Einige grundlegende Definitionen}}
-[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe zweier Ternärsignale]]
+[[Datei:P_ID146__Sto_Z1_1.png|right|framed|Summe $S$ zweier Ternärsignale $X$ und $Y$]]
-Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $–1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
+Gegeben seien zwei dreistufige Nachrichtenquellen $X$ und $Y$, deren Ausgangssignale jeweils nur die Werte $-1$, $0$ und $+1$ annehmen können. Die Signalquellen sind statistisch voneinander unabhängig.
 *Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
-*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
+*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $-1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
-*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
+*Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $-1$ bzw. $+1$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Einige_grundlegende_Definitionen | Einige grundlegende Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
-*Lösen Sie die Teilaufgaben (3) und (4) nach der klassischen Definition. Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
+*Lösen Sie die Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' nach der klassischen Definition.
-*Der Inhalt dieses Abschnitts ist in einem Lernvideo zusammengefasst:
+*Berücksichtigen Sie trotzdem die unterschiedlichen Auftrittshäufigkeiten des Signals $Y$.
-:[[Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]]
+*Der Inhalt dieses Abschnitts ist im Lernvideo [[Klassische_Definition_der_Wahrscheinlickeit_(Lernvideo)|Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit]] zusammengefasst:
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 {Wie groß sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Signalwerte von $Y$? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist ?
 |type="{}"}
-$Pr(Y=0) \ = $ { 0.5 3% }
+${\rm Pr}(Y=0) \ = \ $ { 0.5 3% }
 {Wieviele unterschiedliche Signalwerte $(I)$ kann das Summensignal $S$ annehmen? Welche sind dies?
 |type="{}"}
-$ I \ = $ { 5 3% }
+$ I \ = \ $ { 5 3% }
-{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe (2) ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
+{Mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die in der Teilaufgabe '''(2)''' ermittelten Werte auf? Wie wahrscheinlich ist der Maximalwert $S_{\rm max}$?
 |type="{}"}
-$ Pr(S = S_{\rm max} ) \ = $ { 0.0833 3% }
+$ {\rm Pr}(S = S_{\rm max} ) \ = \ $ { 0.0833 3% }

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 *Eine einfache Schaltung bildet nun das Summensignal $S = X + Y$.
-Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
+*Bei der Signalquelle $X$ treten die Werte $–1$, $0$ und $+1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
 *Bei der Quelle ist $Y$ der Signalwert $0$ doppelt so wahrscheinlich wie die beiden anderen Werte $–1$ bzw. $+1$.
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:'''1.'''Da die Wahrscheinlichkeiten von ±1 gleich sind und $Pr(Y = 0) = 2 * Pr(Y = 1)$ gilt, erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Da die Wahrscheinlichkeiten von $ \pm 1$ gleich sind und ${\rm Pr}(Y = 0) = 2 \cdot {\rm Pr}(Y = 1)$ gilt, erhält man:
-$Pr(Y = 1) + Pr(Y = 0) + Pr(Y = -1) = 1$
+$${\rm Pr}(Y = 1) + {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = -1) = 1/2 \cdot {\rm Pr}(Y = 0) + {\rm Pr}(Y = 0) + 1/2\cdot {\rm Pr}(Y = 0) = 1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(Y = 0)\;\underline { = 1/2}. $$
-$ \Rightarrow 1/2*Pr(Y = 0) + Pr(Y = 0) + 1/2*Pr(Y = 0) = 1$
+'''(2)'''&nbsp; $S$ kann insgesamt $\underline {I =5}$ Werte annehmen, nämlich $0$, $\pm 1$ und $\pm 2$.
-$ \Rightarrow PR(Y = 0) = 1/2 $
+[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|right|400px|Summe und Differenz ternärer Zufallsgrößen]]
-:'''2.''' $S$ kann insgesamt <u>5 Werte</u> annehmen, nämlich –2, –1, 0, +1 und +2
+'''(3)'''&nbsp; Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier  (eigentlich)die &bdquo;Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit&rdquo; nicht anwenden.
-:'''3.'''[[Datei:P_ID192__Sto_Z1_1_c.png|frame|]]Da $Y$ nicht gleichverteilt ist, kann man hier die "klassische Definition der Wahrscheinlichkeit" (eigentlich) nicht anwenden.
+Teilt man $Y$ jedoch gemäß der Grafik in vier Bereiche auf, wobei man zwei der Bereiche dem Ereignis $Y = 0$ zuordnet, so kann man die klassische Definition dennoch anwenden. Man erhält dann:
-$Pr(S = 0) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$,
+$${\rm Pr}(S = 0) = {4}/{12} = {1}/{3},$$
-$Pr(S = -1) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$,
+'''(4)'''&nbsp; Aus der Grafik ist auch ersichtlich, dass das Differenzsignal $D$ und das Summensignal $S$ die gleichen Werte mit gleichen Wahrscheinlichkeiten annehmen. Dies war zu erwarten, da ${\rm Pr}(Y = +1) ={\rm Pr}(Y = -1)$ vorgegeben ist  ⇒  <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}