Aufgaben:Aufgabe 1.16: Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken für AWGN - Versionsgeschichte

Guenter am 5. August 2022 um 14:40 Uhr

2022-08-05T14:40:17Z

Guenter am 5. August 2022 um 14:24 Uhr

2022-08-05T14:24:26Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:23Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:38 Uhr

2019-05-14T15:38:09Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:37 Uhr

2019-05-14T15:37:07Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:27 Uhr

2019-05-14T15:27:50Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:25 Uhr

2019-05-14T15:25:33Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 15:22 Uhr

2019-05-14T15:22:39Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

2018-05-29T11:35:42Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

Guenter am 5. Januar 2018 um 15:25 Uhr

2018-01-05T15:25:28Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die  <u>Antwort 2</u>. Das Distanzspektrum $\{W_i\}$ ist definiert für $i = 0, \ \text{...} \ , \ n$:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist die&nbsp;  <u>Antwort 2</u>.
-*$W_{1}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = 1$ auftritt.
+Das Distanzspektrum&nbsp; $\{W_i\}$&nbsp; ist definiert für&nbsp; $i = 0, \ \text{...} \ , \ n$:
-Damit lautet die ''Union Bound'':
+*$W_{n}$&nbsp; gibt an,&nbsp; wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = n$&nbsp; auftritt.
 :$$p_1 = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}= \sum_{i = 1}^{n}\hspace{0.05cm}W_i \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{i/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Das Distanzspektrum des $(8, 4, 4)$–Codes wurde mit $W_{0} = 1 , \ W_{4} = 14, \ W_{8} = 1$ angegeben. Somit erhält man für $\sigma = 1$:
+'''(2)'''&nbsp; Das Distanzspektrum des&nbsp; $(8, 4, 4)$–Codes wurde mit&nbsp; $W_{0} = 1 , \ W_{4} = 14, \ W_{8} = 1$&nbsp; angegeben.&nbsp;
 :$$p_1 =  W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) + W_8 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \cdot \sqrt{2} \right )
 = 14 \cdot 2.28 \cdot 10^{-2}+ 1 \cdot 0.23 \cdot 10^{-2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 32.15\%}\hspace{0.05cm},$$
-bzw. für $\sigma = 0.5$:
+*Und für&nbsp; $\sigma = 0.5$:
 :$$p_1 =  14 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) + {\rm Q}\left ( 4 \cdot \sqrt{2} \right )
 = 14 \cdot 3.17 \cdot 10^{-5}+ 1.1 \cdot 10^{-8} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0444 \%}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 4$ erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Mit der Minimaldistanz&nbsp; $d_{\rm min} = 4$&nbsp; erhält man:
 :$$\sigma = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 31.92\%}\hspace{0.05cm},$$
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die ''Union Bound'' – hier mit $p_{1}$ bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
+*Die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; – hier mit&nbsp; $p_{1}$&nbsp; bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
-*Für die Schranke $p_{2}$ (''Truncated Union Bound'') trifft das nicht immer zu.
-*Beispielsweise erhält man beim $(7, 4, 3)$–Hamming–Code  &nbsp; ⇒ &nbsp;  $W_{3} = W_{4} = 7, \ W_{7} = 1$ mit der Streuung $\sigma = 1$:
+*Für die Schranke&nbsp; $p_{2}$&nbsp; ("Truncated Union Bound")&nbsp; trifft das nicht immer zu.
 :$$p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{3} \right ) = 7 \cdot 4.18 \cdot 10^{-2} \approx 0.293\hspace{0.05cm},$$
 :$$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$
-Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 29.3\%$ und $p_{1} = 45.5\%$ liegen (wurde allerdings nicht nachgeprüft). <br>Das heißt: &nbsp; $p_{2}$ ist keine obere Schranke.
+*Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen&nbsp; $p_{2} = 29.3\%$&nbsp; und&nbsp; $p_{1} = 45.5\%$&nbsp; liegen (wurde allerdings von uns nicht nachgeprüft). <br>Das heißt: &nbsp; $p_{2}$&nbsp; ist keine obere Schranke.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>, wie die folgende Rechnung für den $(8, 4, 4)$–Code zeigt:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>,&nbsp; wie die folgende Rechnung für den&nbsp; $(8, 4, 4)$–Code zeigt:
-*Es gilt ${\rm Q}(x) ≤ {\rm Q_{CR}}(x) = {\rm e}^{-x^2/2}$. Damit kann für die Union Bound
+*Es gilt ${\rm Q}(x) ≤ {\rm Q_{CR}}(x) = {\rm e}^{-x^2/2}$.&nbsp; Damit kann für die Union Bound
 :$$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$
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 :$$p_1 \le W_4 \cdot {\rm e}^{ - {4}/(2 \sigma^2) } +W_8 \cdot {\rm e}^{ - {8}/(2 \sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $\beta = {\rm e}^{–1/(2\sigma^2)}$ kann hierfür auch geschrieben werden (das vorgegebene $\beta = 1/\sigma$ ist also falsch):
+*Mit&nbsp; $\beta = {\rm e}^{–1/(2\sigma^2)}$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden&nbsp; (das vorgegebene&nbsp; $\beta = 1/\sigma$&nbsp; ist also falsch):
 :$$p_1 \le W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8 \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Gewichtsfunktion des $(8, 4, 4)$–Codes lautet:
+*Die Gewichtsfunktion des&nbsp; $(8, 4, 4)$–Codes lautet:
 :$$W(X) = 1 + W_4 \cdot X^4 + W_8 \cdot X^8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(\beta) - 1 = W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8\hspace{0.3cm}
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-'''(6)'''&nbsp; Mit $\sigma = 1$ lautet der Bhattacharyya–Parameter $\beta = {\rm e}^{–0.5} = 0.6065$ und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke:
+'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp; $\sigma = 1$&nbsp; lautet der Bhattacharyya–Parameter&nbsp; $\beta = {\rm e}^{–0.5} = 0.6065$&nbsp; und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke:
 :$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018= 1.913 \hspace{0.15cm}\underline{= 191.3%}\hspace{0.05cm}.$$
-*Berücksichtigt man, dass $p_{3}$ (eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke.
+*Berücksichtigt man,&nbsp; dass&nbsp; $p_{3}$&nbsp; (eine Schranke für)&nbsp; eine Wahrscheinlichkeit angibt,&nbsp; so ist&nbsp; $p_{3} = 1.913$&nbsp; nur eine triviale Schranke.
 *Für $\sigma = 0.5$ ergibt sich dagegen $\beta = {\rm e}^{–2}  \approx 0.135.$ Dann gilt:
 :$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.47 \%}\hspace{0.05cm}.$$
-Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (2) zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor $(0.47 · 10^{–2})/(0.044 · 10^{–2}) > 10$ oberhalb der ''Union Bound'' $p_{1}$ liegt.
+Ein Vergleich mit der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; zeigt,&nbsp; dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke&nbsp; $p_{3}$&nbsp; um den Faktor
-*Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der ${\rm Q}$–Funktion liegt.
+:$$(0.47 · 10^{–2})/(0.044 · 10^{–2}) > 10$$
-*In der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z]] wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:
+oberhalb der&nbsp; "Union Bound"&nbsp; $p_{1}$&nbsp; liegt.
 :$${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2414__KC_A_1_15.png|right|frame|Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und Näherungen ]]
+[[Datei:P_ID2414__KC_A_1_15.png|right|frame|Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; und Näherungen;<br>es gilt:&nbsp; ${\rm Q_u}(x)\le{\rm Q}(x)\le{\rm Q_o}(x)$ ]]
 Wir gehen von der folgenden Konstellation aus:
-*ein linearer Blockcode mit Coderate&nbsp; $R = k/n$&nbsp; und Distanzspektrum&nbsp; $\{W_i\}, \ i = 1, \ \text{...} \ , n$,
+*Ein linearer Blockcode mit Coderate&nbsp; $R = k/n$&nbsp; und Distanzspektrum&nbsp; $\{W_i\}, \ i = 1, \ \text{...} \ , n$,
-Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort&nbsp; $\underline{x}_{1} = (0, 0, \text{...} \ , 0)$&nbsp; gesendet wird, gilt für die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|„paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit”]] mit einem anderen Codewort&nbsp; $\underline{x}_{l} (l = 2,\ \text{...} \ , 2^k)$:
+*ein Empfänger,&nbsp; basierend auf&nbsp; "Soft Decision"&nbsp; sowie dem&nbsp; "Maximum–Likelihood–Kriterium".
 :$$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in [Liv10]. In dieser Gleichung werden verwendet:
+Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in&nbsp; "[Liv10]".&nbsp; In dieser Gleichung werden verwendet:
-*die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$,
+*die&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|"komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$,
 *das&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|Hamming–Gewicht]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$&nbsp; des Codewortes&nbsp; $\underline{x}_{l}$,
-*die&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung|AWGN–Rauschleistung]]&nbsp; $\sigma^2 = (2 · R · E_{\rm B}/N_{0})^{–1}.$
+*das&nbsp; [[Kanalcodierung/Zielsetzung_der_Kanalcodierung#Einige_wichtige_Definitionen_zur_Blockcodierung|"Hamming–Gewicht"]]&nbsp; $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$&nbsp; des Codewortes&nbsp; $\underline{x}_{l}$,
 Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben:
-*die so genannte&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Union Bound]]&nbsp; (UB):
+*die so genannte&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|"Union Bound"]]&nbsp; $\rm (UB)$:
 :$$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$
-*die so genannte&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Schranken_f.C3.BCr_den_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Code_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|Truncated Union Bound]]&nbsp; (TUB):
+*die so genannte&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Schranken_f.C3.BCr_den_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Code_beim_AWGN.E2.80.93Kanal|"Truncated Union Bound"]]&nbsp; $\rm (TUB)$:
 :$$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$
-*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|Bhattacharyya–Schranke]]:
+*die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Die_obere_Schranke_nach_Bhattacharyya|"Bhattacharyya–Schranke"]]:
 :$$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm e}^{ - 1/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 37: / Zeile 41: @@
 :$$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$
-Beim Übergang von der ''Union Bound''&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur ungenaueren Schranke&nbsp; $p_{3}$&nbsp; wird unter Anderem die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Chernoff-Ungleichung Chernoff–Rubin–Schranke]&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).
+Beim Übergang von der&nbsp; "Union Bound"&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur ungenaueren Schranke&nbsp; $p_{3}$&nbsp; wird unter Anderem
-''Hinweise:''
+* Weiter verweisen wir auf das interaktive HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen| "Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche Gleichung gilt für die ''Union Bound''?
+{Welche Gleichung gilt für die&nbsp; "Union Bound"?
 |type="[]"}
 - $p_{1} = \sum_{l\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}2}^{2^k} W_{l} · {\rm Q}\big[(l/\sigma^2)^{0.5}\big],$
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 $\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{1} \ = \ $ { 0.0444 3% } $\ \%$
-{Was liefert die ''Truncated Union Bound'' bei gleichen Randbedingungen?
+{Was liefert die&nbsp; "Truncated Union Bound"&nbsp; bei gleichen Randbedingungen?
 |type="{}"}
 $\sigma = 1.0 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{2} \ = \ $ { 31.92 3% } $\ \%$
 $\sigma = 0.5 \text{:} \hspace{0.4cm} p_{2} \ = \ $ { 0.044 3% } $\ \%$
-{Welche Aussage gilt immer (für alle Konstellationen)?
+{Welche Aussage gilt immer&nbsp; (für alle Konstellationen)?
 |type="[]"}
 + Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als&nbsp; $p_{1}$.
 - Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer als&nbsp; $p_{2}$.
-{Wie kommt man von&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur Bhattacharyya–Schranke&nbsp; $p_{3}$? Dadurch, dass man
+{Wie kommt man von&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur Bhattacharyya–Schranke&nbsp; $p_{3}$?&nbsp; Dadurch, dass man
 |type="[]"}
 + die Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch die Funktion&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; ersetzt,

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 * Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
 * Die oben zitierte Literaturstelle  [Liv10] verweist auf das Vorlesungsmanuskript &bdquo;Liva, G.: ''Channel Coding''.  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.&rdquo;
-* Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)| Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
+* Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen| Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].

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 Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (2) zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor $(0.47 · 10^{–2})/(0.044 · 10^{–2}) > 10$ oberhalb der ''Union Bound'' $p_{1}$ liegt.
 *Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der ${\rm Q}$–Funktion liegt.
-*In der [[Aufgaben:1.16Z_Schranken_für_Q(x)|Aufgabe 1.16Z]] wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:
+*In der [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z]] wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:
 :$${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 :$$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$
-Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 29.3\%$ und $p_{1} = 45.5\%$ liegen (wurde allerdings nicht nachgeprüft). Das heißt: $p_{2}$ ist keine obere Schranke.
+Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 29.3\%$ und $p_{1} = 45.5\%$ liegen (wurde allerdings nicht nachgeprüft). <br>Das heißt: &nbsp; $p_{2}$ ist keine obere Schranke.
@@ Zeile 134: / Zeile 134: @@
 :$$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$
-eine weitere obere Schranke angegeben werden:
+:eine weitere obere Schranke angegeben werden:
 :$$p_1 \le W_4 \cdot {\rm e}^{ - {4}/(2 \sigma^2) } +W_8 \cdot {\rm e}^{ - {8}/(2 \sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 152: / Zeile 152: @@
 :$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018= 1.913 \hspace{0.15cm}\underline{= 191.3%}\hspace{0.05cm}.$$
-Berücksichtigt man, dass $p_{3}$(eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke. Für $\sigma = 0.5$ ergibt sich dagegen $\beta = {\rm e}^{–2}  \approx 0.135.$ Dann gilt:
+*Berücksichtigt man, dass $p_{3}$ (eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke.
 :$$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.47 \%}\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 :$$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$
-Beim Übergang von der ''Union Bound''&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur ungenaueren Schranke&nbsp; $p_{3}$&nbsp; wird unter Anderem die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch die ''Chernoff–Rubin–Schranke''&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).
+Beim Übergang von der ''Union Bound''&nbsp; $p_{1}$&nbsp; zur ungenaueren Schranke&nbsp; $p_{3}$&nbsp; wird unter Anderem die Funktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; durch die&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Chernoff-Ungleichung Chernoff–Rubin–Schranke]&nbsp; ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$&nbsp; ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).
 In der&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion|Aufgabe 1.16Z]]&nbsp; wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken&nbsp; ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$&nbsp; Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.

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	Beim Übergang von der ''Union Bound''  $p_{1}$  zur ungenaueren Schranke  $p_{3}$  wird unter Anderem die Funktion  ${\rm Q}(x)$  durch die ''Chernoff–Rubin–Schranke''  ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$  ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).		Beim Übergang von der ''Union Bound''  $p_{1}$  zur ungenaueren Schranke  $p_{3}$  wird unter Anderem die Funktion  ${\rm Q}(x)$  durch die ''Chernoff–Rubin–Schranke''  ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$  ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).

−	In der  [[Aufgaben:1.~~16Z_Schranken_für_Q(x)~~\|Aufgabe 1.16Z]]  wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken  ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$  Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.	+	In der  [[Aufgaben:Aufgabe_1.16Z:_Schranken_für_die_Gaußsche_Fehlerfunktion\|Aufgabe 1.16Z]]  wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken  ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$  Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.

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 * Die oben zitierte Literaturstelle  [Liv10] verweist auf das Vorlesungsmanuskript &bdquo;Liva, G.: ''Channel Coding''.  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.&rdquo;
 * Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.