Aufgaben:Aufgabe 1.14: Bhattacharyya–Schranke für BEC - Versionsgeschichte

Guenter am 4. August 2022 um 15:14 Uhr

2022-08-04T15:14:08Z

Guenter am 4. August 2022 um 15:04 Uhr

2022-08-04T15:04:25Z

Guenter am 4. August 2022 um 15:03 Uhr

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Guenter am 4. August 2022 um 15:02 Uhr

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Guenter am 14. Mai 2019 um 14:36 Uhr

2019-05-14T14:36:42Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 14:29 Uhr

2019-05-14T14:29:54Z

Guenter am 14. Mai 2019 um 11:03 Uhr

2019-05-14T11:03:37Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

2018-05-29T11:35:05Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein. “ durch „“

Guenter am 5. Januar 2018 um 12:45 Uhr

2018-01-05T12:45:47Z

Guenter am 5. Januar 2018 um 12:33 Uhr

2018-01-05T12:33:43Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Codeworte $\underline{x}_{0}$ und $\underline{x}_{1}$ unterscheiden sich in Bit $2, \ 4$ und $5$. Wird nur einer dieser drei Binärwerte richtig übertragen, ist damit das gesamte Codewort eindeutig bestimmt. Keine Information über das Codewort erhält man bei folgenden Empfangsvektoren (siehe Tabelle auf der Angabenseite):
+'''(1)'''&nbsp; Die Codeworte&nbsp; $\underline{x}_{0}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}_{1}$&nbsp; unterscheiden sich in Bit&nbsp; $2, \ 4$ und $5$.&nbsp; Wird nur einer dieser drei Binärwerte richtig übertragen,&nbsp; ist damit das gesamte Codewort eindeutig bestimmt.&nbsp; Keine Information über das Codewort erhält man bei folgenden Empfangsvektoren&nbsp; (siehe Tabelle auf der Angabenseite):
-* $\underline{y} = (0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda^3 \ · \ (1 – \lambda)^2$,
+* $\underline{y} = (0, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda^3 \ · \ (1 – \lambda)^2$,
-* $\underline{y} = (0, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda^4 \ · \ (1 – \lambda)$,
+* $\underline{y} = (0, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda^4 \ · \ (1 – \lambda)$,
-* $\underline{y} = ({\rm E}, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda^4 \ · \ (1 – \lambda)$,
+* $\underline{y} = ({\rm E}, {\rm E}, 0, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda^4 \ · \ (1 – \lambda)$,
-* $\underline{y} = ({\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda^5$.
+* $\underline{y} = ({\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E}, {\rm E})$&nbsp; mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda^5$.
-Die Wahrscheinlichkeit, dass aufgrund des spezifischen Empfangsvektors $\underline{y}$ das Codewort $\underline{x}_{1}$ genau so wahrscheinlich ist wie $\underline{x}_{0}$, ergibt sich zu
+Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass aufgrund des spezifischen Empfangsvektors&nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; das Codewort&nbsp; $\underline{x}_{1}$ &nbsp; genau so wahrscheinlich ist wie&nbsp; $\underline{x}_{0}$,&nbsp; ergibt sich zu
 :$$\ {\rm Pr}\ [\underline{x}_0 \hspace{0.12cm}{\rm und}\hspace{0.12cm} \underline{x}_1 \hspace{0.15cm}{\rm sind \hspace{0.15cm}gleichwahrscheinlich}] = \lambda^3 \cdot (1- \lambda)^2 + 2 \cdot \lambda^4 \cdot (1- \lambda) + \lambda^5 =\lambda^3 \cdot \left [ (1- \lambda)^2 + 2 \cdot \lambda \cdot (1- \lambda) + \lambda^2 \right ] = \lambda^3 \hspace{0.05cm}.$$
-In diesem Fall entscheidet man sich nach dem Zufallsprinzip für  $\underline{x}_{0}$ (wäre richtig) oder für  $\underline{x}_{1}$ (leider falsch), und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Daraus folgt:
+In diesem Fall entscheidet man sich nach dem Zufallsprinzip für&nbsp;  $\underline{x}_{0}$&nbsp; (wäre richtig)&nbsp; oder für&nbsp;  $\underline{x}_{1}$&nbsp; (leider falsch),&nbsp; und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit.&nbsp; Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] = 1/2 \cdot \lambda^3 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(2)'''&nbsp; Nach Teilaufgabe '''(1)''' ist die <u>Antwort 2</u> richtig und nicht die Antwort 1. Auch die Aussage 3 ist falsch:
+'''(2)'''&nbsp; Nach Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; ist die&nbsp; <u>Antwort 2</u>&nbsp; richtig und nicht die Antwort 1.&nbsp; Auch die Aussage 3 ist falsch:
-*${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ sagt nicht aus, dass mit dieser Wahrscheinlickeit das Codewort $\underline{x}_{0}$ tatsächlich in das falsche Codewort  $\underline{x}_{1}$ übergeht, sondern nur, dass es mit dieser Wahrscheinlichkeit zu  $\underline{x}_{1}$ übergehen könnte.
+*${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$&nbsp; sagt nicht aus,&nbsp; dass mit dieser Wahrscheinlickeit das Codewort&nbsp; $\underline{x}_{0}$ tatsächlich in das falsche Codewort&nbsp;  $\underline{x}_{1}$&nbsp; übergeht,&nbsp; sondern nur,&nbsp; dass es mit dieser Wahrscheinlichkeit zu&nbsp;  $\underline{x}_{1}$&nbsp; übergehen könnte.
 * ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ beinhaltet auch Konstellationen, bei denen die Entscheidung tatsächlich für $\underline{x}_{2}$ bzw. $\underline{x}_{3}$ fällt.
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 '''(3)'''&nbsp; Wegen&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}_{0}, \underline{x}_{2}) = 3$&nbsp; und&nbsp; $d_{\rm H}(\underline{x}_{0}, \underline{x}_{3}) = 4$&nbsp; ergibt sich hierfür
-:$${\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] = 1/2 \cdot \lambda^3 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = 1/2 \cdot \lambda^4 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.05 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] = 1/2 \cdot \lambda^3 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm},$$
-'''(4)'''&nbsp; Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eher kleiner) als die so genannte ''Union Bound'':
+'''(4)'''&nbsp; Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist nie größer&nbsp; (mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit eher kleiner)&nbsp; als die so genannte&nbsp; "Union Bound":
 :$${\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = 2 \cdot \lambda^3/2 + \lambda^4/2 = 0.001 + 0.00005 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.05 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$$W_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} W_3 = 2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = 1+ 2 \cdot X^{3} +X^{4} \hspace{0.05cm}.$$
-*Beim BEC–Kanal gilt zudem $\beta = \lambda$. Daraus folgt als Endergebnis für $\lambda = 0.001$:
+*Beim BEC–Kanal gilt zudem&nbsp; $\beta = \lambda$.&nbsp; Daraus folgt als Endergebnis für&nbsp; $\lambda = 0.001$:
 :$${\rm Pr(Bhattacharyya)} = 2 \cdot \lambda^3 + \lambda^4 \hspace{0.15cm} \underline{= 2.1 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
-Anzumerken ist, dass beim BEC–Modell die ''Bhattacharyya–Schranke'' stets doppelt so groß ist wie die ''Union Bound'', die ja selbst wieder eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit darstellt.
+*Anzumerken ist,&nbsp; dass beim BEC–Modell die&nbsp; "Bhattacharyya–Schranke"&nbsp; stets doppelt so groß ist wie die&nbsp; "Union Bound",&nbsp; die ja selbst wieder eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit darstellt.
 {{ML-Fuß}}

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	*Das Ereignis  $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$  sagt nicht unbedingt aus,  dass beim betrachteten Empfangsvektor   $\underline{y}$   tatsächlich für das Codewort  $\underline{x}_{1}$  entschieden wird,  sondern lediglich,  dass die Entscheidung für  $x_{1}$  aufgrund der Statistik sinnvoller wäre als die Entscheidung für  $\underline{x}_{0}$.		*Das Ereignis  $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$  sagt nicht unbedingt aus,  dass beim betrachteten Empfangsvektor   $\underline{y}$   tatsächlich für das Codewort  $\underline{x}_{1}$  entschieden wird,  sondern lediglich,  dass die Entscheidung für  $x_{1}$  aufgrund der Statistik sinnvoller wäre als die Entscheidung für  $\underline{x}_{0}$.

−	*Es könnte aber auch für  $\underline{x}_{2}$  oder  $\underline{x}_{3}$  entschieden werden,  wenn das  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium\|Maximum–Likelihood–Kriterium]]  hierfür spricht.	+	*Es könnte aber auch für  $\underline{x}_{2}$  oder  $\underline{x}_{3}$  entschieden werden,  wenn das  [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium\|"Maximum–Likelihood–Kriterium"]]  hierfür spricht.

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−	Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].	+	Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|"Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit"]].

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 :$$\underline{x}_0 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\underline{x}_1 = (0, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\underline{x}_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} (1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\underline{x}_3 = (1, 1, 1, 0, 1)\hspace{0.05cm}.$$
-Am Ausgang des digitalen Kanals, der durch das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC–Modell]]&nbsp; (''Binary Erasure Channel'') mit der Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda = 0.001$&nbsp; festgelegt wird, tritt der Empfangsvektor
+Am Ausgang des digitalen Kanals,&nbsp; der durch das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|"BEC–Modell"]]&nbsp; ("Binary Erasure Channel")&nbsp; mit der Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda = 0.001$&nbsp; festgelegt wird,&nbsp; tritt der Empfangsvektor
 :$$\underline{y} = (y_1, \hspace{0.05cm}y_2, \hspace{0.05cm}y_3, \hspace{0.05cm}y_4, \hspace{0.05cm}y_5)$$
-auf, wobei für&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 5$&nbsp; gilt: &nbsp; $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$.
+auf,&nbsp; wobei für&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 5$&nbsp; gilt: &nbsp;
-Der BEC–Kanal zeichnet sich dadurch aus, dass
+Der BEC–Kanal zeichnet sich dadurch aus,&nbsp; dass
-*Verfälschungen&nbsp; $(0 → 1, 1 → 0)$&nbsp; ausgeschlossen sind,
+*Verfälschungen&nbsp; $(0 → 1,\ 1 → 0)$&nbsp; ausgeschlossen sind,
-Die Grafik zeigt explizit alle möglichen Empfangsvektoren&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit drei oder mehr Auslöschungen $($englisch: &nbsp; ''Erasures'', abgekürzt &nbsp;$\rm E)$&nbsp; unter der Voraussetzung, dass der Nullvektor&nbsp; $(0, 0, 0, 0, 0)$ gesendet wurde.
 *Bei weniger als drei Auslöschungen liefert bei dem betrachteten&nbsp; $(5, 2)$–Code der Codewortfinder immer die richtige Entscheidung: &nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$.
-*Bei drei oder mehr Auslöschungen kann es dagegen zu Fehlentscheidungen kommen. In diesem Fall gilt für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
+*Bei drei oder mehr Auslöschungen kann es dagegen zu Fehlentscheidungen kommen.&nbsp; In diesem Fall gilt für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$ {\rm Pr(Blockfehler)}= {\rm Pr} (\underline{z} \ne \underline{x}) = {\rm Pr}\left \{ \hspace{0.1cm} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \hspace{0.1cm}\right \} \hspace{0.05cm}.$$
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 Bitte beachten Sie:
-*Das Ereignis&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$&nbsp; sagt nicht unbedingt aus, dass beim betrachteten Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; tatsächlich für das Codewort&nbsp; $\underline{x}_{1}$&nbsp; entschieden wird, sondern lediglich, dass die Entscheidung für&nbsp; $x_{1}$&nbsp; aufgrund der Statistik sinnvoller wäre als die Entscheidung für&nbsp; $\underline{x}_{0}$.
+*Das Ereignis&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$&nbsp; sagt nicht unbedingt aus,&nbsp; dass beim betrachteten Empfangsvektor &nbsp; $\underline{y}$ &nbsp; tatsächlich für das Codewort&nbsp; $\underline{x}_{1}$&nbsp; entschieden wird,&nbsp; sondern lediglich,&nbsp; dass die Entscheidung für&nbsp; $x_{1}$&nbsp; aufgrund der Statistik sinnvoller wäre als die Entscheidung für&nbsp; $\underline{x}_{0}$.
 *Es könnte aber auch für&nbsp; $\underline{x}_{2}$&nbsp; oder&nbsp; $\underline{x}_{3}$&nbsp; entschieden werden, wenn das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium|Maximum–Likelihood–Kriterium]]&nbsp; hierfür spricht.
-Die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist schwierig, da die Ereignisse&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ ,&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{2}]$&nbsp;  und&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}]$&nbsp;  nicht notwendigerweise&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkt]]&nbsp; sind. Eine obere Schranke liefert die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Union Bound]]:
+Die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist schwierig, da die Ereignisse&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ ,&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{2}]$&nbsp;  und&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}]$&nbsp;  nicht notwendigerweise&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkt]]&nbsp; sind.&nbsp; Eine obere Schranke liefert die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|"Union Bound"]]:
 :$${\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \ge {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$${\rm Pr(Bhattacharyya)} = W(\beta)-1 \ge {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \ge {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.05cm},$$
-wobei beim Binary Erasure Channel für den Bhattacharyya&ndash;Parameter&nbsp; $\beta = \lambda$&nbsp; gilt und&nbsp;  $W(X)$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|Gewichtsfunktion]]&nbsp; angibt, wobei die Pseudo–Variable&nbsp; $X$&nbsp; hier durch den Bhattacharyya–Parameter&nbsp; $\lambda$&nbsp; zu ersetzen ist.
+wobei beim Binary Erasure Channel&nbsp; $\rm (BEC)$&nbsp; für den Bhattacharyya&ndash;Parameter&nbsp; $\beta = \lambda$&nbsp; gilt und&nbsp;  $W(X)$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|Gewichtsfunktion]]&nbsp; angibt, wobei die Pseudo–Variable&nbsp; $X$&nbsp; hier durch den Bhattacharyya–Parameter&nbsp; $\lambda$&nbsp; zu ersetzen ist.
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-''Hinweis:''
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit zwischen den Codeworten&nbsp; $\underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$&nbsp; und&nbsp; $\underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 1)$?
+{Wie groß ist die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit zwischen den Codeworten &nbsp; $\underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$ &nbsp; und &nbsp; $\underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 1)$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}] \ = \ $ { 0.5 3% }$\ \cdot 10^{-3} $
-{Welche Aussagen stimmen bezüglich&nbsp; ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$&nbsp; mit Laufindex&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 3$? &nbsp; <br>$d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}$&nbsp; bezeichnet hier die Hamming–Distanz zwischen&nbsp; $x_{0}$&nbsp; und&nbsp; $x_{i}$.
+{Welche Aussagen stimmen bezüglich &nbsp; ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$ &nbsp; mit Laufindex&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 3$? &nbsp; $d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}$&nbsp; bezeichnet hier die Hamming–Distanz zwischen&nbsp; $x_{0}$&nbsp; und&nbsp; $x_{i}$.
 |type="()"}
 - Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}] \ = \ \lambda ^{d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}} \  · \  (1 – \lambda)^{n \hspace{0.05cm}– \hspace{0.05cm}d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}}$.
 + Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}] \ = \ 1/2 · \lambda ^{d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}}.$
-- ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$ ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit von $x_{0}$ nach $x_{i}$.
+- ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$&nbsp; ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit von&nbsp; $x_{0}$&nbsp; nach&nbsp; $x_{i}$.
 {Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?
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 $\ {\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}] \ = \ $ { 0.05 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
-{Geben Sie die ''Union Bound''&nbsp; für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit an.
+{Geben Sie die&nbsp; "Union Bound"&nbsp; für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit an.
 |type="{}"}
 $\ {\rm Pr(Union\  Bound)} \ = \ ${ 1.05 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
-{Wie lautet im vorliegenden Fall die ''Bhattacharyya–Schranke''?
+{Wie lautet im vorliegenden Fall die&nbsp; "Bhattacharyya–Schranke"?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Pr(Bhattacharyya)} \ = \ ${ 2.1 3% } $\ \cdot 10^{-3} $

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 :$$\ {\rm Pr}\ [\underline{x}_0 \hspace{0.12cm}{\rm und}\hspace{0.12cm} \underline{x}_1 \hspace{0.15cm}{\rm sind \hspace{0.15cm}gleichwahrscheinlich}] = \lambda^3 \cdot (1- \lambda)^2 + 2 \cdot \lambda^4 \cdot (1- \lambda) + \lambda^5 =\lambda^3 \cdot \left [ (1- \lambda)^2 + 2 \cdot \lambda \cdot (1- \lambda) + \lambda^2 \right ] = \lambda^3 \hspace{0.05cm}.$$
-In diesem Fall entscheidet man sich nach dem Zufallsprinzip entweder für  $\underline{x}_{0}$ (wäre richtig) oder für  $\underline{x}_{1}$ (leider falsch), und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Daraus folgt:
+In diesem Fall entscheidet man sich nach dem Zufallsprinzip für  $\underline{x}_{0}$ (wäre richtig) oder für  $\underline{x}_{1}$ (leider falsch), und zwar mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Daraus folgt:
 :$${\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] = 1/2 \cdot \lambda^3 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Nach Teilaufgabe (1) ist die <u>Antwort 2</u> richtig und nicht die Antwort 1. Auch die Aussage 3 ist falsch:
 *${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ sagt nicht aus, dass mit dieser Wahrscheinlickeit das Codewort $\underline{x}_{0}$ tatsächlich in das falsche Codewort  $\underline{x}_{1}$ übergeht, sondern nur, dass es mit dieser Wahrscheinlichkeit zu  $\underline{x}_{1}$ übergehen könnte.
 * ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ beinhaltet auch Konstellationen, bei denen die Entscheidung tatsächlich für $\underline{x}_{2}$ bzw. $\underline{x}_{3}$ fällt.
@@ Zeile 117: / Zeile 118: @@
 '''(3)'''&nbsp; Wegen $d_{\rm H}(\underline{x}_{0}, \underline{x}_{2}) = 3$ und $d_{\rm H}(\underline{x}_{0}, \underline{x}_{3}) = 4$ ergibt sich hierfür
 :$${\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] = 1/2 \cdot \lambda^3 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = 1/2 \cdot \lambda^4 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.05 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 125: / Zeile 128: @@
 :$${\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] = 2 \cdot \lambda^3/2 + \lambda^4/2 = 0.001 + 0.00005 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.05 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 130: / Zeile 134: @@
 :$${\rm Pr(Blockfehler) ≤ {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}  \le Pr(Bhattacharyya)} = W(\beta) - 1.$$
-Für das Distanzspektrum bzw. die Gewichtsfunktion erhält man im vorliegenden Fall:
+*Für das Distanzspektrum bzw. die Gewichtsfunktion erhält man im vorliegenden Fall:
 :$$W_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} W_3 = 2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}W_4 = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = 1+ 2 \cdot X^{3} +X^{4} \hspace{0.05cm}.$$
-Beim BEC–Kanal gilt zudem $\beta = \lambda$. Daraus folgt als Endergebnis für $\lambda = 0.001$:
+*Beim BEC–Kanal gilt zudem $\beta = \lambda$. Daraus folgt als Endergebnis für $\lambda = 0.001$:
 :$${\rm Pr(Bhattacharyya)} = 2 \cdot \lambda^3 + \lambda^4 \hspace{0.15cm} \underline{= 2.1 \cdot 10^{-3}} \hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2411__KC_A_1_13.png|right|frame|Mögliche Empfangsvektoren für den $(5, 2)$–Code und BEC]]
+[[Datei:P_ID2411__KC_A_1_13.png|right|frame|Mögliche Empfangsvektoren für den&nbsp; $(5, 2)$–Code und BEC]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe den systematischen $(5, 2)$–Code mit der $2×5$–Generatormatrix
+Wir betrachten in dieser Aufgabe den systematischen&nbsp; $(5, 2)$–Code
 :$${ \boldsymbol{\rm G}}_{(5, 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &1 &0\\ 0 &1 &0 &1 &1 \end{pmatrix} \hspace{0.05cm},$$
-der $3 × 5$–Prüfmatrix
+*der&nbsp; $3 × 5$–Prüfmatrix
 :$${ \boldsymbol{\rm H}}_{(5, 2)} = \begin{pmatrix} 1 &0 &1 &0 &0\\ 1 &1 &0 &1 &0\\ 0 &1 &0 &0 &1 \end{pmatrix}	\hspace{0.05cm},$$
-und den $2^k = 4$ Codeworten
+*und den&nbsp; $2^k = 4$&nbsp; Codeworten
 :$$\underline{x}_0 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} (0, 0, 0, 0, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\underline{x}_1 = (0, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\underline{x}_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} (1, 0, 1, 1, 0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\underline{x}_3 = (1, 1, 1, 0, 1)\hspace{0.05cm}.$$
-Am Ausgang des digitalen Kanals, der durch das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC–Modell]] (''Binary Erasure Channel'') mit der Auslöschungswahrscheinlichkeit $\lambda = 0.001$ festgelegt wird, tritt der Empfangsvektor
+Am Ausgang des digitalen Kanals, der durch das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|BEC–Modell]]&nbsp; (''Binary Erasure Channel'') mit der Auslöschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda = 0.001$&nbsp; festgelegt wird, tritt der Empfangsvektor
 :$$\underline{y} = (y_1, \hspace{0.05cm}y_2, \hspace{0.05cm}y_3, \hspace{0.05cm}y_4, \hspace{0.05cm}y_5)$$
-auf, wobei für $i = 1, \ \text{...} \ , 5$ gilt: $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$.
+auf, wobei für&nbsp; $i = 1, \ \text{...} \ , 5$&nbsp; gilt: &nbsp; $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$.
 Der BEC–Kanal zeichnet sich dadurch aus, dass
-*Verfälschungen $(0 → 1, 1 → 0)$ ausgeschlossen sind,
+*Verfälschungen&nbsp; $(0 → 1, 1 → 0)$&nbsp; ausgeschlossen sind,
-*es aber zu Auslöschungen $(0 → \rm E, 1 → E)$ kommen kann.
+*es aber zu Auslöschungen&nbsp; $(0 → \rm E, 1 → E)$&nbsp; kommen kann.
-Die Grafik zeigt explizit alle möglichen Empfangsvektoren $\underline{y}$ mit drei oder mehr Auslöschungen (englisch: ''Erasures'', abgekürzt $\rm E$) unter der Voraussetzung, dass der Nullvektor $(0, 0, 0, 0, 0)$ gesendet wurde. Bei weniger als drei Auslöschungen liefert bei dem betrachteten $(5, 2)$–Code der Codewortfinder immer die richtige Entscheidung: &nbsp; $\underline{z} = \underline{x}$.
+Die Grafik zeigt explizit alle möglichen Empfangsvektoren&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit drei oder mehr Auslöschungen $($englisch: &nbsp; ''Erasures'', abgekürzt &nbsp;$\rm E)$&nbsp; unter der Voraussetzung, dass der Nullvektor&nbsp; $(0, 0, 0, 0, 0)$ gesendet wurde.
-Bei drei oder mehr Auslöschungen kann es dagegen zu Fehlentscheidungen kommen. In diesem Fall gilt für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit
+*Bei drei oder mehr Auslöschungen kann es dagegen zu Fehlentscheidungen kommen. In diesem Fall gilt für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$ {\rm Pr(Blockfehler)}= {\rm Pr} (\underline{z} \ne \underline{x}) = {\rm Pr}\left \{ \hspace{0.1cm} [\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] \hspace{0.05cm}\cup\hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] \hspace{0.05cm}\cup \hspace{0.05cm}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \mapsto \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \hspace{0.1cm}\right \} \hspace{0.05cm}.$$
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 Bitte beachten Sie:
-*Das Ereignis $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ sagt nicht unbedingt aus, dass beim betrachteten Empfangsvektor $\underline{y}$ tatsächlich für das Codewort $\underline{x}_{1}$ entschieden wird, sondern lediglich, dass die Entscheidung für $x_{1}$ aufgrund der Statistik sinnvoller wäre als die Entscheidung für $\underline{x}_{0}$.
+*Das Ereignis&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$&nbsp; sagt nicht unbedingt aus, dass beim betrachteten Empfangsvektor&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; tatsächlich für das Codewort&nbsp; $\underline{x}_{1}$&nbsp; entschieden wird, sondern lediglich, dass die Entscheidung für&nbsp; $x_{1}$&nbsp; aufgrund der Statistik sinnvoller wäre als die Entscheidung für&nbsp; $\underline{x}_{0}$.
-*Es könnte aber auch für $\underline{x}_{2}$ oder $\underline{x}_{3}$ entschieden werden, wenn das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium|Maximum–Likelihood–Kriterium]] hierfür spricht.
+*Es könnte aber auch für&nbsp; $\underline{x}_{2}$&nbsp; oder&nbsp; $\underline{x}_{3}$&nbsp; entschieden werden, wenn das&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Maximum-a-posteriori.E2.80.93_und_Maximum-Likelihood.E2.80.93Kriterium|Maximum–Likelihood–Kriterium]]&nbsp; hierfür spricht.
-Die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist schwierig, da die Ereignisse $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ , $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{2}]$  und $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}]$  nicht notwendigerweise [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkt]] sind. Eine obere Schranke liefert die [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Union Bound]]:
+Die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist schwierig, da die Ereignisse&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}]$ ,&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{2}]$&nbsp;  und&nbsp; $[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}]$&nbsp;  nicht notwendigerweise&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Mengentheoretische_Grundlagen#Disjunkte_Mengen|disjunkt]]&nbsp; sind. Eine obere Schranke liefert die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Union_Bound_der_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Union Bound]]:
 :$${\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} = {\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}2}] +{\rm Pr}[\underline{x}_{\hspace{0.02cm}0} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm} \underline{x}_{\hspace{0.02cm}3}] \ge {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.05cm}.$$
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 :$${\rm Pr(Bhattacharyya)} = W(\beta)-1 \ge {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)} \ge {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.05cm},$$
-wobei beim Binary Erasure Channel für den Bhattacharyya&ndash;Parameter $\beta = \lambda$ gilt und  $W(X)$ die [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|Gewichtsfunktion]] ist, wobei die Pseudo–Variable $X$ hier durch den Bhattacharyya–Parameter $\lambda$ zu ersetzen ist.
+wobei beim Binary Erasure Channel für den Bhattacharyya&ndash;Parameter&nbsp; $\beta = \lambda$&nbsp; gilt und&nbsp;  $W(X)$&nbsp; die&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit#Distanzspektrum_eines_linearen_Codes|Gewichtsfunktion]]&nbsp; angibt, wobei die Pseudo–Variable&nbsp; $X$&nbsp; hier durch den Bhattacharyya–Parameter&nbsp; $\lambda$&nbsp; zu ersetzen ist.
-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].		*Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel [[Kanalcodierung/Schranken_für_die_Blockfehlerwahrscheinlichkeit\|Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit]].
−	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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 Die Bhattacharyya–Schranke liegt je nach Kanal mehr oder weniger weit oberhalb der ''Union Bound.'' Ihre Bedeutung liegt darin, dass die Schranke für unterschiedliche Kanäle in gleicher Weise angebbar ist.
 ''Hinweise:''
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 {Wie groß ist die paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit zwischen den Codeworten $\underline{x}_{0} = (0, 0, 0, 0, 0)$ und $\underline{x}_{1} = (0, 1, 0, 1, 1)$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}] \ = \ $ { 5 3% }$\ \cdot 10^{-4} $
+${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{1}] \ = \ $ { 0.5 3% }$\ \cdot 10^{-3} $
-{Welche Aussagen stimmen bezüglich ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$ mit Laufindex $i = 1, \ ... \ , 3$? Hierbei bezeichnet $d_{\rm H}$ die Hamming–Distanz zwischen $x_{0}$ und $x_{i}$.
+{Welche Aussagen stimmen bezüglich ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$ mit Laufindex $i = 1, \ \text{...} \ , 3$? $d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}$ bezeichnet hier die Hamming–Distanz zwischen $x_{0}$ und $x_{i}$.
 |type="[]"}
-- Es gilt ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}] \ = \ \lambda ^{d_{\rm H}} \  · \  (1 – \lambda)^{n – d_{\rm H}}$.
+- Es gilt ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}] \ = \ \lambda ^{d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}} \  · \  (1 – \lambda)^{n \hspace{0.05cm}– \hspace{0.05cm}d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}}$.
-+ Es gilt ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}] \ = \ 1/2 · \lambda ^{d_{\rm H}}.$
++ Es gilt ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}] \ = \ 1/2 · \lambda ^{d_{{\rm H},\hspace{0.05cm}i}}.$
 - ${\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{i}]$ ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit von $x_{0}$ nach $x_{i}$.
 {Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten
 |type="{}"}
-$\ {\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{2}] \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot 10^{-4} $
+$\ {\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{2}] \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
-$\ {\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}] \ = \ $ { 5 3% } $\ \cdot 10^{-5} $
+$\ {\rm Pr}[\underline{x}_{0} → \underline{x}_{3}] \ = \ $ { 0.05 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
 {Geben Sie die ''Union Bound'' für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit an.