Aufgaben:Aufgabe 1.16Z: Schranken für die Gaußsche Fehlerfunktion - Versionsgeschichte

Guenter am 6. August 2022 um 09:36 Uhr

2022-08-06T09:36:53Z

Guenter am 6. August 2022 um 09:22 Uhr

2022-08-06T09:22:07Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:36Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:57 Uhr

2019-05-14T15:57:33Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:51 Uhr

2019-05-14T15:51:40Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:07Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 5. Januar 2018 um 16:26 Uhr

2018-01-05T16:26:07Z

Guenter am 5. Januar 2018 um 16:14 Uhr

2018-01-05T16:14:17Z

Guenter am 5. Januar 2018 um 16:01 Uhr

2018-01-05T16:01:04Z

Guenter am 5. Januar 2018 um 15:54 Uhr

2018-01-05T15:54:40Z

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 :$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5\%$ bzw. $–1\%$.
+*Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert&nbsp; ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$&nbsp; sind&nbsp; $+5\%$&nbsp; bzw.&nbsp; $–1\%$.
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge  1 und 2</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge  1 und 2</u>:
-*Für $x = 2$ wird der tatsächliche Funktionswert ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$ begrenzt durch ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$ bzw. ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
+*Für&nbsp; $x = 2$&nbsp; wird der tatsächliche Funktionswert&nbsp; ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$&nbsp; begrenzt durch&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$&nbsp; bzw.&nbsp; ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
 *Die relativen Abweichungen betragen demzufolge  $18.7\%$ bzw. $–11\%.$
-*Die letzte Aussage ist falsch: &nbsp; Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q_o}(x) > 1.$
+*Die relativen Abweichungen betragen demzufolge&nbsp;  $18.7\%$&nbsp; bzw.&nbsp; $–11\%.$
-'''(3)'''&nbsp; Für den Quotienten aus ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ und ${\rm Q_o}(x)$ gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:
+'''(3)'''&nbsp; Für den Quotienten aus&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q_o}(x)$&nbsp; gilt nach den vorgegebenen Gleichungen:
 :$$q(x) = \frac{{\rm Q_{CR}}(x)}{{\rm Q_{o}}(x)} = \frac{{\rm exp}(-x^2/2)}{{\rm exp}(-x^2/2)/({\sqrt{2\pi} \cdot x})} = {\sqrt{2\pi} \cdot x}$$
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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x) \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} q(x =2) \hspace{0.15cm}\underline{=5}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =4)\hspace{0.15cm}\underline{=10}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}q(x =6) \hspace{0.15cm}\underline{=15}\hspace{0.05cm}.$$
-*Je größer der Abszissenwert $x$ ist, um so ungenauer wird ${\rm Q}(x)$ durch ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ angenähert.
+*Je größer der Abszissenwert&nbsp; $x$&nbsp; ist,&nbsp; um so ungenauer wird&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; angenähert.
-*Bei Betrachtung der Grafik auf der Angabenseite hat man (hatte ich) den Eindruck, dass ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ sich aus ${\rm Q}(x)$ durch Verschieben nach unten bzw. Verschieben nach oben ergibt. Das ist aber nur eine optische Täuschung und entspricht nicht dem Sachverhalt.
-'''(4)'''&nbsp; Mit $\underline{K = 0.5}$ stimmt die neue Schranke $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für $x = 0$ exakt mit ${\rm Q}(x=0) = 0.500$ überein.
+'''(4)'''&nbsp; Mit&nbsp; $\underline{K = 0.5}$&nbsp; stimmt die neue Schranke&nbsp; $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; für&nbsp; $x = 0$&nbsp; exakt mit&nbsp; ${\rm Q}(x=0) = 0.500$&nbsp; überein.
 *Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung $q \approx 1.25 · x$ nur halb so groß.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2415__KC_A_1_15.png|right|frame|${\rm Q}(x)$&nbsp; und verwandte Funktionen]]
+[[Datei:P_ID2415__KC_A_1_15.png|right|frame|${\rm Q}(x)$&nbsp; und verwandte Funktionen;<br>es gilt:&nbsp; ${\rm Q_u}(x)\le{\rm Q}(x)\le{\rm Q_o}(x)$]]
-Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert&nbsp; $A$, ist gleich
+Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert&nbsp; $A$,&nbsp; ist gleich
 :$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): &nbsp;<br>die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]
+Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik&nbsp; (in der Grafik rot eingezeichnet): &nbsp;<br>die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"]]
 :$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
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-Das Integral der&nbsp; ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben. Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive&nbsp; $x$–Werte:
+Das Integral der&nbsp; ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben.&nbsp; Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive&nbsp; $x$–Werte:
-*die obere Schranke $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 0)$:
+*die&nbsp; "obere Schranke"&nbsp; $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 0)$:
 :$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
-*die untere Schranke $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 1)$:
+*die&nbsp; "untere Schranke"&nbsp; $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 1)$:
 :$$ {\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm}  {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
-*die Chernoff–Rubin–Schranke $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für&nbsp; $K = 1)$:
+*die&nbsp; "Chernoff–Rubin–Schranke&nbsp; $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für&nbsp; $K = 1)$:
 :$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$
-In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
+In der Aufgabe ist zu untersuchen,&nbsp; in wie weit diese Schranken als Näherungen für&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
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-''Hinweise:''
+* Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|"Aufgabe 1.16"]],&nbsp; in der die Funktion&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; zur Herleitung der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|"Bhattacharyya–Schranke"]]&nbsp; für den AWGN–Kanal benötigt wird.
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
+*Weiter verweisen wir auf das interaktive HTML5/JavaScipt&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].
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 ${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 )  \ = \  $ { 15 3% }
-{Bestimmen Sie&nbsp; $K$&nbsp; so, dass&nbsp; $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; möglichst nahe bei&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; liegt und gleichzeitig&nbsp; ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; für alle &nbsp;$x > 0$&nbsp; eingehalten wird.
+{Bestimmen Sie&nbsp; $K$&nbsp; so,&nbsp; dass&nbsp; $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; möglichst nahe bei&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; liegt und gleichzeitig&nbsp; ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; für alle &nbsp;$x > 0$&nbsp; eingehalten wird.
 |type="{}"}
 $K \ = \ $ { 0.5 3% }

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 *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
 * Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; zur Herleitung der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]]&nbsp; für den AWGN–Kanal benötigt wird.
-*Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+*Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

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 :$${\rm Q_o}(x)=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_o}(4 )=\frac{1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{-8 }\hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.346 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
-Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
+*Die untere Schranke kann wie folgt umgewandelt werden:
 :$${\rm Q_u}( x)=(1-1/x^2) \cdot {\rm Q_o}(x) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q_u}(4 ) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 3.137 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
-Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5\%$ bzw. $–1\%$.
+*Die relativen Abweichungen gegenüber dem „echten” Wert ${\rm Q}(4) = 3.167 · 10^{–5}$ sind $+5\%$ bzw. $–1\%$.
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 *Für $x = 2$ wird der tatsächliche Funktionswert ${\rm Q}(x) = 2.275 · 10^{–2}$ begrenzt durch ${\rm Q_{o}}(x) = 2.7 · 10^{–2}$ bzw. ${\rm Q_u}(x) = 2.025 · 10^{–2}$.
 *Die relativen Abweichungen betragen demzufolge  $18.7\%$ bzw. $–11\%.$
-*Die letzte Aussage ist falsch: Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q_o}(x) > 1.$
+*Die letzte Aussage ist falsch: &nbsp; Erst für $x < 0.37$ gilt ${\rm Q_o}(x) > 1.$
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 '''(4)'''&nbsp; Mit $\underline{K = 0.5}$ stimmt die neue Schranke $0.5 · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für $x = 0$ exakt mit ${\rm Q}(x=0) = 0.500$ überein. Für größere Abszissenwerte wird damit auch die Verfälschung $q \approx 1.25 · x$ nur halb so groß.
 {{ML-Fuß}}

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2415__KC_A_1_15.png|right|frame|${\rm Q}(x)$ und verwandte Funktionen]]
+[[Datei:P_ID2415__KC_A_1_15.png|right|frame|${\rm Q}(x)$&nbsp; und verwandte Funktionen]]
-Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Gaußsche Zufallsgröße $n$ mit Streuung $\sigma$ → Varianz $\sigma^2$ betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert $A$, ist gleich
+Die Wahrscheinlichkeit, dass eine mittelwertfreie Gaußsche Zufallsgröße&nbsp; $n$&nbsp; mit Streuung&nbsp; $\sigma$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; betragsmäßig größer ist als ein vorgegebener Wert&nbsp; $A$, ist gleich
 :$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) ={\rm Q}(A/\sigma) \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): die [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]
+Hierbei verwendet ist eine der wichtigsten Funktionen für die Nachrichtentechnik (in der Grafik rot eingezeichnet): &nbsp;<br>die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]
 :$${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u \hspace{0.05cm}.$$
-${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.
+${\rm Q}(x)$ ist eine monoton fallende Funktion mit ${\rm Q}(0) = 0.5$. Für sehr große Werte von $x$ tendiert ${\rm Q}(x) \to 0$.
-Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive $x$–Werte:
+Das Integral der&nbsp; ${\rm Q}$–Funktion ist analytisch nicht lösbar und wird meist in Tabellenform angegeben. Aus der Literatur bekannt sind aber handhabbare Näherungen bzw. Schranken für positive&nbsp; $x$–Werte:
-*die obere Schranke (obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für $x > 0$):
+*die obere Schranke $($obere blaue Kurve in nebenstehender Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 0)$:
 :$$ {\rm Q_o}(x)=\frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2}\hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
-*die untere Schranke (untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für $x > 1$):
+*die untere Schranke $($untere blaue Kurve in der Grafik, nur gültig für&nbsp; $x > 1)$:
 :$$ {\rm Q_u}(x)=\frac{\rm 1-{\rm 1}/{\it x^{\rm 2}}}{\sqrt{\rm 2\pi}\cdot x}\cdot \rm e^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \le \hspace{0.15cm}  {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm},$$
-*die Chernoff–Rubin–Schranke (grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für $K = 1$):
+*die Chernoff–Rubin–Schranke $($grüne Kurve in der Grafik, gezeichnet für&nbsp; $K = 1)$:
 :$${\rm Q_{CR}}(x)=K \cdot {\rm e}^{-x^{\rm 2}/\rm 2} \hspace{0.15cm} \ge \hspace{0.15cm} {\rm Q} (x) \hspace{0.05cm}.$$
-In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
+In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]]&nbsp; im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
-* Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]] für den AWGN–Kanal benötigt wird.
+* Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.16:_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; zur Herleitung der&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]]&nbsp; für den AWGN–Kanal benötigt wird.
-*Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+*Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für $x = 4$?
+{Welche Werte liefern die obere und die untere Schranke für&nbsp; $x = 4$?
 |type="{}"}
 ${\rm Q_{o}}(x = 4) \ = \ $ { 3.346 3% }$\ \cdot 10^{-5} $
 ${\rm Q_{u}}(x = 4) \ = \ $ { 3.137 3% }$\ \cdot 10^{-5} $
-{Welche Aussagen gelten für die Funktionen ${\rm Q_{o}}(x)$ und ${\rm Q_{u}}(x)$?
+{Welche Aussagen gelten für die Funktionen&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q_{u}}(x)$?
 |type="[]"}
-+ Für $x ≥ 2$ sind die beiden Schranken brauchbar.
++ Für&nbsp; $x ≥ 2$&nbsp; sind die beiden Schranken brauchbar.
-+ Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{u}}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q_{u}}(x)< 0$).
++ Für&nbsp; $x < 1$&nbsp; ist&nbsp; ${\rm Q_{u}}(x)$&nbsp; unbrauchbar&nbsp; $($wegen&nbsp; ${\rm Q_{u}}(x)< 0)$.
-- Für $x < 1$ ist ${\rm Q_{o}}(x)$ unbrauchbar (wegen ${\rm Q_{o}}(x)> 1$).
+- Für&nbsp; $x < 1$&nbsp; ist&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)$&nbsp; unbrauchbar&nbsp; $($wegen&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)> 1)$.
-{Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von ${\rm Q_{o}}(x)$?
+{Um welchen Faktor liegt die Chernoff–Rubin–Schranke oberhalb von&nbsp; ${\rm Q_{o}}(x)$?
 |type="{}"}
 ${\rm Q}_{\rm CR}(x = 2)/{\rm Q_{o}}(x = 2 )  \ = \ $ { 5 3% }
@@ Zeile 66: / Zeile 68: @@
 ${\rm Q}_{\rm CR}(x = 6)/{\rm Q_{o}}(x = 6 )  \ = \  $ { 15 3% }
-{Bestimmen Sie $K$ so, dass $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ möglichst nahe bei ${\rm Q}(x)$ liegt und gleichzeitig ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$ für alle $x > 0$ eingehalten wird.
+{Bestimmen Sie&nbsp; $K$&nbsp; so, dass&nbsp; $K \cdot {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; möglichst nahe bei&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; liegt und gleichzeitig&nbsp; ${\rm Q}(x) ≤ K · {\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; für alle &nbsp;$x > 0$&nbsp; eingehalten wird.
 |type="{}"}
 $K \ = \ $ { 0.5 3% }

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 In der Aufgabe ist zu untersuchen, in wie weit diese Schranken als Näherungen für ${\rm Q}(x)$ herangezogen werden können und welche Verfälschungen sich dadurch ergeben.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]] dieses Buches sowie auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Distanzeigenschaften_und_Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken|Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
-* Die Aufgabe bietet auch einige wichtige Hinweise zur Lösung der [[Aufgaben:1.16_Schranken_für_AWGN|Aufgabe 1.16]], in der die Funktion ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ zur Herleitung der [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]] für den AWGN–Kanal benötigt wird.
+*Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen|Gaußverteilte Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
-* Weiter verweisen wir auf das folgende Interaktionsmodul: