Aufgaben:Aufgabe 1.17Z: BPSK–Kanalkapazität - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:34:32Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:34 Uhr
Zeile 129:		Zeile 129:

	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^1.7 Informationstheoretische Grenzen^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^1.7 Informationstheoretische Grenzen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_1.17Z:_BPSK_Channel_Capacity]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:38:16Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:38 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	Der Grenzübergang für  $R → 0$  liefert die absolute Shannon–Grenze,  ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:		Der Grenzübergang für  $R → 0$  liefert die absolute Shannon–Grenze,  ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:

	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
	10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 28. September 2022 um 15:27 Uhr

2022-09-28T15:27:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2022, 17:27 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:


			Hinweise:

	''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]].  Sie ergänzt die  [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]].  Sie ergänzt die  [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].

Zeile 87:		Zeile 85:

	'''(1)'''  Im unteren  $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven		'''(1)'''  Im unteren  $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
	*$C_{2}$  (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und		*$C_{2}$  $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$  und
	*$C$  (gültig für analogen reellwertigen Eingang)		*$C$  $($gültig für analogen reellwertigen Eingang$)$


	zusammen. Für eine gegebene Rate  $R$  muss  $E_{\rm B}/N_{0}$  größer sein als  $(2^{2R} – 1)/2R.$		zusammen.  Für eine gegebene Rate  $R$  muss  $E_{\rm B}/N_{0}$  größer sein als  $(2^{2R} – 1)/2R.$

	Der Grenzübergang für  $R → 0$  liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:		Der Grenzübergang für  $R → 0$  liefert die absolute Shannon–Grenze,  ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:

	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 108:		Zeile 106:


	'''(3)'''  Aus  $E_{\rm B} = N_{0}$  folgt  $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:		'''(3)'''  Aus   $E_{\rm B} = N_{0}$   folgt   $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$   sowie  $x = 1.6$:

	:$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$		:$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 120:		Zeile 118:
	Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.		Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.

	Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:		Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte  $C_{2}$  abgeschätzt werden:

	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
Zeile 126:		Zeile 124:
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$

	Ab etwa  $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit  $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$  (bit/Kanalzugriff).		Ab etwa  $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit:   $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$  (bit/Kanalzugriff).
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 28. September 2022 um 15:22 Uhr

2022-09-28T15:22:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. September 2022, 17:22 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Datei:P_ID2413__KC_Z_1_16.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität]]		[[Datei:P_ID2413__KC_Z_1_16.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität]]

	Gemäß dem  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t\|Kanalcodierungstheorem]]  lassen sich Binärsignale über den  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]]  dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn		Gemäß dem  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t\|Kanalcodierungstheorem]]  lassen sich Binärsignale über den  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]]  dann und nur dann fehlerfrei übertragen,  wenn

	*man einen Kanalcode der Rate  $R = k/n$  verwendet,		*man einen Kanalcode der Rate  $R = k/n$  verwendet,

	*die Blocklänge  $n$  dieses Codes sehr groß gewählt wird   ⇒   $n → ∞$,		*die Blocklänge  $n$  dieses Codes sehr groß gewählt wird   ⇒   $n → ∞$,

	*die Rate  $R$  kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität  $C_{2}$,		*die Rate  $R$  kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität  $C_{2}$,

	*wobei die BPSK–Kanalkapazität  $C_{2}$  vom AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  abhängt.		*wobei die BPSK–Kanalkapazität  $C_{2}$  vom AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  abhängt.

			Hinweise:

	Der zulässige Bereich für die Coderate  $R$  ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve  $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index  $2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für ''Binary Phase Shift Keying''), ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.		#Der zulässige Bereich für die Coderate  $R$  ist in der Grafik grün hinterlegt.
			#Die Grenzkurve  $C_{2}$,  ist gültig für binäre Eingangssignale  $($daher der Index  $2)$  und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet  (steht für  "Binary Phase Shift Keying").
	Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität  $C$  eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.		#Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar,  sondern das Ergebnis eines Integrals,  das nur numerisch ausgewertet werden kann.
	*Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte  $R > 1$  annehmen.		#Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität  $C$  eingetragen,  wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
	*Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate  $R$  das kleinstmögliche  $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$  gemäß der Gleichung		#Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte  $R > 1$  annehmen.
			#Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate  $R$  das kleinstmögliche  $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$  gemäß der Gleichung

	:$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$		::$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$

	Im Umkehrschluss ist die Rate  $R$  für den gegebenen AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  nach oben begrenzt:		Im Umkehrschluss ist die Rate  $R$  für den gegebenen AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  nach oben begrenzt:
	*Die gerade noch zulässige Coderate  $R_{\rm max}$  bei gegebenem Kanal  $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$  bezeichnen wir als die Kanalkapazität  $C$.		*Die gerade noch zulässige Coderate  $R_{\rm max}$  bei gegebenem Kanal  $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$  bezeichnen wir als die Kanalkapazität  $C$.
	*Für  $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$  erhält man beispielsweise  $C = 0.5$.
	*Das heißt:   Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert  $R = 0.5$  nicht überschreiten.		*Für  $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$  erhält man beispielsweise  $C = 0.5$.

			*Das heißt:   Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert  $R = 0.5$  nicht überschreiten.

	*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß  $C_{2}.$		*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß  $C_{2}.$

Zeile 28:		Zeile 36:
	In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität  $C_{2}$  durch eine Exponentialfunktion anzunähern:		In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität  $C_{2}$  durch eine Exponentialfunktion anzunähern:

	*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)		*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable  (siehe Grafik)

	:$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		::$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

	:Das heißt:   $x$  ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.		:Das heißt:   $x$  ist ohne Einheit;  auf die Pseudo–Einheit  „$\rm dB$”  wird verzichtet.

	*Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines  $E_{\rm B}/N_{0}$  die Näherung  $C_{2} \approx C$  gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter  $x_{0}$  bestimmt werden kann.		*Berücksichtigen Sie,  dass für ein kleines  $E_{\rm B}/N_{0}$  die Näherung  $C_{2} \approx C$  gültig ist  (siehe Grafik),  woraus der Parameter  $x_{0}$  bestimmt werden kann.

	*Setzen Sie für  $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$  an und bestimmen Sie den Parameter  $a$  aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass  $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$  gilt.		*Setzen Sie für  $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$  an und bestimmen Sie den Parameter  $a$  aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart,  dass  $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$  gilt.


Zeile 45:		Zeile 53:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]]. Sie ergänzt die  [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]].  Sie ergänzt die  [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].
	* Auf die Pseudo–Einheit ~~„bit~~/~~Kanalzugriff”~~ der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
			* Auf die Pseudo–Einheit  "bit/Kanalzugriff"  der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.


Zeile 58:		Zeile 67:
	$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$		$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$

	{Approximieren Sie  $C_{2}(x)$  durch  $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist  $a$?		{Approximieren Sie  $C_{2}(x)$  durch  $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$.  Wie groß ist  $a$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a \ = \ $ { 0.4 3% }		$a \ = \ $ { 0.4 3% }

Guenter am 15. Mai 2019 um 15:11 Uhr

2019-05-15T15:11:33Z

Guenter am 15. Mai 2019 um 14:48 Uhr

2019-05-15T14:48:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2019, 16:48 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Datei:P_ID2413__KC_Z_1_16.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität]]		[[Datei:P_ID2413__KC_Z_1_16.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität]]

	Gemäß dem [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t\|Kanalcodierungstheorem]] lassen sich Binärsignale über den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]] dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn		Gemäß dem  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t\|Kanalcodierungstheorem]]  lassen sich Binärsignale über den  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang\|AWGN–Kanal]]  dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn

	*man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet,		*man einen Kanalcode der Rate  $R = k/n$  verwendet,
	*die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird $⇒ n → ∞,$		*die Blocklänge  $n$  dieses Codes sehr groß gewählt wird   ⇒   $n → ∞$,
	*die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$,		*die Rate  $R$  kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität  $C_{2}$,
	*wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt.		*wobei die BPSK–Kanalkapazität  $C_{2}$  vom AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  abhängt.


	Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale (daher der Index 2) und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für ''Binary Phase Shift Keying), ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.		Der zulässige Bereich für die Coderate  $R$  ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve  $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index  $2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für ''Binary Phase Shift Keying''), ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.

	Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt. Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte $R > 1$ annehmen. Für eine Gaußverteilung ergibt sich für ~~eine gegebene~~ Rate $R$ das kleinstmögliche $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$ gemäß der Gleichung		Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität  $C$  eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
			*Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte  $R > 1$  annehmen.
			*Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate  $R$  das kleinstmögliche  $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$  gemäß der Gleichung

	:$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$

	Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt:		Im Umkehrschluss ist die Rate  $R$  für den gegebenen AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  nach oben begrenzt:
	*Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$.		*Die gerade noch zulässige Coderate  $R_{\rm max}$  bei gegebenem Kanal  $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$  bezeichnen wir als die Kanalkapazität  $C$.
	*Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$. Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten.		*Für  $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$  erhält man beispielsweise  $C = 0.5$.
	*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$		*Das heißt:   Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert  $R = 0.5$  nicht überschreiten.
			*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß  $C_{2}.$


	In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern:		In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität  $C_{2}$  durch eine Exponentialfunktion anzunähern:

	*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)		*Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)
Zeile 29:		Zeile 32:
	:$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

	:Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.		:Das heißt:   $x$  ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.

			*Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines  $E_{\rm B}/N_{0}$  die Näherung  $C_{2} \approx C$  gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter  $x_{0}$  bestimmt werden kann.

			*Setzen Sie für  $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$  an und bestimmen Sie den Parameter  $a$  aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass  $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$  gilt.


	*Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines $E_{\rm B}/N_{0}$ die Näherung $C_{2} \approx C$ gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter $x_{0}$ bestimmt werden kann.

	*Setzen Sie für $C_{2}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$ an und bestimmen Sie den Parameter $a$ aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass $C_{2} ' \approx C$ gilt.


Zeile 39:		Zeile 45:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe ~~behandelt~~ gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]]. Sie ergänzt die  [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].
	*Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].
	* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.		* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.

Zeile 49:		Zeile 54:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie aus dem Grenzwert für $C → 0$ den Kurvenparameter $x_{0}$?		{Berechnen Sie aus dem Grenzwert für  $C → 0$  den Kurvenparameter  $x_{0}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$		$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$

	{Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}'(x) = 1 -{\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist $a$?		{Approximieren Sie  $C_{2}(x)$  durch  $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist  $a$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a \ = \ $ { 0.4 3% }		$a \ = \ $ { 0.4 3% }

	{Welche Kanalkapazität $C_{2}'$ ergibt sich nach dieser Näherung für $E_{\rm B} = N_{0}$   ⇒   $10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?		{Welche Kanalkapazität  $C_{2}\hspace{0.01cm}'$  ergibt sich nach dieser Näherung für  $E_{\rm B} = N_{0}$   ⇒   $10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.47 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.47 3% }

	{Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:		{Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.76 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.76 3% }
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.89 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.89 3% }
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.95 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}\hspace{0.01cm}' \ = \ $ { 0.95 3% }
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 13:41 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	*Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].		*Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].
	* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.		* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:28 Uhr

2018-01-07T14:28:11Z

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:13 Uhr

2018-01-07T14:13:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2018, 16:13 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:
	$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$		$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$

	{Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}'(x) = 1 -\~~exp~~ {(–a · x)}$. Wie groß ist $a$?		{Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}'(x) = 1 -{\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist $a$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a \ = \ $ { 0.4 3% }		$a \ = \ $ { 0.4 3% }

	{Welche Kanalkapazität $C_{2}'$ ergibt sich nach dieser Näherung für $E_{\rm B} = N_{0}$?		{Welche Kanalkapazität $C_{2}'$ ergibt sich nach dieser Näherung für $E_{\rm B} = N_{0}$   ⇒   $10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_{\rm B} = N_{0} \text{:} \hspace{0.~~2cm~~} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.47 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 0 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.47 3% }

	{Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:		{Berechnen Sie auch die Kanalkapazitätsnäherung für folgende Werte:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.~~2cm~~} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.76 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 2 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.76 3% }
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.~~2cm~~} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.89 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 4 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.89 3% }
	$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.~~2cm~~} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.95 3% }		$10 · \lg {E_{\rm B} / N_0} = 6 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.4cm} \ C_{2}' \ = \ $ { 0.95 3% }
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 7. Januar 2018 um 14:08 Uhr

2018-01-07T14:08:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2018, 16:08 Uhr
Zeile 40:		Zeile 40:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe behandelt gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]].		* Die Aufgabe behandelt gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung\|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]].
	*Sie ergänzt die [[Aufgaben:1.~~17_Coderate_vs._EB/N0~~\|Aufgabe 1.17]].		*Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem\|Aufgabe 1.17]].
	* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.		* Auf die Pseudo–Einheit „bit/Kanalzugriff” der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

← Nächstältere Version		Version vom 15. Mai 2019, 17:11 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''(1)'''  Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven		'''(1)'''  Im unteren  $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
	*$C_{2}$ (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und		*$C_{2}$  (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und
	*$C$ (gültig für analogen reellwertigen Eingang)		*$C$  (gültig für analogen reellwertigen Eingang)


	zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$		zusammen. Für eine gegebene Rate  $R$  muss  $E_{\rm B}/N_{0}$  größer sein als  $(2^{2R} – 1)/2R.$

	Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:		Der Grenzübergang für  $R → 0$  liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:

	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 94:		Zeile 94:
	:$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$

	Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:		Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes  $x$:

	:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$		:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$


	'''(3)'''  Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:		'''(3)'''  Aus  $E_{\rm B} = N_{0}$  folgt  $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:

	:$$C_2' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$		:$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:		'''(4)'''  Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$

	Die so angenäherten Werte $C_{2}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.		Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.

	Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:		Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:
Zeile 117:		Zeile 117:
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$

	Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit $C_{2}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).		Ab etwa  $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$  gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit  $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$  (bit/Kanalzugriff).
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 7. Januar 2018, 16:28 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}

	'''(1)'''  Im unteren $E_{\rm B} = N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven		'''(1)'''  Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
	*$C_{2}$ (gültig für binären Eingang, ~~z.B.~~ BPSK) und		*$C_{2}$ (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und
	*$C$ (gültig für analogen reellwertigen Eingang)		*$C$ (gültig für analogen reellwertigen Eingang)


	zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B} = N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$ ~~Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:~~		zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$

	:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693$$		Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:

	~~:$$~~10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
			10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 90:		Zeile 91:
	Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:		Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:

	:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm ~~exp~~}(- 0.4 \cdot x) \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$		:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$


	'''(3)'''  Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:		'''(3)'''  Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:

	:$$C_2' = 1 - {\rm ~~exp~~}(- 0.4 \cdot 1.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$		:$$C_2' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:		'''(4)'''  Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 2\,{~~\rm~~ dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm ~~exp~~}(- 0.4 \cdot 3.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 4\,{~~\rm~~ dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm ~~exp~~}(- 0.4 \cdot 5.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 6\,{~~\rm~~ dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm ~~exp~~}(- 0.4 \cdot 7.6)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$

			Die so angenäherten Werte $C_{2}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.

	~~Die so angenäherten Werte $C_{2}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.~~ Aus der Grafik können die ~~genaueren~~ Werte $C_{2}$ ~~abgelesen~~ werden:		Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:

	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 2\,{~~\rm~~ dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 4\,{~~\rm~~ dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$
	:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 6\,{~~\rm~~ dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$		:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$

	Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit $C_{2}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).		Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit $C_{2}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).