Aufgaben:Aufgabe 1.17Z: BPSK–Kanalkapazität - Versionsgeschichte

Guenter am 28. September 2022 um 15:27 Uhr

2022-09-28T15:27:10Z

Guenter am 28. September 2022 um 15:22 Uhr

2022-09-28T15:22:09Z

Guenter am 15. Mai 2019 um 15:11 Uhr

2019-05-15T15:11:33Z

Guenter am 15. Mai 2019 um 14:48 Uhr

2019-05-15T14:48:15Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:28 Uhr

2018-01-07T14:28:11Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:13 Uhr

2018-01-07T14:13:19Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:08 Uhr

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Guenter am 7. Januar 2018 um 14:07 Uhr

2018-01-07T14:07:06Z

Guenter am 3. Januar 2018 um 09:15 Uhr

2018-01-03T09:15:37Z

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 Hinweise:
 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]].&nbsp; Sie ergänzt die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]].
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 '''(1)'''&nbsp; Im unteren&nbsp; $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
-*$C_{2}$&nbsp; (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und
+*$C_{2}$&nbsp; $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$&nbsp; und
-*$C$&nbsp; (gültig für analogen reellwertigen Eingang)
+*$C$&nbsp; $($gültig für analogen reellwertigen Eingang$)$
-zusammen. Für eine gegebene Rate&nbsp; $R$&nbsp; muss&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; größer sein als&nbsp; $(2^{2R} – 1)/2R.$
+zusammen.&nbsp; Für eine gegebene Rate&nbsp; $R$&nbsp; muss&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; größer sein als&nbsp; $(2^{2R} – 1)/2R.$
-Der Grenzübergang für&nbsp; $R → 0$&nbsp; liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
+Der Grenzübergang für&nbsp; $R → 0$&nbsp; liefert die absolute Shannon–Grenze,&nbsp; ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
 :$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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-'''(3)'''&nbsp; Aus&nbsp; $E_{\rm B} = N_{0}$&nbsp; folgt&nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:
+'''(3)'''&nbsp; Aus &nbsp; $E_{\rm B} = N_{0}$ &nbsp; folgt &nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ &nbsp; sowie&nbsp; $x = 1.6$:
 :$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
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 Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.
-Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:
+Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte&nbsp; $C_{2}$&nbsp; abgeschätzt werden:
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
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 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$
-Ab etwa&nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$&nbsp;  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$&nbsp; (bit/Kanalzugriff).
+Ab etwa&nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$&nbsp;  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit: &nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$&nbsp; (bit/Kanalzugriff).
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2413__KC_Z_1_16.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität]]
-Gemäß dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]]&nbsp; lassen sich Binärsignale über den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]]&nbsp; dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn
+Gemäß dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]]&nbsp; lassen sich Binärsignale über den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]]&nbsp; dann und nur dann fehlerfrei übertragen,&nbsp; wenn
 *man einen Kanalcode der Rate&nbsp; $R = k/n$&nbsp; verwendet,
 *die Blocklänge&nbsp; $n$&nbsp; dieses Codes sehr groß gewählt wird &nbsp; &rArr; &nbsp;  $n → ∞$,
 *die Rate&nbsp; $R$&nbsp; kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität&nbsp; $C_{2}$,
 *wobei die BPSK–Kanalkapazität&nbsp; $C_{2}$&nbsp; vom AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; abhängt.
-Der zulässige Bereich für die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve&nbsp; $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index &nbsp;$2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für ''Binary Phase Shift Keying''), ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.
+#Der zulässige Bereich für die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; ist in der Grafik grün hinterlegt.
+#Die Grenzkurve&nbsp; $C_{2}$,&nbsp; ist gültig für binäre Eingangssignale&nbsp; $($daher der Index &nbsp;$2)$&nbsp; und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet&nbsp; (steht für&nbsp; "Binary Phase Shift Keying").
-Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
+#Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar,&nbsp; sondern das Ergebnis eines Integrals,&nbsp; das nur numerisch ausgewertet werden kann.
-*Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte&nbsp; $R > 1$&nbsp; annehmen.
+#Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; eingetragen,&nbsp; wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
-*Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate&nbsp; $R$&nbsp; das kleinstmögliche&nbsp; $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$&nbsp; gemäß der Gleichung
+#Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte&nbsp; $R > 1$&nbsp; annehmen.
-:$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
+::$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
 Im Umkehrschluss ist die Rate&nbsp; $R$&nbsp; für den gegebenen AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; nach oben begrenzt:
 *Die gerade noch zulässige Coderate&nbsp; $R_{\rm max}$&nbsp; bei gegebenem Kanal&nbsp; $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$&nbsp; bezeichnen wir als die Kanalkapazität&nbsp; $C$.
 *Für&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0} = 1   ⇒   10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$&nbsp; erhält man beispielsweise&nbsp; $C = 0.5$.
-*Das heißt: &nbsp; Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert&nbsp; $R = 0.5$&nbsp; nicht überschreiten.
+*Für&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0} = 1   ⇒   10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$&nbsp; erhält man beispielsweise&nbsp; $C = 0.5$.
 *Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß&nbsp; $C_{2}.$
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 In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität&nbsp;  $C_{2}$&nbsp; durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
-*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)
+*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable&nbsp; (siehe Grafik)
-:$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
+::$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-:Das heißt: &nbsp; $x$&nbsp; ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.
+:Das heißt: &nbsp; $x$&nbsp; ist ohne Einheit;&nbsp; auf die Pseudo–Einheit&nbsp; „$\rm dB$”&nbsp; wird verzichtet.
-*Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp;  die Näherung&nbsp; $C_{2} \approx C$&nbsp; gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter&nbsp; $x_{0}$&nbsp; bestimmt werden kann.
+*Berücksichtigen Sie,&nbsp; dass für ein kleines&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp;  die Näherung&nbsp; $C_{2} \approx C$&nbsp; gültig ist&nbsp; (siehe Grafik),&nbsp; woraus der Parameter&nbsp; $x_{0}$&nbsp; bestimmt werden kann.
-*Setzen Sie für&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$&nbsp; an und bestimmen Sie den Parameter&nbsp; $a$&nbsp; aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$&nbsp; gilt.
+*Setzen Sie für&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$&nbsp; an und bestimmen Sie den Parameter&nbsp; $a$&nbsp; aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart,&nbsp; dass&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$&nbsp; gilt.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]]. Sie ergänzt die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]].&nbsp; Sie ergänzt die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]].
-* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
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 $x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$
-{Approximieren Sie&nbsp; $C_{2}(x)$&nbsp; durch&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist&nbsp; $a$?
+{Approximieren Sie&nbsp; $C_{2}(x)$&nbsp; durch&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$.&nbsp; Wie groß ist&nbsp; $a$?
 |type="{}"}
 $a \ = \ $ { 0.4 3% }

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
+'''(1)'''&nbsp; Im unteren&nbsp; $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
-*$C_{2}$ (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und
+*$C_{2}$&nbsp; (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und
-*$C$ (gültig für analogen reellwertigen Eingang)
+*$C$&nbsp; (gültig für analogen reellwertigen Eingang)
-zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$
+zusammen. Für eine gegebene Rate&nbsp; $R$&nbsp; muss&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; größer sein als&nbsp; $(2^{2R} – 1)/2R.$
-Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
+Der Grenzübergang für&nbsp; $R → 0$&nbsp; liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
 :$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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 :$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$
-Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:
+Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes&nbsp; $x$:
 :$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$
-'''(3)'''&nbsp; Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:
+'''(3)'''&nbsp; Aus&nbsp; $E_{\rm B} = N_{0}$&nbsp; folgt&nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:
-:$$C_2' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
-:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
+:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
-:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
+:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
-:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$
+:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$
-Die so angenäherten Werte $C_{2}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.
+Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.
 Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:
@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
 :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$
-Ab etwa $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit $C_{2}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).
+Ab etwa&nbsp; $\ 10  ·  \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$&nbsp;  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$&nbsp; (bit/Kanalzugriff).
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2413__KC_Z_1_16.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität]]
-Gemäß dem [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]] lassen sich Binärsignale über den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]] dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn
+Gemäß dem&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]]&nbsp; lassen sich Binärsignale über den&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]]&nbsp; dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn
-*man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet,
+*man einen Kanalcode der Rate&nbsp; $R = k/n$&nbsp; verwendet,
-*die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird   $⇒   n → ∞,$
+*die Blocklänge&nbsp; $n$&nbsp; dieses Codes sehr groß gewählt wird &nbsp; &rArr; &nbsp;  $n → ∞$,
-*die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$,
+*die Rate&nbsp; $R$&nbsp; kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität&nbsp; $C_{2}$,
-*wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt.
+*wobei die BPSK–Kanalkapazität&nbsp; $C_{2}$&nbsp; vom AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; abhängt.
-Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale (daher der Index 2) und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für ''Binary Phase Shift Keying), ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.
+Der zulässige Bereich für die Coderate&nbsp; $R$&nbsp; ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve&nbsp; $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index &nbsp;$2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für ''Binary Phase Shift Keying''), ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.
-Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt. Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte $R > 1$ annehmen. Für eine Gaußverteilung ergibt sich für eine gegebene Rate $R$ das kleinstmögliche $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$ gemäß der Gleichung
+Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität&nbsp; $C$&nbsp; eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
 :$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
-Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt:
+Im Umkehrschluss ist die Rate&nbsp; $R$&nbsp; für den gegebenen AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; nach oben begrenzt:
-*Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$.
+*Die gerade noch zulässige Coderate&nbsp; $R_{\rm max}$&nbsp; bei gegebenem Kanal&nbsp; $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$&nbsp; bezeichnen wir als die Kanalkapazität&nbsp; $C$.
-*Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1   ⇒   10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$. Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten.
+*Für&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0} = 1   ⇒   10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$&nbsp; erhält man beispielsweise&nbsp; $C = 0.5$.
-*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$
+*Das heißt: &nbsp; Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert&nbsp; $R = 0.5$&nbsp; nicht überschreiten.
-In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität  $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
+In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität&nbsp;  $C_{2}$&nbsp; durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
 *Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)
@@ Zeile 29: / Zeile 32: @@
 :$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
-:Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.
+:Das heißt: &nbsp; $x$&nbsp; ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.
@@ Zeile 39: / Zeile 45: @@
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe behandelt gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]]. Sie ergänzt die&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]].
 * Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
@@ Zeile 49: / Zeile 54: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie aus dem Grenzwert für $C → 0$ den Kurvenparameter $x_{0}$?
+{Berechnen Sie aus dem Grenzwert für&nbsp; $C → 0$&nbsp; den Kurvenparameter&nbsp; $x_{0}$?
 |type="{}"}
 $x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$
-{Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}'(x) = 1 -{\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist $a$?
+{Approximieren Sie&nbsp; $C_{2}(x)$&nbsp; durch&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist&nbsp; $a$?
 |type="{}"}
 $a \ = \ $ { 0.4 3% }
-{Welche Kanalkapazität $C_{2}'$ ergibt sich nach dieser Näherung für $E_{\rm B} = N_{0}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?
+{Welche Kanalkapazität&nbsp; $C_{2}\hspace{0.01cm}'$&nbsp; ergibt sich nach dieser Näherung für&nbsp; $E_{\rm B} = N_{0}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?
 |type="{}"}
-$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:}  \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.47 3% }
+$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:}  \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.47 3% }
 {Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:
 |type="{}"}
-$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.76 3% }
+$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.76 3% }
-$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.89 3% }
+$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.89 3% }
-$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.95 3% }
+$10  ·  \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.95 3% }
 </quiz>

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 *Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]].
 * Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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